Division euclidienne et reste

C'est une définition, tu veux vraiment demander "pourquoi" à une définition ? Et puis ça devrait quand même être assez clair, la division euclidienne de $a$ par $b$ a un reste nul si et seulement si $b$ divise $a$, la division de $a$ en $b$ parts est donc "exacte".

Dans l'égalité $a=bq+r$, où $a$ est entier naturel et $b$ un entier naturel non nul, $q,r$ ne sont pas uniques si on n'impose pas, par exemple, une condition sur $r$.
Si on impose la condition $0<r<b$ alors $r,b$ n'existent pas toujours.
Par exemple si on prend $a=6,b=3$, $r$ n'existe pas.

Disons que le quotient dans $\N$ (donc de la division euclidienne) coïncidence avec le quotient dans $\R$ quand le reste du premier quotient mentionné (division euclidienne) est nul.

« Être une division » est une expression bizarre.

Tu lis de travers ... comme si à chaque mot une situation et à chaque situation un mot différent. Comme si un carré n'était pas un rectangle, comme si une division (sens école primaire) n'était pas une division euclidienne.

Un peu d'ouverture d'esprit sur la manipulation du français (y compris par les matheux français) ne messied pas.

Soland a écrit:

l'algorithme de division avec reste n'a donc pas d'intérêt.

Fichtre ! Aucun intérêt de savoir que dans cent heures il sera 21h40 (17h40 + 4h) mardi 07 ? Que si j'achète avec 5 billets de 20 euros 4 bouquins à 24 euros on me rendra 4 euros de monnaie ?

Félix: tu sors la phrase de Soland de son contexte.

Si on veut diviser $7$ par $3$ et qu'on s'autorise comme réponse une fraction alors on obtient une réponse $\dfrac{7}{3}$. Et on obtient toujours une réponse si on ne divise pas par $0$.
(c'est ce que j'ai compris des propos de Soland)

Dom: parce que tu n'as pas lu attentivement la phrase juste au dessus.
Si on s'autorise des fractions au même titre que des nombres entiers (qui sont des fractions particulières comme chacun sait) alors la division euclidienne perd de son intérêt. Mais on est un peu gêné pour donner exactement $\dfrac{5}{3}$ euro en paiement du prix d'une baguette de pain. :-D

Ca part en vrille, parce que certains mots ont des sens pas strictement définis, ou pas compris de la même façon par tout le monde. En l'occurrence le mot division..
Certains vont avoir une définition rigoriste de ce mot, d'autres une définition plus laxiste... impossible de dialoguer si chacun ne précise pas la définition qu'il emploie.

Le mot division est un mot un peu fourre-tout.

Le terme 'division euclidienne' est très précis : 17/3 = 5 et il reste 2. 17 est le dividende, 3 est le diviseur , 5 est le quotient et 2 est le reste. Et tous les nombres qui interviennent dans une division euclidienne sont des entiers positifs. Le diviseur ne peut pas être nul, mais les 3 autres termes peuvent être nuls.
C'est clair, précis, et je pense qu'il y a un consensus parfait.
Il y a un cas particulier de la division euclidienne, quand le reste est nul. Dans ce cas, certains vont dire qu'on a une division exacte, d'autres vont dire qu'on a une division euclidienne exacte, et d'autres vont dire que dans ce cas là, on a une division.

Personnellement, je n'aime pas cette dernière convention. Pour moi quand on a un nom plus un adjectif, l'adjectif sert à apporter une restriction : Un triangle équilatéral est un triangle qui est équilatéral ; l'ensemble des triangles équilatéraux est inclus dans l'ensemble des triangles.
Et donc, si on applique la même logique, l'ensemble des divisions euclidienne devrait faire partie de l'ensemble des division. Or c'est l'inverse.

Mais c'est juste un choix de terminologie. Que dit ton dictionnaire à l'entrée division ? Si ton dictionnaire dit qu'une division, c'est une division euclidienne dans laquelle le reste est nul, alors tout va bien.
Si à l'entrée 'Division', ton dictionnaire dit autre chose, c'est un problème.

Le fait que la terminologie évolue dans le temps est normal. Et du coup, un dictionnaire publié en 1980 peut donner des définitions qui sont contradictoires avec un dictionnaire publié 30 ans plus tard. C'est normal. Il faut donc s'adapter.

La réponse complète est même celle que je conseille.

$17=3\times 5+2$ et $2<3$

Remarque : j’oublie $0\leq2$.

Heu ... ça ne parle plus de $\frac{17}3$.

Je préfère $\frac{17}3 = 5 + \frac 2 3$ Où le "reste" reste bien à diviser par 3 (dans un problème concret, ce n'est pas toujours possible et il faudra trouver une méthode concrète).

Ces problèmes de division ont eu un grand rôle historique peut-être maintenant un peu trop masqué par l'apprentissage, chez les matheux de la "division euclidienne" qui n'est qu'une décomposition en produit plus reste.

Cordialement.

Heu ... cette écriture sous la forme 17/3=5+2/3 est très ancienne (en Europe, dès l'introduction des "chiffres arabes") et fréquente jusque vers 1950 au certificat d'études. On en a parlé avec les écritures $5 \ \frac 2 3$ et $5\ 2/3$.

Cordialement.

Dans l'écriture 17 = 5x3+2, on ne sait pas trop si le diviseur est 3 ou 5.

Mais effectivement, je rectifie ma formulation :
17 divisé par 3 donne 5 et il reste 2 au lieu de 17/3=5 et il reste 2

Dom a écrit:

Comment la trouve-t-on ?

A la renaissance, par la division sur abaque, puis, avec l'apprentissage des opérations posées (et la généralisation du papier) comme on le faisait à l'école primaire (la potence).
La division euclidienne est une théorisation (connue en fait depuis 2300 ans, mais comme une soustraction du segment diviseur au segment à diviser, répétée tant que c'est possible).

Cordialement.