Arrondi et aire en 6ème
Bonjour,
En 6ème, on est amené à faire travailler les élèves sur les aires de disque.
Exemple : Aire d'un disque de rayon 1,3 cm.
J'aimerais leur faire étudier deux méthodes.
1) Prendre Pi environ égal à 3,14 : Pi * 1,3 * 1,3 ~= 3,14 * 1,3 * 1,3 = 5,306 6 cm².
2) Prendre la valeur de Pi et faire les calculs à la calculatrice : Pi * 1,3 * 1,3 ~= 5,309 3 cm².
Ces deux méthodes permettent de montrer aux élèves que : plus tôt on prend un arrondi (dès le début : étape 1)), plus on s'éloigne du résultat exact.
Plus tard on le prend (le mieux est à la dernière minute : étape 2)), plus on est précis et l'arrondi obtenu est proche du résultat exact.
Dans 2), on a pris un arrondi de du résultat de l'aire au dix-millième ; ça, pas de problème.
Dans 1), on a pris un arrondi de Pi au centième : peut-on dire que le résultat "5,306 6 cm² " est un arrondi au dix-millième de la valeur exacte de l'aire ? Car il ne s'agit pas du même arrondi au dix-millième que dans 1).
Il doit y avoir une erreur dans mon interprétation du 1).
En 6ème, on est amené à faire travailler les élèves sur les aires de disque.
Exemple : Aire d'un disque de rayon 1,3 cm.
J'aimerais leur faire étudier deux méthodes.
1) Prendre Pi environ égal à 3,14 : Pi * 1,3 * 1,3 ~= 3,14 * 1,3 * 1,3 = 5,306 6 cm².
2) Prendre la valeur de Pi et faire les calculs à la calculatrice : Pi * 1,3 * 1,3 ~= 5,309 3 cm².
Ces deux méthodes permettent de montrer aux élèves que : plus tôt on prend un arrondi (dès le début : étape 1)), plus on s'éloigne du résultat exact.
Plus tard on le prend (le mieux est à la dernière minute : étape 2)), plus on est précis et l'arrondi obtenu est proche du résultat exact.
Dans 2), on a pris un arrondi de du résultat de l'aire au dix-millième ; ça, pas de problème.
Dans 1), on a pris un arrondi de Pi au centième : peut-on dire que le résultat "5,306 6 cm² " est un arrondi au dix-millième de la valeur exacte de l'aire ? Car il ne s'agit pas du même arrondi au dix-millième que dans 1).
Il doit y avoir une erreur dans mon interprétation du 1).
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Réponses
On peut dire ce qu’on veut. Mais des fois on dit des conneries.
Il faudrait plutôt revenir aux définitions.
Non, on ne peut pas le dire. Le bon arrondi au dix-millième est celui que l'on obtient avec le plus de décimales de pi.
En physique, le résultat ne doit pas avoir plus de décimales significatives que les donnée du calcul :
si les longueurs sont données au dixième près, l'aire ne peut pas avoir une précision plus grande que le centième près.
Cordialement,
Une remarque : ces histoires d’arrondis ne font plus partie vraiment des programmes (avant on avait « valeurs approchées », « troncature », « par défaut/par excès », etc.) et là il n’y a plus rien sauf erreur.
Ainsi, en parler dès que possible et pas seulement avec $\pi$.
Par exemple,
Voici un rectangle représenté en noir. Proposer une valeur approchée de son aire à l’unité de cm$^2$.
On a déjà deux valeurs approchées avec les mesures des côtés (si elles sont mesurées à la règle et non données).
Remarque : le travail sur les encadrements n’est plus du collège.
Ça aussi ça handicape. Je parle des théorèmes liant inégalités et conservation par addition ou multiplication par un strictement positif.
C'est ce que je pensais.
Est-ce que le résultat du 1) correspond à un arrondi en particulier ?
On peut faire des maths ensuite et estimer la précision de cet arrondi.
Au mieux, on peut dire que 5,3066 est un minorant.
Mais la phrase clé, c'est celle donné par Mateo :
En physique, le résultat ne doit pas avoir plus de décimales significatives que les donnée du calcul :
si les longueurs sont données au dixième près, l'aire ne peut pas avoir une précision plus grande que le centième près.
Et c'est très bien exprimé, avec les mots justes : si je fais un arrondi au dixième sur une longueur, j'aurais au mieux un arrondi au centième sur les aires.
Au mieux....
Pi est entre 3.14 et 3.15, l'aire du disque est donc entre 3.14*1.3² et 3.15*1.3²
Et là, on voit à quel point c'est ridicule de dire que l'aire vaut environ 5,306 6 cm².
"Pi est entre 3.14 et 3.15, l'aire du disque est donc entre 3.14*1.3² et 3.15*1.3²
Et là, on voit à quel point c'est ridicule de dire que l'aire vaut environ 5,306 6 cm²." ?
Je ne comprends pas ce que tu veux dire ???
Si un cercle a un rayon mesure un mètre, ça voudrait dire que pour sa circonférence, un physicien doit répondre 6 mètres ? Il ne peut pas mettre de virgule. Ça me semble bizarre.
Mais c’est par exemple pour des additions de nombres (périmètre d’un polygone) où chaque mesure était donnée à une même précision. Mais même là c’est erroné.
1000 mesures au mm près peuvent engendrer une somme dont l’erreur est d’un m.
Seuls des encadrements et les règles basiques peuvent assurer de la précision du résultat.
Pour répondre 6,28 m, il faudrait un cercle de 1,00 m de rayon.
Le triangle isocèle rectangle aux trois côtés égaux me semble aussi assez louche.
Un physicien répond $AB=0$ et $AC=0.1$...
Bof... tout dépend du problème et on ne peut pas appliquer une telle règle à toutes les situations. Par exemple dans pas mal d'exercices de physique on n'est pas en train de décrire une situation réelle et physique, juste une expérience de pensée. Si cette expérience de pensée concerne un cercle de 1m de rayon alors il est sous entendu que son rayon est 1m avec précision infinie et que le cercle est parfait.
La situation de la roue de 1m de rayon ayant un périmètre de $\lfloor2\pi\rfloor =6$m est stupide. Si l'on a une précision d'un seul chiffre (!!) dans la mesure du rayon comment peut-on décemment faire l'hypothèse que notre cercle est parfait et que c'est la formule $2\pi r$ que l'on doit utiliser ? Avec une précision d'un seul chiffre notre "cercle" pourrait aussi bien être un carré ou un truc complètement denté avec un périmètre de $1$km.
Bref, si on veut savoir combien de décimales sont exactes dans notre calcul on fait un vrai calcul d'erreur ce qui suppose d'avoir une vraie estimation de l'erreur sur nos mesures et notre modèle. D'ailleurs à la fin on peut très bien se retrouver avec $6,2832\pm0,003$m, l'erreur n'a pas de raison d'être une puissance de 10 ou de correspondre exactement avec le nombre de décimales du résultat.
Dans le message d'origine on prend en 1) l'approximation pi = 3,14.
Et en 2) une approximation non au dix-millième comme il est dit, mais à celle avec laquelle la calculatrice fait son travail. qui ne sera connue que si on lit le mode d'emploi.
L'humain sait qu'une bonne approximation au dix-millième est 3,1416 et que comme elle est à peu près cent fois meilleure qu'en 1) il est inutile d'aller plus loin.
L'erreur absolue commise en 1) est donc de 16 dix-millièmes et la valeur retenue est trop faible.
L'erreur relative, càd rapportée à la valeur numérique de ce qu'on mesure, est de 16*10-4 / 3 (inutile d'être plus précis que ce 3). Soit environ 5*10-4, ou un demi-millième.
On s'attend donc à ce que le calcul le plus précis soit plus élevé d'un demi-millième de la valeur du plus grossier.
Soit 5,3066 / 2 000 = 0,002 65, donc en fait un peu moins de 0,003 (on a utilisé des arrondis dans notre calcul d'erreur). Et c'est bien ce qui est observé.
On peut remarquer que s'il est nécessaire de mener le calcul avec davantage de décimales que celles proposées dans l'hypothèse (trois pour pi = 3,14), c'est une erreur de présenter le résultat définitif, comme expliqué par plusieurs intervenants, avec un nombre supérieur de décimales. Le résultat officiel, fini, de l'exercice devrait donc être écrit 5,31 et non 5,3066.
Et alors on remarque, sans surprise, que l'arrondi au centième (à la deuxième décimale) du résultat en 2) serait le même.
Bonne journée.
Merci, c'est toujours sympa et ça donne envie de discuter.
Je ne pense pas que savoir que la longueur du cercle soit à peu près 3 fois le diamètre (ou un petit peu plus) soit stupide. Et c'était peut-être la valeur de référence pendant des millénaires.
Un problème de physique n'est pas nécessairement un exercice ou une expérience de pensée avec des cercles parfaits et des longueurs de précision infinie.
>> une précision d'un seul chiffre (!!)
Par ailleurs, il me semble qu'historiquement la plupart des constantes de la physique sont restées longtemps connues avec très très peu de chiffres.
Si tu lis mon message en entier tu verras que j'en suis parfaitement conscient, c'est ce que je raconte au tout début : "tout dépend du problème". Je répète que si on est face à une situation où l'on a des données expérimentales et qu'on cherche à en déduire une prédiction d'une certaine valeur et qu'on a à cœur de savoir à combien de chiffres notre prédiction sont exacts alors on fait un vrai calcul d'erreur et c'est une donnée tout à fait pertinente.
Pour reprendre la situation du cercle de 1m de rayon et de 6m de périmètre je persiste à penser qu'elle est stupide. Déjà parce que la marge d'erreur n'a pas de raison d'être donnée par le nombre de chiffres de la mesure. Même en supposant que le nombre de chiffre nous donne la précision est-ce que ça veut dire que notre rayon appartient à $[9,5\cdot 10^{-1}; 1,5\cdot 10^0 ]$, $[0,5; 1,5]$ ou $[1-10\%;1+10\%]$ ? Et dans les deux derniers cas on est en moyenne plus proche de la vraie valeur en répondant $6,28$ que $6$ (en faisant l'hypothèse d'une répartition centrée de l'erreur).
Cordialement même si on peut penser le contraire.
Ce que tu dis, vorobichek, c’est l'idéal mais selon les bahuts c’est trop tard pour « apprendre » les tables.
À l’école ça peut être fait à chaque heure par exemple rapidement, mais en 6e les changements de matières ne le permettent pas.
Par contre ne pas savoir calculer est en effet anormal mais pour certains publics interdire la calculatrice encourage d’une par à ne pas savoir calculer et ne pas savoir utiliser une calculatrice.
Par contre en effet il faut encourager les calculs posés en 6e et les vérifications à la calculatrice.
Je le dis pas le contraire.
Je dis seulement que l’apprentissage des tables n’est plus possible. Et ça monte de classe en classe jusqu’au lycée sans jamais les connaître.
Il y a certes la méthode rapide bête et méchante d'apprendre par cœur. Mais il y a aussi la pratique grâce à laquelle on apprend. Quand j'étais élève, on avait des cahiers de 12/18 pages avec les tables de multiplications ou le tableau de Pythagore au dos. L'élève fait les calculs, s'il ne sait pas ou doute, il suffit de retourner le cahier. Retourner le cahier est un effort, après un certain temps tout le monde apprennent ces tables. Mais il faut donner les exercices!
En faites, le principe est le même pour toutes les notions mathématiques. Pourquoi les élèves ne savent plus manipuler les fractions? Bah... Primo, l'apprentissage est trop étalé dans le temps. Secundo, en dehors du chapitre sur les fractions, les profs du collège (pas tous!!!) limitent les exercices avec les fractions ou les donnent pas du tout. Soit disant parce qu'ils sont incapables de les faire. Bah... moins on demande, moins ils savent.
On peut vérifier par l'opération inverse, pas besoin de calculatrice.
P.S. ce n'est pas claire dans mon message : faire des exos avec la calculatrice - cela prend du temps. Or, le temps est cher. Ces "méthodes à la calculatrice" n'apportent rien à l'apprentissage (sauf quelques exceptions), autant de les remplacer par plus d'exercices.
Je ne parle pas de pratiquer le nivellement par le bas.
Je dis qu’apprendre vraiment les tables c’est très difficile de le faire « dans l’établissement » dès qu’on rentre en 6e.
Remarque : la méthode « rapide bête et méchante » ne fonctionne plus non plus. Il faut être au courant bon sang.
Aucune espèce de moyen coercitif n’atteint plus personne avec certains publics. Rien n’est plus « méchant ».
Rien n’oblige à apprendre par cœur dix nombres, apprendre dix verbes irréguliers, lire un livre de 50 pages, apprendre trois dates historiques ou un refrain de quatre vers.
Fin de la remarque.
C’est une bonne idée de les avoir à la demande (dans un cahier ou autre).
Mais je persiste : la proportion qui connaît ses tables sans les avoir sues en 6e est très très maigre. Quel que soit l’enseignant.
Et parmi ceux qui ont réussi cette tâche, je parie qu’à la maison il y a eu du soutien voire de l’acharnement.
C’est le contexte « collège » qui remet tout en cause.
Aucune organisation, des devoirs et leçons un peu dans toutes les matières, des parents qui abandonnent leurs enfants aux « éducateurs de l’éducation nationale ».
Mêmes les « rituels » n’en sont pas. Alors qu’à l’école ils l’étaient : à chaque heure, six heures de suite on peut poser la même question. Dans une journée de collège, rien. Le pauvre prof de n’importe quelle discipline peut tenter des rituels...au maximum cinq fois dans une semaine...
Je ris un peu quand je lis « on peut vérifier par l’opération inverse » : l’addition de deux nombres à deux chiffres inférieurs à 4 pose déjà problème. Tout ce qui s’appelle « vérification » pour les uns est un calvaire pour les autres.
Je ne décris pas qu’une classe de 6e dans le 93, mais tout un tas de classes de 6e en France.
Vorobichek, je ne te jette pas la pierre, je dis qu’il faut voir où l’on en est pour s’apercevoir que tout est fichu*** (dans certains coins) et que les profs font ce qu’ils peuvent.
***cela dépend de quoi on parle, j’admets que la formule est exagérée.
Dom a bien résumé la situation. Si l'élève, à titre personnel, n'a pas envie d'apprendre sa table, rien, rien ne permet en France au prof, dans la plupart des bahuts, de l'y obliger (ou de lui donner envie pour ceux que ce mot gêne).