Évidence de a/b = 1/b . a ?

shinitchi · April 2020

Bonjour à tous,
on se place en 6ème avec la définition de la multiplication suivante.

Étant donné un nombre $a$ et un naturel $n \in \mathbb{N}$, on a : $a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n \text{ termes } a}$.

On définit la fraction $\dfrac{a}{b}$ comme suit : si $a$ et $b$ sont deux naturels ($b\neq 0$), $\dfrac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$. Autrement dit, c'est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$ : $\dfrac{a}{b} \times b = a$.

Ma question est la suivante. Est-il trivial de dire $\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{b} \times a$ ?
Si oui pourquoi ? Si non pourquoi ?
En vous remerciant par avance.

Maxtimax · April 2020

$\frac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ (j'imagine qu'en 6è on admet son existence et son unicité. C'est ce deuxième point qui va être crucial)

On n'a qu'à vérifier que $\frac{1}{b} \times a$ vérifie ça : $(\frac{1}{b} \times a) \times b = \frac{1}{b} \times (a\times b) = \frac{1}{b} \times (b \times a) = (\frac{1}{b} \times b)\times a$ (ici j'ai utilisé l'associativité et la commutativité de $\times$, deux fois - je ne sais pas en 6è si on parle de ça ou si on fait tout "à l'arrache")

Ensuite, par défintion, $\frac{1}{b}\times b = 1$, et donc $(\frac{1}{b} \times a) \times b = a$, donc c'est "le" nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$, soit $\frac{a}{b}$.

YvesM · April 2020

Bonjour,
$a +a +\cdots+a=a(1+1+\cdots+1).$

shinitchi · April 2020

Bonsoir Maxtimax,

bien sûr, c'était évident... Je m'entêtais à penser que la multiplication définie comme telle ne possédait pas les propriétés de commutativité, d'associativité et de distributivité pour l'addition, sur $\mathbb{Q} \times \mathbb{N}$. Mais l'associativité fonctionne bien...
Ensuite vous utilisez la commutativité sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ donc ça me convient.

Merci d'avoir éclairé ma lanterne. Bien à vous.

Dom · April 2020

[small]Remarque :
Pour moi c’est $n\times a$ qui vaut $a+\cdots+a$ par définition (on voit « $n$ fois $a$ »). Mais on s’en fiche, ce n’est pas la question.
Fin de la remarque.[/small]

En effet je ne vois pas comment faire sans la commutativité et l’associativité.
La commutativité se démontre pour des entiers cela dit, et d’ailleurs la définition ne marche plus si l'on n’a plus d’entiers ou si ce n’est pas le bon qui est entier. Mais pour démontrer la commutativité pour des non entiers, je ne vois pas non plus.

C’est bien un théorème à donner avant : « il existe un unique » (je pense qu’il faut le proposer dans tous les niveaux 6e/5e/4e) C’est parfois controversé (certains préfèrent dire seulement « il existe » et disent que l’unicité est un autre théorème).

Et c’est bien l’unicité qui fait tout, et aussi pour tous les théorèmes de collège sur les fractions.
D’ailleurs c’est à installer (les démos de ce genre en 5e/4e) de mon point de vue pour ceux qui continueront les maths (pour les autres, le faire ou ne pas le faire ça ne change rien).

Édit : j’ai tenté d’envoyer ce message mais il ne partait pas. Peut-être un déplacement du fil ?
Bref il était censé se glisser un peu avant dans la suite des messages.

shinitchi · April 2020

Bonsoir YvesM,

je suis désolé mais je ne vois pas... My bad.

Sato · April 2020

Pour des élèves qui arrivent en sixième, ou pour beaucoup d'entre eux, $\frac{3}{4}$ c'est :

on partage l'unité en 4 ;
et on prend 3 exemplaires de ce qu'on a obtenu.

Cela permet d'additionner de façon évidente des fractions de même dénominateur.

Si je leur dis que c'est aussi 3 partagé en 4 parts égales, ils me regardent avec des yeux exorbités.

On peut dire qu'ils ont retenu la définition :
$\frac{a}{b} := \frac{1}{b} \times a$ ("... multiplié par $a$") ou $\frac{a}{b} := a \times \frac{1}{b}$ ("$a$ fois ...").

Ça ne change rien à la justesse de ce qu'a écrit Maxtimax. Mais faut-il écrire ces démonstrations en 6e ? Démonstrations qui n'en sont pas vraiment eu égard à tout ce qui est admis et escamoté ? N'est-ce pas mieux en 5e ? En 6e, un dessin et un exemple seront peut-être plus convainquants (pour faire 4 fois $\frac{3}{4}$, je considère que $\frac{3}{4}$ c'est 3 "quarts" et pour prendre 4 fois tout ça, je prends 4 fois "un quart" et je reprends ça 3 fois.)

shinitchi · April 2020

@ Dom :

[small]remarque : j'ai pris la convention suivante "$a \times n$" se dit "$a$ multiplié par $n$" (autrement dit la répétition $n$ fois du nombre $a$) ou encore "$n$ fois $a$". En effet, je ne crois pas que ça ait d'importance de toute façon.[/small]

je n'ai pas bien compris de quel théorème vous parlez avec le "il existe un unique".

En fait, j'essaye de construire rigoureusement (sans succès) les définitions successives de la multiplication dans les différents ensembles.

Sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ : $a \times n = \underbrace{a + a + ... + a}_{\text{$n$ termes $a$}}$ tout roule, commutativité, associativité et distributivité sur l'addition c'est ok.

D'ailleurs, je peux étendre cette définition sur $\mathbb{R} \times \mathbb{N}$ en revanche je perd ses propriétés précédemment énoncées.

Dès qu'on passe aux nombres décimaux, j'ai dans ma tête un WTF ?? qui résonne... Quelle définition adopter qui vérifie les propriétés de commutativité, associativité et distributivité sur l'addition.

shinitchi · April 2020

@ Sato :

même chose de mon côté, ils retiennent $\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{b} \times a$ et non $\dfrac{a}{b} = a \div b$. Je ne le comprends pas d'ailleurs. Cela me semble plus naturel de définir $\dfrac{a}{b}$ comme le quotient $a \div b$ et de voir ensuite en propriété que c'est aussi $\dfrac{1}{b} \times a$ que l'inverse.
J'utilises aussi des dessins bien plus parlants pour eux. Mais ça me semble important de laisser une trace écrite de démonstration (même si cela ne leur parle pas pour la plupart dans l'immédiat, peut-être que dans quelques années ils reliront les cours et avec le recul comprendront. Ca leur évitera de se retrouver à ma place (chercher à comprendre pourquoi des propriétés énoncés par mes anciens professeurs étaient vraies). C'est un sacré merdier les maths quand on y voit pas bien comme moi à l'heure actuelle et j'aurais apprécié avoir une trace d'explications.

Je me trompe peut-être en pensant ainsi. Ce n'est qu'un ressenti à l'instant t.

nicolas.patrois · April 2020

D’ailleurs, $\frac{a×b}{c}=a×\frac{b}{c}=\frac{a}{c}×b$, ce n’est rien d’autre que les trois manières de calculer une quatrième proportionnelle :

en cherchant un coefficient multiplicateur d’une ligne à l’autre (le coefficient de proportionnalité),
en calculant directement avec la règle de 3,
en cherchant un coefficient multiplicateur d’une colonne à l’autre.

Dom · April 2020

Le théorème :
Quel que soit le nombre $a$ et quel que soit le nombre $b$ non nul, il existe un seul nombre $q$ tel que $b\times q=a$ (ou bien tel que le nombre multiplié par $b$ donne $a$).
Ce nombre s’appelle le quotient de $a$ par $b$.
On le note $\frac{a}{b}$.

Remarque : toutes tes questions sont légitimes.
Aucune formation initiale et continue ne parle de ça, à ma connaissance.

En 6e, c’est un peu difficile (les démonstrations de ce type).
Je pense qu’on peut tout de même en faire.
Avant, dès le début de l’année on peut déjà proposer des choses comme :
Soient $x$ et $b$ deux nombres tels que : $2\times x+b=13$.
Donner l’écriture décimale de : $Z= 3\times x + 2b+x$.

Et toutes ces choses là.
Avec les entiers on n’a même pas besoin de théorème de distributivité d’ailleurs pour des choses comme : $2\times (4+x)$.
En envoyant des petites choses comme ça, il est moins difficile de définir $1/10$ comme le nombre qui multiplié par $10$ donne $1$ puis etc. de fil en aiguille d’arriver à ce théorème.

C’est en 5e et en 4e qu’on applique la définition (et l’unicité) de $a/b$ pour tout démontrer.

Sato · April 2020

shinitchi a écrit:

même chose de mon côté, ils retiennent $\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{b} \times a$ et non $\dfrac{a}{b} = a \div b$. Je ne le comprends pas d'ailleurs.

C'est sans doute à cause des gâteaux et des tartes. Les élèves de CM2, quand ils apprenent à cuisiner, font rarement trois gâteaux aux yaourt pour les partager entre quatre copains. Mais le maître leur montre un gâteau virtuel qui représente l'unité, le partage en quatre parts égales qui sont des quarts. Si on mange trois de ces parts, on a bouffé trois parts, trois « quarts », les $\frac{3}{4}$ du gâteau et la fraction est définie ainsi. Cela ne me pose pas de problème en soi et ça correspond au sens de l'énonciation en français de la fraction. C'est plus gênant quand des Sixièmes tout frais ne conçoivent pas une fraction au numérateur plus grand que le dénominateur.

@Dom
Oui, moi ça fait 3 ou 4 fois que j'ai des Sixièmes et qu'à chaque fois je change de fond en comble mon cours sur les fractions car il ne me satisfait jamais vraiment. Là on aurait pû faire quelque chose d'utile à l'IUFM/ESPE/INSPE.

Dom · April 2020

Pour remédier au numérateur plus petit que le dénominateur, les horloges sont pas mal.
On peut attendre plusieurs quarts d’heure sans problème.

vorobichek · April 2020

@shinitchi, en se plaçant en 6e, ta définition n'est pas une définition... parce qu'incompréhensible. ;-) C'est quoi un naturel? C'est quoi $\in$? C'est quoi cette lettre N avec double barre au milieu? Quant au quotient de $a$ par $b$ cela a du sens à l'université ou en prépa, peut-être au lycée, mais surement pas au collège. Au collège c'est juste une jolie phrase "chinoise". Les élèves ne maîtrisent ni les nombres, ni le calcul, ni le calcul littéral, ni pourquoi on définit de cette façon et non "à l'ancien", c'est-à-dire avant les maths modernes. Si tu ne trouves pas, je te donnerai la définition.

Concernant ta question : oui, c'est évident... si la multiplication des fractions a été enseignée. Officiellement, c'est n'est pas au programme de 6e, ni de 5e. De même : $\frac{a}{b} = a : b$ est évident si l'écriture fractionnaire et les décimaux ont été enseignés 9et de préférence les nombres rationnels et irrationnels). Pour toi cela semble naturel et évident... mais c'est juste parce que cela fait des années que tu pratiques cette connaissance. Essaye de te souvenir comment on t'a enseigné les fractions quand tu étais petit.

J’utilise aussi des dessins bien plus parlants pour eux. Mais ça me semble important de laisser une trace écrite de démonstration (même si cela ne leur parle pas pour la plupart dans l'immédiat, peut-être que dans quelques années ils reliront les cours et avec le recul comprendront. Ca leur évitera de se retrouver à ma place (chercher à comprendre pourquoi des propriétés énoncés par mes anciens professeurs étaient vraies).

Comme la définition plus haut, une bonne démo est celle que les élèves comprennent et par laquelle ils sont convaincus. Pourrais tu nous montrer ces dessins?

Bonsoir YvesM,

je suis désolé mais je ne vois pas... My bad.

Pourtant c'est la meilleur réponse à ta question ;-) :-P

Dom · April 2020

Bonjour vorobichek,

Je suis étonné de ton premier paragraphe.
Tu parlais de ne surtout pas abaisser le niveau et tu sembles refuser de définir proprement des objets mathématiques essentiels.
Mais je me trompe peut-être.

1) Aussi critiques-tu les symboles « appartient » et « N » ou le fond que l’on peut écrire en français « soit n un entier naturel » ?

2) Es-tu sérieuse également pour le quotient de deux nombres ?

Je ne sais pas si tu pratiques l’ironie, à vrai dire.
Cordialement
Dom

vorobichek · April 2020

@Dom, on peut définir de façon compréhensible, pas à 100% rigoureux, mais pas faux non plus. Non, je ne critique pas les symboles, mais il faut les définir. Pour les entiers naturels il faut bien raconter que c'est un ensemble, il faut bien donner la notation ensembliste, donner l'ordre etc. Je me trompe peut-être, mais quelque chose me dit que @shinitchi n'a pas pensé à le faire.

2) Es-tu sérieuse également pour le quotient de deux nombres ?

Je n'ai rien contre la définition d'un quotient. Par contre définir une fraction comme "le quotient de $a$ par $b$"... Je n'ai pas encore eu d'élèves qui comprennent une telle définition. Ils ont plutôt un regard vide. Bons lycées ou les étudiants - oui, ils comprennent... s'ils maitrisent les fractions. Je pense qu'il y a deux choses :
- l'élève ne comprend pas les nombres et en particulier les fractions
- il ou elle ne maîtrise pas le quotient et le fait de définir quelque chose en faisant recours à un concept mathématique non encore assimilé... embrouille l'élève.

Je ne sais pas si tu pratiques l’ironie, à vrai dire.

Non. Je suis désolée, mais j'ai souvent l'impression que vous oubliez que le cours est sensé être accessible à tous les élèves. Les petits 6e ont un vocabulaire limité (c'est normal!!!), n'ont presque pas de vocabulaire maths (encore une fois c'est normal), certains ont des fausses connaissances. C'est délicat. Quand on apprend une nouvelle langue, on commence par des textes simples.

shinitchi · April 2020

@ Vorobichek

vous m'avez fracassé lol. Toutes ces années passées à réfléchir à la construction de cours pour me rendre compte en quelques lignes que je me casse la tête pour rien. Je le prends avec humour évidemment. Si j'avais été susceptible, j'aurais probablement pleuré.

Plus sérieusement, vous avez raison de dire que c'est incompréhensible pour la plupart des élèves. J'ai le sentiment (mais je peux me tromper) que les mathématiques sont inaccessibles pour quiconque ne réfléchissant pas. Partant de là, j'accepte l'idée que beaucoup ne comprendront malheureusement pas l'intégralité de ce que je leur raconterai.
Je reconnais aussi que j'aurais dû préciser que la définition que j'ai posée en début de poste n'est pas exactement ce qui apparaît sur un cours de 6ème bien que si on détaille au préalable les notations $\in$, $\mathbb{N}$, ça ne me semble pas si incompréhensible que cela d'autant que cette définition est évidemment accompagnée d'exemples numériques.

Vous avez raison aussi de dire qu'ils ne maîtrisent pas le calcul littéral. Toutefois, si je veux définir rigoureusement la définition de la multiplication, je ne vois pas d'autres moyen de le faire qu'avec les lettres pour généraliser. Et puis, comme c'est accompagné d'exemples, l'analogie entre les lettres $a$ et $n$ et les nombres associés ne m'apparaît pas insurmontable pour un élève de 6° qui se donne la peine de réfléchir un tout petit peu. Pour les autres, l'exemple numérique suffit à comprendre la notion.

Je n'ai pas trouvé ce que vous entendez par "à l'ancien" mais je n'ai pas cherché à vrai dire.

Pour $\dfrac{a}{b} = a \div b$, vous avez raison, ça n'a de sens que lorsqu'on a enseigné les nombres décimaux et la notion de fraction. Je n'ai pas précisé non plus dans le poste mais c'est là que j'en suis (les décimaux ont été enseignés et je suis en plein chapitre sur les fraction donc la notion a été abordée). Par contre, je n'ai pas besoin d'enseigner la multiplication par une fraction finalement. Comme l'a dit Maxtimax, juste avec la définition par un nombre entier on a :

$\left(\dfrac{1}{b} \times a \right) \times b = \left(\underbrace{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + ... \dfrac{1}{b}}{\text{$a$ termes $\dfrac{1}{b}$}}\right) \times b= \underbrace{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + ... \dfrac{1}{b}}{\text{$a + b$ termes $\dfrac{1}{b}$}} = \left(\underbrace{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + ... \dfrac{1}{b}}{\text{$b$ termes $\dfrac{1}{b}$}}\right) \times a = a$ donc $\dfrac{1}{b} \times a$ est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$.

Cela à du sens à moins qu'il y ait une erreur que je n'ai pas remarquée (tout à fait possible).

Pour la notion de démonstration, c'est sûr qu'une démo compréhensible par tous est l'idéal. Néanmoins, c'est rarement le cas. J'accepte l'idée qu'un élève ne comprendra toutes les démonstrations à l'instant $t$ mais que dans quelques années, il saisira. Je pense ainsi de par mon expérience en tant qu'étudiant.

Pour le dessin en guise d'illustration sur un exemple numérique, j'imagine la droite des réels (je ne prononcerai pas le mot "réels" mais axe gradué plutôt) sur laquelle je place 0, 1 et un nombre 6 par exemple. Je trace la portion de la droite "située entre 0 et 6". Ce segment représente la quantité $6$. Je partage ce segment en $5$ parts égales. Une de ces parts représente la quantité $\dfrac{6}{5}$ puisque si je multiplie cette quantité par $5$, j'obtiens $6$.
Ensuite, juste en-dessous, je trace un nouvel axe gradué en prenant soin d'aligner les 0 des deux axes. Je partage une unité en $5$ parts égales. Une de ces parts représente le nombre $\dfrac{1}{5}$ et si je multiplie cette quantité par $6$, je vois de part l'alignement des deux axes que j'arrive au même endroit que $\dfrac{6}{5}$. C'est l'idée générale qui ne vous conviendra peut-être pas.

Pour la réponse de Yves M, je ne vois toujours pas, my bad again...

Je fais du mieux que je peux mais de toute évidence, je ne peux pas beaucoup sur la multiplication et les fractions.

Dom · April 2020

Pour moi $a/b=a\div b $ n’est pas une définition.
Ou alors qu’on me dise ce qu’est $a\div b$.

Dom · April 2020

La définition de $a/b$... qu’est-ce que ça peut-être d’autre ?

Vorobichek : comment ne pas définir une fraction comme un quotient ?
Là encore, je ne comprends pas de quoi on parle.
Une fraction, est-ce un nombre ? Pour moi, oui c’est un nombre.
Mais peut-être est-ce autre chose ?

La définition que je propose :
Si c’est enseigné et martelé, d’une part ça rentre et d’autre part ça permet de faire plein de choses ensuite.
Avec le bémol : si on ne veut pas la connaître, on n’arrive à rien.

vorobichek · April 2020

@shinitchi,

J'ai le sentiment (mais je peux me tromper) que les mathématiques sont inaccessibles pour quiconque ne réfléchissant pas.

Cela s'apprennent progressivement... si c'est enseigné :-P

Partant de là, j'accepte l'idée que beaucoup ne comprendront malheureusement pas l'intégralité de ce que je leur raconterai.

Pour moi ce n'est pas acceptable. Que 1-3 élèves sur 30 ne comprennent pas - ok, mais pas plus. Les nombres et les calculs, c'est c'est qu'il y a le plus simple en cours de maths au collège.

Je n'ai pas précisé non plus dans le poste mais c'est là que j'en suis (les décimaux ont été enseignés et je suis en plein chapitre sur les fraction donc la notion a été abordée).

Quand $a : b = \frac{a}{b}$ il s'agit de l'écriture fractionnaire. Pour moi c'est un chapitre à part et ne doit pas être mélanger avec les fractions. Et enseigner les décimaux avant les fractions... c'est assez étrange. Je m'excuse pour la dérive, mais comment dans ce cas tu définis un nombre décimal et l'écriture du nombre "avec la virgule" avant les fractions? Normalement c'est :
\[ \frac{25}{8} = \frac{24}{8} + \frac{1}{8} = 3 + \frac{125}{125} \cdot \frac{1}{8} = 3 + \frac{125}{1000} = 3 + 0.125 = 3.125\]
Donc les élèves doivent connaitre les entiers naturels, les fractions, les 4 opérations avec les entiers et les fractions, savoir extraire la partie entière d'une fraction.

Pour la notion de démonstration, c'est sûr qu'une démo compréhensible par tous est l'idéal. Néanmoins, c'est rarement le cas.

Nuance : en France post-2000. ;-) Bon, ok, même dans des supers systèmes ce n'est pas tous les élèves qui comprennent, mais en pourcentage ils sont beaucoup plus nombreux qu'en France. En tout cas il ne faut pas partir du principe : seuls "excellents" élèves comprennent mon discours, donc il n'y a rien à améliorer.

Pour le dessin en guise d'illustration sur un exemple numérique, j'imagine la droite des réels (je ne prononcerai pas le mot "réels" mais axe gradué plutôt) sur laquelle je place $0$, $1$ et un nombre $6$ par exemple. Je trace la portion de la droite "située entre $0$ et $6$". Ce segment représente la quantité $6$. Je partage ce segment en $5$ parts égales. Une de ces parts représente la quantité $\frac{6}{5}$ puisque si je multiplie cette quantité par 5, j'obtiens 6.
Ensuite, juste en-dessous, je trace un nouvel axe gradué en prenant soin d'aligner les 0 des deux axes. Je partage une unité en $5$ parts égales. Une de ces parts représente le nombre $\frac{1}{5}$ et si je multiplie cette quantité par $6$, je vois de part l'alignement des deux axes que j'arrive au même endroit que $\frac{6}{5}$. C'est l'idée générale qui ne vous conviendra peut-être pas.

Ouf, je trouve que c'est un peu trop tordu (:D Je n'arrive pas à suivre. D'abord tu partages $6$ en $5$ parts et tu obtiens $1,2$. Puis tu partages une unité en $5$ parts égales et tu obtiens $0,2$. Comment est-ce possible que $1,2\times 6 = 0,2\times 6$?
Pourquoi ne pas dire simplement que le trait vertical est un "synonyme" de la division $\div$ ? Ils savent diviser $132$ par $12$, c'est égale à $11$. Or $11$ est une fraction :
\[11 = \frac{22}{2} = \frac{33}{3} = \frac{44}{4} = \dots = \frac{110}{10} = \frac{121}{11} = \frac{132}{12}\]
Ou avec deux plaques de chocolats ci-joint.

Pour la réponse de Yves M, je ne vois toujours pas, my bad again...

Pour n'importe quel nombre on peut écrire $\times 1$. Par exemple : $2 = 2 \times 1 = 1 \times 2$, $\frac{2}{3} = 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times 1$, $\frac{6}{5} = \frac{6\times 1}{1 \times 5} = \frac{6}{1} \times \frac{1}{5} = 6 \times \frac{1}{5}$. J'espère que j'ai bien compris @YvesM

Je fais du mieux que je peux mais de toute évidence, je ne peux pas beaucoup sur la multiplication et les fractions.

Si la grosse majorité de ma classe ne comprend pas, soit je change l'approche et les exemples, soit je reviens au fondamentaux autant que je peux. Les manuels anciens ou étrangers (anglais et russe) m'aident énormément. 99772

vorobichek · April 2020

@Dom, comme ceci :

On appelle fraction l'ensemble de deux nombres entiers non nuls écrits l'un au-dessus de l'autre et séparés par un trait horizontal.

Ou encore comme cela :

Une fraction est un nombre qu'on peut écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a$, $b$ sont des nombres entiers et $b$ est différent $0$.

Dom · April 2020

Heu... c’est n’importe quoi ça, non ?

Def 1 : « Une fraction est un ensemble de deux nombres [...] écrits l’un au dessus de l’autre séparés par un trait » ???
C’est tout simplement faux, et ça ne dit rien... une fraction n’est donc pas un nombre ?
Surtout le lien entre ces deux nombres, où est-il ? Ça c’est plutôt une sorte de description d’une manière d’écrire un nombre (mais on ne sait pas lequel).

Def 2 : « Une fraction est un nombre qu’on peut écrire sous la forme a/b [...] ou b est non nul.»
Mais ça ne dit rien du lien entre les nombres a et b, et c’est la seule chose qui est essentielle.

Autant ne rien écrire et garder les dessins avec les tablettes de chocolat, à ce compte là.
Je suis bien étonné.
Ou alors il s’agit de raccourci dans les définitions et non de celles écrites complètement dans le cahier ?

Je ne comprends pas pourquoi on ne devrait pas dire ce qu’est un quotient proprement.
Je préfère même l’illustration par dix-mille exemples que ces phrases qui ne contiennent rien de mathématiques.

Remarque :
Il y a un glissement sémantique, voire un mélange confus des termes.
Il me semble qu’on parlait de quotient. Puis de la notation en écriture fractionnaire.
Enfin, le terme « fraction » possédant diverses acceptions ne m’intéresse pas trop mais c’est un sujet intéressant cependant (voir des fils d’engueulades sur ce forum à ce sujet).
La deuxième « définition » me fait plutôt penser à la définition du terme rationnel et est valable telle quelle si l’on a vu « avant » ce qu’est un quotient, et sa notation en écriture fractionnaire.

Dom · April 2020

Une chose que je trouve étrange aussi :
« Pour moi ce n'est pas acceptable. Que 1-3 élèves sur 30 ne comprennent pas - ok, mais pas plus.»

Pour tout le monde c’est n’est pas acceptable. Mais selon les élèves avec qui tu vas travailler tu vas devoir t’y faire.
Avec un peu d’expérience dans des « zones sensibles » (c’est pudiquement dit) ce seront 1-3 élève sur 30 qui comprendront ce que tu racontes.
Bon mais c’est un autre débat et je suis d’accord que 3/30 est une exagération...

vorobichek · April 2020

@Dom, les deux définitions viennent des manuels français qui sont vénérés sur ce forum. ;-) Un manuel est de l'époque avant maths modernes.

C’est tout simplement faux, et ça ne dit rien... une fraction n’est donc pas un nombre ?

Et en quoi c'est faux? Je ne mets pas ici les 2 pages d'explications et exemple. Mais c'est très claire que c'est un nombre.

Surtout le lien entre ces deux nombres, où est-il ?

Quel lien (je ne plaisante pas)? Imagine qu'un élève te demande "quel lien, Monsieur?". Tu réponds quoi? Et donne moi une fraction, à l'exception de $0/b$, qui ne vérifie pas cette définition.

Il me semble qu’on parlait de quotient.

Tu oublies qu'avant les maths modernes et les Bourbakistes, les maths et les mathématiciens existaient! Ce n'étaient pas des fausses maths. Et tu oublies que seuls les français sont a ce point pointilleux sur les symbols et les mots, heureusement pas tous. Les deux définitions, utilisaient couramment en France il y a quelque dizaines d'années, le sont toujours dans le monde. Tu peux vérifier sur wiki avec google translate.

La deuxième « définition » me fait plutôt penser à la définition du terme rationnel et est valable telle quelle si l’on a vu « avant » ce qu’est un quotient, et sa notation en écriture fractionnaire.

Oui, l'ensemble des nombres rationnels noté $\mathbb{Q}$. J'ai l'impression que "une fraction" en tant que nombre, cela n'existe pas pour toi. Il n'y a que l'écriture fractionnaire. Quand tu as $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{5}$, tu dis "additionne ces deux quotients" ou "additionne ces deux fractions"? Si c'est le deuxième cas, donc une fraction est un nombre?

Dom · April 2020

0) Je ne connais aucun manuel vénéré et encore moins sur ce forum.
Peux-tu préciser ?

1) l’un des points le plus stupéfiant à mon avis : en quoi dire qu’une fraction est « deux nombres séparés par un trait » c’est dire très clairement que c’est un nombre ?
Pour moi le plus clair est de commencer par écrire explicitement que c’est un nombre. Les élèves ne seraient pas capables de comprendre ça non plus ? C’est « bourbakisto-maniaco-rigoriste » ?
Là encore. C’est peut-être ma façon de voir les choses mais appeler ça « définition » est une escroquerie d’une part et d’autre part ça ne définit pas ce que c’est mathématiquement.

2) le lien : (a/b) x b = a.
C’est pour moi l’essentiel.
On définit bien le nombre « 1/10 » par 1/10 x 10 = 1.
Ha non peut-être pas tout le monde...

3) c’est effrayant ! Mais je ne vais même pas vérifier.
De quelle date on parle exactement, à la décennie près ?
Aussi c’était sur le terme « quotient » que tu répondais. Il daterait des années 2000 ? 1980 ?
Pas avant les maths modernes ? Les mathématiciens n’ont donc jamais utilisé le terme de « quotient » ?
Bizarre tout ça.

4) bon alors pour moi une fraction est un nombre mais c’est aussi sa représentation avec deux entiers et une barre que l’on appelle fraction aussi (autre acception).
Pire, une fraction d’un nombre peut même ne pas être rationnelle dans le langage courant (c’est une partie, un morceau), c’est bien ballot.
Est-ce bien pertinent alors ? es-tu d’accord que $0,4$ est une fraction ? non ? alors que $\dfrac{4}{10}$ l’est ? Mais pas $\dfrac{2\pi}{5\pi}$ ? Ce sont donc les mêmes nombres mais un seul s’appelle fraction...hum...
Pour tant $4/10$ est une fraction (le nombre on a dit « c’est clair ! ») mais alors $0,4$ est-il « deux nombres séparés par une barre » ?
Je te réponds pour ta dernière question, je dis « somme de deux quotients en écriture fractionnaire ».
« Somme de deux nombres » et « somme de deux fractions » est une manière abusive de dire « somme de quotients en écriture fractionnaire » selon l’acception choisie...

Tentons une synthèse :
Tu choisis de désigner par le terme « fraction » un nombre (c’est clair apparemment !) puis tu dis qu’une fraction c’est avec « deux nombres séparés par une barre ».
Je pense que tu parles donc de l’écriture du nombre mais pas dudit nombre.

Que de confusions comme je disais à la fin de mon message précédent.
Mais si les mots ne sont pas importants, ni même les symboles...et que « c’est très français »...

Sato · April 2020

Ça me gêne de dire qu’une fraction est un nombre, ce serait plus précis de dire que c’est une représentation d’un nombre. En anglais il y a numeral et number.

Dom · April 2020

Il faut être cohérent : si ce n’est pas un nombre, alors on ne peut pas additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions.
Mais je suis d’accord pour quasiment bannir ce mot. Dans ma sémantique je n’utilise quasiment jamais le terme « fraction » ou uniquement dans « écrire les résultat sous la forme d’une fraction » ou « en fraction » ou « en fraction irréductible ».

Une fraction (de nombres entiers), dans le supérieur, c’est une classe de couples de nombres entiers (la relation d’équivalence est celle du produit en croix) mais on l’identifie à un seul nombre réel. Celui qu’on appelle quotient des deux nombres.

vorobichek · April 2020

@Dom : hum hum hum. Juste au cas où : on parle du collège/lycée ici. Votre définition est juste à utiliser dans le post BAC, c'est tout.

Là encore. C’est peut-être ma façon de voir les choses mais appeler ça « définition » est une escroquerie d’une part et d’autre part ça ne définit pas ce que c’est mathématiquement.

Le but du collège est de préparer les élèves à faire une thèse en maths fonda? Comme disaient mes profs de maths au collège/lycée : une définition que les élèves ne comprennent pas n'est pas une définition.

2) le lien : (a/b) x b = a.
C’est pour moi l’essentiel.

C'est l'essentiel uniquement en France. Et du point de vu pédagogique c'est complétement illogique. D'abord on définit le nombre, puis comment on fait les quatre opérations. Or, tu proposes de définir la fraction en utilisant la multiplication des fractions par un entier??? Comme les élèves ne savent pas ce que c'est une fraction et ce que c'est $a/b \times b$, la définition est incompréhensible.

Pas avant les maths modernes ?

Le quotient existe depuis longtemps. Mais le lien sacré dont tu parles, ce sont les Bourbakis... qui, eux, ont appris ce que sont les fractions avec la première définition "moche" et "fausse" de Lebossé-Hemery. En Russie le quotient c'est juste le résultat de la division et uniquement ça. Les définitions des fractions ressemblent à ce que j'ai donné plus haut.

Est-ce bien pertinent alors ? es-tu d’accord que 0,4 est une fraction ? non ? alors que 410 l’est ? Mais pas 2 ? Ce sont donc les mêmes nombres mais un seul s’appelle fraction...hum...

Ce sont des nombres rationnelles. Et 0,4 est une fraction (nombre) en écriture décimale.

Entre 2 définitions, je préfère la deuxième. Toi tu choisis de critiquer la première (d'avant maths moderne). Si je comprends bien, tu n'as rien contre la définition numéro 2? La définition numéro 1 : "C'est claire" quand il y a un cours écrit dans un manuel. Ce genre de manuel de maths n'existe plus en France.

Rescassol · April 2020

Bonsoir,

> En Russie le quotient c'est juste le résultat de la division et uniquement ça

Et qu'est ce qu'une division ?

Cordialement,

Rescassol

vorobichek · April 2020

@Dom,

Une fraction (de nombres entiers), dans le supérieur, c’est une classe de couples de nombres entiers (la relation d’équivalence est celle du produit en croix) mais on l’identifie à un seul nombre réel. Celui qu’on appelle quotient des deux nombres.

Et à un seul nombre rationnel. ;-) Si on maitrise les tables de multiplications, les critères de division, les PGCD et PPCM, les 4 opérations sur les entiers et les fractions, la simplification des fractions, les fractions irréductibles, il est très facile d'enseigner les nombres rationnels et irrationnels. Ce qui, d'ailleurs, se faisait en 5e-4e en France il y a encore quelques dizaines d'années.

Dom · April 2020

"Maths fonda", faut pas pousser quand même...

"Comme disaient mes profs de maths au collège/lycée : une définition que les élèves ne comprennent pas n'est pas une définition."
Ces illustres profs ajoutaient-ils "il vaut mieux donner une définition qui n'en est pas une mais qui soit comprise" ?
C'est hallucinant...

[small]Un petit exemple pour la blague :
Définition : une chaise est un objet que le héros d'un Western balance sur le dos du méchant et qui explose en mille morceaux.
Avec une photo, mieux un extrait de film, ça doit passer je pense pour les élèves.
- Cela ne définit pas une chaise ?!
- Oui, mais avec le film ils ont compris ce qu'est une chaise ! Et c'est bien mieux que ce truc utilisé dans le dictionnaire "Meuble disposé pour que l'on puisse s’asseoir, muni d'un dossier et sans bras, pour une personne." [/small]

"Or, tu proposes de définir la fraction en utilisant la multiplication des fractions par un entier??? "
Mon dieu, tu n'as rien compris à ce que je dis.
On dit qu'il existe un seul nombre $u$ tel que $b\times u = a$.
Je n'ai jamais parlé de fraction avant et je n'en parle pas d'ailleurs.
Et ce nombre $u$, bah puisqu'il est unique, je lui donne un nom "quotient de $a$ par $b$" et j'ai choisi de le noter $\dfrac{a}{b}$. Et je ne parle toujours pas de fraction sauf pour dire que le trait $\dfrac{\qquad}{}$ s'appelle "trait de fraction".
Ok, là on peut envoyer des exemples, un millier si l'on veut.
Les élèves savent tout de suite combien vaut : $6\times \dfrac{4}{6}$, sans calcul.
Ils peuvent aussi calculer : $60\times \dfrac{4}{6}$, facilement avec un peu de pratique.

"En Russie le quotient c'est juste le résultat de la division et uniquement ça."
Comme déjà demandé par Rescassol, que je salue, c'est quoi "la division" ?
Quelle définition se cache derrière ?

"Et 0,4 est une fraction (nombre) en écriture décimale"
Haaaaa ! Donc $0,4$ est bien un "ensemble de deux nombres entiers non nuls écrits l'un au-dessus de l'autre et séparés par un trait horizontal" (nombre) écrit en écriture décimale.
Non sérieusement c'est de la rigolade. Il manque un sacré décor pour faire passer tout ça pour des maths, même de 6e.

Si je comprends bien, tu n'as rien contre la définition numéro 2?
Rappelons la définition 2 : Une fraction est un nombre qu'on peut écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$, $b$ sont des nombres entiers et $b$ est différent 0.
Ce n'est pas une définition puisqu'il faut d'abord connaître l'écriture $\dfrac{a}{b}$.
Qu'est-ce que c'est $\dfrac{a}{b}$, au préalable ?
Remarque : par contre, si on connaît la notation $a/b$ alors c'est une définition de ce qu'est un nombre rationnel.

C'est ici le point clé de notre discussion. Tu sembles déjà connaître $a/b$ dans ton discours ou encore "la division".
Peut-être que là se cache un malentendu béant.

shinitchi · April 2020

@Vorobichek
très franchement, il y a beaucoup de choses qui me dépassent dans ce que vous racontez avec Dom (non pas que j'insinue que ce soit faux, mais je ne comprends pas tout simplement). Je ne connaissais pas ce mot Bourbaki, je suis allé faire un tour sur wiki... Je reconnais que c'est de l'extrémisme des mathématiques mais en même temps, là tout de suite, je vois les mathématiques comme de la rigueur extrême (à tort peut-être).
Si je suis venu (et viens de temps en temps) sur ce forum, c'est justement parce que je n'ai pas la réponse à mes questions. Si je me pose ces questions, c'est parce qu'à ces instants, c'est le "foutoir" dans ma tête : je me rends compte qu'il y a des incohérences avec ce que je raconte et ça me déplaît fortement. Mon objectif est de définir proprement un maximum de choses pour justement le rendre accessible à tous. Si un élève ne comprend pas quelque chose qui serait défini clairement, je ne vois pas ce que je pourrais faire de plus. Tout du moins, j'essayerais de chercher une autre façon de lui expliquer mais si je n'y arrive pas, je ne pourrais pas me reprocher de ne pas avoir énoncé les choses clairement. Je me dirais alors : il ne comprend pas pour l'instant mais avec le recul, il y parviendra peut-être, toujours est-il que les choses sont clairement établies et que le reste dépend de lui maintenant.
Tandis qu'en énonçant uniquement une définition "intuitive" non rigoureuse, je dis quoi à un élève qui n'a pas la même intuition que les autres et qui ne comprend pas ? À mon sens, j'ai le sentiment de ne pas avoir fait tout ce que je pouvais pour lui. Certains n'ont pas d'intuition mais une très bonne logique. D'ailleurs de par mon expérience, j'ai réussi à établir des choses uniquement par logique alors que je ne voyais pas du tout (ni de près ni de loin) ce qu'elles allaient être (manque d'intuition clairement). Donc sans définition théorique je le "condamne" à ne jamais pouvoir comprendre. Là son incompréhension ne dépend plus uniquement de lui, j'y ai contribué.

Promis, je me rends bien compte que les définitions théoriques des objets n'ont pas de sens pour beaucoup d'élèves. Vous me direz : en voulant rendre les choses accessibles, vous les rendez inaccessibles. Oui dans l'immédiat pour beaucoup et non à long terme pour quiconque fera l'effort d'essayer de comprendre.
Cependant, ces définitions théoriques sont accompagnées d'exemples/illustrations pour faire comprendre la notion aux élèves d'une part. D'autre part, c'est aussi un moyen de leur apprendre à généraliser les choses. Je le vois comme une transition aux mathématiques pures que certains d'entre eux feront plus tard. Disons que de mon point de vue, au collège/lycée, les définitions théoriques cohabitent avec les (définitions intuitives / les exemples) bien que la théorie soit incomprise au départ pour les élèves. Mais c'est en faisant cohabiter ces deux notions qu'ils font l'analogie entre les deux et qui (à plus ou moins long terme) leur permet d'écrire rigoureusement les choses à leur tour.
Je ne sais pas si je me suis bien exprimé.

Toujours est-il que je ne prétends aucunement avoir raison, sinon je ne serais pas là à me poser des questions. Je vous remercie à tous pour vos réponses qui me permettent parfois d'avancer dans mon questionnement.

shinitchi · April 2020

Je trouve ça scandaleux qu'en tant que professeur de mathématiques (on m'a certifié apte), je ne comprenne pas précisément ce que je suis sensé enseigner ; que je sois incapable de définir proprement les choses. Je ne suis qu'un plot [...] parmi d'autres plots. C'est justement parce que j'en ai marre d'être un plot que je cherche à comprendre et continue d'apprendre à travers vos réponses.

soland · April 2020

Ecrit à l'intention des enseignants dans le primaire, en restant au ras des pâquerettes,
dans l'idée que chaque niveau d'enseignement a son propre niveau de formalisation
et ses propres exigences de rigueur.
L'essentiel est de rester dans le vrai et de confier aux spécialistes les questions difficiles.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

On peut trouver un nombre entier $x$ tel que $3x=15$ ,
on n'en trouve pas qui vérifie $3x=16$ .

Confrontés à cette impossibilité, les mathématiciens ont cherché à passer outre.
Ils y sont arrivés en inventant de nouveaux nombres : les fractions, qui, pour le calcul,
ont les mêmes propriétés que les entiers (relatifs) : On peut les additionner, les soustraire,
les multiplier etc. Les mathématiciens ont tout vérifié, ça fonctionne, on peut leur faire confiance.

Il faut imaginer une fraction comme
un nombre qui, multiplié par certains entiers, redonne un entier.
Ainsi, quand on écrit $3x=16$ , $x$ est une fraction. C'est d'ailleurs la seule qui vérifie cette égalité :
Si $3x=16$ et $3y=16$ , alors, en soustrayant, on obtient
$3(x-y)=0$ et on voit que $(x-y)$ doit être nul, $x$ et $y$ égaux par conséquent.

On ne veut pas récrire $ax=b$ chaque fois qu'il est question de la fraction $x$ .
Les mathématiciens ont retenu la notation $b/a$ pour désigner cette fraction.
Ils appellent $b$ un numérateur de la fraction $x$ et $a$ un dénominateur.
Un numérateur et un dénominateur parce qu'il y en a plusieurs :
Si $(1)\; 6x=10$ et $(2)\,9y=15$ alors $3(1)-2(2)$ donne $18(x-y)=0$ , donc
$x=y=10/6=15/9$ .
Parmi les dénominateurs d'une fraction, il y en a un qui est plus petit que tous les autres.
C'est le dénominateur de la fraction; le numérateur correspondant en est le numérateur.
Par exemple $x=y=10/6=15/9=5/3$ .

Ce texte n'est évidemment qu'une esquisse. Je montre encore comment on additionne deux fractions.

Pour additionner la fraction $x$ définie comme la solution de $(1)\;ax=b$ et la fraction $y$ définie comme la solution de $(2)\;cy=d$ on "touille" ces deux équations pour faire apparaître le terme $(x+y)$ :
$$
\;\text{la combinaison}\;c(1)+a(2) \;\text{donne}\; ac(x+y)=(bc+ad)
$$
et on applique la définition d'une fraction.

zeitnot · April 2020

Ecrit à l'intention des enseignants dans le primaire, en restant au ras des pâquerettes

Çà va sûrement leur donner envie de lire la suite...

shinitchi · April 2020

@ Soland

merci beaucoup pour ta réponse que je trouve très claire.

shinitchi · April 2020

@ Soland

Comment définiriez-vous un nombre décimal ?

soland · April 2020

Dans l'optique du texte précédent :
Une fraction est un nombre décimal si un de ses dénominateurs est une puissance de dix (voir Foys).
En général une fraction $x$ est codée $b/a$ où a est le plus petit dénominateur de $x$ ,
mais une fraction décimale est codée avec un un code à virgule, qui ne correspond pas toujours à une fraction réduite.
Par exemple $x=7/40=175/1000=0.175$

La représentation d'une fraction par l'écriture $b/a$ n'est pas unique, d'où la difficulté du sujet.
En plus on ne peut pas se cantonner à la fraction réduite comme le montre le calcul suivant :
$1/10+1/15=3/30+2/30=5/30=1/6$
En algèbre cela se manifeste comme suit :
Dans toute construction opératoire du corps des fractions intervient une relation d'équivalence.
Encore heureux que dans chaque classe d'équivalence on puisse pointer un représentant standard :
l'écrriture fractionnaire réduite.

Dom · April 2020

Le texte « très clair » est l’introduction et le discours oral du prof. C’est très classique.
Mais qu’en est-il du cahier de cours de l’élève ? J’ai du mal à savoir quel est son contenu. On a le droit d’ailleurs de ne pas proposer de contenu (sauf si l’inspecteur passe par là, mais ça c’est accessoire dans la discussion).

shinitchi · April 2020

Entendu,

multiplier par $3$ une quantité signifie ajouter $3$ fois cette quantité.
multiplier par $x$ une quantité où $x$ est une fraction non entière signifie quoi ?

Je veux dire que $x \times 3 = x + x + x$ mais comment calculer $3 \times x$ qui ne peut être défini comme la répétition $x$ fois du nombre $3$ ?

en reprenant la définition de fraction suivante : une fraction est un nombre qui multiplié par certains entiers redonne un entier. Ca me semble unilatéral :
$\dfrac{a}{b}$ désigne le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$ : $\dfrac{a}{b} \times b =a$
Quel est le nombre qui multipliant $b$ donne $a$ ?
Le même très certainement mais je ne vois pas pourquoi si on prend comme définition de la multiplication par un entier $n$ : "la répétition $n$ fois de la quantité multipliée".
Cette définition me pose problème. Comment la définir autrement ?

Dom · April 2020

C'est un problème pour moi aussi.
Je vais noter : millième ($m$), centième ($c$), dixième ($d$), unité ($1$) si besoin.

$A = \dfrac{3}{100} \times \dfrac{2}{10} $

$A = (3 \ c) \times (2 \ d)$ enfin toi tu notes plutôt $A = (c \times 3) \times (d\times 2)$

La question est "que faire avec ça ?".
On ne se la pose jamais avec des unités physiques (m, L, g) et en calcul littéral on utilise sans problème la commutativité et associativité avec "tous les nombres", même ceux qui ne sont pas entiers.

Une idée : on étend la multiplication des décimaux comme suit (c'est une définition et non un théorème)

$\dfrac{a}{10^n} \times \dfrac{b}{10^m} := \dfrac{ab}{10^{m+p}}$. $(*)$
Remarque :
Je ne dis pas qu'il faut le présenter tel quel devant un 6e. Là je rejoins des propos d'autres intervenants, on peut très bien définir cela avec les puissances $1$, $2$ et $3$ par exemple.
On est même raccord avec les programmes (on peut commencer à s'inquiéter (:P) ) qui, il me semble, vont jusqu'aux millièmes "au moins" donc on peut restreindre aux puissances petites et les écrire.

Une remarque toutefois :
Dès que l'on définit "dixième" et "centième" : l'unique nombre $d$ tel que $d \times 10=1$ et l'unique nombre $c$ tel que $c \times 100 = 1$ on peut déjà regarder ce que donne $d\times d$ mais on ne trouve la réponse que quand on utilise commutativité et associativité ou bien lorsque l'on regarde avec le tableau de numération "c'est quoi un dixième d'un dixième" ou encore "un dixième de 0,1", ou encore "0,01" c'est à dire "un centième".
De même :
- on sait ce qu'est un dixième d'un centième, par exemple en utilisant le tableau de numération.
- on sait ce qu'est un centième d'un dixième, idem (le tableau).
Et ces deux choses sont le même nombre, noté $m$.
On vient de démontrer que $d\times c = m = c\times d$ avec mes notations.
Bien entendu on a traduit le "$de$" par "$\times$" autre difficulté du langage. Et c'est triché car on utilise $\times$ sans en parler...

Cette piste offre "une preuve" (guillemets car c'est à étendre aux autres puissances de dix) que les puissances décimales commutent. Cette preuve est réalisée en français : le nombre dix fois plus petit s'écrit en écriture décimale avec la virgule déplacée d'un cran à droite. C'est la définition même du tableau de numération.
Cela peut fournir une motivation voire une démonstration de $(*)$.

shinitchi · April 2020

@ Soland

petite précision sur la définition de fraction :

"Une fraction est un nombre qui multiplié par certains entiers redonne un entier."

Ne faudrait-il pas préciser que ces entiers qui multiplient ce nombre doivent être différents de $0$ ? À moins que l'on considère que $\pi$ est une fraction car $\pi \times 0 = 0$.
Ou alors, la nuance serait le "s" signifiant qu'une fraction est un nombre qui multiplié par plusieurs entiers différents redonne un entier ? Auquel cas $\pi$ n'est plus une fraction.

Dom · April 2020

Remarque :
Si c’est une définition de « fraction » alors je veux bien qu’on me donne une définition de « nombre rationnel ».
Là encore je trouve cela étrange.
Je pressens que l’auteur a encore en tête l’écriture dudit nombre et non la nature dudit nombre.
C’est la même confusion courante entre « écriture décimale » et « nombre décimal ».
Sauf à considérer que « fraction » et « nombre rationnel » sont synonymes.

shinitchi · April 2020

@ Dom

quelles définition donneriez-vous de

- fraction
- écriture fractionnaire
- nombre rationnel

?

Dom · April 2020

Bonjour,

Le terme « fraction » possède plusieurs acceptions aussi je pense qu’il est important de ne l’utiliser que pour la manière d’écrire un nombre (« écriture en fraction »). Pourquoi ?
On a bien vu dans la discussion que pour certains, tantôt c’est le nombre lui même et que tantôt c’est la manière de l’écrire qu’on appelle fraction. On a accès d’ailleurs à plusieurs confusions à cause de ça.
Je propose un texte clair (enfin je l’espère).
Remarque : je choisis les nombres $a$, $b$ et $x$ non nuls pour aller plus vite mais on peut étendre à $a=0$ (et $x=0$) tout ce qui suit.

-.-.-.-début du texte-.-.-.-

Théorème - Définition : quels que soient les nombres $a$ et $b$ non nuls, il existe un unique nombre $q$ appelé le quotient de $a$ par $b$ tel que $bq=a$ (on a aussi $qb=a$ sans se poser de question sur la commutativité).

Remarque : ce nombre $q$, c’est ce que l’on cherche quand on pose la division (décimale, pas euclidienne !) de $a$ par $b$, où les deux nombres sont décimaux (et en écriture décimale) et que l’on n’arrête pas l’algorithme sauf si l’on tombe sur un reste nul.
C’est une manière de trouver une écriture décimale de $q$.
On a : $q=a\div b$.

Notation : quels que soient les nombres $a$ et $b$ non nuls, on note $\dfrac{a}{b}$ le quotient de $a$ par $b$.

Définition : quels que soient les nombres $a$ et $b$ non nuls, l'écriture $\dfrac{a}{b}$ s’appelle une écriture fractionnaire.
Dans cette écriture, le trait s'appelle trait de fraction, le nombre $a$ s’appelle le numérateur et le nombre $b$ s’appelle le dénominateur.

Définition : quels que soient le nombre $x$ (non nul), dire que $x$ est rationnel signifie qu’il existe deux nombres entiers $a$ et $b$ non nuls tels que $bx=a$ (ou si on préfère tels que $x=\dfrac{a}{b}$).

Définition : une écriture en fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.

Remarque : par abus de langage on lit parfois « somme de fractions » pour dire « somme de quotients (ou nombres) en écritures en fraction ».

_._._._fin du texte_._._._

J’espère avoir levé tous les lièvres.
L’essentiel en 6e est la manière d’écrire les nombres.
On s’occupe un peu moins de leurs natures.
Natures vues : nombre entier, nombre décimal, nombre rationnel (plutôt en 4e).
Écritures vues : avec tableau de numération, en lettres (en français), « décomposées », en somme, en différence, en produit, en quotient, écriture décimale, écriture fractionnaire, écriture en fraction.

Cordialement

Dom

FLEURISTIN · April 2020

Très propre. Je n'aurai pas fait mieux.

nicolas.patrois · April 2020

Il y a un bon petit article sur le problème entre écriture et signification dans le dernier numéro du bulletin vert de l’APMEP : Nombres et écritures de nombres de Pascal Michel.

shinitchi · April 2020

@ Dom

eh bien, ça me semble clair en effet. Je ne vois pas d’ambiguïté (cela ne signifie pas qu'il n'y en ait pas car je n'ai pas de recul et je ne vois pas très bien sur ce sujet d'où mes questions). Toujours est-il que ça me convient bien dans l'immédiat.

Je vous remercie sincèrement pour l'ensemble de vos réponses qui me permettent d'avancer dans mon apprentissage. Ce n'est pas la première fois que vous répondez à mes questions.

Bien à vous.

Dom · April 2020

À ton service.
Ici, sur le forum, tout le monde apprend plein de trucs, tout le monde.

C’est assez génial.

À bientôt.

Sato · April 2020

Ne faut-il pas réserver les mots de numérateur et dénominateur aux fractions (avec des nombres entiers, et non plus généralement écritures fractionnaires) ?