Multiplication sur les décimaux
Bonjour à tous,
on se place en 6ème avec la définition de la multiplication suivante : Soit a un nombre et n un entier positif, $a\times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n \text{ termes } a}$.
Définie comme telle, on montre facilement qu'elle est commutative, associative et distributive pour l'addition si on la restreint sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$.
Par contre, je ne peux en dire autant sur $\mathbb{D} \times \mathbb{N}$ étant donné que :
$0{,}3 \times 2 = 0{,}3 + 0{,}3 = 0{,}6$ mais $2 \times 0{,}3$ n'est pas défini.
Du coup ma question est : comment expliquer proprement à un élève la multiplication décimale ? J'aurai besoin du minimum de définition.
$2 \times 0{,}3 = 2 \times \dfrac{3}{10} = 2 \times \dfrac{1}{10} \times 3$ mais là... Je ne vois pas ce qui justifierait que je puisse commuter $2$ et $\dfrac{1}{10}$.
En vous remerciant par avance.
on se place en 6ème avec la définition de la multiplication suivante : Soit a un nombre et n un entier positif, $a\times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n \text{ termes } a}$.
Définie comme telle, on montre facilement qu'elle est commutative, associative et distributive pour l'addition si on la restreint sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$.
Par contre, je ne peux en dire autant sur $\mathbb{D} \times \mathbb{N}$ étant donné que :
$0{,}3 \times 2 = 0{,}3 + 0{,}3 = 0{,}6$ mais $2 \times 0{,}3$ n'est pas défini.
Du coup ma question est : comment expliquer proprement à un élève la multiplication décimale ? J'aurai besoin du minimum de définition.
$2 \times 0{,}3 = 2 \times \dfrac{3}{10} = 2 \times \dfrac{1}{10} \times 3$ mais là... Je ne vois pas ce qui justifierait que je puisse commuter $2$ et $\dfrac{1}{10}$.
En vous remerciant par avance.
Réponses
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La seule bidouille que j’ai trouvée : le 1/10 est un changement d’unité.
C’est comme passer de $m$ à $dm$.
Mais je reconnais que ce n’est pas propre. -
Bonjour,
"On ne peut en dire autant sur DxN", car il s'agit d'une loi interne, qui opère donc sur DxD. -
Leysenne définit la multplication du multiplicande par un multiplicateur par la répétition (l'addition). Puis il explique comment multiplier par 0,1 , par 0,01 etc (prendre 0,1 de 5, c'est rendre 5 dix fois plus petit, etc.). À partir de là, on peut multiplier par 0,27 si l'on veut (c'est 27 fois un centième). De cette façon, il a la multplication de tous les décimaux entre eux.
Puis il érige des principes relatifs à la multiplication, dont le premier est la commutativité (sans ce mot mais exprimé en français courant relevé).
Je ne vois pas trop comment démontrer la commutativité avec des définitions informelles des nombres. Si quelqu'un a une idée ? Cependant, en ramenant la multiplication des décimaux à des multiplications d'entiers, cela se voit sur une figure. -
@ Felix :
je ne comprends pas votre réponse, ma définition de la multiplication par un entier énoncée plus haut n'exclut pas que le multiplicande soit un décimal non entier.
@ Dom :
mouais, c'est pas propre et en même temps, à défaut de mieux...
@ Sato :
si je suis bien, on pose la définition suivante : $\times 0{,}1 := \div 10$. Auquel cas, on a bien : $5 \times 0{,}1 = 5 \div 10 = 0{,}5$. En revanche, ça ne me semble pas évident que $5 \times 0{,}3 = 1{,}5$ : $5 \times 0{,}3 = 5 \times (3 \times 0{,}1)$ et là je bloque. Comment justifier que c'est aussi égal à $(5 \times 3) \times 0{,}1$ ? -
Regarde ce fil, tu auras peut-être des pistes pour adapter ça à des sixièmes :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1904304,1905574
Le principe est d’inverser 2 et 5 dans un nouvel anneau qui contient $\mathbb{Z}$ et ces deux inverses, comme quand tu construis $\mathbb{C}$ en ajoutant $i$ à $\mathbb{R}$.
Tu conserves les propriétés algébriques de $\mathbb{Z}$ donc je ne pense pas que ce soit utile de les redémontrer puisque justement, la construction les conserve par principe.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Et si on dit qu'on étend la multiplication. Plutôt ainsi : $5 \times 0,3 := 5 \times (0,1 \;\textrm{multiplié par}\; 3) := (5 \times 0,1) \times 3$
-
@ Sato :
eh bien, oui en effet vous avez raison. Si $a \in \mathbb{D}^+$, $b \in \mathbb{N}$ et $n \in \mathbb{N}$, on peut poser la définition suivante :
$a \times \dfrac{b}{10^n} := \dfrac{a}{10^n}$ $\times$ $b$ où $\times$ désigne la multiplication définie précédemment.
De cette façon, cette nouvelle définition est une extension de la précédente et possède toutes les propriétés (commutativité, associativité et distributivité sur l'addition) sur $\mathbb{D}^+ \times \mathbb{D}^+$.
C'est évidemment très lourd et indigeste comme définition surtout pour un élève de 6ème mais si on veut donner du sens à $3 \times 0{,}2$ comment faire autrement ?
Cela répond toute fois à ma question. Je vous en remercie. Cette définition permet une construction rigoureuse de la multiplication sur $\mathbb{D}$ (enfin j'ai l'impression que c'est le cas)... -
C’est ça.
Je n’ai rien trouvé de mieux que de parler d’extension.
C’est plutôt une nouvelle définition qu’un théorème.
En effet comme dit plus haut : les décimaux sont des entiers de dixièmes ou des entiers de centièmes etc.
Ça aide.
C’est d’ailleurs grâce à ça qu’on illustre (voire démontre) que multiplier deux décimaux revient à savoir multiplier deux entières « en effaçant les virgules » (beurk lol).
Je préconise d’ailleurs de ne pas écrire les virgules quand on pose les multiplications. -
@shinitchi
Ce n'est pas l'objectif du collège. Tu ne peux pas donner les définitions qu'utilisent les mathématiciens français, qui ont une certaine vision excessivement rigoureuse.Cela répond toute fois à ma question. Je vous en remercie. Cette définition permet une construction rigoureuse de la multiplication
Comme tes deux sujets concerne les définitions des nombres et comme le sujet revient régulièrement, je vais créer un file unique où on peut en discuter. (:D -
@ Vorobichek
vous avez encore raison de dire que ce n'est pas l'objectif du collège. Mais j'avoue ne pas comprendre tous les objectifs du collège d'une part et être en désaccord avec certains que je pense comprendre.
J'ai encore l'impression que sans une construction rigoureuse des éléments, on ne bâti rien.
Avec trop de rigueur, on bâti très peu à court terme, j'en convient, mais cela permet d'avancer à très long terme et surtout d'éviter que tout s'effondre. -
@shinitchi, un simple exemple: le point. Faut-il définir cet objet géométrique rigoureusement au collège et lycée ou il suffit d'utiliser l'intuition et le fait que tout le monde sait ce que c'est un point?
Pour toi la construction rigoureuse ce sont des définitions avec maximum de précision et dans l'idéal telles qu'elles sont utilisés par les chercheurs en maths. Pour moi une construction rigoureuse, c'est d'avancer pas à pas, notion par notion, de partir des bases. Si on fait la géométrie euclidienne, on part des bases (les axiomes) et on démontre un par un les théorèmes qui en découlent, puis les théorèmes qui découlent de ces théorèmes.J'ai encore l'impression que sans une construction rigoureuse des éléments, on ne bâti rien.
On a maintenant suffisamment de reculs et de stats en France pour dire que non. C'est exactement le contraire qui se produit. Les lacunes s'accumulent à tel point que l'élève n'avance plus du tout. J'ai des étudiants avec BAC ES en poche qui ne savent pas multiplier le nombre par $-1$ sans calculette. Les fractions? L'année dernière aucun de mes étudiants français ne les maitrisaient.Avec trop de rigueur, on bâti très peu à court terme, j'en convient, mais cela permet d'avancer à très long terme et surtout d'éviter que tout s'effondre. -
Là je suis d’accord sur un point : « le point » (:P)
C’est un objet primitif. Il ne faut pas le définir et du coup SURTOUT NE PAS ÉCRIRE : « Définition : un point est ... ».
Idem pour le segment et la droite (et demi-droite).
Je préconise de dire que ce sont des notions intuitives.
Un désaccord sur la fin :
Le recul dont tu parles n’est-il pas justement le fait de faire de plus en plus de ludique depuis 30 ans ?
De retirer la géométrie rigoureuse ? Les démonstrations ? Le calcul littéral ?
Bon ça devient peut-être idéologique et c’est une discussion déjà maintes fois reprises.
Là où je veux quand même qu’il n’y ait pas de malentendu : il est faux de dire qu’on est de plus en plus rigoureux et que c’est cela qui a créé la situation actuelle sur le niveau des étudiants. -
@Dom
Oui. Mais "le ludique" est en même temps accompagné par les définitions de plus en plus "rigoureuses", abstraites et issues de nul part.Le recul dont tu parles n’est-il pas justement le fait de faire de plus en plus de ludique depuis 30 ans ?
Et si on supprime les ateliers d’introduction, on gagne tout de suite 1/3 de temps! Si on arrête le spiralage stupide qui consiste à "apprendre un peu, puis oublier, puis reapprendre la même chose l'année d'après" on gagne encore du temps. Du coup pas besoin de supprimer les choses!De retirer la géométrie rigoureuse ? Les démonstrations ? Le calcul littéral ?
Non, j'ai bien dit cela. Plus on essaye de se rapprocher de vos définitions "rigoureuses", moins on est pédagogue.Là où je veux quand même qu’il n’y ait pas de malentendu : il est faux de dire qu’on est de plus en plus rigoureux et que c’est cela qui a créé la situation actuelle sur le niveau des étudiants. -
Pour la fin du message : mais justement, "On ne l'est pas", en France, de plus en plus rigoureux.
Donc ton assertion ne vaut plus rien (elle reste vraie car Faux => Vrai est Vrai).
Crois-tu vraiment qu'en 1980 les profs de maths étaient moins rigoureux qu'aujourd'hui, en France ?
C'est ça que je ne comprends pas.
Bon il y a toute la panoplie collège unique, discipline dans les classes, élève au centre des apprentissages, etc. aussi, mais ça glisse en digression.
J'attends juste une confirmation de cette assertion : "en 1980 les profs de maths étaient moins rigoureux qu'aujourd'hui, en France ".
Je dis que ce qui est en bleu est faux. Dis-tu que c'est vrai ? -
@ Vorobichek
complètement d'accord pour le "point". Je ne vois pas de définition convenable. Pour les axiomes, c'est pareil. En fait, en voulant apporter des définitions théoriques à un maximum de choses, je dois essayer de repousser mon incapacité à les expliquer. Tout du moins, j'essaye de minimiser les éléments admis comme intuitif (réduire ce que j'appellerai les axiomes de l'élève).
Pour le segment, je dis : le segment [AB] est l'ensemble des points qui se trouvent sur le "chemin" le plus court reliant A à B.
Rien que ça, ça me pose problème mais c'est à défaut de mieux. Je pars du principe que le point n'a pas de définition et est compris par tous en amenant cette "définition du segment". Je pars aussi du principe que tout le monde sait ce qu'est le chemin le plus court entre deux points... Ce n'est pas satisfaisant pour autant mais là tout de suite, je n'ai rien de mieux alors je n'ai pas le choix. Ce n'est pas faut d'y avoir réfléchi.
Je crois dans l'ensemble qu'il faut combiner la rigueur et l'intuition (autant qu'on le peut) pour permettre aux élèves (qui continueront les mathématiques à un certain niveau) de ne pas se sentir perdu au moment où il n'y aura plus d'intuition ou là où le concret ne suffit plus (espaces de dimension infinie entre autres). -
Pour le segment tu as raison d’évoquer le chemin le plus court.
C’est ce que je préconise aussi.
Ajouter l’adverbe « intuitivement » permet de balayer les problèmes de rigueur.
Mais je préfère ne pas dire « définition ». Et ce n’est pas grave. -
With no bidouille :
$$
35.6\times 0.032 =\frac{356}{10^1} \times \frac{32}{10^3} = \frac{356\times32}{10^1\times 10^3} = \frac{11\,392}{10^4}=1.1392
$$ -
C’est une bidouille tant qu’on ne justifie rien ou ne définit rien.
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Bonjour!
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