Quantifier jusqu'à plus soif, ou non?

Je pense que dans ce cadre (on est étudiant et on apprend encore) il faut préciser les lettres utilisées.
Ensuite on peut choisir de ne pas sanctionner ou très peu.

Voyons les réponses des autres.

Héhéhé a écrit:

Je suis en train de parler d'une rédaction pour des élèves de premier cycle (L1 à L3, prépa, etc.) donc exit les considérations de logique pure, je parle vraiment d'une rédaction d'élève que l'on exige en tant que prof/correcteur d'examen ou de concours.

Réclamer qu'un problème ne doit plus être soulevé explicitement n'est pas une manière de le résoudre (pas plus qu'un cancer ne cesse d'être dangereux parce qu'on refuse d'en parler).

La problématique de la gestion correcte des lettres (liées), dont la quantification est un cas particulier, n'est pas un greffon artificiel rajouté sur les maths par les logiciens mais un problème qui est présent au moment même de l'introduction des lettres pour la première fois devant les élèves et qui leur cause des difficultés majeures (dont in fine le système a conscience puisque les pédagogistes déplorent régulièrement le "problème de la lettre" chez les élèves, et autres propos équivalents).

Pour commencer je suis d'accord avec Foys, ce n'est pas parce que l'on parle d'étudiants de premier cycle qu'on ne peut/doit pas parler de logique. On pourrait le faire, ce n'est pas le cas. Est-ce qu'on devrait le faire ? C'est un autre débat. Ce n'est pas la question que tu poses donc je ne vais pas m'y attarder (d'autant que je ne suis pas qualifié) mais je pense que c'était important de le dire.

Pour la 1) je considère deux choses. La première chose c'est la confusion/l'amalgame qu'il peut y avoir chez l'étudiant entre $f$ et $f(x)$. Cet amalgame est nuisible, le prof doit toujours faire bien attention à ne pas faire d'abus de notations de ce côté là. La deuxième chose que je considère c'est le respect des règles usuelles d'écriture. La première rédaction que tu propose n'est pas parfaite mais elle n'est pas la pire non plus. On a bien un objet qui est une fonction puis une formule pas quantifiée, c'est déjà bien mieux que "Soit la fonction $f(x)=blabla$". Entre
a)Soit $f : \R\to \R$ une fonction définie par la formule $f(x) = blabla$
b)Soit $f : \R\to \R$ une fonction définie par $f : x \mapsto blabla$
je ne vois pas beaucoup de différences, les deux sont des abréviations de $\forall x \in \R, f(x) = blabla$. Le seul problème est que la a) peut cacher une confusion entre $f$ et $f(x)$ donc c'est problématique chez un étudiants. En revanche si je sais que la personne en face de moi ne fait pas de confusion entre $f$ et $f(x)$ ça ne me pose aucun problème.

Pour la 2) je ne vois aucun problème. Dans mon cours je définis directement que $f(x) = g(x)+o(x^k)$ veut dire $blablabla$ où ce $blablabla$ contient automatiquement $x$ comme variable muette.

Moi, je dirais qu'il faut absolument être très rigoureux avec les débutants, pour leur faire sentir là où il y a des erreurs, afin qu'ils ne les commettent plus. Mais après, très rigoureux ne veut pas dire pervers, ça veut juste dire que l'erreur d'interprétation est impossible.

Pour moi, dans toutes les formulations que tu donnes, il n'y a pas de mauvaise interprétation possible, et même en usant de toute la mauvaise foi dont je suis capable donc elles sont toutes bonnes. J'ajoute qu'entre deux choix rigoureux, tu devras choisir entre ce qui te semble le mieux pédagogiquement. Par ex ici, "définie pour chaque x dans R" est redondant par rapport à l'ensemble de définition que tu as déjà précisé, et peut être enlevé comme déjà dit, mais tu peux aussi choisir de faire exprès de le rajouter pour être certain que les élèves assimilent bien le truc.

Par rapport à l'abus de langage : bah non, tout est dans le "définie par". Comment pourrait-il y avoir un x réel ne suivant pas la formule si la formule définit la fonction, l'ensemble de définition étant déjà précisé par ailleurs ?

Je suis plus du style à dire soit f;R->R telle que f(x) =, et là il faut mettre "pour tout x réel" devant f(x)= , par contre avec la formulation "définie par" ça n'est pas la peine.

Superkarl :
C’est un abus de langage quand même.
On a une lettre et on ne sait pas qui elle est.

Quand on souhaite définir une fonction avec des formules sous conditions on voit bien.
« Patati ... telle que :
- $f(x)=x^2$ si $x\in [0;1]$
- $f(x)=0$ sinon »

Tiens ! Là on précise...

Remarque : Le sinon désigne aussi l’abus «$x\in $ $D_f$ privé de $[0;1]$ ».

Autre remarque : avec le même texte, ça poserait un problème à quelqu’un d’avoir
« ... définie par :

- $f(x)=x^2$ si $x\in [0;1]$
- $f(t)=0$ sinon »

Ça gêne ou ça ne gêne pas ?

On a pas besoin de savoir qui est la lettre, on sait d'après f:R et le fait que la lettre est placée dans le f(.) que c'est un réel. Le fait que la formule f(.) définisse la fonction implique que quel que soit [edit : la variable sur laquelle cette fonction est définie, qui est donc déjà un nombre réel], il satisfasse à cette équation.

Dans ton second exemple, là il faut savoir qui est la lettre puisque la formule va en dépendre.

Par ailleurs, je maintiens que l'important est la rigueur et non la forme. On pourrait aussi écrire ta formule en une ligne de la sorte f(x) = 1_[0,1]x², tu n'avais pas besoin.
En réalité, on se moque de cette histoire de formules, les fonctions qui peuvent se décrire en formules par des opérations algébriques doivent en réalité être super rares, les fonctions qui peuvent se décrire en formules peuvent souvent l'être de moultes manières, ainsi sur {0,1}, la fonction x|->x² est la même que la fonction identité ou d'autres écritures plus complexes. Les seules questions à se poser sont : l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée sont-ils définis, toutes les correspondances sont-elles définies ? Quantificateur ou pas quantificateur, c'est de la littérature, ça.

Ça m'évoque le « piège*** » tendu par Christophe.

Il ne l’écrit pas comme ça mais je crois que c’est l’idée principale.

Soit $f$ dérivable de $\R$ dans $\R$.
Soit $x$ un réel tel que $f(x)=x^2$.
Déterminer $f’(x)$.


***
Ce n’est pas un piège.

Un autre exemple :
Exemple 1 : très courant.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$, à valeurs dans $\R$ par : $f(x)=x^2$.
Calculer $f’(x)$.

Exemple 2 : très rare.
Exemple 1 : très courant.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$, à valeurs dans $\R$ par : $f(x)=x^2$.
Calculer $f’(y)$.


Moi je dis que les deux exemples comportent une erreur de quantification et c’est la même dans les deux cas.
Sans parler de la consigne « calculer » qui ne veut rien dire.

D'accord avec Dom et AD.

Bonne soirée.

Moi, au premier semestre, j'ai dû corriger des copies très tristes où il était affirmé que $(r\cos \theta) ' = \cos(\theta)$ et, dans la question d'après, $(r\cos\theta)' = -r\sin\theta$ (dans les énoncés, il y avait "calculer $\partial truc/\partial r$" puis "calculer $\partial truc/\partial \theta$" avec tout bien écrit nickel). Je ne savais pas trop quoi faire... A mon avis, on se retrouve à devoir récompenser des choses complètement fausses pour des motifs bidon du style "ils n'ont pas vu les quantificateurs", "sinon tout le monde redouble", etc.

Oui mais mélange ça avec le fait que pour tout $\theta$, $(\cos \theta)' = 0$...

Les jeunes enseignants ne quantifient presque pas parce qu'on ne les a jamais sanctionnés sur ce point précis.
C'est cette non-sanction qui fait qu'ils sont incapables de produire un énoncé correct.
À moyen terme, les enseignants ne quantifieront plus rien et les mathématiciens en herbe seront des autodidactes qui s'instruiront dans de vieux grimoires.

A-t-on fait glisser la Terminale en L1 finalement ?
C’est ce que vos messages m’évoquent.

L’école glisse jusqu’en 6e officiellement avec le « Cycle 3 ».
Le collège glisse jusqu’au lycée avec tous les passages en 2nde ahurissants.

Bref, c’est pour cela que je pose la question.