Triangles isométriques

Sans trigonométrie, peut-être chercher à tout pythagoriser ?
Hum...dur dur.

Ou alors utiliser des symétries mais ça sent le serpent qui se mord la queue.

Ha oui pardon.
J’avais interprété que tu souhaitais « sans trigonométrie » en disant « est-ce vraiment valable ? ».

Là où ça coince un peu dans les programmes c’est qu’on parle de trigonométrie plutôt en 4e-3e (pour être large) et qu’on propose les cas d’égalités plutôt en 5e.

En effet les histoires de glisser etc. sont des simples isométries.

Une méthode avec la trigonométrie ? Pourquoi ça ne serait pas valable ?
Tu te places à quel niveau ?

Alors là par contre j’ose proposer un truc entre bricolage et maths :

La symétrie étant vue comme un pliage, j’ose dire que selon une droite d :

Si M est sur d, alors M’=M
Si l’image de A est B, alors l’image de [AM] est [BM] donc AM=BM

voilà pour l’un des sens.

La réciproque, essayons :

Si MA=MB, on considère l’intersection N de [MA] (ou [MB]) avec la médiatrice de [AB].
On a NA=NB d’après le sens déjà vu.

Je ne sais pas si cela aboutit. L’idée est de démontrer que N=M. une histoire d’inégalité triangulaire doit pointer son nez.
Pardon si ça ne marche pas...


Remarque : le plan de la leçon que j’ai en tête.

Définition par pliage (donc non mathématique) : « symétriques par rapport à la droite » signifie « se superposent par pliage selon la droite »
Théorème admis : il existe une seule symétrie qui échange deux points distinct A et B
Théorème (admis ou démontré avec la définition pliage) : cette unique droite passer par le milieu et est perpendiculaire (on peut ajouter et tous ses points sont équidistants de A et de .
Définition : cette droite s’appelle la médiatrice du segment [AB].
Définition mathématique (ponctuelle) de la symétrie axiale :
M et M’ symétriques par rapport à d revient à dire que d est la médiatrice de [MM’].
Théorème : on admet la conservation des longueurs et des angles (c’est évident avec la définition « pliage » puisque ça se superpose).

Ha ! En seconde, la trigonométrie fonctionne très bien.
Désolé j’étais resté en 6e.

Édit : Nicolas, ou alors on démontre AL KASHI et tant pis (tant mieux !).

J'avais déjà donné une adresse vers un bouquin où c'est démontré (et même le cas C-C-A) ... et sans trigonométrie (parce que ça ne relève pas de la trigonométrie).
https://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/mbk-47-MBK47IntroGeom_Revision2-0.pdf page 46 et suivantes (téléchargement légal).

Bien sûr, le cas C-A-C est pris comme axiome (un but du bouquin est de construire le groupe des isométries du plan euclidien). tout le reste se déduit du cas C-A-C.

Au passage, je regarde l'extrait de bouquin posté par Endomorphisme ... je vais éviter un commentaire désobligeant pour l'auteur ...

De mettre de la trigonométrie dans cette histoire.

Au passage, le programme dit que l'on doit utiliser une approche "groupe". Donc, le groupe des isométries du plan est connu a priori (comme si la symétrie glissée et la notion de composition étaient connues ... la première n'a jamais été au programme du collège, l'autre en a disparu il y a une dizaine d'années). Et avec les triangles isométriques, on démontre les propriétés du parallélogramme (pas de problème) ... qui va servir à définir les translations ... donc, le groupe des isométries n'est pas connu a priori ... Cherchez l'erreur ...

Sinon, pour l'histoire de la médiatrice, ça peut ressembler à ce qui suit (et il faut les cas d'égalité bien sûr, donc impossible en 6ème).

Dans la suite, on appelle $O$ le milieu de $[AB]$ et l'on note que $O$ se trouve sur la médiatrice de $[AB]$ et à égale distance de $A$ et $B$.

Soit $M$ un point de la médiatrice de $[AB]$ distinct de $O$, autrement dit les droites $(OM)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. On associe les triangles $OAM$ et $BOM$ par
\begin{equation*}
\begin{aligned}
O&\leftrightarrow O, &
M&\leftrightarrow M, &
A&\leftrightarrow B.
\end{aligned}
\end{equation*}
Par hypothèse, on a $OA=OB$ et $\mathrm{mes}(\widehat{AOM})=\mathrm{mes}(\widehat{BOM})$, donc les triangles $OAM$ et $BOM$ vérifient la même condition C-A-C (ils ont le côté $[OM]$ en commun). Ainsi, ces triangles sont égaux, d'où $AM=BM$ et $M$ se trouve à égale distance de $A$ et $B$.

Soit maintenant $M$ un point à égale distance de $A$ et $B$. On associe les triangles $OAM$ et $BOM$ comme précédemment. On a $AO=OB$ et $AM=BM$, donc les triangles $OAM$ et $BOM$ vérifient la même condition C-C-C (ils ont le côté $[OM]$ en commun). Ainsi, ces triangles sont égaux, d'où $\mathrm{mes}(\widehat{AOM})=\mathrm{mes}(\widehat{BOM})$ et la demi-droite $[OM)$ est la bissectrice de l'angle plat $\widehat{AOM}$. On conclut que $(OM)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires, autrement dit $M$ se trouve sur la médiatrice de $[AB]$.

@Dom : Le problème n'est pas trigo ou pas trigo, mais quels axiomes.

Soland avait posté il n'y a pas très longtemps un article qu'il avait publié dans une revue où il construisait l'axiomatique à partir de la notion de distance. Il avait quand même besoin des mesures d'angles et il supposait donc connu la fonction cos (et il précisait même à coup de série entière par exemple).

Si tu procèdes dans ce sens, pas de problème à mettre de la trigo (ça va même être difficile de faire autrement), mais il faut être clair sur ce qui relève des axiomes et ce qui va s'en déduire ... sinon, il y a fort à parier qu'au bout de quelques pages, on va voir apparaitre des propriétés qui ne seront en fait que les axiomes que l'auteur n'a jamais pris la peine de nommer explicitement, voire même la démonstration des axiomes ... Ou encore des raisonnements circulaires à coup de démonstrations utilisant la trigo pour démontrer des propositions servant au chapitre suivant à définir les fonctions trigo (bien sûr l'auteur oubliera une ou deux étapes, ce qui permettra de mystifier le lecteur ... lorsque ce n'est pas une auto-mystification de l'auteur ...).

Tout à fait d'accord avec Eric, tout dépend des axiomes. Il serait opportun de donner une liste d'axiomes qui permette de démontrer les propriétés élémentaires des triangles et parallélogrammes, comme dans le programme du premier cycle des lycées d'avant 1968. Si l'on suggère d'utiliser la trigonométrie pour démontrer les cas d'égalité, je me demande ce qu'on met dans les axiomes de base. De même pour les belles démonstrations de Vorobichek.
En fait, il est probable que les cas d'égalité, ou du moins un ou deux d'entre eux, doivent faire partie des axiomes, et alors il n'est pas question de les démontrer.
On est toujours mal à l'aise avec la géométrie élémentaire justement en raison du défaut de consensus sur les axiomes.
Bonne journée, et bon déconfinement à tous.
Fr. Ch.

Je suis d'accord avec vous : les axiomes sont des bases incontournables. Et c'est plus facile de comprendre quand il est dit clairement "axiome" et non "définition".

Chaurien a écrit:

Si l'on suggère d'utiliser la trigonométrie pour démontrer les cas d'égalité, je me demande ce qu'on met dans les axiomes de base. De même pour les belles démonstrations de Vorobichek.

Les démonstrations viennent du manuel russe qui est réputé pour construire tout à partir des axiomes d'Euclide. J'ai eu le même manuel, mais on a démontré le premier cas en superposant les figures. Au début de l'année les élèves connaissent les figures géométriques, savent manipuler les objets géométriques (littéralement), connaisses les principales formules (non démontrées). Bref, en 6e-5e le programme de géométrie est très terre à terre. Le manuel part du principe que l'élève ne sait rien au début du 4e. Donc cela suit l'enchainement suivant :
1) Définitions des principaux objets/figures géométriques
2) Mesure des angles, propriétés des angles (qui sont en réalité des axiomes)
3) Triangle, existence d'un triangle égal au triangle donné (encore axiome)
4) Droites parallèles, "par le point n'appartenant à la droite passe une et une seule droite parallèle"

Jusqu'à là pas de démonstrations. On habitue l'élève au nouveau vocabulaire, on enseigne comment il faut répondre et rédiger sa réponse, etc.
5) Théorèmes et preuves. Le premier exemple de théorème qui est démontrée : "Si une droite ne passe par aucun sommet du triangle et coupe un des côtés, alors elle est sécante à un des deux côtés restants et un seul."
6) Axiomes et définitions

A partir de là tous les théorèmes sont démontrés par l'élève. J'ai vraiment la flemme d'écrire les énoncés exactes des théorèmes. Dites moi, si vous ne comprenez pas de quel théorème je parle.
7) Angles supplémentaires + théorème de la somme, angles opposés par le sommet + théorème de l'égalité de ces angles.
8) Droites perpendiculaire, théorème de l'unicité
9) Raisonnement par contraposition
10) Bissectrice
11) Conseils : comment étudier la géométrie, trucs et astuces
12) Premier cas d'égalité des triangles (Théorème 1 plus haut)
13) Utilisation des axiomes pour prouver les théorèmes. Comme exemple on utilise Théorème 1 vu juste avant.
14) Deuxième cas d'égalité des triangles, théorème.
15) Triangle isocèle, théorème d'égalité des angles, triangle équilatéral (théorème d'égalité des angles est donné en exercice à faire seul).
16) Théorème réciproque, exemple : si deux angles dans le triangle sont égaux, alors le triangle est isocèle.
17) Hauteur, bissectrice et médiane dans un triangle.
18) Théorème : dans un triangle isocèle, la médiane issu de l'angle opposé à la base est aussi bissectrice et hauteur.
19) Troisième cas d'égalité des triangles, théorème.
20) Comment travailler seul avec le manuel et apprendre en autodidacte. Comment comprendre seul les démonstrations. Comme exemple ils utilisent le théorème 3 de l'égalité des triangles.
A ce moment on est fin décembre...

J'ai mis en rouge les 3 théorèmes de l'égalité des triangles. Comme vous pouvez voir, tous ce qui est utilisé pour démontrer ces théorème a été vu (axiomes) et démontré (théorème) avant.

Un axiome n'est pas une définition. Une définition introduit un objet nouveau en relation avec les objets déjà connus : par exemple, la médiatrice de deux points distincts, c'est la droite, perpendiculaire à la droite passant par ces deux points, et qui passe par leur milieu. Un axiome est une proposition initiale, qu'on ne prouve pas. Je n'apprends rien à personne en disant ceci, je pense.

Ce n'est pas le mot « axiome » qui m'importe. On pourrait traiter la géométrie à ses débuts sans le prononcer. D'ailleurs si on le prononce, on risque de voir se ramener des logiciens qui vont vous imposer toutes sortes d'obligations rituelles avant de commencer la géométrie proprement dite.

Évidemment, il faut des propositions initiales qu'on ne prouve pas, sans quoi elles ne seraient pas initiales. Un défaut de la géométrie élémentaire du premier cycle secondaire d'avant 1968, c'est que certains livres faisaient semblant de démontrer les axiomes, en « superposant » des triangles par exemple. André Revuz se moquait de ça en objectant que le triangle pouvait se casser au cours du déplacement. Ce qui s'est cassé après de telles sottes remarques, c'est la géométrie elle-même.

Les élèves voyaient bien que de telles « démonstrations » n'en étaient pas, puisqu'il leur était interdit d'utiliser ce type de « démonstrations » dans la résolution des problèmes qui leur étaient posés.

On pourrait peut-être chercher à lister les axiomes plus ou moins implicites de cette géométrie, qui fonctionnait en tous cas puisqu'elle culminait dans le glorieux Lebossé-Hémery de géométrie de Math-Elem, qui est encore réimprimé aujourd'hui, presque soixante ans après, et cité à l'occasion par les maîtres en géométrie de ce forum. Il me semble que les cas d'égalité faisaient partie de ces axiomes.

Après 1968 il y a eu la période de la grotesque « droite affine » en Quatrième, qui a eu les honneurs du Canard Enchaîné, lequel a écrit que les auteurs de cette définition avaient dû abuser de l'affine ! Et ensuite je ne suis jamais arrivé à savoir quels étaient les axiomes de la géométrie du collège. Il m'est arrivé de participer à la préparation de candidats au CAPES et j'étais toujours en grande difficulté avec la géométrie.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Non là Vorobichek je ne suis pas d'accord. Ce qui était ridicule dans la définition de la droite affine soixante-huitarde, c'étaient les termes de cette définition, que je n'ai pas sous la main mais qu'on peut retrouver, ce n'était pas la dénomination de droite affine, encore qu'on pourrait objecter que la classe de Quatrième n'était sans doute pas le bon moment pour évoquer la différence entre affine et euclidien.
Mais je trouve que nous avons raison de distinguer fonction linéaire et fonction affine, quand bien même nous serions les seuls au monde à le faire. Je dirais même $\mathbb R$-linéaire et $\mathbb R$-affine.
Bien cordialement,
Fr. Ch.

Chaurien a écrit:

Et ensuite je ne suis jamais arrivé à savoir quels étaient les axiomes de la géométrie du collège. Il m'est arrivé de participer à la préparation de candidats au CAPES et j'étais toujours en grande difficulté avec la géométrie

C'est parce que tout est axiome. Il n'y a plus besoin d'aucune démonstration. Le souci, c'est qu'on ne montre pas que ce n'est pas contradictoire.

@Chaurien,

Mais je trouve que nous avons raison de distinguer fonction linéaire et fonction affine, quand bien même nous serions les seuls au monde à le faire. Je dirais même R-linéaire et R-affine.

Je suis d'accord si vous le faites en prépa ou à l'université. Mais pas au collège et lycée. Cette complication n'a pas de sens. Elle ne fait que embrouiller. C'est compliqué pour rien au final. On a une fonction $f$ définit par $f(x)=ax+b$. L’expression $f(x) = ax$ est juste un cas particulier ou $b=0$. Et si on prend $a=0$, on obtient la droite horizontale.

Ce qui serait intéressant dans le programme de l'enseignement russe, c'est justement la première partie, les axiomes.

Les manuels russes ne sont pas comme les manuels/polycopies français contemporains. Ce n'est jamais une liste des définitions, axiomes, théorèmes, démonstration. Pour trouver ces axiomes, il te faudra lire 11 premiers pages en entier! Si tu reviens au plan que j'ai donnée plus haut, tu verras qu'on donne les axiomes avant dire ce que sont les axiomes. Le manuel fait au début certaines affirmations qui ont du bon sens et intuitives pour l'élève. N'importe quel élève sait que si on dessine un triangle, on peut dessiner à côté un autre exactement identique.. s'il y a de la place. C'est le cas dans un plan (notion aussi très intuitive).
Donc 11 pages plus tard le manuel formalise la chose et explique ce que sont les axiomes.
Si tu veux, je peux donner le lien. Ou en guise d'exemple de traduire le leçon sur les axiomes et définitions. C'est juste une page.

Sur l'enseignement de la géométrie en Russie tu as ceci :
https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000124809_fre
p. 101 et suivantes.

Merci Eric. je viens de trouver le livre de Kiselev, les deux volumes, en traduction anglaise et je vais le regarder.
Merci aussi pour le document de l'UNESCO, figure-toi que je venais de le trouver tout seul. J'ai lu le texte de Georges Glaeser, que j'ai bien connu autrefois.

Une définition mathématique est l'ajout d'un nom dans la liste liste des noms courants du discours, accompagnée de nouveaux axiomes. L'assimilation des définitions à des axiomes est un abus de langage quasi-inoffensif.

Exemple: abréviations.
Si $t$ est un terme de la théorie (long de dizaines ou de centaines de signes), on considère un nom plus court "$s$" non encore utilisé et on rajoute "$s=t$" à la liste des axiomes. Comme toutes les théories de maths courantes contiennent comme théorèmes ou comme axiomes tous les énoncés de la forme $\forall a\forall b\left [a=b \Rightarrow \left (P(a)\Leftrightarrow P(b)\right ) \right ]$. Via l'exploitation de ces énoncés, $t$ est remplaçable partout par $s$ dans les développements.

Plus généralement quand vous avez une propriété $P$ (un énoncé formel ayant une variable libre $\mathbf x$) et que vous dites "on appelle blabla un objet qui vérifie $P$", alors les discours commençant par "soit $b$ un blabla", formellement, rajoutent $P[\mathbf x := b]$ (*) à la liste d'axiomes courants (même si ces rajouts sont implicites).

La raison pour laquelle ce mécanisme d'ajout d'axiomes dans les maths est inoffensif (et en fait n'ajoute pas véritablement d'axiomes) est la suivante:
Vous avez une théorie de maths que vous voulez (exemple: théorie des ensembles, programme de L1, etc) dont les axiomes sont $A_1,A_2,A_3...$. Puis vous considérez une propriété à une variable libre $\mathbf y$. Vous considérez un énoncé $F$ et un nouveau nom c'est-à-dire une lettre $\alpha$ qui ne figure pas libre(**) dans $Q$ dans les axiomes $A_1,A_2,A_3,...$ et vous ajoutez $Q[z:=\alpha]$ à la liste des axiomes et vous démontrez un théorème $F$ à partir de $Q[\mathbf y:=\alpha],A_1,A_2,A_3...,$.

Alors $F$ est un théorème de $A_1,A_2,A_3...$ seuls (sans $Q[\mathbf y:=\alpha]$) lorsque les deux conditions suivantes sont remplies:
1°) $F$ ne mentionne pas $\alpha$ (cette lettre n'a pas d'occurrence libre dedans)
2°) il existe une preuve de l'existence d'au moins un objet satisfaisant $Q$ (i.e. on prouve $\exists \mathbf y Q$) sous les seules hypothèses $A_1,A_2,A_3...,$.

Ce mécanisme est appelé "élimination du quantificateur existentiel" dans les livres.
Dans les textes en prose cette démarche se manifeste de la manière suivante:
On a une phrase, appelée "définition" qui dit en gros "on appelle un cuicui un objet $\mathbf y$ tel que Q".
Puis on dit "soit $\alpha$ un cuicui". Puis plus loin après un raisonnement: "donc $F$".
Faute de savoir si les cuicuis existent vraiment, à ce stade on ne sait pas si $F$ est un théorème de la liste d'axiomes officiels $(A_i)_{i\geq 0}$. Dans les mauvais livres on l'admet, dans les bons on a une rubrique "théorème d'existence des cuicuis". Cette étape est le point 2°) en rouge ci-dessus.


[size=x-small](*) étant données deux expressions $E,T$ la notation $E[\mathbf x := T]$ désigne l'expression obtenue en remplaçant les occurrences-non liées-de $\mathbf x$ par $T$. Par exemple $(4\times y^2+z+9)[y:=22]$ est l'expression $4\times 22^2+z+9$.[/size]
[size=x-small](**) i.e. autrement que comme auxiliaire :si par exemple $A_1$ est de la forme $\forall \alpha F(\alpha)$, $\alpha$ n'est pas libre dans $A_1$ qui pourrait se réécrire en remplaçant $\alpha$ par autre chose sans en altérer le sens, par ex $\forall \beta F(\beta)$ )
[/size]

Effectivement, je sais que certains (Foys, CC, ...) ici appellent "axiome" toute propriété qui définit un champ des maths. C'est même une orientation idéologique de leur part. Dans ce cadre, il y a tellement d'axiomes (par exemple 90% des propriétés vues au lycée sont des axiomes, puisqu'on ne les a pas correctement démontrées), comme l'axiome de Pythagore d'un de nos géomètre.
Simplement, tes collègues ne sont pas dans cette idéologie, et réservent le mot "axiome" à l'étude d'une théorie logique définie. Par exemple, s'ils construisent $\mathbb R$ ils ne parleront pas d'axiomes, mais de propriétés. Et pour les structures algébriques courantes, dont on a des modèles connus, il ne parleront pas d'axiomes.

Libre à toi de choisir ton vocabulaire, mais sache qu'il y a des différences fortes entre les façons de faire des maths, et que ce qui s'exprime dans ce forum ne représente pas la communauté mathématique française; seulement les habitués. Je fréquente un autre forum, dont un logicien est un habitué, les réactions idéologiques sur le vocabulaire et les méthodes d'enseignement sont très différentes.

Cordialement.

je suis d'accord avec tout ce que tu dis, sauf la dernière phrase ... Tu confonds les chercheurs avec qui tu travailles et "le monde de la recherche", dont 90 % des membres ne savent rien de tout ça et même de ce qu'est "la théorie de la démonstration".

Désolé, amis je vais finir par te dire , comme à Christophe, " Je ne te crois pas", à cause de ce genre d'outrances. J'ai connu celles de certain de mes profs (qui n'auraient pas accepté ce que tu développes souvent, mais c'était il y a 50 ans), celles de certains étudiants ultra-droite ou ultra-gauche, celle des pédagogues, et il y a une quinzaine d'années celles de Christophe. Je les retrouve et y suis particulièrement sensible. par contre, qu'est-ce que je suis bien avec ceux qui ont l'esprit ouvert ...

Cordialement.