Une équation
Bonjour,
Un petit exercice pour nos élèves :
soient N(x) = x + f(1+x2) et D(x) = 1 + f(1 +x2) où f est la fonction " racine carrée " .
Résoudre N(x)/D(x) = 2 .
Bien cordialement.
kolotoko
Un petit exercice pour nos élèves :
soient N(x) = x + f(1+x2) et D(x) = 1 + f(1 +x2) où f est la fonction " racine carrée " .
Résoudre N(x)/D(x) = 2 .
Bien cordialement.
kolotoko
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Réponses
il est probable que l'élève bien intentionné commencera par écrire N(x) = 2D(x) soit ensuite x + f(1+x2) = 2 + 2f(1+x2), non ?
Bien cordialement.
kolotoko
fin de collège ou début de lycée.
Bien cordialement.
kolotoko
De toutes façons, tous les chemins mènent à Rome dans ce genre d'exos.
Je conjecture que @Kolotoko vit en Afrique francophone.
En France, cette équation est inaccessible à 90% des élèves de cette terminale que certains osent encore qualifier de "scientifique".....
@Ramon: si ce que tu dis est vrai, c'est effrayant.
Je suis bien d'accord que la manipulation d'inégalités est loin d'être maîtrisée même par les élèves qui s'orientent en classes préparatoires mais je me plais à croire que les élèves ne sont pas nuls au point de voir cela !
Par ailleurs, ils ont des calculatrices graphiques et sont parfaitement capables de voir que la fonction $f:x\mapsto \dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+\sqrt{1+x^2}}$ n'atteint jamais la valeur 2. Partant de là, il devient beaucoup plus rassurant de ne pas trouver de solution.
@Bisam:
Les élèves de terminale capables de faire le raisonnement simple que tu nous proposes n'existent qu'à l'état de traces, comme on dit en chimie.....
Les élèves actuels ne sont pas plus idiots que leurs lointains prédécesseurs mais les programmes sont tellement vides qu'ils n'apprennent plus rien.....Certains diraient que ces équations ne sont que des vieilleries....
On préfère exercer les élèves à pianoter sur un clavier de calculatrice.....DIST NORM NCD,DIST NORM NCD, DIST NORM NCD,DIST NORM NCD, DIST NORM NCD,DIST NORM NCD.......voilà qui est moderne au XXIème siècle....
Les dernières bribes qu’il restait relevaient de résoudre des inéquations du premier degré à une inconnue (sans spécificité technique, genre ax+b<cx+d, pas beaucoup plus dur...). Le cœur de la leçon (ne riez pas !) était le fait de changer le sens quand on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif.
Ainsi, c’est plutôt milieu de 2nde et on sait quand fin de 2nde très peu parviendront à faire ça.
Remarque : il n’y a plus non plus d’exercices traitant des racines carrées car « on arrivait pas à les faire faire à tous les élèves » (je cite un inspecteur, cela dit, pas si critiquable que cela par ailleurs).
Sur ce sujet précis je lui ai dit qu’il ne s’inquiète pas. Que dans des bahuts qui fonctionnent les élèves voient tous ces exercices sur les racines carrées mais pas dans les zones difficiles puisque maintenant c’est sorti des programmes. Et que ça renforçait nécessairement les inégalités et le déterminisme social. Il n’a pas dit mot et n’a fait qu’acquiescer en ayant l’air de dire « vous avez raison, nous deux le savons mais moi je n’ai pas le droit de le dire ». C’est mon interprétation.
Ok merci pour l'éclaircissement.:-)
— Puisqu’ils savent que nous savons qu’ils savent que nous savons, nous pourrions…
— Ouvrir une savonnerie.
— Une savonnerie, excellence ?
— Avec tous vos savons, ça doit être facile.
— Ahaha, c’est la meilleure de la république !
$\forall x \in\R\;\; 1+x^2>0\;$ donc$\; \sqrt{1+x^2}\;$ est bien défini pour tout $\; x \in \R .$
De plus:
$\forall x \in\R\;\; \sqrt{1+x^2}\geq 1$
$\forall x \in\R\;\; 1+\sqrt{1+x^2}\geq 2$
$\forall x \in\R\;\; 1+\sqrt{1+x^2}\neq 0$
Le domaine de définition de cette équation est donc $\R.$
$\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+\sqrt{1+x^2}}=2 $
$x+\sqrt{1+x^2}=2+2\sqrt{1+x^2}$
$\sqrt{1+x^2}=x-2$
$(\sqrt{1+x^2}\;)^2=(x-2)^2\;$ à condition que $x-2\geq 0\;$ c'est-à-dire $\;x \in [2,+\infty[\;$
$1+x^2=x^2-4x+4$
$4x=3$
$x=\dfrac{3}{4}$
Mais $\dfrac{3}{4} \notin [2,+\infty[$
L'équation n'admet donc aucune solution.
Evidemment, c'est moins subtil que ce que propose @Bisam, mais cela reste néanmoins hors de portée de beaucoup d'élèves de terminale....
Proposez cette équation le jour du Bac et c'est le carnage assuré !!!!!
Si @Kolotoko veut proposer cet exercice à un élève de fin de troisième ou début de seconde et qu'il ne vit pas en Afrique francophone, il n y a qu'une seule possibilité: il a emprunté la DeLorean de Doc Emmet Brown et nous arrive tout droit de l'année 1973....
joli calcul et amusante conclusion.
Bien cordialement.
kolotoko
Un raisonnement via analyse-synthèse serait-il possible ici à partir de l'étape $\sqrt{1+x^2}=x-2$ ?
Du type: supposons que x soit solution de $\sqrt{1+x^2}=x-2$ donc $1+x^2=(x-2)^2$ et ensuite vérification que $x=\frac 3 4$ ne vérifie pas l'équation de départ.
Cordialement,
alan20
Faut-il lire les successions d'équations placées les unes en dessous des autres comme des "donc" ou comme des "ces équations sont équivalentes" (c'est-à-dire qui ont les mêmes solutions) ?
C'est l'éternel problème de la rédaction lorsque l'on résout une équation.
Chaque professeur a dû réfléchir à ça (non ?).
Ainsi, pour faire référence à l'analyse synthèse, je trouve intéressant dans ce cas précis de n'écrire que des "donc"
(l'étape clé passe de $a=b$ à "donc" $a²=b²$ sans problème) puis de tester la solution trouvée pour voir qu'elle ne convient pas.
Remarque : on a enfin affaire à un bel exemple !
Édit : pardon alan20 j’ai répété ce que tu as dit.
Je vais tout de même un peu plus loin : je pense qu’il faut faire l’analyse dès le départ et ne pas se dire « tiens, arrivé ici, je vais raisonner avec des donc ».
Ca confirme ce que je pensais, Ramon l'ouvre beaucoup sur l'incompétence, mais comme souvent, plus on gueule, moins on est compétent.
@Kolotoko voulait proposer cet exercice à des élèves de fin de 3ème ou de début de seconde....
Dans ce cas, tu vas peut-être pouvoir m'expliquer pourquoi un jury a pris le risque de m'attribuer l'agrégation externe en 1995....
Des mathématiciens de renommée mondiale dont j'ai pu suivre les cours ne rédigeaient pas nécessairement de façon exemplaire....
Je n'ai jamais eu la prétention de rédiger ce message de façon irréprochable....
En résolvant cette équation, mon but n'était pas de rédiger de façon intégriste mais de montrer qu'une équation aussi simple était hors de portée de l'écrasante majorité des futurs bacheliers S....
Je gueule peut-être mais contrairement à certains donneurs de leçons, je ne suis pas hargneux....manifestement @Héhéhé ne m'apprécie pas beaucoup mais cela m'indiffère au plus haut point....
Comme disait le regretté Maurice Pialat: "Si vous ne m'aimez pas, je ne vous aime pas non plus".....
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1994792,1995194#msg-1995194
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1897128,1897128#msg-1897128
[small]Il n’y a que moi qui en ai le droit.[/small]
Ce n'est pas moi qui ai commencé.....
Tu as formulé des critiques pertinentes sur ma rédaction mais sans hargne et de façon courtoise comme il sied à des gentlemen...
On ne peut pas en dire autant de tout le monde.....
Ce n'est pas faire offense à l'immense @JLT que de dire que la rédaction mathématique de son message juste au dessus n'est pas exempte de reproches....doit-on en conclure qu'il est incompétent ????
D'abord, ne serait-ce pas la première contribution mathématique de notre cher Ramon, qui jusqu'ici se contentait de critiques de notre système d'enseignement ? Par parenthèse, désaccord total avec Héhéhé, je ne vois pas la moindre « haine » dans les interventions de Ramon, juste une critique légitime de la déchéance inacceptable de notre système d'enseignement, ou de ce qui en reste. On voit bien ici le genre de dérive à quoi conduira la loi Avia sur l'interdiction des dits « contenus haineux » qu'on pourra détecter n'importe où, pour faire taire au lieu de répondre.
Ensuite, comme d'autres, je ne suis pas d'accord avec sa rédaction. On dirait ces interminables pensums de logiciens, avec juste des signes - encore que ceux-ci soient intelligibles, eux. Il faut rédiger en français, en indiquant en français les liens logiques entre les lignes de calcul, ici des équivalences. Et peut-être moins délayer.
Mais contrairement à Héhéhé, je pense qu'il est très légitime de parler du « domaine de définition » d'une équation : c'est l'ensemble des $x$ pour lesquels l'équation a un sens.
Et enfin, à JLT, bravo, l'artiste !
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Il y a des jours où il est un peu soupe au lait quand même. C'est un euphémisme. Il a souvent du mal avec l'humour même quand il est plus qu'évident. J'en ai fait les frais. ;-) (Bon il y a aussi des jours où il me fait marrer.)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1872516,1876336#msg-1876336
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1872516,1876356#msg-1876356
Je me suis emporté un peu vite à ton égard ce jour là et je m'en excuse....mais il y a tellement de profs de maths qui trouvent formidable d'enseigner DIST NORM NCD que parfois, on ne sait plus vraiment à qui on a affaire....
Pour un élève de fin de troisième, on est à priori dans $\mathbb{R}$.
Cordialement,
Rescassol
C'est comme les exercices qui demandent de trouver des ensembles de définition de fonctions, ça n'a pas de sens.
Si je demande: quel est l'ensemble de définition de la fonction
$$ x \longmapsto \sqrt{x+1}$$
et qu'on me répond "l'ensemble des nombres premiers", c'est une réponse qui est acceptable, pourtant ce n'est sans doute pas la réponse attendue.
Bon ce n’était pas non plus le pire des trucs qu’on puisse voir au lycée. Faut pas pousser.
Présenter chaque lettre est important de mon point de vu et décrire un bon ensemble où elles se baladent est important aussi avant de commencer à « travailler ».
Donc une seule réponse acceptable. :-D
Soit $f$ une fonction de la variable réelle, à valeurs dans $\R$.
Son ensemble de définition est $D_f=\{x\in\R;f(x)\in\R\}$.
Je ne vois rien qui montre que l'écrasante majorité des futurs bacheliers S seraient incapables de résoudre ce petit exercice.
Le "domaine de définition" d'une équation me paraît assez naturel, c'est comme chercher l'ensemble de définition avant d'étudier une fonction.
Est-ce que c'est indispensable lorsqu'on fait une analyse-synthèse?
En fait je préfère l'analyse-synthèse comme méthode générale car la conservation des équivalence me semble périlleuse car elle demande un certain "flair".
Je me suis aussi posé la question de la rédaction pour une inéquation à racine carrée du coup, du type $2-x<\sqrt{x+5}$.
Je vois bien comment procéder en délimitant les domaines où l'équation à un sens et en procédant par disjonction mais encore une fois cela demande du "flair".
Est-ce qu'une analyse-synthèse est envisageable ici ?
Je sais bien que ces questionnements sont hors de portée pour un élève et ne devraient pas concerner les enseignants du secondaire (ça ne fait pas partie des approfondissement sur le second degré, par exemple, même dans les meilleurs livres, là à mon sens où ça aurait sa place). C'est plutôt pour refaire un peu de maths car quelques années à enseigner en collège font vite mal aux réflexes (même si on en vient à se poser des questions que l'on ne se serait jamais posé avant).
Cordialement.
On peut reprocher tout ce qu'on veut aux recherches de domaines de définition, mais c'était une formation excellente à la manipulation d'égalités et d'inégalités, une sources d'exercices sur les équations et inéquation (*). Évidemment, il y avait une grande part de sous-entendus (très explicites à l'oral dans les cours), d'habitudes communes entre les profs et les élèves.
Maintenant, on a supprimé tout ça. C'est plus "logique", mais on ne calcule plus.
[mode "vieux con" OFF]
Cordialement.
(*) et bien sûr, ça apprenait à vérifier si les dénominateurs sont non nuls, si possible avant de l'écrire, et si les radicandes sont bien positifs, si possible avant d'écrire la racine carrée.
@gai requin: si $f$ est à valeurs réelles, on a $f(x) \in \R$ pour tout $x$ dans l'ensemble de définition de $f$, je ne comprends pas ta définition, j'ai l'impression que ta définition est circulaire.
Pour quelles valeurs réelles de $x$, l'écriture suivante est-elle une représentation d'un nombre réel ?
$$\dfrac{\sqrt{x}}{(x-1)(x²-7)}$$
1) Est-ce que cela conviendrait ?
Est-ce vraiment un problème de maths ce dont on parle, là ?
Je sais qu'il y a eu des débats sur le sujet. Je m'étonne même que ce ne soit plus dans les marronniers.
2) A-t-on le droit de proposer : résoudre dans $\R$, l'équation d'inconnue $x$ : $\dfrac{x-1}{x-1}=1$ ?
Ou est-ce une erreur de l'auteur de ne pas exclure $1$ ?
3) Enfin, j'avais compris que le mot "équation" n'était pas un terme mathématique.
Héhéhé, le débat de cette rédaction proposée par Ramon Mercader n'est pas ici je pense.
C'est mon point de vue.
[small]Edit : je n'avais pas vu quelques messages.
Je suis d'accord avec Gérard.
Le prof dit aux élèves "bon la consigne signifie ... mais en vrai elle n'a pas sens quand on fait des mathématiques".
Et du coup, qu'est-ce ça peut faire une fois ces précautions prises ?
"Je l'écrirai toujours comme ça pour gagner du temps". Hop, j'enfonce le clou.
Cela dit je ne crois pas que ce soit le fait d'enlever cet exercice "trouver le domaine de définition" qui a fait retirer tous les exercices calculatoires dont parle Gérard. On a éventuellement sauté sur l'occasion mais de toute manière, même avant les "fonctions" on a enlevé tous les exercices sur le calcul symbolique (ou calcul littéral, je ne sais jamais ce qu'il est mieux de dire).
Dans tous les cas, une fois la superbe belle consigne trouvée, le prof en viendra à dire "bon, en fait, on vous demande de regarder quand le dénominateur ne s'annule pas et quand le radicande est positif".
Wouaaaaah. Génial... Mais au moins on l'a bien écrit dans le livre et dans le cahier... [/small]
Presque toutes les étapes de la résolution seraient sources d'énormes erreurs....Demande aux correcteurs du Bac ce qu'ils voient chaque année dans leurs copies....
Quand on sait que certains élèves de TS sont capables d'écrire que la solution de l'équation $\ln x=2\;$ est $\dfrac{2}{\ln}\;$, plus rien ne doit nous étonner....
Sans parler des inepties sur les racines carrées du type $\; \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+ \sqrt{b}\;....$ On imagine les catastrophes que cela peut engendrer dans l'équation qui est l'objet de cette discussion....
Mais peut-on reprocher aux élèves de lycée de mal maîtriser ce que l'on a à peine daigné leur enseigner ????
J'ai envie de dire oui.
En tout cas, ta solution ne "montre" pas ton affirmation.
Un prof de TS perçoit immédiatement les erreurs que ses élèves pourraient commettre à chaque ligne de la résolution de l'équation....