Toute personne ayant conscience du naufrage de l'enseignement des maths en France du CP à la terminale pouvait ainsi se rendre compte des obstacles se dressant sur la route d'élèves à qui on n'a presque rien appris de vraiment solide....
Point n'est besoin d'être prof de maths pour être au courant du carnage....
Il suffit d'avoir suivi de solides études scientifiques, par exemple d'avoir obtenu un Bac C dans les années 80 et de comparer avec l'enseignement reçu aujourd'hui....des coniques et des courbes paramétrées à DIST NORM NCD, la dégringolade est spectaculaire !!!
D'ailleurs, les témoignages de personnes hors EDNAT qui s'interrogent sur la nullité de l'enseignement que reçoivent leurs enfants au collège et au lycée, ne manquent pas sur ce forum....
Je ne me souviens pas avoir entendu des parents ayant un niveau mathématique solide (et donc capables de comparer les niveaux de deux époques différentes) dire: "Le niveau a monté depuis 30 ans" ou encore: "Ce que fait mon fils en 3ème est beaucoup plus dur que ce que l'on apprenait en 1984"....
D'autre part, @Kolotoko souhaitait poser cet exercice à des élèves de 3ème ou de seconde.....ce qui m'a intrigué.
Etait-il conscient du bas niveau global des élèves en France ????
Quand j'étais élève, c'était bien défini. Il ne faut pas confondre "écrit avec d'autres conventions" et "mal écrit".
Il y a un certain manque de souplesse sur ce forum (à part chez les géomètres, qui savent reconnaître une écriture ancienne).
Je pense au contraire que c'est un très bon exercice pour des lycéens, précisément car sa solution comporte quelques passages où il faut faire un peu attention.
Je partage l'avis de bisam : j'ose espérer que des élèves de Terminale peuvent résoudre cet exercice.
(Et, pourquoi hurler sans cesse sur la nullité de l'enseignement des maths sur un forum lu en majorité par des profs de maths ?)
Une fonction est indissociable de son ensemble de définition et de son ensemble d'arrivée, écrire $x \mapsto \ln x$ sans plus de précision est déjà une écriture abusive (même si là on sous-entend que le domaine de définition est $\R^*_+$).
Ces deux fonctions ne sont pas les mêmes objets:
$$ \begin{array}{ccc}
\R^*_+ & \longrightarrow & \R \\
x & \longmapsto & \ln x \end{array}$$
et
$$ \begin{array}{ccc}
[1,+\infty[ & \longrightarrow & \R \\
x & \longmapsto & \ln x \end{array} $$
Un élève pourrait très bien répondre à la question: trouver l'ensemble de définition $E$ de la fonction
$$ x \longmapsto \frac{1}{x-1}$$
que $E = \{0\}$, $E = \emptyset$, $E = \R \setminus \{1\}$, $E = (\Z/7\Z) \setminus \{1\}$, toutes ses réponses sont correctes (et, sauf la dernière, sont compatibles avec la notion floue de "fonction de la variable réelle").
Bref écrire $x \mapsto f(x)$ ne définit rigoureusement pas une fonction.
Pour moi c'est le même problème quand on ne spécifie pas l'ensemble dans lequel on cherche les solutions d'une équation.
Je pense au contraire que c'est un très bon exercice pour des lycéens, précisément car sa solution comporte quelques passages où il faut faire un peu attention.
Je n'ai jamais dit que ce n'était pas un bon exercice, bien au contraire !!!!
Cet exercice aurait pu être posé en seconde (lors d'un devoir surveillé par exemple) quand j'étais élève (année scolaire 1985-86) mais aujourd'hui, il est hors de portée de l'écrasante majorité des élèves de TS....
Et, pourquoi hurler sans cesse sur la nullité de l'enseignement des maths sur un forum lu en majorité par des profs de maths ?
Il n y a pas que des profs qui lisent ce forum....Tout le monde n'est pas au courant du désastre....
Beaucoup de profs par conformisme ou par opportunisme trouvent que les programmes actuels et les injonctions de leurs supérieurs hiérarchiques sont formidables....
Les responsables de ce naufrage doivent être dénoncés sans relache....
@Héhéhé : Peut-être que je triche un peu parce que, comme gerard0, je trouve que chercher un ensemble de définition est un bon exercice.
Je tente quand même un truc inspiré de vieux souvenirs.
Soit $f:\R\to\R$ une application (au plus une image dans $\R$).
Alors l'ensemble de définition $D$ de $f$ est l'ensemble des réels qui ont une image par $f$.
Et hop, $f:D\to\R$ est une fonction (exactement une image) définie sur un sous-ensemble de $\R$ maximal.
Bon, ça donnerait des énoncés pourris du type :
Soit $f:\R\to\R$ une application d'ensemble de définition $D$ tel que, pour tout $x\in D$, $f(x)=\ln(x-1)$.
Expliciter $D$.
Soit $f:\R\to\R$ une application d'ensemble de définition $D$ tel que, pour tout $x\in D$, $f(x)=\frac{x}{x}$.
Expliciter $D$.
Edit. Ce n'est malheureusement pas qu'une blague. J'ai déjà vu des exercices demandant le domaine de définition de la fonction $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$. Puis, de calculer $\lim_{x\to 1}f(x)$.
Edit 2. Je précise que j'aime bien donner aussi des exercices "imprécis" du type "trouver le domaine de définition de la fonction $f(x)=\ldots$. En revanche, j'insiste bien sûr sur le fait que demander par exemple si la fonction $x\mapsto x^2$ est inversible sans plus de précision n'a bien évidemment aucun sens.
Et voila pourquoi on "ne fait presque plus de maths en collège et lycée". Chaque objet mathématique doit être présenté totalement, dans sa complexité, et maîtrisé par l'élève dans sa totalité.
Mais ça, on ne peut pas !
J'ai entrainé de jeunes enfants au volley-ball. Personne n'aurait eu l'idée de dire "ce n'est pas du volley" sous prétexte que le filet n'était pas à 2m43 et le ballon pas réglementaire.
Vous avez le choix : Faire des maths "adaptées", accepter que tout ne soit pas compris d'un seul coup, mettre en place les notions au fur et à mesure de la compréhension des enfants (*); ou continuer, maintenant que la discipline a été dévalorisée socialement par les programmes des années 1970 (convenant, eux, à ceux qui comprenaient vite) à laisser décliner la situation globale.
Bien sûr, c'est simplement de la pédagogie, et certains vont me traiter de pédagogo. Pas grave, je suis en bonne compagnie, avec par exemple Émile Borel, rénovateur des programmes du début du vingtième siècle.
Cordialement
(*) bien sûr, certains comprennent beaucoup plus vite, de même que certains courent plus vite. C'est une question jamais sérieusement prise en compte en France pour les maths (pour ceux qui courent, il y a les sections sportives et sport-études).
On peut comprendre cette histoire d'ensemble de définition comme suit.
Soient $f:A\to \R$ et $g:B\to \R$ deux fonctions d'une partie de $\R$ dans $\R$.
L'ensemble de définition de $f+g$ (resp. $fg$) est $A\cap B$.
L'ensemble de définition de $f\circ g$ est $g^{-1}(A)$.
La fonction $x\mapsto \ln(x-1)$ peut être considérée comme la composée de la fonction $x\mapsto x-1$ et de la fonction $\ln$ (cette dernière étant définie sur $\R$).
Edit : $\ln$ est définie sur $\R_+^*$, c'était une faute de frappe.
Aucun problème pour les lycéens de 1970. Ce n'est "pourri" que pour ceux de maintenant (et surtout les gens qui "n'aiment pas les domaines de définition"). Le domaine, à l'époque, était purement et simplement une question formelle : l'écriture de la définition. C'est ce qu'a pratiqué Ramon Mercader dans son corrigé qui a fait réagir les "puristes".
C'est dommage qu'on rejette le formel ... en maths.
Les programmes actuels ne font plus la distinction entre la notion de fonction et la notion d'application (voir par exemple le programme de MPSI, en bas de la page 6).
Quand on écrit $f \colon E \to F$, ça veut donc dire que l'ensemble de définition de la fonction/application $f$ est exactement $E$, pas un sous-ensemble de $E$.
Cette distinction entre fonction et application, héritée de Bourbaki, est tombée en désuétude dans l'enseignement, et par ailleurs n'a jamais été adoptée par la communauté mathématique (et encore moins en dehors de la France). C'est un sujet qui a été maintes fois débattu (sur ce forum par exemple)... Les anglo-saxons parlent de fonction partielle il me semble, mais je ne pense pas que ce soit quelque chose de très utile... Je n'ai jamais rencontré de situations où il est absolument nécessaire et utile de faire la distinction entre fonction et application.
Quand on considère une variété différentiable munie d'un atlas $(\varphi_i)$ où pour tout $i$, $\varphi_i:U_i\to \R^n$ est un difféomorphisme d'un ouvert $U_i$ vers un ouvert de $\R^n$, l'application de changement de carte $\varphi_i\circ \varphi_j^{-1}$ n'est pas définie sur $\varphi_j(U_j)$ tout entier, il est naturel de se demander quel est son ensemble de définition.
Je suis loin d'être un "puriste" et j'aurais bien sûr donné tous les points à l'élève Ramon.
Mais ma question n'est qu'à moitié une blague. Quel est le domaine de définition de $f(x)=\frac{x}{x}$ ?
Pour moi, c'est une fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. Pour un lycéen d'aujourd'hui (ou de 1970), j'avoue que je ne sais pas quelle est la "bonne réponse".
@Héhéhé : J'aime bien Bourbaki ;-), en tout cas plus que les programmes du secondaire qui contiennent des énoncés faux (cf l'article de Perrin que je joins).
Ramon Mercader écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2003868,2006686#msg-2006686 [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Dans ma pratique, $f(x)=\frac{x}{x}$ et $f(x)=1$ sont deux écritures de la même fonction rationnelle. Pour un lycéen, j'imagine que la fonction $f(x)=\frac{x}{x}$ ne doit pas être définie en $0$.
Sur les fonctions, on en parlait justement sur le sujet "faut-il quantifier à outrance ?", je suis comme gai requin, sauf qu'une application est définie sur tout son ensemble de départ. C'est bien les fonctions qui ne sont pas forcément définies partout. https://fr.wikipedia.org/wiki/Application_(mathématiques)#Fonction_et_application
@Bintje Et bien moi, je trouve que ton énoncé est loin d'être idiot et d'ailleurs je pense que x/x n'est pas définie en 0.
Parce que c'est une formule dans laquelle il y a une division, donc il faut la faire. x/x=1 ssi x non nul.
Ramon, je n'ai jamais écrit que $\frac{0}{0}=1$. Je dis juste que $\frac{x}{x}$ et $\frac{1}{1}$ sont la même fonction rationnelle.
Après, si on fait de l'analyse et qu'on parle de fonction de la variable réelle, je suppose qu'il vaut mieux dire que $f(x)=\frac{x}{x}$ n'est pas définie en $0$.
Ben non, ça n'est pas la même fraction rationnelle, avant il y avait un pôle.
Par ailleurs fonction rationnelle, ça se dit : wikipedia c'est l'équivalent de fonction polynomiale pour les polynômes.
D'un point de vue formel, une fraction rationnelle réelle est une classe d'équivalence de couples de polynômes de $\R[X] \times \R[X]^*$ pour la relation d'équivalence
$$ (P,Q) \sim (P',Q') \Longleftrightarrow PQ'=P'Q.$$
Si on regarde $(X,X)$ et $(1,1)$, ces couples sont dans la même classe d'équivalence donc définissent la même fraction rationnelle. On a donc bien, au sens des fractions rationnelles,
$$ \frac{X}{X} = \frac{1}{1}.$$
Pour en revenir à la question de $f(x) = \frac{x}{x}$, c'est bien un exemple qui montre que la question de la détermination d'un ensemble de définition à partir d'une formule est foireuse de base, plusieurs réponses sont "acceptables", puisque la question n'est pas précise mathématiquement.
Encore une fois, une fonction ce n'est pas une formule.
On ne confondrait pas "ensemble de départ" et "ensemble de définition" ? Pour moi, l'ensemble de définition d'une fonction se trouve tout seul à partir de l'ensemble de départ. Comme dit gai requin, c'est le plus grand ensemble de x pour lesquels f(x) est définie conformément à l'ensemble d'arrivée.
Il ne faut pas confondre l'ensemble de définition Df de la fonction f avec son ensemble de départ E. Il arrive toutefois que les deux soient égaux : la fonction est alors une application ; elle est alors dite "bien définie" ou "définie partout dans E".
Dans les années 1950, l'école Bourbaki tente de définir précisément les deux notions. Ainsi peut-on lire dans un projet de rédaction du Livre I, Chapitre II des Éléments de 19547, les définitions suivantes :
La relation R(x,y) est appelée une relation fonctionnelle de type (T × U) si elle satisfait à la condition suivante : quel que soit x, il existe au plus un y tel R(x,y). À toute relation fonctionnelle, on attache un objet nouveau que l'on appelle une fonction;
On appelle champ de définition de la fonction f l'ensemble des éléments x de E pour lesquels il existe y tel que R(x,y). C'est une partie E de E. On dit que f est définie sur E et dans E.
Au lieu de parler d'une fonction définie sur E et prenant ses valeurs dans F, on parle d'une application de E dans F.
Même si, dans la rédaction finale des Éléments de 1970 la fonction est toujours définie sur son ensemble de départ, cette distinction est reprise dans l'enseignement français du secondaire, premier et second cycle, quand, à la suite de la Commission Lichnerowicz, se mettent en place les nouveaux programmes, à partir de 1968. Ainsi voit-on dès la 6e, illustrées par des diagrammes sagittaux, les définitions suivantes:
les relations telles que, de chaque élément de l'ensemble de départ, il part au plus une flèche, s'appellent des fonctions ;
les relations telles que, de chaque élément de l'ensemble de départ, il part exactement une flèche, s'appellent des applications.
En pratique, le fait qu'il suffise de réduire l'ensemble de départ d'une fonction à son ensemble de définition pour la transformer en application rend peu utile ce distinguo.
Cette distinction ne commence à disparaitre des ouvrages scolaires qu'à partir de 1985, à l'adoption de nouveaux programmes mais on trouve encore des ouvrages récents dans lesquels cette distinction est présente13,14,15.
L'histoire de la fonction rationnelle me paraît assez douteuse ici. Cela revient à traiter différemment certaines expressions des autres pour déterminer l'ensemble de définition, pourquoi ? Que dire de $x\mapsto \sin(\frac{x}{x})$ et de $x\mapsto \frac{\sin(x)}{\sin(x)}$ ? A-t-on là aussi affaire à des fonctions rationnelles ? En vertu de quel raisonnement ?
D'autre part, je suis assez d'accord avec ce qu'a écrit gerard0. Effectivement, cette histoire d'ensemble de définition n'est pas commode à formaliser, surtout que l'objet de départ n'est pas une fonction mais une expression (éventuellement une équation ou une inéquation). Cela me paraît totalement illusoire de définir ça formellement de manière compréhensible par des lycéens ; en revanche, déterminer la plus grande partie de $\R$ pour laquelle l'expression a un sens selon ce qui a été vu dans les classes antérieures, c'est quand même compréhensible et formateur. Il me semble dommage d'y renoncer, d'autant que c'est loin d'être le plus gros manque de rigueur auquel les lycéens auront affaire (allons-y franchement : presque rien n'est défini ; ni les réels, ni les axiomes, que ce soit en géométrie, en analyse ou en probas ; on a certainement plein de raisonnements circulaires à cause de ça, etc.).
ressortons la DeLorean et allons proposer un début d'exercice aux élèves de seconde de 1973 .
(Avec une rédaction approximative)
Soit ABC un triangle rectangle en A inscrit dans le cercle C de centre O .
On note C1 le cercle inscrit dans le triangle ABO et soit r1 son rayon .
On note C2 le cercle inscrit dans le triangle ACO et soit r2 son rayon .
On suppose, pour tous les calculs suivants, que AB = 1 et AC = x.
1) Tracer le triangle ABC et les cercles C, C1 , C2 . Dans ma jeunesse, on aimait faire des constructions à la règle et au compas .
2) Calculer l'aire du triangle ABC et en déduire les aires des triangles ABO et ACO.
3) Calculer la valeur de l'hypoténuse BC et en déduire la mesure du périmètre des triangles ABO et ACO. Faut bien utiliser le Th. de Pythagore.
4) Montrer que dans un triangle on a la formule S = pr où S est l'aire, p le demi-périmètre et r le rayon du cercle inscrit.
5) En déduire les valeurs de r1 et r2.
6) Calculer le rapport f(x) = r1/r2.
Prolongement :
7) Calculer f(1/x) et montrer que f(x)f(1/x) = 1.
8) Etudier la fonction qui à x appartenant à l'ensemble des réels positifs fait correspondre f(x) .
9) Peut-on avoir f(x) = 2 ? Justifier.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tels que pour tous $a,b,c$ tels que $(a,b)$ et $(a,c)$ appartiennent à $f$, on a $b=c$.
On note $dom(f)$ et $im(f)$ les ensembles (dont l'existence est entraînée par les axiomes courants de théorie des ensembles) des $x$ tels qu'il existe $y$ tel que $(x,y)\in f$ (resp $(y,x)\in f$).
On rajoute souvent un axiome sans le dire aux maths ensemblistes, affirmant que pour toute fonction $f$ et tout $x\in dom(f)$, on a $\left (x,f(x) \right )\in f$, ce qui fait de $f(x)$ l'unique objet en relation avec $x$ pour $f$.
L'ensemble des couples (date/température au sommet du sacré coeur à midi à cette date) est une fonction. Mais la terre ne prend pas une calculatrice pour fixer cette température. Ainsi la notion de fonction comme ensemble de couples est celle qui est véritablement utilisée en physique (liens entre les différentes grandeurs de la nature, déterminant l'une d'entre elles).
***********
La détermination de "l'ensemble de définition d'une fonction" est surtout -dans les contextes scolaires où il est pratiqué- un exercice syntaxique mal formulé (telles que les choses sont présentées au public il vaudrait mieux parler alors d'ensemble de définition d'une expression). Les gens qui défendent sa pertinence devraient se demander pourquoi cette activité disparaît de la pratique du mathématicien (quid des articles de recherche où on prouve que l'ensemble de définition d'une certaine $\Phi$ est $]3,4[ \cup ]8,+\infty[$ ?).
Avec ma notation ci-dessus, l'ensemble de définition d'une fonction $f$ n'est rien d'autre que $dom(f)$ et le fait que $g:x\mapsto \frac{x}{x}$ n'est pas défini en zéro est juste le constat que $dom(g)=\R \backslash \{0\}$ (édité)(la "fonction inverse" (édité) est la fonction $J:= \{(x,y) \in \R^2 \mid xy=1\}$ et $\frac{x}{y}:=x J(y)$ pour tous $x,y$).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Légère coquille : un « (resp. » oublié devant « $Im(f)$ )».
Je ne comprends pas le passage sur « les mathématiciens et leur activité ».
Est-ce que pour devenir mathématicien, il existe une formation initiale ?
Moi je trouve normal que pour devenir Biduleur, la formation initiale ne dispense pas que des activités des Biduleurs et tout aussi normal que cette formation initiale propose des activités qui ne sont jamais effectuées par les Biduleurs.
Tous les mathématiciens savent que 6 fois 7 s’écrit 42 en écriture décimale mais aucun ne passe son temps à essayer de l’apprendre par cœur. Ils l’ont pourtant fait avant, lors de leur formation initiale.
Toujours les mêmes arguments fallacieux : Pour tuer son chien, on n'accuse de la rage.
Pourquoi parler de fraction rationnelle, voire de définition ensembliste des fonctions pour dire "Je n'aime pas les exercices de domaine de définition" ?
Tu as raison, Foys, c'est un exercice syntaxique, donc c'est un exercice qu'on doit faire faire(*). La suite de ta phrase montre simplement que tu ne connais pas les élèves de collège/lycée, que tu n'as pas eu à enseigner à cet âge, que tu as même oublié les difficultés de compréhension que tu as eu toi-même (**). Quand tu auras vraiment essayé de faire distinguer à une classe de troisième la notion de fonction de l'écriture avec laquelle on l'a présentée (même à l'époque où on utilisait, en début de collège, ta définition pour la notion de fonction, en seconde, la fonction c'était f(x) !!).
Tu nous fais de beaux cours de logique ou de théorie des ensembles, mais ça n'apporte rien au débat (on le sait tous, et j'avais précisé le mot expression bien avant ton message). Dommage !
Cordialement
(*) on doit apprendre à écrire, sinon on lit mal.
(**) c'est parfois surprenant de voir combien on peut se tromper sur l'âge auquel on a fait telle ou telle distinction "évidente".
@Ramon Mercader Presque toutes les étapes de la résolution seraient sources d'énormes erreurs....Demande aux
correcteurs du Bac ce qu'ils voient chaque année dans leurs copies....
Ben, non, en simplifiant par $\sqrt{1+x^2}$ "en haut et en bas" on obtient $\frac{x}{1} = 2$ et ça je pense que la majorité des TS savent résoudre cette équation. :-D
J'aimerais que toutes les personnes qui défendent les exercices de type "trouver l'ensemble de définition" me disent ce qu'ils répondent à un élève dont la réponse à la question "trouver l'ensemble de définition de la fonction de la variable réelle $f$ telle que $f(x) = \sqrt{x+1}$" est "l'ensemble des nombres premiers".
Je lui répondrait qu'il a faux. On peut même argumenter : $0$ n'est pas un nombre premier pourtant $f(0)= \sqrt 1= 1$ est bien défini donc $0$ est dans le domaine de définition de $f$.
N'étant ni prof, ni agrégé, ni quoi que ce soit, je ne sais pas ce que mon avis vaut, mais j'ai appris les ensembles de définition au lycée, et je pense que l'idée principale derrière était d'écarter de l'ensemble le plus naturel (le plus simple ? le plus grand en restant simple ? le plus adapté à l'étude de la fonction / du problème ?) sur lequel la fonction pourrait être définie (typiquement $\mathbb{R}$ puisqu'on parle d'une fonction d'une variable réelle) les points qui posent problème (division par zéro, racine ou logarithme d'un nombre négatif, etc...). L'utilisation de l'article défini le laissant supposer qu'on privilégie le plus grand qui fonctionne dans le contexte.
L'ensemble des nombres premiers "fonctionne", mais le choisir suppose donc qu'il y a une raison sous-jacente pour laquelle on choisit de ne pas inclure le reste des réels qui conviennent (il n'est pas optimal): est-on dans un problème d'arithmétique ? Un élève qui répond ça est donc un peu taquin mais probablement bien calé sur les questions.
Héhéhé joue sur le fait que pour définir une fonctionapplication, il est de bon ton de donner d'emblée son ensemble de départ $E$. On peut en effet définir une autre application à partir de la même expression, mais qui est une restriction de la première à une partie de $E$.
Vu sous cet angle, « la fonction de la variable réelle f telle que $f(x) = \sqrt{x+1}$ » ne veut pas dire grand-chose, donc cette question peut être considérée comme mal posée. En revanche, déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que $\sqrt{x+1}$ ait un sens pour un élève de lycée, cela me paraît tout à fait faisable. De la même façon, on peut chercher l'ensemble des réels $x$ tels que les deux membres de l'équation à l'origine du fil aient un sens pour un élève de lycée. Pour tout $x$ dans cet ensemble, chacun des deux membres est un réel, donc pour tout $x$ dans cet ensemble, on peut dire si l'équation est vérifiée ou non (en vrai, j'ai écrit cette phrase en pensant aux inéquations : deux réels sont toujours comparables).
Ce genre d'exercice où l'élève est obligé de se demander sous quelles conditions telle ou telle expression est bien définie ne me paraît pas superflu au vu de ce que je vois sur les autres sous-forums (i.e., on voit des gens qui étudient l'arithmétique dans un anneau non principal, ou bien les théorèmes de Sylow, tout en ayant des confusions surprenantes à un niveau bien plus basique).
Ai-je dit le contraire ? Je disais précisément que certains des questionneurs travaillent sur des sujets non tout à fait basiques mais ont des confusions à un niveau très, très basique (le tout début de la théorie des groupes, etc.). C'est pour cela qu'il me semble utile que dès le collège/lycée, les élèves se posent les questions : « Telle expression a-t-elle un sens ? Pourquoi ? Dans quelles conditions a-t-elle un sens d'après ce que j'ai étudié ? » La recherche d'ensembles de définition, peu importe la manière dont on formule la question, était l'occasion de très régulièrement se poser ce genre de questions. C'était un exercice très formateur pour les élèves.
Réponses
Pas uniquement....
Toute personne ayant conscience du naufrage de l'enseignement des maths en France du CP à la terminale pouvait ainsi se rendre compte des obstacles se dressant sur la route d'élèves à qui on n'a presque rien appris de vraiment solide....
Point n'est besoin d'être prof de maths pour être au courant du carnage....
Il suffit d'avoir suivi de solides études scientifiques, par exemple d'avoir obtenu un Bac C dans les années 80 et de comparer avec l'enseignement reçu aujourd'hui....des coniques et des courbes paramétrées à DIST NORM NCD, la dégringolade est spectaculaire !!!
D'ailleurs, les témoignages de personnes hors EDNAT qui s'interrogent sur la nullité de l'enseignement que reçoivent leurs enfants au collège et au lycée, ne manquent pas sur ce forum....
Je ne me souviens pas avoir entendu des parents ayant un niveau mathématique solide (et donc capables de comparer les niveaux de deux époques différentes) dire: "Le niveau a monté depuis 30 ans" ou encore: "Ce que fait mon fils en 3ème est beaucoup plus dur que ce que l'on apprenait en 1984"....
D'autre part, @Kolotoko souhaitait poser cet exercice à des élèves de 3ème ou de seconde.....ce qui m'a intrigué.
Etait-il conscient du bas niveau global des élèves en France ????
Quand j'étais élève, c'était bien défini. Il ne faut pas confondre "écrit avec d'autres conventions" et "mal écrit".
Il y a un certain manque de souplesse sur ce forum (à part chez les géomètres, qui savent reconnaître une écriture ancienne).
Cordialement.
Je partage l'avis de bisam : j'ose espérer que des élèves de Terminale peuvent résoudre cet exercice.
(Et, pourquoi hurler sans cesse sur la nullité de l'enseignement des maths sur un forum lu en majorité par des profs de maths ?)
Ces deux fonctions ne sont pas les mêmes objets:
$$ \begin{array}{ccc}
\R^*_+ & \longrightarrow & \R \\
x & \longmapsto & \ln x \end{array}$$
et
$$ \begin{array}{ccc}
[1,+\infty[ & \longrightarrow & \R \\
x & \longmapsto & \ln x \end{array} $$
Un élève pourrait très bien répondre à la question: trouver l'ensemble de définition $E$ de la fonction
$$ x \longmapsto \frac{1}{x-1}$$
que $E = \{0\}$, $E = \emptyset$, $E = \R \setminus \{1\}$, $E = (\Z/7\Z) \setminus \{1\}$, toutes ses réponses sont correctes (et, sauf la dernière, sont compatibles avec la notion floue de "fonction de la variable réelle").
Bref écrire $x \mapsto f(x)$ ne définit rigoureusement pas une fonction.
Pour moi c'est le même problème quand on ne spécifie pas l'ensemble dans lequel on cherche les solutions d'une équation.
Je n'ai jamais dit que ce n'était pas un bon exercice, bien au contraire !!!!
Cet exercice aurait pu être posé en seconde (lors d'un devoir surveillé par exemple) quand j'étais élève (année scolaire 1985-86) mais aujourd'hui, il est hors de portée de l'écrasante majorité des élèves de TS....
Je tente quand même un truc inspiré de vieux souvenirs.
Soit $f:\R\to\R$ une application (au plus une image dans $\R$).
Alors l'ensemble de définition $D$ de $f$ est l'ensemble des réels qui ont une image par $f$.
Et hop, $f:D\to\R$ est une fonction (exactement une image) définie sur un sous-ensemble de $\R$ maximal.
Bon, ça donnerait des énoncés pourris du type :
Soit $f:\R\to\R$ une application d'ensemble de définition $D$ tel que, pour tout $x\in D$, $f(x)=\ln(x-1)$.
Expliciter $D$.
Soit $f:\R\to\R$ une application d'ensemble de définition $D$ tel que, pour tout $x\in D$, $f(x)=\frac{x}{x}$.
Expliciter $D$.
Edit. Ce n'est malheureusement pas qu'une blague. J'ai déjà vu des exercices demandant le domaine de définition de la fonction $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$. Puis, de calculer $\lim_{x\to 1}f(x)$.
Edit 2. Je précise que j'aime bien donner aussi des exercices "imprécis" du type "trouver le domaine de définition de la fonction $f(x)=\ldots$. En revanche, j'insiste bien sûr sur le fait que demander par exemple si la fonction $x\mapsto x^2$ est inversible sans plus de précision n'a bien évidemment aucun sens.
Mais ça, on ne peut pas !
J'ai entrainé de jeunes enfants au volley-ball. Personne n'aurait eu l'idée de dire "ce n'est pas du volley" sous prétexte que le filet n'était pas à 2m43 et le ballon pas réglementaire.
Vous avez le choix : Faire des maths "adaptées", accepter que tout ne soit pas compris d'un seul coup, mettre en place les notions au fur et à mesure de la compréhension des enfants (*); ou continuer, maintenant que la discipline a été dévalorisée socialement par les programmes des années 1970 (convenant, eux, à ceux qui comprenaient vite) à laisser décliner la situation globale.
Bien sûr, c'est simplement de la pédagogie, et certains vont me traiter de pédagogo. Pas grave, je suis en bonne compagnie, avec par exemple Émile Borel, rénovateur des programmes du début du vingtième siècle.
Cordialement
(*) bien sûr, certains comprennent beaucoup plus vite, de même que certains courent plus vite. C'est une question jamais sérieusement prise en compte en France pour les maths (pour ceux qui courent, il y a les sections sportives et sport-études).
Soient $f:A\to \R$ et $g:B\to \R$ deux fonctions d'une partie de $\R$ dans $\R$.
L'ensemble de définition de $f+g$ (resp. $fg$) est $A\cap B$.
L'ensemble de définition de $f\circ g$ est $g^{-1}(A)$.
La fonction $x\mapsto \ln(x-1)$ peut être considérée comme la composée de la fonction $x\mapsto x-1$ et de la fonction $\ln$ (cette dernière étant définie sur $\R$).
Edit : $\ln$ est définie sur $\R_+^*$, c'était une faute de frappe.
Ça ne m’intéresse plus.
Aucun problème pour les lycéens de 1970. Ce n'est "pourri" que pour ceux de maintenant (et surtout les gens qui "n'aiment pas les domaines de définition"). Le domaine, à l'époque, était purement et simplement une question formelle : l'écriture de la définition. C'est ce qu'a pratiqué Ramon Mercader dans son corrigé qui a fait réagir les "puristes".
C'est dommage qu'on rejette le formel ... en maths.
Cordialement.
Quand on écrit $f \colon E \to F$, ça veut donc dire que l'ensemble de définition de la fonction/application $f$ est exactement $E$, pas un sous-ensemble de $E$.
Cette distinction entre fonction et application, héritée de Bourbaki, est tombée en désuétude dans l'enseignement, et par ailleurs n'a jamais été adoptée par la communauté mathématique (et encore moins en dehors de la France). C'est un sujet qui a été maintes fois débattu (sur ce forum par exemple)... Les anglo-saxons parlent de fonction partielle il me semble, mais je ne pense pas que ce soit quelque chose de très utile... Je n'ai jamais rencontré de situations où il est absolument nécessaire et utile de faire la distinction entre fonction et application.
L'auteur du document ci-dessous, qui n'est que normalien, agrégé et docteur doit être complètement idiot....car il enseigne à ses étudiants des notions qui n'ont aucun sens....(voir pages 1 et 5) http://www.normalesup.org/~vripoll/MAT1112_resumes_cours_total.pdf
Je suis loin d'être un "puriste" et j'aurais bien sûr donné tous les points à l'élève Ramon.
Mais ma question n'est qu'à moitié une blague. Quel est le domaine de définition de $f(x)=\frac{x}{x}$ ?
Pour moi, c'est une fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. Pour un lycéen d'aujourd'hui (ou de 1970), j'avoue que je ne sais pas quelle est la "bonne réponse".
@Héhéhé : J'aime bien Bourbaki ;-), en tout cas plus que les programmes du secondaire qui contiennent des énoncés faux (cf l'article de Perrin que je joins).
Et quelle est la valeur de $\;f(0)\;$ ?
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Dans ma pratique, $f(x)=\frac{x}{x}$ et $f(x)=1$ sont deux écritures de la même fonction rationnelle. Pour un lycéen, j'imagine que la fonction $f(x)=\frac{x}{x}$ ne doit pas être définie en $0$.
@Bintje Et bien moi, je trouve que ton énoncé est loin d'être idiot et d'ailleurs je pense que x/x n'est pas définie en 0.
Parce que c'est une formule dans laquelle il y a une division, donc il faut la faire. x/x=1 ssi x non nul.
Après, si on fait de l'analyse et qu'on parle de fonction de la variable réelle, je suppose qu'il vaut mieux dire que $f(x)=\frac{x}{x}$ n'est pas définie en $0$.
(Il est tard, il vaut mieux que j'aille me coucher.)
Par ailleurs fonction rationnelle, ça se dit : wikipedia c'est l'équivalent de fonction polynomiale pour les polynômes.
Ah bon ??? Ces deux fonctions ont le même ensemble de définition ???
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Fraction_rationnelle
$$ (P,Q) \sim (P',Q') \Longleftrightarrow PQ'=P'Q.$$
Si on regarde $(X,X)$ et $(1,1)$, ces couples sont dans la même classe d'équivalence donc définissent la même fraction rationnelle. On a donc bien, au sens des fractions rationnelles,
$$ \frac{X}{X} = \frac{1}{1}.$$
Pour en revenir à la question de $f(x) = \frac{x}{x}$, c'est bien un exemple qui montre que la question de la détermination d'un ensemble de définition à partir d'une formule est foireuse de base, plusieurs réponses sont "acceptables", puisque la question n'est pas précise mathématiquement.
Encore une fois, une fonction ce n'est pas une formule.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_définition
On appelle $g$ la fonction de $ \R$ dans $\R$ définie par par$\;g(x)=1$ pour tout $x \in \R$.
On a$\;f \neq g$ car $f$ et $g$ n'ont pas le même ensemble de définition.
On peut cependant affirmer que $\; \forall x \neq 0\;$, $\;f(x)=g(x)$.
D'autre part, je suis assez d'accord avec ce qu'a écrit gerard0. Effectivement, cette histoire d'ensemble de définition n'est pas commode à formaliser, surtout que l'objet de départ n'est pas une fonction mais une expression (éventuellement une équation ou une inéquation). Cela me paraît totalement illusoire de définir ça formellement de manière compréhensible par des lycéens ; en revanche, déterminer la plus grande partie de $\R$ pour laquelle l'expression a un sens selon ce qui a été vu dans les classes antérieures, c'est quand même compréhensible et formateur. Il me semble dommage d'y renoncer, d'autant que c'est loin d'être le plus gros manque de rigueur auquel les lycéens auront affaire (allons-y franchement : presque rien n'est défini ; ni les réels, ni les axiomes, que ce soit en géométrie, en analyse ou en probas ; on a certainement plein de raisonnements circulaires à cause de ça, etc.).
ressortons la DeLorean et allons proposer un début d'exercice aux élèves de seconde de 1973 .
(Avec une rédaction approximative)
Soit ABC un triangle rectangle en A inscrit dans le cercle C de centre O .
On note C1 le cercle inscrit dans le triangle ABO et soit r1 son rayon .
On note C2 le cercle inscrit dans le triangle ACO et soit r2 son rayon .
On suppose, pour tous les calculs suivants, que AB = 1 et AC = x.
1) Tracer le triangle ABC et les cercles C, C1 , C2 .
Dans ma jeunesse, on aimait faire des constructions à la règle et au compas .
2) Calculer l'aire du triangle ABC et en déduire les aires des triangles ABO et ACO.
3) Calculer la valeur de l'hypoténuse BC et en déduire la mesure du périmètre des triangles ABO et ACO.
Faut bien utiliser le Th. de Pythagore.
4) Montrer que dans un triangle on a la formule S = pr où S est l'aire, p le demi-périmètre et r le rayon du cercle inscrit.
5) En déduire les valeurs de r1 et r2.
6) Calculer le rapport f(x) = r1/r2.
Prolongement :
7) Calculer f(1/x) et montrer que f(x)f(1/x) = 1.
8) Etudier la fonction qui à x appartenant à l'ensemble des réels positifs fait correspondre f(x) .
9) Peut-on avoir f(x) = 2 ? Justifier.
Bien cordialement.
kolotoko
On note $dom(f)$ et $im(f)$ les ensembles (dont l'existence est entraînée par les axiomes courants de théorie des ensembles) des $x$ tels qu'il existe $y$ tel que $(x,y)\in f$ (resp $(y,x)\in f$).
On rajoute souvent un axiome sans le dire aux maths ensemblistes, affirmant que pour toute fonction $f$ et tout $x\in dom(f)$, on a $\left (x,f(x) \right )\in f$, ce qui fait de $f(x)$ l'unique objet en relation avec $x$ pour $f$.
L'ensemble des couples (date/température au sommet du sacré coeur à midi à cette date) est une fonction. Mais la terre ne prend pas une calculatrice pour fixer cette température. Ainsi la notion de fonction comme ensemble de couples est celle qui est véritablement utilisée en physique (liens entre les différentes grandeurs de la nature, déterminant l'une d'entre elles).
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La détermination de "l'ensemble de définition d'une fonction" est surtout -dans les contextes scolaires où il est pratiqué- un exercice syntaxique mal formulé (telles que les choses sont présentées au public il vaudrait mieux parler alors d'ensemble de définition d'une expression). Les gens qui défendent sa pertinence devraient se demander pourquoi cette activité disparaît de la pratique du mathématicien (quid des articles de recherche où on prouve que l'ensemble de définition d'une certaine $\Phi$ est $]3,4[ \cup ]8,+\infty[$ ?).
Avec ma notation ci-dessus, l'ensemble de définition d'une fonction $f$ n'est rien d'autre que $dom(f)$ et le fait que $g:x\mapsto \frac{x}{x}$ n'est pas défini en zéro est juste le constat que $dom(g)=\R \backslash \{0\}$ (édité)(la "fonction inverse" (édité) est la fonction $J:= \{(x,y) \in \R^2 \mid xy=1\}$ et $\frac{x}{y}:=x J(y)$ pour tous $x,y$).
Je ne comprends pas le passage sur « les mathématiciens et leur activité ».
Est-ce que pour devenir mathématicien, il existe une formation initiale ?
Moi je trouve normal que pour devenir Biduleur, la formation initiale ne dispense pas que des activités des Biduleurs et tout aussi normal que cette formation initiale propose des activités qui ne sont jamais effectuées par les Biduleurs.
Tous les mathématiciens savent que 6 fois 7 s’écrit 42 en écriture décimale mais aucun ne passe son temps à essayer de l’apprendre par cœur. Ils l’ont pourtant fait avant, lors de leur formation initiale.
Par ailleurs, de quoi $J$ est-il l'inverse ?
Pourquoi parler de fraction rationnelle, voire de définition ensembliste des fonctions pour dire "Je n'aime pas les exercices de domaine de définition" ?
Tu as raison, Foys, c'est un exercice syntaxique, donc c'est un exercice qu'on doit faire faire(*). La suite de ta phrase montre simplement que tu ne connais pas les élèves de collège/lycée, que tu n'as pas eu à enseigner à cet âge, que tu as même oublié les difficultés de compréhension que tu as eu toi-même (**). Quand tu auras vraiment essayé de faire distinguer à une classe de troisième la notion de fonction de l'écriture avec laquelle on l'a présentée (même à l'époque où on utilisait, en début de collège, ta définition pour la notion de fonction, en seconde, la fonction c'était f(x) !!).
Tu nous fais de beaux cours de logique ou de théorie des ensembles, mais ça n'apporte rien au débat (on le sait tous, et j'avais précisé le mot expression bien avant ton message). Dommage !
Cordialement
(*) on doit apprendre à écrire, sinon on lit mal.
(**) c'est parfois surprenant de voir combien on peut se tromper sur l'âge auquel on a fait telle ou telle distinction "évidente".
correcteurs du Bac ce qu'ils voient chaque année dans leurs copies....
Ben, non, en simplifiant par $\sqrt{1+x^2}$ "en haut et en bas" on obtient $\frac{x}{1} = 2$ et ça je pense que la majorité des TS savent résoudre cette équation. :-D
Je ne suis pas sûr de comprendre ta question.
N'étant ni prof, ni agrégé, ni quoi que ce soit, je ne sais pas ce que mon avis vaut, mais j'ai appris les ensembles de définition au lycée, et je pense que l'idée principale derrière était d'écarter de l'ensemble le plus naturel (le plus simple ? le plus grand en restant simple ? le plus adapté à l'étude de la fonction / du problème ?) sur lequel la fonction pourrait être définie (typiquement $\mathbb{R}$ puisqu'on parle d'une fonction d'une variable réelle) les points qui posent problème (division par zéro, racine ou logarithme d'un nombre négatif, etc...). L'utilisation de l'article défini le laissant supposer qu'on privilégie le plus grand qui fonctionne dans le contexte.
L'ensemble des nombres premiers "fonctionne", mais le choisir suppose donc qu'il y a une raison sous-jacente pour laquelle on choisit de ne pas inclure le reste des réels qui conviennent (il n'est pas optimal): est-on dans un problème d'arithmétique ? Un élève qui répond ça est donc un peu taquin mais probablement bien calé sur les questions.
Vu sous cet angle, « la fonction de la variable réelle f telle que $f(x) = \sqrt{x+1}$ » ne veut pas dire grand-chose, donc cette question peut être considérée comme mal posée. En revanche, déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que $\sqrt{x+1}$ ait un sens pour un élève de lycée, cela me paraît tout à fait faisable. De la même façon, on peut chercher l'ensemble des réels $x$ tels que les deux membres de l'équation à l'origine du fil aient un sens pour un élève de lycée. Pour tout $x$ dans cet ensemble, chacun des deux membres est un réel, donc pour tout $x$ dans cet ensemble, on peut dire si l'équation est vérifiée ou non (en vrai, j'ai écrit cette phrase en pensant aux inéquations : deux réels sont toujours comparables).
Ce genre d'exercice où l'élève est obligé de se demander sous quelles conditions telle ou telle expression est bien définie ne me paraît pas superflu au vu de ce que je vois sur les autres sous-forums (i.e., on voit des gens qui étudient l'arithmétique dans un anneau non principal, ou bien les théorèmes de Sylow, tout en ayant des confusions surprenantes à un niveau bien plus basique).
Ai-je dit le contraire ? Je disais précisément que certains des questionneurs travaillent sur des sujets non tout à fait basiques mais ont des confusions à un niveau très, très basique (le tout début de la théorie des groupes, etc.). C'est pour cela qu'il me semble utile que dès le collège/lycée, les élèves se posent les questions : « Telle expression a-t-elle un sens ? Pourquoi ? Dans quelles conditions a-t-elle un sens d'après ce que j'ai étudié ? » La recherche d'ensembles de définition, peu importe la manière dont on formule la question, était l'occasion de très régulièrement se poser ce genre de questions. C'était un exercice très formateur pour les élèves.
Encore merci !!!!