Une équation
Réponses
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C'est effectivement très utile de savoir quand est-ce que $\ln(1-\sqrt{1-x})$ a un sens avec $x$ un nombre réel, je n'ai jamais dit le contraire, c'est très formateur. Je dis juste qu'on devrait bannir les tournures du style: déterminer "l'ensemble de définition" puisque qu'une fonction est indissociable de son ensemble de définition .
Par exemple, au lieu de dire "déterminer l'ensemble de définition de $f \colon x \mapsto \sqrt{x+1}$, je préfère dire:
1. Déterminer l'ensemble $E$ des nombres réels $x$ tels que $ \sqrt{x+1}$ soit bien défini.
On définit la fonction $f \colon E \to \R$ par $f(x) = \sqrt{x+1}$ pour tout $x \in E$.
2. On continue l'exercice.
@Corto: le problème est qu'il existe une infinité de fonction de la variable réelle telle que $x \mapsto \sqrt{1+x}$. -
Pour moi une fonction de la variable réelle est une fonction dont l'ensemble de départ est R. C'est le problème de faire des énoncés en français, mais si on veut jouer sur les mots je répliquerais que si on voulait faire un flou artistique sur l'ensemble de départ il eut fallu écrire "une fonction d'une variable réelle", mais même à un moment donné, une fonction c'est quand même un ensemble de départ donc s'il n'est pas donné, c'est que c'est l'énoncé qui a un problème et pas l'élève. En outre, je pense que pour résoudre ce genre de situation floue, on a d'autre choix que de faire appel à la bonne foi et donc pour ne pas être trop arbitraire, prendre pour ensemble de départ le moins restrictif possible, et ici c'est R.
Partant de là, encore une fois, le domaine de définition c'est juste le plus grand sous-ensemble de celui de départ pour lequel la fonction est définie, donc ça n'est pas l'ensemble des nombres premiers. -
Héhéhé : ok, c'était ça l'astuce. J'ai tendance à penser que quand on écrit uniquement $f : x \mapsto \sqrt {1+x}$ (après avoir précisé qu'il s'agissait d'une fonction réelle tout de même) son domaine de définition est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression est bien définie. Bon, c'est juste une histoire de convention après tout.
-
@Héhéhé
Oui, cette formulation me va. Je suis contre le fait d'avoir supprimé l'activité en question (ouille, j'ai prononcé un gros mot) car elle me semble très utile. En plus de faire travailler : (a) quand peut-on diviser (b) quand peut-on prendre une racine carrée (c) résoudre des inéquations (d) réfléchir et comprendre intuitivement qu'il faut prendre l'intersection des ensembles trouvés pour chaque portion de l'expression, etc.), il y a un aspect routinier qui peut rassurer l'élève qui travaille raisonnablement sans être un crack. Et comme cela vient souvent en début d'exercice, je pense que ça permet à certains de rentrer dans un sujet et passer le palier de stress initial sans dégâts.
@gai requin
Petit canaillou, tu m'as donc trollé ! ;-) -
"trouver l'ensemble de définition de la fonction de la variable réelle f telle que f(x)=$\sqrt{x-1}$ ''
Et si l'élève répond que f doit être plus grand ou égal 1 on lui compte juste?...(:D -
Bonjour,
je crois que votre problème est que les programmes sont flous et imprécis.
Dans une telle situation le rôle du professeur de mathématiques me parait être de lever les imprécisions, pour éviter les confusions, quitte à sortir des programmes.
La question (déjà vue dans d'autres fils) est très simple et a été résolue par Bourbaki d'une façon qui correspond à ce que j'ai appris en 6ème (je dis bien en sixième) en 74:
- une fonction n'est pas une application (on montre la différence à coup de diagramme sagittal)
- l'ensemble de départ d'une fonction n'est pas le domaine de définition (celui-ci en est un sous-ensemble) à la différence d'une application
- une fonction n'est pas égale à son graphe (= l'ensemble des couples (antécédent, image)), mais à son graphe plus son ensemble de départ, plus son ensemble d'arrivée.
Corollaire: une expression algébrique (ou un ensemble d'expressions) est insuffisante pour définir une fonction, elle ne définit que son graphe potentiel.
Face à une fonction correctement définie, on attend d'un élève qu'il en détermine le domaine de définition (=l'ensemble des antécédents du graphe).
Si celle-ci est définie entre autre par une expression algébrique, on recherche les conditions qui assurent que les dénominateurs sont non nuls et que les radicandes sont positifs.
NB : Une fraction rationnelle est une expression formelle (comme un polynôme), ce n'est pas une fonction (on parle sinon de fonction rationnelle)
Tout cela est finalement très simple.
Désolé si je choque quelques uns, qui, au nom de la modernité, préfèrent des définitions qui me paraissent confuses et embrouiller les élèves.
Cordialement -
"l'ensemble des nombres premiers"
Héhéhé : C'est une situation vécue ?
J'ai vu pas mal de choses, mais jamais ça. -
@Corto Non, tu as bien raison.
Il y a ici confusion entre ensemble de définition et ensemble de départ.
Par ailleurs, je ne comprends pas cette défiance envers l'ensemble de définition,il n'y a aucune différence à dire "trouver l'ensemble des x réels telles que l'expression est définie" et "trouver l'ensemble de définition de la fonction de la variable réelle donnée par cette expression", c'est du français, comme disait Foys (si j'ai bien compris ce qu'il entendait par syntaxique).
A moins que la confusion ne soit entre fonction et application, car la caractéristique d'une application est justement que la distinction entre ensemble de définition et ensemble de départ n'existe pas. -
Mathurin, un graphe peut contenir des sommets adjacents à aucun autre sommet, non ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Nicolas,
oui en théorie des graphes. Là on appelle graphe d'une fonction un sous-ensemble du produit cartésien de l'ensemble de départ par l'ensemble d'arrivée.
Cordialement -
gerard0: non évidemment c'est un exemple poussé à l'extrême, mais je suis gêné si la réponse est par exemple $\R_+$, parce que
$$ \begin{array}{ccc} \R_+ & \longrightarrow & \R \\ x & \longmapsto & \sqrt{1+x} \end{array}$$
est une fonction (au sens d'application) tout-à-fait bien définie.
Ce fil de discussion montre bien que considérer que fonction $\neq$ application conduit à pas mal d'imprécisions possibles dans les énoncés d'exercices. -
Superkarl écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2003868,2006946#msg-2006946
> Par ailleurs, je ne comprends pas cette défiance envers l'ensemble de définition,il n'y a aucune
> différence à dire "trouver l'ensemble des x réels telles que l'expression est définie" et
> "trouver l'ensemble de définition de la fonction de la variable réelle donnée par cette
> expression", c'est du français, comme disait Foys (si j'ai bien compris ce qu'il entendait par syntaxique).
Non, parce que "la fonction de la variable réelle donnée par cette expression" ça ne veut rien dire. Une fonction n'est pas une expression. Je peux trouver une infinité de fonctions qui correspondent à une expression donnée. Une fonction/application est indissociable de son ensemble de définition. -
Non mais je le sais bien d'où le "de la variable réelle" (déjà discuté plus haut http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2003868,2006902#msg-2006902 ). L'énoncé est exactement le même, on fait juste apparaître le mot fonction :
trouver l'ensemble des x réels telles que l'expression est définie
trouver l'ensemble de définition de la fonction de la variable réelle donnée par cette expression
edit :
>Une fonction/application est indissociable de son ensemble de définition.
Tu sembles faire encore la confusion entre ensemble de départ et ensemble de définition. -
Pour compléter, illustrer ce que dit Héhéhé :
On considère la fonction $f$ de $[2;3]$ dans $\R$ définie par :
pour tout $x$ dans $[2;3]$, $f(x)=|x|$.
On considère la fonction $g$ de $[-1;3]$ dans $\R$ définie par :
pour tout $x$ dans $[-1;3]$, $g(x)=|x|$.
Alors la fonction $f$ est dérivable et la fonction $g$ n’est pas dérivable.
Remarque : et oui, je dis « dérivable » tout seul. On pourrait préciser l’ensemble sur lequel $g$ est dérivable.
Il est alors étonnant de demander « le domaine de définition de $x\mapsto |x|$ » même pour une « formule » qui ne pose pas, a priori, de problème avec radical ou dénominateur ou autre « valeurs interdites ».
Mais comme Corto, je pense (enfin c’est même évident, non ?) qu’il y avait l’implicite « trouver le plus grand sous-ensemble patati » (j’entends pour le prof d’abord et pour les élèves, ensuite, après que le prof ait fait des grands gestes).
En fait, j’observe deux choses bien distinctes :
1) l’implicite remis en cause
c’est la sémantique « fonction » et « domaine de définition » qui est contestée mais il n’y a pas de problème de faire chercher l’exercice auquel on pense tous à condition de ne pas utiliser des mots qui ne sont pas les bons.
Je trouve cela on ne peut plus légitime même si je peux faire confiance au prof qui dira « bon, c’est un énoncé très mal posé pour plusieurs raisons mais patati... ».
2) le fond de l’exercice remise en cause
c’est « 1) » et en plus le fond de l’exercice lui-même qui est contesté.
Là, je ne suis pas d’accord. Je pense qu’il est important et pédagogique de faire chercher à des élèves les valeurs pour lesquelles l’écriture « a priori » d’un nombre n’en est pas une. Ce n’est pas en écrivant des symboles que l’on est sûr d’écrire un nombre. Ça m’intéresse, moi, ce point de vue.
Les profs ont peut-être presque gagné la bataille pour qu’aucun élève n’écrive $\dfrac{2}{0}$ quelque part dans une copie. J’ai bien dit « peut-être presque ».
Enfin, je ne crois pas qu’il existe un « 2) » sans le « 1) » inclus (« je n’aime pas le fond de cet exercice mais la consigne, elle, ne me pose aucun problème »). -
Superkarl :
Pour chacune de mes fonctions $f$ et $g$, quels sont selon toi les ensembles de définition et les ensembles de départ ? -
Ou alors sinon il n'y a aucun implicite, les notions de domaine de définition et de fonctions sont des choses très bien définies comme l'a dit Mathurin ou on le voit sur wiki ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2003868,2006720#msg-2006720 ou là http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2003868,2006694#msg-2006694 ou encore comme gai requin l'a dit dès la première page ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2003868,2006560#msg-2006560 et ce qui devrait être remis en question c'est ceux qui remettent en cause.
Et sans aucune agressivité, c'est juste que je préfère préserver l'édifice mathématique que quelques égos. -
Tu n’as pas pu voir mon message précédent, en effet nous avons dû poster en même temps.
Quelqu’un d’autre peut d’ailleurs répondre à ma question.
Édit : ha !
Et est-ce pertinent de demander l’ensemble de départ et l’ensemble de définition de $x\mapsto |x|$ ? -
Si, j'avais édité, voici :
Tes fonctions f et g sont des applications, i.e. les ensembles que tu donnes sont à la fois leurs ensembles de départ et de définition. -
Qu'est-ce qu'on se croise ^^
Non, ça n'est pas pertinent car s'il n'y a pas d'ensemble de départ ça n'est pas une fonction.
Pour reformuler comme avec mon code couleur tout à l'heure, ça revient à demander pour quels x (et ici on enlève toute précision sur x) l'expression |x| est définie, ça peut aussi bien être des matrices que des complexes, ça n'a pas vraiment d'intérêt si on ne restreint pas avec un ensemble de départ. -
Haha en effet on est au taquet !!!
Ok.
J’ingère alors le fait que « fonction » est bien plus générale que « application ».
Et d’ailleurs sur mon parcours je crois n’avoir reçu que des mots « fonctions » dans la majorité des énoncés écrits et discours oraux qui étaient plus précisément des « applications ». Ce n’était pas faux mais bon.... quand on me parle d’un quadrilatère j’aime bien qu’on me précise si c’est un carré le cas échéant surtout si on se sert du caractère carré du machin.
Donc si je te comprends bien, l’exercice suivant est valide :
—-debut—-
On considère la fonction $f$ dont l’ensemble de départ $D$ est $\R$ et l’ensemble d’arrivée $A$ est $\R$ telle que pour tout $x \in D$, $f(x)=1/x$.
Déterminer $D_{def}$ son domaine de définition.
—-fin—-
C’est ça ? C’est valide ?
Bon ça ne m’enlève pas de l’idée que de dire, dès le collège, « pour quels nombres $x$, $1/x$ est l’écriture d’un nombre ? » est quand même un peu plus simple. Et je me fous des subtilités sauf s’il faut se gargariser avec un Bâtard Montrachet, là je réponds présent. -
Pour moi non ça ne va pas, parce que toutes les réponses sous la forme $D_{def} = E$ où $E$ est un sous-ensemble de $\R$ sont valides, car $x \in E \mapsto \frac1x \in \R$ avec $E \subset \R^*$ définit une application.
Ca n'a pas de sens de parler de la fonction dont l'ensemble blabla parce que justement il y en a plein.
C'est tellement plus simple de faire comme le font les programmes: fonction = application. -
[Message modéré. Référence à un message effacé.]
Héhéhé : tu joues*** au rigoriste et maintenant tu veux simplifier ? Il faut savoir.
Cela dit chacun son curseur, je le sais bien...
***ce n’est pas une pique ou une provocation, ni une critique ! -
Ha mais j'ai toujours défendu le choix fonction = application !
Je suis "rigoriste" (pour reprendre ton expression) dans le sens où je n'aime pas les énoncés qui sont flous: je suis contre les énoncés "déterminer l'ensemble de définition" car une fonction ou une application est indissociable de son ensemble de définition (encore une fois une expression n'est pas une fonction). Mais ça c'est un constat valable qu'on fasse le choix fonction = application ou non.
Ensuite, je pense que le choix fonction $\neq$ application rajoute une surcouche de confusion possible pour les élèves qui n'apportent rien de concret (vu qu'on peut toujours prendre $\R$ comme ensemble de départ). -
Pour ma part, ton énoncé est valide Dom (edit : je crois que les collégiens ne savent même pas ce qu'est en ensemble:-(), et Héhéhé l'ensemble de définition est le plus grand sous-ensemble de l'ensemble de départ tel que la fonction est une application, il n'y en a qu'un.
-
EDIT: mal lu.
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Ha si ! Je l’ai écrit !
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@Héhéhé
Je trouve que c'est très laid mais tu devrais relire le message de Dom. $D= \R$, c'est écrit. C'est autre chose qui aurait dû te faire hurler à mon avis (deux autres choses, pour être précis). -
Si, c'est R, et sur l'intérêt de la notion de fonction, je crois que c'est juste pour ne pas se prendre la tête avec les ensembles de définition justement.
Et tu m'as toujours l'air de confondre ensemble de définition et ensemble de départ quand tu dis qu'une fonction est indissociable du premier. -
@Superkarl : les messages se croisent vite, tu devrais utiliser les @ (tu vois à quoi ça sert, Corto ;-)).
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Ok Héhéhé, je suis aussi d’accord que toi sur les énoncés flous (voire « faux » d’ailleurs même si ça ne veut rien dire un énoncé faux....).
Ha ! Je cherche ce qui peut faire hurler... -
@dom: tu as écrit $\forall D \in D=\R,\quad f(x) = \frac{1}{x}$ ce qui ne va pas pour $x = 0$.
@Superkarl: je ne sais plus comment expliquer le problème. Partons du principe que fonction $\neq$ application. On a une fonction $f$ dont l'ensemble de départ est $E$, l'ensemble de définition est $D_f$ et l'ensemble d'arrivée est $F$. La fonction $f$ est indissociable de $E$, $D_f$ et $F$. Si je change l'un des trois, je change la fonction !!! -
Si fonction = application alors pourquoi en troisième et au lycée on utilise seulement le mot fonction?
-
Brian a écrit:Je suis contre le fait d'avoir supprimé l'activité en question (ouille, j'ai prononcé un gros mot) car elle me semble très utile.
Ce n'est pas parce que "l'activité" a été supprimée qu'il ne faut pas la faire....
Et d'ailleurs, QUI a décrété qu'elle devait être supprimée ????
Les adjudants pédagogiques régionaux ????
Les "formateurs" INSPE ????
Les zanimateurs de stages EDNAT ????
Dans tous ces cas, raison de plus pour continuer à rechercher des domaines de définition....Liberté, égalité, choucroute. -
@Superkarl: mais c'est justement là où est l'arnaque! L'énoncé ne peut pas définir une fonction sans donner $E$, $D_f$ et $F$ ! On ne peut pas définir proprement une fonction sans préciser ces trois ensembles.
Par exemple, si on a un énoncé du type: "soit $f$ une fonction avec $E = \R$, $F = \R$ et pour tout $x \in D_f$, $f(x) = \frac{1}{x}$, déterminer $D_f$", on peut très bien répondre $D_f = \{1\}$ (à noter que j'ai parlé d'une fonction et non de la fonction).
Le fait de vouloir que $D_f$ soit le plus grand possible est un implicite qui n'est pas dans l'énoncé. -
Df le plus grand possible n'est pas un implicite, c'est sa définition ;-)
Si c'est le "pour tout x dans Df qui te chagrine, j'ai de toutes façons toujours dit que cette précision n'avait pas d'intérêt.
f :R -> R
x|-> f(x)
suffit ou encore
f:R->R qui à x associe f(x)
ou encore
f:R->R définie par f(x)=...
me vont. -
biely a écrit:Si fonction = application alors pourquoi en troisième et au lycée on utilise seulement le mot fonction?
Parce que l'on a décidé depuis 30 ans, d'abandonner toute rigueur et de ne plus rien définir du CP à la terminale...
Jadis, en 5ème, on parlait de relation d'un ensemble E dans un ensemble F puis de fonction d'un ensemble E dans un ensemble F (qui était un cas particulier de relation) puis d'application d'un ensemble E dans un ensemble F (qui était un cas particulier de fonction)....
Aujourd'hui tout cela est banni de l'enseignement secondaire.....En 3ème, on réalise même l'exploit de parler de fonctions en éludant la notion d'ensemble de définition....Liberté, égalité, choucroute. -
C'est vrai que la disparition des ensembles au collège est plutôt un scandale.
Et puis surtout c'est ce genre de trucs qui donnent un minimum d'intérêts aux maths.
Moi, quand j'enseignais, je devais suivre la progression commune des autres profs de maths, et je me retrouvais à faire un programme qui était l'étirement jusqu'à plus soif des "notions" de la primaire. Les élèves s'ennuyaient et je m'ennuyais autant qu'eux. J'étais piégé comme un rat par le fait que toutes les possibilités de trucs cassant la routine avaient des prérequis dans du hors programme, pour lequel je n'avais pas de temps à consacrer. Je comprends tout à fait le désinvestissement des élèves. -
@Superkarl: $D_f$ peut être n'importe quel sous-ensemble de $E$, il n'a aucune raison d'être "le plus grand possible" (noter que ça ne veut rien dire mathématiquement en plus, sinon $D_f = E$ convient toujours...). Je suis allé voir dans Bourbaki, à la définition de fonction il n'est mentionné nulle part que $D_f$ doit être "le plus gros possible".
As-tu une source qui affirme que $D_f$ doit être "le plus gros possible" ?
La fonction $f$ avec $E = \R$, $F = \R$, $D_f = \R^*$ telle que $f(x) = \frac{1}{x}$ pour tout $x \in D_f$ n'est pas la même que la fonction $g$ avec $E = \R$, $F = \R$, $D_g= \{1\}$ telle que $g(x) = \frac{1}{x}$ pour tout $x \in D_g$.
Pourtant ces deux fonctions vérifie bien l'énoncé: une fonction d'ensemble de départ $\R$, d'ensemble d'arrivée $\R$ et $x \mapsto \frac{1}{x}$ pour tout $x$ dans l'ensemble de définition.
@Biely: dans un contexte où fonction = application, on réserve le terme de "fonction" aux applications dont l'ensemble d'arrivée est $\R$. -
Ok pour dire que pour tout $x$ dans $D$, $f(x)=1/x$ pose problème.
Je me suis d'ailleurs posé la question.
Mais alors par contre les propositions de ne rien écrire sur ce qu'est $x$ me dérange (j'ai vu le débat sur les quantificateurs, j'ai suivi une partie mais pas son intégralité).
Je vous écoute pour une reformulation de :
—-début—-
On considère la fonction $f$ dont l’ensemble de départ $D$ est $\R$ et l’ensemble d’arrivée $A$ est $\R$ telle que :
pour tout $x \in D$, $f(x)=1/x$.
Déterminer $D_{def}$ son domaine de définition.
—-fin—-
Faudrait-il juste effacer le "$\in D$" dans le passage en vert ?
Je n'arrive pas à me faire à $\forall x$ sans qu'il n'y ait rien derrière.
Qui peut me guérir ? -
Des personnes ici semblent imputer à Bourbaki la distinction entre fonction, et application. Je suis allé me replonger dans le volume de théorie des ensembles (édition de 2006, il est fort possible que ça joue!), et cette distinction n'y est pas.
Ci-joint les différentes définitions. Le mot "Graphe" désigne tout ensemble dont chaque élément est un couple. Sans plus de restriction.
Un graphe a un domaine de définition bien défini:
On a la notion de "correspondance". On peut définir des compositions de correspondances, des images réciproques de correspondances... Bref, plein de choses sympathiques.
Enfin, les fonctions:
Et pas de différence entre "fonction" et "application":
Il semble donc que des personnes appellent ici "fonction" ce que Bourbaki appelle "graphe fonctionnel".
Dans le deuxième cas, le domaine de définition est associé au graphe de la correspondance sous-jacente à la fonction, et on ne peut le modifier sans modifier toute la fonction. -
Bon, en gros, il n'y a pas de consensus sur ces questions là.
Plouf... -
Dom,
dans ta formulation ce n'est pas pour tout x de l'ensemble de départ, qu'est définie l'expression, c'est (par définition de celui-ci) pour tout x du domaine de définition; domaine que l'on demande justement de déterminer.
Ce domaine dépend du graphe, donc de l'expression, mais aussi des ensembles de départ et d'arrivée.
Cordialement
NB: Bourbaki appelle le domaine de définition Pr1(G), c'est à dire l'ensemble des éléments du graphe qui sont antécédents. Si le graphe est défini en compréhension par une formule (en plus des ensembles de départ et d'arrivée), c'est donc bien l'ensemble des couples satisfaisant à la formule qui font partie du graphe. Le domaine de définition est donc bien maximal au sens de l'inclusion. Si dans la définition du graphe, la formule ne s'applique qu'à un sous-ensemble donné de l'ensemble de départ, le domaine de définition est réduit d'autant. -
@Héhéhé mes sources :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_définition
et https://fr.wikipedia.org/wiki/Application_(mathématiques)#Fonction_et_application (autre article)wikipédia a écrit:En mathématiques, l'ensemble de définition Df d'une fonction f dont l'ensemble de départ est noté E et l'ensemble d'arrivée F est l'ensemble des éléments de E qui possèdent une image dans F par f, autrement dit l'ensemble des éléments x de E pour lesquels f(x) existe : [...]
Il ne faut pas confondre l'ensemble de définition Df de la fonction f avec son ensemble de départ E. Il arrive toutefois que les deux soient égaux : la fonction est alors une application ; elle est alors dite "bien définie" ou "définie partout dans E".wikipédia a écrit:Dans les années 1950, l'école Bourbaki tente de définir précisément les deux notions. Ainsi peut-on lire dans un projet de rédaction du Livre I, Chapitre II des Éléments de 19547, les définitions suivantes :
La relation R(x,y) est appelée une relation fonctionnelle de type (T × U) si elle satisfait à la condition suivante : quel que soit x, il existe au plus un y tel R(x,y). À toute relation fonctionnelle, on attache un objet nouveau que l'on appelle une fonction;
On appelle champ de définition de la fonction f l'ensemble des éléments x de E pour lesquels il existe y tel que R(x,y). C'est une partie E de E. On dit que f est définie sur E et dans E.
Au lieu de parler d'une fonction définie sur E et prenant ses valeurs dans F, on parle d'une application de E dans F.
Même si, dans la rédaction finale des Éléments de 1970 la fonction est toujours définie sur son ensemble de départ, cette distinction est reprise dans l'enseignement français du secondaire, premier et second cycle, quand, à la suite de la Commission Lichnerowicz, se mettent en place les nouveaux programmes, à partir de 1968. Ainsi voit-on dès la 6e, illustrées par des diagrammes sagittaux, les définitions suivantes:
les relations telles que, de chaque élément de l'ensemble de départ, il part au plus une flèche, s'appellent des fonctions ;
les relations telles que, de chaque élément de l'ensemble de départ, il part exactement une flèche, s'appellent des applications.
En pratique, le fait qu'il suffise de réduire l'ensemble de départ d'une fonction à son ensemble de définition pour la transformer en application rend peu utile ce distinguo.
Cette distinction ne commence à disparaitre des ouvrages scolaires qu'à partir de 1985, à l'adoption de nouveaux programmes mais on trouve encore des ouvrages récents dans lesquels cette distinction est présente13,14,15. -
Je ne vois nul part dans ce que tu as copié que l'ensemble de définition doit être le plus gros possible.
-
Pardon, j'étais en train de le rajouter (premier article, première ligne) : c'est l'ensemble des x de l'ensemble de départ qui ont une image par f dans l'ensemble d'arrivée, donc c'est le plus gros ensemble possible.
-
Ok Mathurin,
En déduis-tu que cet exercice de lycée proposé encore dans les années 90 était parfaitement rigoureux posé comme ça ?
—énoncé—
On considère la fonction $f$ dont on note l’ensemble de définition $D_{def}$, dont l’ensemble de départ $D$ est $\R$, dont l’ensemble d’arrivée $A$ est $\R$ et telle que :
pour tout $x \in D_{def}$, $f(x)=1/x$.
Déterminer $D_{def}$.
—-fin—-
On semble bien voir le problème :
on dit « le bidule tel que pour tout x étant machin, patati », puis, « trouver machin ». -
@Superkarl: Non là tu interprètes, ce n'est pas ce qui est dit. Ça dit juste qu'il faut que $f(x) \in E$ pour tout $x \in D_f$.
Dans mon exemple de fonction $f$ définie par $E=F = \R$, $D_f = \{1\}$ et $f(x) = \frac{1}{x}$ pour tout $x \in D_f$, il est vrai que : tout élément dans $D_f$ a une image dans $F$. -
@ héhéhé
''on réserve le terme de "fonction" aux applications dont l'ensemble d'arrivée est R''
Il me semblait que dans ce cas on utilise le terme ''fonction numérique''.
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