En l'absence de toute limitation par rapport aux ensembles de départ et d'arrivée dans la formule, on prend le graphe comme étant l'ensemble (maximal par définition) de tous les couples satisfaisant à la formule dans les ensembles de départ et d'arrivée.
En mathématiques, l'ensemble de définition Df d'une fonction f dont l'ensemble de départ est noté E et l'ensemble d'arrivée F estl'ensembledes éléments de Equi possèdent une image dans F par f, autrement dit l'ensemble des éléments x de E pour lesquels f(x) existe :
Df = {x appartenant à E| il existe y dans F / y = f(x)}
(si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi la barre est oblique au deuxième "tel que" et quel serait le séparateur s'il y avait un troisième "tel que" ?)
(désolé si je n'avais pas écrit la formule au départ, je ne m'y connais pas en LaTeX, j'ai préféré gagné du temps d'autant qu'apparemment mes messages sont refusés quand je recopie des symboles mathématiques).
Donc, pourquoi c'est le plus grand, ben soit G un ensemble sur lequel f est défini, montrons que G est inclus dans Df tel que défini en couleurs.
Si x appartient à G, alors déjà x appartient à E, et en outre puisque f est définie sur G, f(x) existe dans F càd il existe y dans F / y = f(x). Or ce qui est en gras montre que x appartient à Df, donc G est inclus dans Df.
Extrait d'une feuille d'exercices de L1 dans une université quelque part en France....
La domainededéfinitionite serait-elle plus contagieuse que le Covid 19 ?????
En toute rigueur il faudrait donner les règles exhaustives d'analyse syntaxique d'une expression telle que "$x\mapsto e^{\frac{1}{x}} \sqrt{|x(x+2)|}$" pour donner une réponse mathématique incontestable à ce genre de question.
99% des profs de maths en sont probablement totalement incapables sans parler des élèves. Sous prétexte de livrer un enseignement "intuitif", on abandonne totalement les élèves face à ces écritures et leur représentation mentale de ça se cristallise sur une interprétation qui est soit la bonne ou presque, et alors l'élève enchaîne les 18/20 sans jamais travailler, soit une mauvaise et c'est le psychodrame permanent. Et même à ton époque ce n'était pas forcément mieux.
A nouveau, le choix bourbachique a été pertinent -on donne l'ensemble de définition des applications dont on parle d'abord- (en gros la conséquence de cette attitude est in fine d'abandonner ce genre d'exo et de définir tout ce dont on parle au préalable, y compris les ensembles où les fonctions prennent leurs arguments, ce qui est la pratique de tout le monde chez les gens dont la science est le métier).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Mes deux captures d'écran ci-dessus montrent simplement que deux personnes [size=large]TRES COMPETENTES[/size] demandent à leurs étudiants de chercher des domaines de définition....
C'est pour cela que j'ai vraiment envie de rire lorsque je lis les propos de ceux qui affirment que poser de telles questions n' a aucun sens....
@Superkar: donc pour toi, $f \colon \R \to \R$ ayant pour domaine de définition $D_f = \R^*_+$ définie par $f(x) = \frac{1}{x}$ n'est pas une fonction :-S
J'ai l'impression que tu confonds ensemble de définition avec: plus grand ensemble pour lequel je peux prolonger l'expression de $f(x)$...
c'est rare, mais sur ce coup je suis 100% d'accord !
J'ai l'impression d'entendre les IPR de 1970 interdire d'utiliser "domaine de définition" pour $x\mapsto \frac 1 x$ parce que "un domaine c'est connexe" (je n'ai jamais su où ils avaient trouvé ça) et aussi celui qui reprochait à un prof de première S de ne pas utiliser les bases de filtre pour présenter les limites car "comment feront-ils pour entrer à Polytechnique?".
Finalement, on peut très bien s'en sortir dans le secondaire (et au-delà) sans froisser Bourbaki ni Héhéhé ;-) :
Pour cela, il suffit de se donner l'ensemble de départ $A$, l'ensemble d'arrivée $B$ et le graphe fonctionnel $F$.
Exemple : Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f:\;]0;+\infty[\to\R$ dont le graphe a pour équation $y=\sqrt{1-x}$ (ce qui résume $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$).
Ramon Mercader: tes exemples pourraient avoir été écrits par n'importe qui et ne sont pas vraiment significatifs. De plus dans le deuxième les lettres apparaissant dans les expressions ne sont pas liées (la réponse à la première est-elle censée être la même que pour l'expression $\frac{2ay^2}{a^2+y^2}$ ?)
On peut en rire mais moi je mets au défi les gens de proposer une implémentation informatique de définition crédible d'ensemble de définition (et qui puisse servir à ce genre d'exercice scolaire; une formalisation dans un vérificateur de preuve par exemple).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Héhéhé Le domaine de définition est une propriété qui se déduit de la fonction, tu ne peux pas décider que le domaine de définition est R*+. C'est comme si tu me demandais si, pour moi, la fonction R->R x|-> ln(x) ayant pour dérivée x² n'était pas une fonction ?
Tu ne peux pas plus décider de la dérivée d'une fonction que de son domaine de définition.
Superkarl,
tu peux restreindre la validité de la formule au cas où x est strictement positif. Dans ce cas le domaine de définition est modifié d'autant. (Tu peux aussi déterminer une autre formule pour les cas où x est négatif ou nul.)
La formulation de héhéhé me parait malheureuse, mais le cas qu'il évoque est tout à fait possible
(on ne dit pas "dont le domaine est truc et la formule est bidule",mais "dont si x est dans truc, la formule est bidule. Le domaine s'en déduisant." Et tout cela sans changer l'ensemble de départ)
On pourrait même faire des trucs rigolos du style :
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f:\;]0;+\infty[\to\R$ dont le graphe a pour équation $x^2+y^2=0$. :-D
Foys, je ne comprends pas cet argument :
« [...] mais moi je mets au défi les gens de proposer une implémentation informatique de définition crédible d'ensemble de définition (et qui puisse servir à ce genre d'exercice scolaire; une formalisation dans un vérificateur de preuve par exemple). »
Foys, je ne comprends pas cet argument :
« [...] mais moi je mets au défi les gens de proposer une implémentation informatique de définition crédible d'ensemble de définition (et qui puisse servir à ce genre d'exercice scolaire; une formalisation dans un vérificateur de preuve par exemple). »
C'est pour répondre à Ramon et aussi pour signaler au passage que le concept d'ensemble de définition d'une expression (car c'est bien de ça qu'il s'agit quand on parle de ces exos de détermination d'ensemble de définition) est difficilement formalisable (préalable indispensable à une véritable activité déductive) et dans les faits, pas du tout formalisé.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Ha.
« Le plus grand ensemble tel que » c’est pas bien ?
Ça m’évoque « la solution maximale » pour les équations différentielles.
Ou plus simplement les équations.
J'arrive peut-être après la bataille, mais tant pis. Il me semble que tu devrais relire les messages de ce fil qui insistent sur le mot expression (sauf erreur, il y a eu gerard0, Foys et moi). Je crois que c'est à cause de ça que toi et Héhéhé avez du mal à vous comprendre — en plus des différentes définitions possibles du mot fonction.
J'ouvre une (grosse) parenthèse. Le truc sur lequel tu insistes et pour lequel tu veux qu'il vérifie une propriété de maximalité ne peut être défini proprement qu'à partir d'une expression telle que $\sqrt{x-1}$. C'est une histoire de syntaxe et pas si facile que ça à définir proprement (grammaires formelles, etc.). Pourquoi ? Soit $A = \R$. Est-ce que :
\[ \{ x\in A \: \vert \: \sqrt{x-1} \text{ est défini} \} \]
est un ensemble que l'on peut obtenir facilement en utilisant des axiomes de ZF, une construction de $\R$ et la fonction racine carrée ? Comment traduis-tu « est défini » avec les axiomes de ZF ? J'ai vu que certains utilisent cette pirouette :
\[ \{ x\in \R \: \vert \: \sqrt{x-1} \in \R \} \]
Je ne sais pas ce qu'en pensent les logiciens, mais je n'aime pas trop. En effet, pour que ce soit correct, il faut, me semble-t-il, que le prédicat $P$ à une variable défini par $P(x) := (\sqrt{x-1} \in \R)$ soit défini sur tout $\R$, or il ne n'est pas. Lorsqu'on définit proprement une fonction avec son graphe, la notation $f(x)$ désigne le deuxième élément du seul couple du graphe (fonctionnel) de $f$ dont le premier élément est $x$. C'est une abbréviation. Mais on ne définit pas $f(x)$ pour $x$ en dehors de l'image du graphe par la première projection, donc on ne peut pas dire si $P(0)$ est vrai ou faux, par exemple : $P(0)$ est une abréviation pour $\sqrt{-1} \in \R$, et $\sqrt{-1}$ n'est pas une abréviation qui a été définie (tout le monde ne s'appelle pas Leonhard Euler ;-)). En conséquence, selon moi, la pirouette est bidon car elle utilise implicitement des écritures non définies. Fin de la parenthèse.
Si tu pars d'une fonction $f$, tu as un graphe sous la main, quelle que soit la définition. Si on a le graphe, l'ensemble de définition est l'image de ce graphe par la première projection : c'est une trivialité, il n'y a aucun intérêt à le « rechercher ».
Si tu te restreins à une partie de ce graphe, tu peux fabriquer une autre fonction (satisfaisant à la même expression pour les zolis exemples de lycée... mais de manière générale, il n'y a pas d'expression—cf. exemple de Foys avec l'évolution de la température au sommet de tel ou tel monument). Si tu as fait ça et arrives à une fonction $g$ restriction de $f$, tu ne peux pas retrouver $f$ à partir de $g$. Tu n'as qu'une partie du graphe de $f$ et aucune expression pour te dire quels couples il faudrait rajouter au graphe de $g$ pour obtenir quelque chose de « maximal » (critère mal défini dans ce cas : un graphe dans ce contexte, c'est juste un ensemble de couples !).
@brian : Selon Bourbaki, un graphe $F\subset A\times B$ est fonctionnel ssi pour tout $x\in A$, il existe au plus un $y\in B$ tel que $(x,y)\in F$.
$f=(F,A,B)$ est une fonction ssi $F$ est fonctionnel.
Si $f=(F,A,B)$ est une fonction, son ensemble de définition est $D_f=\{x\in A;\exists y\in B\;\; (x,y)\in F\}$.
gerard0 écrivait:
-------------------------------------------------------
> ... parce que "un domaine c'est connexe" (je n'ai jamais su où ils avaient trouvé ça) ...
Peut-êre parce qu'en analyse complexe on définit un domaine comme un ouvert connexe et qu'ils ont fait un gros amalgame ?
Je ne peux pas trop détailler (téléphone), mais pour moi, tu triches (avec tout le respect, etc. ;-)). Tu utilises la définition avec graphe pour montrer comme c'est facile, mais tu ne montres rien : j'ai écrit précédemment que définir ou "trouver" l'ensemble de définition à partir du graphe est une trivialité. Mais les exercices intéressants ne donnent pas un graphe de fonction, sinon, ce serait sans intérêt. Ils donnent une expression. Avec une expression, si tu écris l'ensemble $F$ comme dans ton lien, il n'est pas bien défini car par exemple, pour tous les couples dont la première composante est 2, le prédicat utilisé pour la définition en compréhension fait appel à une abréviation non définie (à savoir $g(-1)$, où $g$ désigne la fonction racine carrée). En effet, ton Bourbaki ne définit pas $g(x)$ pour une fonction $g$ lorsque $x$ est hors de l'image du graphe par la première projection, que je sache ?
P.S. : pas la peine de me rappeler des choses aussi basiques que le "au plus", merci...
Pour Bourbaki, $f = (F, A, $ est une fonction ssi le graphe est fonctionnel ET d'ensemble de définition $A$. (extrait de Théorie Des Ensembles, édition de 1977, mon édition papier de 2006 dit la même chose).
@Brian Très sincèrement, la logique en tant que branche des maths n'est pas du tout mon truc, j'ai googlé prédicat mais ce que j'ai vu m'a plutôt dissuadé d'aller plus loin :-D
Bon après, d'un point de vue informatique, comment vois-je les choses, hé bien comme ceci :
Le PC lit la formule du style sqrt(x-1) / x².
Au fur et à mesure qu'il lit les instructions, il élimine des trucs du domaine de départ :
sqrt( <- Ah ! ce qui va être dans les parenthèses doit être positif sinon ça n'est pas défini
x <- c'est défini partout, on continue
- <- la soustraction est une opération définie partout, on continue
1<- RAS
) <- OK, donc x-1 doit être plus grand que 0, d'où x plus grand que 1
/ <- ce qui suit doit être non nul, sinon cette opération n'est pas définie
x² <- ça c'est défini partout, par contre maintenant ça doit être non nul, on doit donc éliminer 0 de l'ensemble de définition
Et voilà, je ne sais pas si ça répond à ta question, à laquelle j'avoue avoir peu compris :-o
@brian : Je n'y connais pas grand chose à la théorie des ensembles.
Je suis quand même surpris que $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$ soit mal défini.
Je vais regarder l'axiome de compréhension pour essayer de comprendre ton objection.
Merci et bonne soirée
Je précise que moi non plus ne suis pas du tout un spécialiste de la théorie des ensembles. Je lis le forum, j'ai lu attentivement les fondements dans quelques livres (RDO, Tout en un license 1re édition...) ainsi que wikipédia sur certains axiomes de ZF.
Je regarde ton $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$ et j'essaie de le définir naïvement en utilisant le schéma de compréhension tel que wikipédia le donne :
\[ \forall a_1, \dotsc, a_p, \forall A, \exists B,
\forall u, \bigl[ u\in B \iff (u \in A \text{ et } P(u, a_1, \dotsc, a_p)) \bigr] \tag{SC} \]
Soient $A := ]0;+\infty[ \times\R$ et $P$ le prédicat binaire défini par $P(u, f) := (u[1] = f(1-u[0]))$, où les notations avec crochets donnent les composantes d'un couple. En notant $g$ la fonction racine carrée et en appliquant bêtement (SC) avec ce $A$, ce prédicat $P$, $p = 1$ et $a_1= g$, j'obtiens :
\[ \exists B, \forall u, \bigl[ u \in B \iff (u \in ]0;+\infty[ \times\R \text{ et } u[1] = g(1-u[0])) \bigr] \]
Je réécris :
\[ \exists B, \forall u, \bigl[ u \in B \iff (\exists x\in ]0;+\infty[, \exists y \in \R, u = (x,y) \text{ et } y = g(1-x)) \bigr] \]
Soit $B$ un tel ensemble. Je veux savoir si le couple $(2, 0)$ appartient à $B$. D'après ce qui précède :
\[ (2,0) \in B \iff (\exists x\in ]0;+\infty[, \exists y \in \R, (2,0) = (x,y) \text{ et } y = g(1-x)) \]
donc :
\[ (2,0) \in B \iff (x=2, y=0 \text{ et } y = g(1-x)) \]
donc :
\[ (2,0) \in B \iff 0 = g(-1) \]
$(2,0)$ est-il élément de $B$ (c'est-à-dire de ton $F$ que j'ai essayé de définir naïvement avec (SC)) ? Il est impossible de le dire car la notation $g(-1)$ n'a été définie nulle part étant donné que $-1$ n'appartient pas à $[0,+\infty[$, qui est l'image par la première projection du graphe de $g$ (la fonction racine carrée). Je te renvoie pour ce dernier point (le sens de l'abréviation $g(-1)$) à la définition de Bourbaki donnée par Chat-maths (merci !).
L'assertion $0 = g(-1)$ n'a aucun sens avec cette définition de la notation $f(x)$ pour une fonction $f$ donc, à mon avis, on ne peut même pas dire que $(2,0) \in B$ est indécidable. Selon moi, c'est juste du charabia, tout comme la définition de $B$ qui fait intervenir $P(u, g)$ pour des valeurs de $u$ telles que $P(u, g)$ est du charabia (une infinité de valeurs ; j'en ai seulement pris une pour l'exemple : $(2,0)$).
Je ne sais pas comment Bourbaki définit les sommes, produits, quotients, composées de fonctions, etc., mais en se limitant par exemple aux fonctions définies sur une partie de $\R$ et dont l'ensemble d'arrivée est $\R$, il me semble que l'on peut facilement définir proprement le triplet (graphe, ens. de départ, ens. d'arrivée) pour que la fonction obtenue à l'issue de chacune de ces opérations soit systématiquement définie sur la partie de $\R$ la plus grande possible (on a juste besoin d'intersections et de l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée par une fonction). Avec ceci et la définition d'ensemble de définition donnée par Chat-maths, il me semble que l'on peut définir sans problème l'ensemble de définition « maximal » de $g\circ f$ où $f\colon \R\to \R$, $x\mapsto 1-x$ et $g\colon [0,+\infty] \to \R$ est toujours la fonction racine carrée. Reste que dans les exercices, ça ne se présente pas directement comme une composée (+ sommes, produits, etc.) de fonctions : il faut interpréter l'expression algébrique « en $x$ » et la traduire sous une forme du genre $h\circ(f+g/k)$ (où toutes les lettres représentent des fonctions) pour appliquer ce que j'ai proposé dans ce dernier paragraphe.
J'espère que je n'ai pas écrit trop de bêtises. Sur ce, bonne nuit !
Édits :
$[0,+\infty]$ remplacé par $[0,+\infty[$ à un endroit ;
amélioration de la rédaction après l'énoncé du schéma de compréhension ($P(u, f)$ défini sans avoir déjà fixé $f$, hum).
Salut brian et merci d'avoir détaillé le schéma de compréhension.
J'ai quand même envie de dire que, par définition, $g$ est une fonction de $\R$ dans $\R$ d'ensemble de définition $]0;+\infty[$ donc $-1$ n'a pas d'image par $g$ donc $g(-1)\neq 0$ donc $(2,0)\notin B$.
Comme tu l'auras compris mais pour que ce soit bien clair, je ne m'autorise pas à écrire $g(-1)\neq 0$ car je ne sais pas du tout ce que représente l'écriture $g(-1)$. Il se peut peut que j'aie tort ; attendons de voir ce qu'en pensent les personnes plus compétentes.
Evidemment, c'est moins subtil que ce que propose @Bisam, mais cela reste néanmoins hors de portée de beaucoup d'élèves de terminale ...
Proposez cette équation le jour du Bac et c'est le carnage assuré !!!
Voici la solution d'une de mes meilleures élèves de 1ère (elle a dit à la fin "Monsieur y a un problème")
Sur l'ensemble des deux groupes de 1ere (67 en tout), j'en ai je pense une dizaine de son niveau, mais il faut dire que je les ai pas mal entrainés et que cette élève est très consciencieuse, en particulier on a fait presque tout le TD0 (tout est faisable en 1ere) de la MPSI3 de Montaigne :
Elle a des petits progrès à faire sur les racines carrées et les équivalences, mais elle a d'elle-même fait une démarche d'analyse-synthèse (à part que pour l'analyse, elle aurait dû se limiter à des implications).
C'est une erreur "modèle". Il serait intéressant qu'elle cherche et qu'elle trouve ce qui cloche.
J'aurais tendance à dire qu'en utilisant de suite des équivalences (on peut supposer qu'elle le fait de façon automatique), elle ne cherche pas vraiment à faire l'analyse. Si elle mettait des implications simples, elle ferait peut-être plus attention à vérifier qu'il y a ou non équivalence en faisant la synthèse.
Rhô, moi qui essayais d'être à peu près aussi bienveillant que Dom... tu casses tout, Sato. Cela dit, je crois que tu as raison sur le fond : il n'y avait probablement pas de démarche analyse-synthèse consciente, mais plutôt « je résous du mieux que je peux » puis « je vérifie car on ne sait jamais, je peux m'être trompée ».
Et pourquoi on ne pourrait pas écrire g(-1) ?
Oui, ça n'est pas défini, mais je pense que si on se refuse à écrire des choses indéfinies, c'est par peur de s'en servir par inadvertance ensuite, mais si juste après avoir écrit g(-1) - et même grâce à l'écriture g(-1) que le PC pourra analyser comme non définie par la lecture "humaine" précédemment indiquée - on dit qu'on ne sait pas quoi faire de ça et que par conséquent cette piste s'arrête, je ne vois pas le souci.
Désolé, mais je ne vois pas très bien ce que le PC, la lecture "humaine" et le mot « piste » viennent faire là. Dans ce message, j'ai essayé de détailler pourquoi $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$ n'est pas un ensemble que je sais définir à partir du peu que je connais ou crois connaître de ZF(C), d'une construction des entiers, de $\R$, de la racine carrée (tout ça, je sais faire) et de la définition de fonction de Bourbaki citée par Chat-maths. Les considérations intuitives du genre « piste qui s'arrête » ne rentrent pas dans ce cadre...
D'après la définition de fonction de Bourbaki, la notation $f(x)$ lorsque $f$ est une fonction n'est définie que si $x$ est un élément de l'ensemble de définition de $f$, ce dernier étant est l'image du graphe de $f$ par la première projection. Dans ces conditions, l'écriture $g(-1)$ de l'exemple que j'ai détaillé n'est pas définie. Ce $g(-1)$ ne veut donc rien dire pour moi, par conséquent je ne me permettrai pas de dire qu'il est différent de $0$, ou que sais-je d'autre. C'est ainsi que je vois les choses. Si tu veux pouvoir dire que $g(-1) \neq 0$, je t'invite à donner une définition générale de la notation $f(x)$ qui étend la définition de Bourbaki (parce qu'on utilise ça tout le temps) et qui s'applique dans ce cas particulier. Si $f$ est une fonction et $x$ un <je te laisse le soin de préciser> comment définis-tu donc $f(x)$ ?
@ kolotoko : je ne trouve pas très pédagogique l'utilisation d'équivalences dans la résolution d'équations (au niveau du collège/lycée) pour la raison que Ramon met en évidence. Le fait que à un certain point du calcul on soit obligé d'introduire des conditions supplémentaires qui ne se retrouvent pas dans l'énoncé initial du problème pour garantir l'équivalence entre des différentes étapes du calcul et que l'élève peut perdre en cours de route ou même ne pas être conscient qu'il faille les introduire.
Pour cette raison je trouve que le raisonnement par analyse synthèse est plus propre et simple pour les élèves.
Mais pourquoi dans ce sous-forum, vous vous écartez toujours de la pédagogie et vous commencer à étaler vos connaissances post-bac? Vous écartez ainsi du sujet... En quoi cela peut aider le professeur et ses élèves??? Vous êtes tous intelligents, montrez-vous vos diplômes et calmez-vous un peu! :-D
@SchumiSutil, elle a fait une grosse erreur au début, elle n'a pas vérifié que $1+x^2$ est positif, bien que c'est trivial, il fallait le faire. Cela doit être le réflexe. Mais bon ici, cela ne suffit pas. Soit on fait comme Ramon (c'est long), soit on fait comme la fille : on trouve la solution, on vérifie qu'elle ne vérifie pas l'égalité et on conclut que l'équation n'a pas de solution réel. Il lui manque la conclusion. A mon avis jusqu'à présent elle n'a jamais vu des équations qui n'admettent pas de solution ou en a vu très peu. Elle pense probablement, qu'elle s'est trompée.
Aucun élève n'est arrivé jusqu'à la conclusion (pas de solution ou l'ensemble vide)?
Revenant à vos discussion sur le "domaine de définition". En Russie, les écritures à l'école sont standardisés et les principales méthodes (p.ex. un seul algorithme pour faire une addition/soustraction posée, en France il y en a 3). De même pour la notation des fonctions. La notation :
$f$ : $blabla$ $\to$ $machin$
n'est presque jamais utilisée (ou oui oui!). Elle est utilisée au post-bac. Par contre pour chaque fonction, dès qu'il y en a une, il faut trouver l'ensemble de définition $\mathcal{D}(f)$ et l'ensemble des solutions $\mathcal{E}(f)$. Cela doit être un réflexe. Dans le livre d'accompagnement d'un manuel j'ai lu une explication : si dès le départ on donne $f$ : $blabla$ $\to$ $machin$ , les élèves ne comprendront jamais le pourquoi et le comment des $blabla$ et $machin$. Et une fois arrivés en post-bac, où il faut maîtriser les fonctions et commencer à modéliser, ils seront amener à poser par eux-mêmes $blabla$ et $machin$. Personne ne le fera à leurs place. Comment pourront-ils faire s'ils ne savent pas trouver des choses banales comme les domaines de définition et de solutions? Bien sur, les applications, la bonne écriture et toutes les nuances que vous avez évoqué ici sont enseignés en 1 semestre 1 année. Mais pour acquérir une aisance et des bonnes réflexe, ce temps-là n'est pas suffisant s'il faut reprendre tout à partir de zéro.
D'ailleurs "image" et "antécédent" ne font pas non plus partie du programme scolaire. Quand on dessine les courbes des fonctions dans un repère, on nomme pas ces courbes, mais on écrit à côté. Par exemple : $f(x)=1/x$ ou $y=1/x$.
Si vous pensez que les élèves ne maitrisent pas les fonctions, vous vous trompez. Les fonctions de référence du programme français sont maîtrisé avant le lycée, au lycée on y ajoute les 4 fonctions trigonométriques (voire plus), les fonctions exponentielles de base $a$ et $e$, de même pour l’algorithme. L'élève sait dessiner la courbe représentative d'une fonction donnée (même composée) à la main sans calculatrice. L'élève sait résoudre les (systèmes) (in)équations graphiquement.
On revient encore une fois de plus sur le dilemme : faut-il enseigner dès le départ les bonnes définitions et des notations exactes ou il faut rester dans le flou afin que les élèves puissent apprendre les choses. Mon avis rejoins l'avis de ceux, qui ont dit ici, qu'il est import d'enseigner le domaine de de définition.
P.S. à mon époque, dans une école non spécialisée en maths-physique, il y avait que des suites arithmétiques et géométriques, on ne parlait pas d'applications. Les limites étaient survolés, il n'y avait que le concept intuitive pour comprendre la dérivée etc. Bon, les études duraient 10 ans contre 12 en France. Mais quand je suis arrivé ici en 2003, je n'ai pas eu de gros difficultés pour rattraper certaines choses. Dans d'autres chose, on était en avance. L'écart des connaissances entre BAC russe et BAC ES (version 2002) était comblé en 4 mois. Je ne peux rien dire pour BAC S, mais je sais que arrivant à BAC +3 l'écart était comblé, il n'y avait plus de différence.
P.S.S. les écoles spécialisées en maths-physiques sont très peu nombreuses et ne sont que dans les grandes villes. Le programme des examens d'entrée dans les facs de science n'utilisait pas le hors programme vu dans ces écoles.
Réponses
Mais on voit bien que chacun a son acception de tous ces termes.
oui cela me parait bien.
En l'absence de toute limitation par rapport aux ensembles de départ et d'arrivée dans la formule, on prend le graphe comme étant l'ensemble (maximal par définition) de tous les couples satisfaisant à la formule dans les ensembles de départ et d'arrivée.
Cordialement
Voilà encore quelqu'un qui pose à ses étudiants des questions qui n'ont aucun sens...
Quelle incompétence tout de même !!!!
Non, ça n'est pas la formule indiquée : Df = { x appartenant à E | il existe y dans F / y = f(x) }
(si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi la barre est oblique au deuxième "tel que" et quel serait le séparateur s'il y avait un troisième "tel que" ?)
(désolé si je n'avais pas écrit la formule au départ, je ne m'y connais pas en LaTeX, j'ai préféré gagné du temps d'autant qu'apparemment mes messages sont refusés quand je recopie des symboles mathématiques).
Donc, pourquoi c'est le plus grand, ben soit G un ensemble sur lequel f est défini, montrons que G est inclus dans Df tel que défini en couleurs.
Si x appartient à G, alors déjà x appartient à E, et en outre puisque f est définie sur G, f(x) existe dans F càd il existe y dans F / y = f(x). Or ce qui est en gras montre que x appartient à Df, donc G est inclus dans Df.
Donc Df est le plus grand ensemble possible.
La domainededéfinitionite serait-elle plus contagieuse que le Covid 19 ?????
En toute rigueur il faudrait donner les règles exhaustives d'analyse syntaxique d'une expression telle que "$x\mapsto e^{\frac{1}{x}} \sqrt{|x(x+2)|}$" pour donner une réponse mathématique incontestable à ce genre de question.
99% des profs de maths en sont probablement totalement incapables sans parler des élèves. Sous prétexte de livrer un enseignement "intuitif", on abandonne totalement les élèves face à ces écritures et leur représentation mentale de ça se cristallise sur une interprétation qui est soit la bonne ou presque, et alors l'élève enchaîne les 18/20 sans jamais travailler, soit une mauvaise et c'est le psychodrame permanent. Et même à ton époque ce n'était pas forcément mieux.
A nouveau, le choix bourbachique a été pertinent -on donne l'ensemble de définition des applications dont on parle d'abord- (en gros la conséquence de cette attitude est in fine d'abandonner ce genre d'exo et de définir tout ce dont on parle au préalable, y compris les ensembles où les fonctions prennent leurs arguments, ce qui est la pratique de tout le monde chez les gens dont la science est le métier).
Mes deux captures d'écran ci-dessus montrent simplement que deux personnes [size=large]TRES COMPETENTES[/size] demandent à leurs étudiants de chercher des domaines de définition....
C'est pour cela que j'ai vraiment envie de rire lorsque je lis les propos de ceux qui affirment que poser de telles questions n' a aucun sens....
Ceux qui ont rédigé les deux documents ci-dessus font partie des 1%....
J'ai l'impression que tu confonds ensemble de définition avec: plus grand ensemble pour lequel je peux prolonger l'expression de $f(x)$...
c'est rare, mais sur ce coup je suis 100% d'accord !
J'ai l'impression d'entendre les IPR de 1970 interdire d'utiliser "domaine de définition" pour $x\mapsto \frac 1 x$ parce que "un domaine c'est connexe" (je n'ai jamais su où ils avaient trouvé ça) et aussi celui qui reprochait à un prof de première S de ne pas utiliser les bases de filtre pour présenter les limites car "comment feront-ils pour entrer à Polytechnique?".
Cordialement.
Une personne me prend vivement à partie lors de cette discussion puis affirme plus tard:
Or, il semblerait que d'excellents mathématiciens posent ce type de questions à leurs étudiants....
Qui dois-je croire ????
Pour cela, il suffit de se donner l'ensemble de départ $A$, l'ensemble d'arrivée $B$ et le graphe fonctionnel $F$.
Exemple : Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f:\;]0;+\infty[\to\R$ dont le graphe a pour équation $y=\sqrt{1-x}$ (ce qui résume $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$).
On peut en rire mais moi je mets au défi les gens de proposer une implémentation informatique de définition crédible d'ensemble de définition (et qui puisse servir à ce genre d'exercice scolaire; une formalisation dans un vérificateur de preuve par exemple).
Peut-être....mais ils n'ont pas été écrits par n'importe qui.....
Attention, tu vas te faire taper sur les doigts....
Tu ne peux pas plus décider de la dérivée d'une fonction que de son domaine de définition.
tu peux restreindre la validité de la formule au cas où x est strictement positif. Dans ce cas le domaine de définition est modifié d'autant. (Tu peux aussi déterminer une autre formule pour les cas où x est négatif ou nul.)
La formulation de héhéhé me parait malheureuse, mais le cas qu'il évoque est tout à fait possible
(on ne dit pas "dont le domaine est truc et la formule est bidule",mais "dont si x est dans truc, la formule est bidule. Le domaine s'en déduisant." Et tout cela sans changer l'ensemble de départ)
Cordialement
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f:\;]0;+\infty[\to\R$ dont le graphe a pour équation $x^2+y^2=0$. :-D
Oui, j'essaie surtout de trouver où est le problème.
@Héhéhé
Avec un ensemble de départ, un ensemble d'arrivée, un graphe (généralement une formule remplace avantageusement ce dernier).
« [...] mais moi je mets au défi les gens de proposer une implémentation informatique de définition crédible d'ensemble de définition (et qui puisse servir à ce genre d'exercice scolaire; une formalisation dans un vérificateur de preuve par exemple). »
« Le plus grand ensemble tel que » c’est pas bien ?
Ça m’évoque « la solution maximale » pour les équations différentielles.
Ou plus simplement les équations.
J'arrive peut-être après la bataille, mais tant pis. Il me semble que tu devrais relire les messages de ce fil qui insistent sur le mot expression (sauf erreur, il y a eu gerard0, Foys et moi). Je crois que c'est à cause de ça que toi et Héhéhé avez du mal à vous comprendre — en plus des différentes définitions possibles du mot fonction.
J'ouvre une (grosse) parenthèse. Le truc sur lequel tu insistes et pour lequel tu veux qu'il vérifie une propriété de maximalité ne peut être défini proprement qu'à partir d'une expression telle que $\sqrt{x-1}$. C'est une histoire de syntaxe et pas si facile que ça à définir proprement (grammaires formelles, etc.). Pourquoi ? Soit $A = \R$. Est-ce que :
\[ \{ x\in A \: \vert \: \sqrt{x-1} \text{ est défini} \} \]
est un ensemble que l'on peut obtenir facilement en utilisant des axiomes de ZF, une construction de $\R$ et la fonction racine carrée ? Comment traduis-tu « est défini » avec les axiomes de ZF ? J'ai vu que certains utilisent cette pirouette :
\[ \{ x\in \R \: \vert \: \sqrt{x-1} \in \R \} \]
Je ne sais pas ce qu'en pensent les logiciens, mais je n'aime pas trop. En effet, pour que ce soit correct, il faut, me semble-t-il, que le prédicat $P$ à une variable défini par $P(x) := (\sqrt{x-1} \in \R)$ soit défini sur tout $\R$, or il ne n'est pas. Lorsqu'on définit proprement une fonction avec son graphe, la notation $f(x)$ désigne le deuxième élément du seul couple du graphe (fonctionnel) de $f$ dont le premier élément est $x$. C'est une abbréviation. Mais on ne définit pas $f(x)$ pour $x$ en dehors de l'image du graphe par la première projection, donc on ne peut pas dire si $P(0)$ est vrai ou faux, par exemple : $P(0)$ est une abréviation pour $\sqrt{-1} \in \R$, et $\sqrt{-1}$ n'est pas une abréviation qui a été définie (tout le monde ne s'appelle pas Leonhard Euler ;-)). En conséquence, selon moi, la pirouette est bidon car elle utilise implicitement des écritures non définies. Fin de la parenthèse.
Si tu pars d'une fonction $f$, tu as un graphe sous la main, quelle que soit la définition. Si on a le graphe, l'ensemble de définition est l'image de ce graphe par la première projection : c'est une trivialité, il n'y a aucun intérêt à le « rechercher ».
Si tu te restreins à une partie de ce graphe, tu peux fabriquer une autre fonction (satisfaisant à la même expression pour les zolis exemples de lycée... mais de manière générale, il n'y a pas d'expression—cf. exemple de Foys avec l'évolution de la température au sommet de tel ou tel monument). Si tu as fait ça et arrives à une fonction $g$ restriction de $f$, tu ne peux pas retrouver $f$ à partir de $g$. Tu n'as qu'une partie du graphe de $f$ et aucune expression pour te dire quels couples il faudrait rajouter au graphe de $g$ pour obtenir quelque chose de « maximal » (critère mal défini dans ce cas : un graphe dans ce contexte, c'est juste un ensemble de couples !).
Edit : orthographe.
$f=(F,A,B)$ est une fonction ssi $F$ est fonctionnel.
Si $f=(F,A,B)$ est une fonction, son ensemble de définition est $D_f=\{x\in A;\exists y\in B\;\; (x,y)\in F\}$.
Et là, on peut faire mumuse comme [ici].
Peut-êre parce qu'en analyse complexe on définit un domaine comme un ouvert connexe et qu'ils ont fait un gros amalgame ?
Je ne peux pas trop détailler (téléphone), mais pour moi, tu triches (avec tout le respect, etc. ;-)). Tu utilises la définition avec graphe pour montrer comme c'est facile, mais tu ne montres rien : j'ai écrit précédemment que définir ou "trouver" l'ensemble de définition à partir du graphe est une trivialité. Mais les exercices intéressants ne donnent pas un graphe de fonction, sinon, ce serait sans intérêt. Ils donnent une expression. Avec une expression, si tu écris l'ensemble $F$ comme dans ton lien, il n'est pas bien défini car par exemple, pour tous les couples dont la première composante est 2, le prédicat utilisé pour la définition en compréhension fait appel à une abréviation non définie (à savoir $g(-1)$, où $g$ désigne la fonction racine carrée). En effet, ton Bourbaki ne définit pas $g(x)$ pour une fonction $g$ lorsque $x$ est hors de l'image du graphe par la première projection, que je sache ?
P.S. : pas la peine de me rappeler des choses aussi basiques que le "au plus", merci...
L'image de mon post précédent a disparu, je la remets
[Elle n'a pas disparue ! http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2003868,2007546#msg-2007546 AD]
Pour Bourbaki, $f = (F, A, $ est une fonction ssi le graphe est fonctionnel ET d'ensemble de définition $A$. (extrait de Théorie Des Ensembles, édition de 1977, mon édition papier de 2006 dit la même chose).
Bon après, d'un point de vue informatique, comment vois-je les choses, hé bien comme ceci :
Le PC lit la formule du style sqrt(x-1) / x².
Au fur et à mesure qu'il lit les instructions, il élimine des trucs du domaine de départ :
sqrt( <- Ah ! ce qui va être dans les parenthèses doit être positif sinon ça n'est pas défini
x <- c'est défini partout, on continue
- <- la soustraction est une opération définie partout, on continue
1<- RAS
) <- OK, donc x-1 doit être plus grand que 0, d'où x plus grand que 1
/ <- ce qui suit doit être non nul, sinon cette opération n'est pas définie
x² <- ça c'est défini partout, par contre maintenant ça doit être non nul, on doit donc éliminer 0 de l'ensemble de définition
Et voilà, je ne sais pas si ça répond à ta question, à laquelle j'avoue avoir peu compris :-o
@brian : Je n'y connais pas grand chose à la théorie des ensembles.
Je suis quand même surpris que $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$ soit mal défini.
Je vais regarder l'axiome de compréhension pour essayer de comprendre ton objection.
Merci et bonne soirée
@Superkarl
Hum, tu m'expliques comment s'y prend un humain. Je sais déjà faire, mais ce n'était pas trop la question...
@gai requin
Je regarde ton $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$ et j'essaie de le définir naïvement en utilisant le schéma de compréhension tel que wikipédia le donne :
\[ \forall a_1, \dotsc, a_p, \forall A, \exists B,
\forall u, \bigl[ u\in B \iff (u \in A \text{ et } P(u, a_1, \dotsc, a_p)) \bigr] \tag{SC} \]
Soient $A := ]0;+\infty[ \times\R$ et $P$ le prédicat binaire défini par $P(u, f) := (u[1] = f(1-u[0]))$, où les notations avec crochets donnent les composantes d'un couple. En notant $g$ la fonction racine carrée et en appliquant bêtement (SC) avec ce $A$, ce prédicat $P$, $p = 1$ et $a_1= g$, j'obtiens :
\[ \exists B, \forall u, \bigl[ u \in B \iff (u \in ]0;+\infty[ \times\R \text{ et } u[1] = g(1-u[0])) \bigr] \]
Je réécris :
\[ \exists B, \forall u, \bigl[ u \in B \iff (\exists x\in ]0;+\infty[, \exists y \in \R, u = (x,y) \text{ et } y = g(1-x)) \bigr] \]
Soit $B$ un tel ensemble. Je veux savoir si le couple $(2, 0)$ appartient à $B$. D'après ce qui précède :
\[ (2,0) \in B \iff (\exists x\in ]0;+\infty[, \exists y \in \R, (2,0) = (x,y) \text{ et } y = g(1-x)) \]
donc :
\[ (2,0) \in B \iff (x=2, y=0 \text{ et } y = g(1-x)) \]
donc :
\[ (2,0) \in B \iff 0 = g(-1) \]
$(2,0)$ est-il élément de $B$ (c'est-à-dire de ton $F$ que j'ai essayé de définir naïvement avec (SC)) ? Il est impossible de le dire car la notation $g(-1)$ n'a été définie nulle part étant donné que $-1$ n'appartient pas à $[0,+\infty[$, qui est l'image par la première projection du graphe de $g$ (la fonction racine carrée). Je te renvoie pour ce dernier point (le sens de l'abréviation $g(-1)$) à la définition de Bourbaki donnée par Chat-maths (merci !).
L'assertion $0 = g(-1)$ n'a aucun sens avec cette définition de la notation $f(x)$ pour une fonction $f$ donc, à mon avis, on ne peut même pas dire que $(2,0) \in B$ est indécidable. Selon moi, c'est juste du charabia, tout comme la définition de $B$ qui fait intervenir $P(u, g)$ pour des valeurs de $u$ telles que $P(u, g)$ est du charabia (une infinité de valeurs ; j'en ai seulement pris une pour l'exemple : $(2,0)$).
Je ne sais pas comment Bourbaki définit les sommes, produits, quotients, composées de fonctions, etc., mais en se limitant par exemple aux fonctions définies sur une partie de $\R$ et dont l'ensemble d'arrivée est $\R$, il me semble que l'on peut facilement définir proprement le triplet (graphe, ens. de départ, ens. d'arrivée) pour que la fonction obtenue à l'issue de chacune de ces opérations soit systématiquement définie sur la partie de $\R$ la plus grande possible (on a juste besoin d'intersections et de l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée par une fonction). Avec ceci et la définition d'ensemble de définition donnée par Chat-maths, il me semble que l'on peut définir sans problème l'ensemble de définition « maximal » de $g\circ f$ où $f\colon \R\to \R$, $x\mapsto 1-x$ et $g\colon [0,+\infty] \to \R$ est toujours la fonction racine carrée. Reste que dans les exercices, ça ne se présente pas directement comme une composée (+ sommes, produits, etc.) de fonctions : il faut interpréter l'expression algébrique « en $x$ » et la traduire sous une forme du genre $h\circ(f+g/k)$ (où toutes les lettres représentent des fonctions) pour appliquer ce que j'ai proposé dans ce dernier paragraphe.
J'espère que je n'ai pas écrit trop de bêtises. Sur ce, bonne nuit !
Édits :
J'ai quand même envie de dire que, par définition, $g$ est une fonction de $\R$ dans $\R$ d'ensemble de définition $]0;+\infty[$ donc $-1$ n'a pas d'image par $g$ donc $g(-1)\neq 0$ donc $(2,0)\notin B$.
Comme tu l'auras compris mais pour que ce soit bien clair, je ne m'autorise pas à écrire $g(-1)\neq 0$ car je ne sais pas du tout ce que représente l'écriture $g(-1)$. Il se peut peut que j'aie tort ; attendons de voir ce qu'en pensent les personnes plus compétentes.
Voici la solution d'une de mes meilleures élèves de 1ère (elle a dit à la fin "Monsieur y a un problème")
On est d’accord que ça sort du lot ?
J'aurais tendance à dire qu'en utilisant de suite des équivalences (on peut supposer qu'elle le fait de façon automatique), elle ne cherche pas vraiment à faire l'analyse. Si elle mettait des implications simples, elle ferait peut-être plus attention à vérifier qu'il y a ou non équivalence en faisant la synthèse.
Oui, ça n'est pas défini, mais je pense que si on se refuse à écrire des choses indéfinies, c'est par peur de s'en servir par inadvertance ensuite, mais si juste après avoir écrit g(-1) - et même grâce à l'écriture g(-1) que le PC pourra analyser comme non définie par la lecture "humaine" précédemment indiquée - on dit qu'on ne sait pas quoi faire de ça et que par conséquent cette piste s'arrête, je ne vois pas le souci.
si j'osais :
on trouve x = 3/4 , en injectant cette valeur dans l'équation de départ on arrive à 8/9 = 2 soit 8= 18 soit 0 = 10 soit 0 = 1.
Comme dit la demoiselle, il y a un problème.
Ramon nous a bien indiqué la condition dont on doit tenir compte.
Je serais curieux de savoir la proportion d'élèves qui ont vu cette condition.
Bien cordialement.
kolotoko
Désolé, mais je ne vois pas très bien ce que le PC, la lecture "humaine" et le mot « piste » viennent faire là. Dans ce message, j'ai essayé de détailler pourquoi $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$ n'est pas un ensemble que je sais définir à partir du peu que je connais ou crois connaître de ZF(C), d'une construction des entiers, de $\R$, de la racine carrée (tout ça, je sais faire) et de la définition de fonction de Bourbaki citée par Chat-maths. Les considérations intuitives du genre « piste qui s'arrête » ne rentrent pas dans ce cadre...
D'après la définition de fonction de Bourbaki, la notation $f(x)$ lorsque $f$ est une fonction n'est définie que si $x$ est un élément de l'ensemble de définition de $f$, ce dernier étant est l'image du graphe de $f$ par la première projection. Dans ces conditions, l'écriture $g(-1)$ de l'exemple que j'ai détaillé n'est pas définie. Ce $g(-1)$ ne veut donc rien dire pour moi, par conséquent je ne me permettrai pas de dire qu'il est différent de $0$, ou que sais-je d'autre. C'est ainsi que je vois les choses. Si tu veux pouvoir dire que $g(-1) \neq 0$, je t'invite à donner une définition générale de la notation $f(x)$ qui étend la définition de Bourbaki (parce qu'on utilise ça tout le temps) et qui s'applique dans ce cas particulier. Si $f$ est une fonction et $x$ un <je te laisse le soin de préciser> comment définis-tu donc $f(x)$ ?
Pour cette raison je trouve que le raisonnement par analyse synthèse est plus propre et simple pour les élèves.
@SchumiSutil, elle a fait une grosse erreur au début, elle n'a pas vérifié que $1+x^2$ est positif, bien que c'est trivial, il fallait le faire. Cela doit être le réflexe. Mais bon ici, cela ne suffit pas. Soit on fait comme Ramon (c'est long), soit on fait comme la fille : on trouve la solution, on vérifie qu'elle ne vérifie pas l'égalité et on conclut que l'équation n'a pas de solution réel. Il lui manque la conclusion. A mon avis jusqu'à présent elle n'a jamais vu des équations qui n'admettent pas de solution ou en a vu très peu. Elle pense probablement, qu'elle s'est trompée.
Aucun élève n'est arrivé jusqu'à la conclusion (pas de solution ou l'ensemble vide)?
Revenant à vos discussion sur le "domaine de définition". En Russie, les écritures à l'école sont standardisés et les principales méthodes (p.ex. un seul algorithme pour faire une addition/soustraction posée, en France il y en a 3). De même pour la notation des fonctions. La notation :
$f$ : $blabla$ $\to$ $machin$
n'est presque jamais utilisée (ou oui oui!). Elle est utilisée au post-bac. Par contre pour chaque fonction, dès qu'il y en a une, il faut trouver l'ensemble de définition $\mathcal{D}(f)$ et l'ensemble des solutions $\mathcal{E}(f)$. Cela doit être un réflexe. Dans le livre d'accompagnement d'un manuel j'ai lu une explication : si dès le départ on donne $f$ : $blabla$ $\to$ $machin$ , les élèves ne comprendront jamais le pourquoi et le comment des $blabla$ et $machin$. Et une fois arrivés en post-bac, où il faut maîtriser les fonctions et commencer à modéliser, ils seront amener à poser par eux-mêmes $blabla$ et $machin$. Personne ne le fera à leurs place. Comment pourront-ils faire s'ils ne savent pas trouver des choses banales comme les domaines de définition et de solutions? Bien sur, les applications, la bonne écriture et toutes les nuances que vous avez évoqué ici sont enseignés en 1 semestre 1 année. Mais pour acquérir une aisance et des bonnes réflexe, ce temps-là n'est pas suffisant s'il faut reprendre tout à partir de zéro.
D'ailleurs "image" et "antécédent" ne font pas non plus partie du programme scolaire. Quand on dessine les courbes des fonctions dans un repère, on nomme pas ces courbes, mais on écrit à côté. Par exemple : $f(x)=1/x$ ou $y=1/x$.
Si vous pensez que les élèves ne maitrisent pas les fonctions, vous vous trompez. Les fonctions de référence du programme français sont maîtrisé avant le lycée, au lycée on y ajoute les 4 fonctions trigonométriques (voire plus), les fonctions exponentielles de base $a$ et $e$, de même pour l’algorithme. L'élève sait dessiner la courbe représentative d'une fonction donnée (même composée) à la main sans calculatrice. L'élève sait résoudre les (systèmes) (in)équations graphiquement.
On revient encore une fois de plus sur le dilemme : faut-il enseigner dès le départ les bonnes définitions et des notations exactes ou il faut rester dans le flou afin que les élèves puissent apprendre les choses. Mon avis rejoins l'avis de ceux, qui ont dit ici, qu'il est import d'enseigner le domaine de de définition.
P.S. à mon époque, dans une école non spécialisée en maths-physique, il y avait que des suites arithmétiques et géométriques, on ne parlait pas d'applications. Les limites étaient survolés, il n'y avait que le concept intuitive pour comprendre la dérivée etc. Bon, les études duraient 10 ans contre 12 en France. Mais quand je suis arrivé ici en 2003, je n'ai pas eu de gros difficultés pour rattraper certaines choses. Dans d'autres chose, on était en avance. L'écart des connaissances entre BAC russe et BAC ES (version 2002) était comblé en 4 mois. Je ne peux rien dire pour BAC S, mais je sais que arrivant à BAC +3 l'écart était comblé, il n'y avait plus de différence.
P.S.S. les écoles spécialisées en maths-physiques sont très peu nombreuses et ne sont que dans les grandes villes. Le programme des examens d'entrée dans les facs de science n'utilisait pas le hors programme vu dans ces écoles.