Une équation

De la part de la meilleure de l'un de mes groupes

@SchumiSutil, ils n'écrivent jamais la phrase de conclusion ? C'est-à-dire "Réponse" + " : " + "Phrase complète de conclusion". C'est quoi ce "impossible"? Je te conseille pour n'importe quel exercice dès le début de l'année exiger une phrase complète de conclusion. Je dis aux miens : si l'exercice ne fini pas par la phrase réponse, je considère que tout l'exercice est faux (0 points). C'est du blaff, mais ils ont assez peur pour vérifier :-D

Pour terminer, il n'y a plus qu'à prendre une paire de ciseaux et découper une fine bandelette sur le bord gauche. Le problème est bien dans l'écriture mécanique des équivalences...

@Vorobichek ; ce n'était pas un exercice à rendre, je leur ai demandé la photo à certains pour voir

Quant à "exiger une phrase complete" crois moi que ce n'est pas de la tarte. Et si tu veux sanctionner - oui il faudrait - tu te retrouves avec 5 de moyenne de classe et des convocations régulières de la direction qui te diras explicitement qu'il faut se "remettre en question", voire qui te donnera un avis sur le niveau de ta classe à partir des moyennes d'histoire et de français, voire qui te dira que "ce n'est pas grave de ne pas savoir faire 1/2 +1/3, s'ils savent se servir de la calculatrice"

Et je parle d'expérience, toutes ces anecdotes sont véridiques.

Sur cette dernière copie l'élève a eu beaucoup de chance...je préfère l'avant derrière pour ma part.

@Dom, à mon avis le passage de $x=2+\sqrt{1+x^2}$ à la ligne suivante. Cela doit être $x-2=\sqrt{1+x^2}$ et pour passer à la ligne suivante, on ajoute si $x-2 \geq 0$. Non? Moi, je bannirai les flèches. Il y a certains professeurs maniaques dans le supérieur qui ne les acceptent pas. On a eu un prof d'analyse au premier semestre, qui baissait la note quand les étudiants utilisaient les flèches dans les (in)équations. Même si c'était équivalent. Il avait ajouté "prouver le d'abord et dans les deux sens!". Par ailleurs, comme vous le remarquez bien, les élèves les utilisent sans réfléchir.

@SchumiSutil, à moi aussi, tout le monde monde me tombera dessus si je le fait aux partiels et à l'examen. La première année, quand mon enseignement ne brillait pas par la pédagogie, j'ai bien du refaire le partiel parce que la moyenne était 5/20. C'est pour cela que j'ai mis, c'est du blaff. ;-) Par contre ils avaient 5 DM à rendre dont la note 10/20 étaient assurée si tous les exercices sont faits, les 10 points restants si tout est fait sans faute. C'est à ce moment là que j'aurais pu sanctionner, mais personne n'a osé. Comme la phrase "j'accepte l'hypothèse nulle" pour les tests statistiques. Au final, dire 2-3 fois en les menaçant des sanctions suprêmes suffit pour attirer leur attention. :-D Bon, avec les collégiens, il faut faire une vingtaine de fois à mon avis.

Tout ceci était fait en 1ere filière économique, jadis...

Un élève qui est vraiment conscient que son équivalence est juste à cette étape ne se priverait pas de la justifier!

Jouons un peu avec les fonctons hyperboliques.
Soit $f:t\mapsto \frac{t+\sqrt{1+t^2}}{1+\sqrt{1+t^2}}$. Pour tout $x\in \R$, $$\begin{align}
f\left (\sinh (x) \right )=\frac{\sinh (x) +\sqrt{1+\sinh^2(x)}}{1+\sqrt{1+\sinh^2(x)}} = \frac{\sinh(x)+\cosh(x)}{1+\cosh (x)} &=\frac{2e^x}{2+e^x+e^{-x}} \\
& = \frac{2e^{2x}}{2e^x+e^{2x}+1} \\
& = \frac{2e^{2x}}{(e^x+1)^2} \\
& = 2 \left (\frac{e^x}{1+e^x} \right )^2 \end{align}$$
la surjectivité de $\sinh$ permet de conclure que l'équation : $\left [ f(x)=2 \right ]$ d'inconnue réelle $x$, n'a aucune solution sans distinction de cas (via un modeste détour :-D). Via l'égalité $\frac{e^x}{1+e^x} = 1 - \frac{1}{1+e^x}$ valable pour tout $x$ réel, on a même la croissance stricte de $f$ à moindre frais ($\sinh$ étant bijective croissante).

Les élèves ne savent pas ce que veut dire le graffiti "$\Leftrightarrow$". Ils l'emploient juste comme signe de ponctuation. Il faudrait l'interdire, ou à défaut l'introduire en précisant vraiment son sens au lieu de laisser ce dernier être "deviné intuitivement" par eux.

Oui cependant, là, on ne voit aucun raisonnement, aucun.
Mais je ne jette pas la pierre aux profs ! Surtout pas.
Je sais bien de quoi il retourne...

Et d’ailleurs, en imaginant une rédaction qui justifierait chaque étape, je me tire déjà une balle ;-)

@Superkarl

Dans l'exemple que j'ai détaillé, ton « ordinateur » serait en train de tester la valeur de vérité de $g(-1) = 0$ pour décider si $(2,0)\in B$. Il attend un Vrai ou un Faux. Si tu lui réponds « ouh là, mon gars, arrête-toi, on a écrit une connerie », l'ordinateur ne pourra pas répondre si oui ou non $(2,0)\in B$ (pourquoi devrait-on prétendre que $g(-1) \neq 0$ lorsque $g(-1)$ n'a pas été défini ? Ce serait un choix totalement arbitraire). Ceci va dans le sens de ce que j'ai déjà écrit : « l'ensemble » $B$ n'en est pas un selon moi, car il a été obtenu de manière illicite.

Je rappelle que l'intérêt essentiel qu'il y a à respecter les axiomes de ZF(C) est d'éviter (sans garantie, mais jusqu'ici sans problème trouvé malgré une utilisation massive) d'obtenir des contradictions dues à l'utilisation « d'ensembles » problématiques tels que $\{x \: \vert \: x\not\in x \}$. Ce truc mène directement à une contradiction si l'on admet qu'il existe, mais les axiomes de ZF(C) ne permettent pas a priori de le former et donc de lui coller l'étiquette d'ensemble.

Désolé, mais j'abandonne. J'ai expliqué de nombreuses fois la même chose en m'efforçant d'être très précis, mais j'ai l'impression que ça ne sert à rien. Je ne t'en veux pas car je ne crois pas que tu fasses exprès.

@brian @Superkarl : J'ai ouvert [un fil] dans le sous-forum "Logique" à propos de $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$.

gai requin a écrit:

J'ai ouvert [un fil] dans le sous-forum "Logique" à propos de $F=\{(x,y)\in]0;+\infty[\times\R;y=\sqrt{1-x}\}$.

Merci gai requin, c'est intéressant... J'aime bien la citation donnée là-bas par Superkarl, aussi. :-D

C'est sûr qu'un "entretien d'explicitation" avec cet élève serait assez intéressant pour découvrir quelles sont ses raisons. Fait avec doigté, pour ne pas avoir des réponses "pour le prof", mais ce qu'il avait dans l'esprit. Car on est tellement loin des erreurs habituelles que nos explications courantes sont en défaut (elles le sont souvent, mais au moins, on a une raison plausible).

Cordialement

Ha oui si on mélange une erreur de maths et une étourderie, peut-être.

Mais d’ailleurs on a bien « rien » entre « -p » et « -p$^2$ » donc entre les deux c’est « $\times$ ».
Bon, sans le confinement il faudrait en effet creuser en tête à tête comme dit Gérard.
Il est probable aussi que l’élève réponde « je ne sais plus » ou bien même qu’il ait pensé « pffff je ne sais pas quoi faire alors j’écris un truc, ça devrait passer/même si ça passe pas ».

J’ai même pensé à « une division membre à membre » pour récupérer le -1, m’enfin....

Pour en revenir au "domaine de définition", voir ce sujet. Avec les préventions de certains, je n'ai pas osé parler de domaine de définition, mais la question se pose bien ainsi, d'ordinaire, pour les intégrales généralisées, non ?

Cordialement.

@Laurette,
Si tu as lu tout ce fil, tu as pu constater qu'un excellent prof du lycée LLG demandait à ses étudiants dans l'un de ses devoirs, de trouver le domaine de définition d'une fonction.....
Je pense que cet homme sait de quoi il parle.....

Merci Gérard.
Ramon, oui j'ai lu le fil, mais je ne comprends pas ta réponse : il pourrait exister une nuance entre ensemble et domaine de définition, comme il en existe une entre fonction et application, que cet excellent professeur (j'en suis sûre) emploie l'un ou l'autre mot, même si à moi elle m'avait échappée.
Pour dire clairement les choses, je me demandais si "domaine" ne signifiait pas qu'on exclut le cas de points isolés.

Laurette a écrit:

Il pourrait exister une nuance entre ensemble et domaine de définition

Non, cela signifie la même chose.
Dans ce fil, j'ai publié aussi un extrait d'exercice de L1 dont l'auteur est vraiment un mathématicien de très haut niveau (je ne divulguerai pas son nom...).
Dans cet exercice, il est demandé de trouver le domaine de définition de fonctions de plusieurs variables.....

http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?18,file=102100

Je ne comprends pas en quoi « ne pas être une formule » est lié au plus grand ensemble pour laquelle une expression existe.

Ou alors demandes-tu de chercher des ensembles de définition pour des fonctions sans expression ?

Exemples :
a) la fonction qui, à un nombre renvoie la période de son écriture décimale.
b) la fonction qui, à un nombre renvoie le nombre de ses diviseurs.

En fait même là je ne comprends pas.

Bonjour Foys.

"Dans la pratique mathématique véritable (non scolaire, et il y a quelques années, celle de l'enseignement supérieur) on ne fait jamais ça; on ANNONCE d'abord l'ensemble où on définit une fonction quand on l'introduit. "
Tu es sûr ? Tu connais toutes les pratiques mathématiques véritables ? Et j'imagine que tu exclus la recherche mathématique, où on travaille parfois intuitivement avant de voir comment justifier. Pourtant c'est une "pratique mathématique véritable", même si elle ne respecte pas les canons de la logique.

"Le débordement contemporain en prépa de ces miasmes est dû à un caprice pédagogiste. " ???? Drôle d'idée. Quand j'ai fait mes études (Deug maths-physique puis licence), on ne faisait pas d'étude systématique de domaines de définition (on avait fait ça pendant 3 ans au lycée), mais on s'y référait pour les calculs de limites, les intégrales généralisée et autres problèmes d'écriture. Et mes copains qui étaient en prépa en ont mangé pas mal. Maintenant, on fait ça en début de prépa, vu que les lycéens (sauf "grands lycées à grandes prépas") n'ont jamais réfléchi à ces problèmes syntaxiques.

Ton renvoi à Bourbaki m'a bien fait rire !! Je ne l'avais jamais imaginé comme un bouquin d'apprentissage des maths pour lycéen !! Ni comme une référence des logiciens actuels !

Cordialement.

Bonjour,

Ok.
Merci pour la réponse.

En effet, le problème « pratique » dont tu parles (la boite, le volume) est intéressant pour montrer que « la formule » n’est pas valable sur tout $\mathbb R$.
Tiens, d’ailleurs, ça me fait penser qu’on pourrait trouver des exercices où les formules sont identiques pour des problèmes différents et des domaines de définition distincts.
Ça crée des fonctions distinctes qui coïncident (ou pas d’ailleurs) que des ensembles.

Bon, pas trop d’usines à gaz non plus. Et je n’aime pas non plus les faux problèmes trop artificiels.
M’enfin, cette idée me plait.

Je pense qu’il faut aussi proposer des fonctions dont la formule n’existe pas (enfin..on m’a compris), comme mes exemples plus haut.
D’ailleurs le fait de relier les points d’un graphe est aussi complètement insensée dans certains cas, ça aussi ça doit faire réfléchir (la fonction qui à un nombre associe le nombre de nombres premiers distincts dans sa décomposition en facteurs premiers).

Cordialement

Dom

Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2003868,2015598#msg-2015598

---

> Je pense qu’il faut aussi proposer des fonctions dont la formule n’existe pas (enfin..on m’a
> compris), comme mes exemples plus haut. D’ailleurs le fait de relier les points d’un
> graphe est aussi complètement insensée dans certains cas, ça aussi ça doit faire réfléchir
> (la fonction qui à un nombre associe le nombre de nombres premiers distincts dans sa décomposition
> en facteurs premiers).

Je ne l’ai jamais fait pour les fonctions, sauf en partant de courbes obtenues en physique ou SVT, mais pour les suites je donne systématiquement au début l’exemple de la suite des nombres premiers (ou des décimales de Pi) pour qu’ils comprennent que les deux modes de génération que je leur explique (par formule explicite ou par récurrence), ne sont pas exclusifs, même si je leur dis ensuite qu’on n’étudiera pas autre chose car ce serait trop difficile.

@gerard0 et Ramon Mercader

On m'oppose régulièrement l'argument de la progression pédagogique (disant grosso modo que les élèves doivent apprendre des choses dans l'ordre, du plus simple au plus compliqué). Je suis d'accord avec ça. Mais ce n'est pas ce qui produit dans l'enseignement des mathématiques où a la place, on observe une rupture. En effet dans les petits niveaux sont présentés des contresens (et c'est seulement plus tard qu'on dit à l'étudiant: bon maintenant on arrête ces agitations de mains et on reprend les mathématiques à leur début avec des théorèmes, des définitions et des preuves) dont cette notion d'ensemble de définition d'une fonction donnée par une expression qui est une pure aberration.

Ce qui se produit est la chose suivante. Alors que les profs insistent toujours sur la nécessité pour les élèves de ne jamais écrire des choses qui n'ont pas de sens, on leur fait faire un exercice où il faut d'abord écrire une expression avant de l'analyser pour enfin conclure qu'elle n'a pas de sens. Et ce alors même que chaque étape d'un tel "raisonnement" se fait en prétendant que telle ou telle sous-expression ou non aurait un "sens".
Et voilà comment en aboutissement d'un raisonnement circulaire les gens en arrivent à conclure que "on peut écrire $f(3)$, $f(x)$ a un sens en $x=3$" alors même qu'ils ont dû l'écrire au préalable pour énoncer cette propriété. On retrouve d'ailleurs en particulier la célèbre question récurrente "mais au fond peut-on diviser par zéro?" (qui demande en fait quelle attitude adopter face à une écriture).

Le malaise est visible jusque dans le présent fil où des intervenants ont demandé de plus en plus explicitement de quoi il s'agissait vraiment et où aucune réponse vraiment convaincante a été apportée à cette question.

Et je cite Bourbaki non pas comme exemple de ce qu'il faudrait faire au lycée parce qu'il a eu une influence considérable sur la recherche mathématique. Et que comme c'est le seul livre de maths qui définit vraiment tout proprement depuis le début (même si certains choix ont été abandonnés par la suite) - y compris le langage mathématique et sa formalisation- établissant un pont entre les mathématiques de base et les maths du niveau de fin de l'enseignement supérieur à l'époque où il a été rédigé, et bien ces questions se sont forcément posées à eux.

Voilà ce qui se passe concrètement:
La bonne définition d'ensemble de définition d'une fonction $f$ (qui est l'ensemble des $x$ tels qu'il existe au moins un $y$ tel que $(x,y) \in f$) ne permet pas de traiter les exos lycéens d'ensembles de définiton de fonctions (qui demandent de livrer la façon d'analyser syntaxiquement une expression comme $x\mapsto \frac{y+x+\log((1+x)(1+y))}{\sqrt{x+\log (x)}}$ où $y$ est un nombre réel, à la manière dont les élèves pourraient faire l'analyse grammaticale complète d'une phrase en français). Et en fait en maths, toutes les fois que vous introduisez une fonction dans un contexte non scolaire, vous la livrez avec son ensemble de définition en amont, par exemple "soit $g$ la fonction de $[0,1]$ dans $\R$ définie par $g(x):= x^2-4x+4$". En l'espèce $g$ est l'ensemble des $\{(p,q)\in \R^2 \mid 0\leq p \leq 1 \text{ et } p^2-4p+4 = q^2\}$ et son ensemble de définition est $[0,1]$ et pas autre chose.

Je n'ai pas eu beaucoup l'occasion de dire que j'étais d'accord avec une décision de l'inspection mais je me réjouis qu'ils aient enfin bazardé cette usine à gaz désinformante.