Une équation

Foys,

j'ai essayé de suivre favorablement ce que tu disais, même si je ne comprenais pas certaines affirmations. Puis j'arrive à : "La bonne définition d'ensemble de définition d'une fonction ..." qui bloque toute possibilité de te suivre, puisque tu refuses d'avance toute réflexion effective. Tu me rappelles Christophe, à qui je refusais, déjà il y a 15 and de parler de "maths officielles".
Toute l'histoire des sciences montre que ce qui est considéré comme "bon" à un moment va être réfuté, revu, et considéré comme obsolète.

Et du coup, je revois dans ton explication un point aveugle : Tu ne crois pas, parce que tu ne sais pas, qu'on puisse apprendre aux élèves à décoder les expressions mathématiques. Et pourtant on fait ça au collège/lycée depuis plus d'un siècle, depuis les programmes de 1902. On ne le fait pas avec tes outils conceptuels (on n'apprend pas aux enfant à marcher en leur enseignant les bases de la course à pied), mais on le fait. De moins en moins puisqu'on a éliminé progressivement tout calcul. Mais on le fait sur ce qui reste. Et c'est justement l'un des grands problèmes des universitaires avec les étudiants : Ils ne savent pas décoder les écritures.
Donc tu refuses aux profs de collège et lycée de former progressivement leurs élèves au fonctionnement des mathématiques.

En fait, j'ai bien peur que tu voies ça de loin. As-tu enseigné en collège ? En lycée ? N'importe quelle matière ... les maths ce serait mieux. On critiquait souvent Meyrieux, sur ce forum, mais lui, au moins, est allé enseigner en collège pendant un an avant de faire ses analyses.

Cordialement.

Par "bazardé une usine à gaz désinformante" je pense que Foys veut dire qu'on a choisi la convention fonction = application et qu'on a dégagé les exercices "trouver l'ensemble de définition".

Encore une fois, je pense qu'on peut concilier les deux aspects: le côté formateur du "calcul littéral" et le côté "rigoureux" de la définition d'une fonction qui vient avec son ensemble de définition, en posant les questions sous la forme:

1. Déterminer l'ensemble $E$ des nombres réels $x$ pour lesquels l'expression suivante a un sens:
$$ \frac{\sqrt{1+x}}{x-2}$$

On définit une fonction $f \colon E \to \R$ en posant pour tout $x \in E$,
$$f(x) = \frac{\sqrt{1+x}}{x-2}$$

2. On continue l'exo avec la fonction $f$.

C'est quoi la définition de ''expression'' et ''avoir un sens''?

Merci Dom.
Effectivement la question n'était pas pour toi

@gai requin: spontanément je dirais que pour tous $x,y,z\in \Q^3$ non tous nuls et tels que $x^2+y^2=z^2$, on ne peut avoir $z\neq 0$ (sans quoi on aurait $x^2+y^2=0$ et donc vu qu'on est dans $\Q$, $x=y=0$); par suite le couple $(x+$ $y,z$$)$ (edit: ok je vois où est le problème, j'avais échangé $y$ et $z$) n'est pas nul; d'autre part il est clair que si $\alpha \in \Q^{\times}$ et $x,y,z,x',y',z'$ sont tels que $x^2+y^2=z^2$ et $x'=\alpha x$, $y'=\alpha y$ et $z' = \alpha z$ alors $\alpha (x+y)= x'+y'$ et $\alpha z = z'$. Soit $F$ l'ensemble des couples $(D,E)$ où $D$ est une droite vectorielle de $\Q^3$ contenue dans $V:=\{(x,y,z) \mid x^2+y^2 = z^2\}$ et $E$ est une droite vectorielle de $K^2$ telles qu'il existe $(p,q,r)\in D$ et $(u,v) \in E$ non nuls tels que $v=r$ et $u=p+q$. Les considérations précédentes entraînent que $F$ est une fonction.

Après on peut considérer qu'on regarde la version homogène du "paramétrage rationnel du cercle" $x,y \in \{x,y \in \Q^2 \mid x^2+y^2=1\} \mapsto \frac{y}{x+1}$ .

On est dans des situations où on cherche à prolonger des morphismes/applications qui existent déjà sur un sous-espace donné et dont le prolongement en respectant un certain cahier des charges est unique lorsqu'il existe, on ne se demande pas le "sens" de telle ou telle formule (on lui en décrète un de façon lus ou moins arbitraire ce qui n'est pas la même chose). Et puis de ce que j'ai vu, les "maths" de détermination d'ensemble de définitions distinguent les fonctions désignées par $x\mapsto \frac{x+1}{x+1}$ et $x\mapsto 1$ (alors que l'analyse complexe les considérerait comme des fonctions méromorphes identiques).

@gai requin:
Je me suis fait la réflexion suivante: soient $K$ un corps, $d,n$ des entiers.
Soient $Q_0,...,Q_n$ des polynômes homogènes sur $K[T_0,...,T_d]$ de même degré homogène $\delta$ dont on note $V$ l'ensemble des zéros communs.

Soit $E$ un autre ensemble de polynômes homogènes non nuls de $K[X_0,...,X_d]$ et $X$ l'ensemble de ses zéros communs.
Alors les $Q_i$ induisent une application de $X\backslash V$ dans $\mathbb P^n$, peut-on la prolonger à $X$?

Soit $B_0$ l'ensemble de tous les $a=\left (a_{i,j}\right )_{0\leq i \leq d; 0 \leq j \leq n} \in K^{(d+1)(n+1)}$ tels que
1°) Vu comme une matrice, $a$ est de exactement rang 1 (ou de façon équivalente: $a$ non nulle et de rang <=1)
2°) Pour tous $e\in E$ et tous $k\in \{0,...,n\}$, $e(a_{0,k},...,a_{d,k})=0$
3°) Pour tous $(i,j) \in \{0,...,d\}\times \{0,...,n\}$ et pour tous $p,q\in \{0,...,n\}$, $a_{i,p}Q_q(a_{0,j},...a_{d,j})=a_{i,q}Q_p(a_{0,j},...a_{d,j})$.

Comme tout est homogène,on obtient par passage au quotient un ensemble $B$ qui est un fermé de Zariski de $\mathbb P^{(n+1)(d+1)}$ (je vais faire cette identification sans la dire ci-dessous, ça ne posera pas de problème).

-On note $g$ l'application qui à $a\in B$ fait correspondre une de ses colonnes non nulles dans $\mathbb P^n$ (bien défini puisque $a$ est de rang exactement 1).

-si $x\in X$ on pose $f(x):= \left ( x_i Q_j(x_0,...,x_n)\right )_{0\leq i \leq d, 0\leq j \leq n}$ (edit: bon ok il y a un problème ici, la matrice est nulle quand $x\in V$; je regarderai tout à l'heure).

Alors c'est bien défini (car les $Q_i$ sont homogènes de même degré) et l'image de $f$ est contenue dans $B$, en effet:
-le point 1 est trivial, $f(x)$ étant le produit de la matrice colonne $(x_0,...,x_d)$ (qu'on abrégera par $\vec x$ ci-dessous) et de la matrice ligne $[Q_0(\vec x),...,Q_d(\vec x)]$
-le point 2 aussi puisque, tout élément $e$ de $E$ étant homogène, on a pour tout $x\in X$ et $k\in \{0,...,n\}$, $e\left (x_0 Q_k(\vec x), x_1Q_k(\vec x),...,x_d Q_k(\vec x)\right ) = Q_k(\vec x)^{deg(e)} e(x_0,...,x_d) = 0$
-pour le point 3, on a pour tous $p,q,j\in \{0,...,n\}$ et $i\in \{0,...,d\}$,
$x_i Q_p(\vec x) Q_q \left ( x_0 Q_j(\vec x), ..., x_d Q_j(\vec x)\right )= x_i Q_p(\vec x) Q_j(\vec x)^{\delta} Q_q(\vec x)$ et
$x_i Q_q(\vec x) Q_p \left ( x_0 Q_j(\vec x), ..., x_d Q_j(\vec x)\right )= x_i Q_q(\vec x) Q_j(\vec x)^{\delta} Q_p(\vec x)$ et ces quantités sont bien égales.

Enfin, que vaut $g \circ f(x)$ quand $x$ n'est pas dans $V$?
Dans ce cas, $\left (Q_0(\vec x),...,Q_n(\vec x)\right )$ n'est pas la liste nulle et en prenant $p$ tel que $x_p \neq 0$, on a par définition de $g$, $g \circ f (x) =\left [x_pQ_0(\vec x): \ldots :x_p Q_n(\vec x) \right ] = \left [ Q_0(\vec x):...:Q_n(\vec x)\right ]$.

C'est ce que nous voulions non? Je n'ai jamais utilisé à un seul moment ces abominables ensembles de définitions.

Ca fait une quinzaine d'années que j'ai arrêté totalement la géométrie algébrique. J'ai presque tout oublié. Bon je n'ai pas TOUT oublié, il y a des vestiges. Pour la construction ci-dessus, j'ai juste pris un blow up et l'ai envoyé dans $\mathbb P^{n+d-nd}$ avec le plongement de Segre.

@Foys : Ta variété $X\subset \mathbb P^d$ n'est pas nécessairement une courbe lisse.
On doit donc pouvoir trouver $X,n$ et une fonction rationnelle $X\to\mathbb P^n$ qui ne soit pas un morphisme.

@Foys : J'insiste, ce théorème concerne les fonctions rationnelles $X\to\mathbb P^n$, où $X$ désigne une courbe (i.e. une variété projective de dimension $1$) lisse.
Une référence : Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Proposition 2.1. p.19.

Dom a écrit:

Il précisera si je me trompe mais je pense plutôt qu'il voulait dire qu'on ne pose plus la question, sous quelque forme que ce soit, de savoir pour quelles valeurs d'une lettre, une expression littérale est bien l'écriture d'un réel.

Oui (s'agissant d'une suite de symboles dans le cadre des mathématiques "cette expression à un sens" n'a pas de sens bien défini).