Programme jusque bac +2

Ce n'est qu'une impression. Je reconnais l'importance capitale des outils qu'on manipule, par exemple pour prouver une intégralibilité ou dériver la limite d'une suite de fonctions, choses dont on se sert en permanence.
En revanche, une pratique élémentaire est largement suffisante pour maitriser ces techniques et la complexification des exercices ayant dans le fond toujours les mêmes objectifs (calculer une somme, trouver un équivalent ou un développement, c'est ce que je retiens) me semble avant tout explicable par une optique de concours.

On a déjà un peu cette situation de papillonage. Toute l'analyse de spé est reprise lorsqu'on étudie l'intégrale de Lebesgue, les probas sont reprises à 0 avec cette nouvelle intégrale, la théorie des groupes et anneaux est souvent reprise des définitions aussi. Une grosse moitié de la spé est redite en L3.

Je n'hésite pas à parler de redite pour Lebesgue. La structure particulière du cours de mesure (chopper toutes les balles du fusil pendant le tiers du semestre sans trop savoir pourquoi, et les tirer toutes d'un coup pour construire l'intégrale en 10 secondes) fait qu'il y a un gouffre clair et identifiable entre apprentissage de la mesure et celui de l'intégration.
Comme les facs qui proposent un contrôle continu ont l'idée très stupide de calquer leurs interrogations sur la chronologie du cours (stupide car les coefficients ne se valent pas, l'examen terminal domine, mais porte sur la fin du cours : mon cours de théorie des groupes se finissant par une brève ouverture aux anneaux avec un partiel terminal valant la moitié de la note parlant uniquement...d'anneaux), on arrive avec des sujets de partiels portant sur la fin du cours plus que sur sa partie importante. Dans le cas présent, c'est significatif car une fois sorti de la mesure pure et dure on retourne beaucoup au point de la spé, et les feuilles de TD consistent beaucoup à vérifier des résultats d'intégrabilité ou justifier un échange limite/somme (avec un nouvel outil, Beppo Lévi). On a aussi Fubini et le théorème de changement de variable mais si les preuves sont plutôt virtuoses, leur application s'assimile vite et doit dans tous les cas se faire en complément des autres techniques d'étude des intégrales, et pour cette raison l'utilisation de ces deux théorèmes ne change pas vraiment le rapport à la pratique de l'intégrale par rapport à la spé.
La grosse nouveauté est qu'on peut contrôler les intégrales librement en intégrant sur ce qu'on veut, notamment les ensembles du type {f < 1}, mais pour une drôle de raison ce genre de découpage est assez peu utile dans ce qu'on demande aux étudiants en TD, qui est encore une fois dans la veine de ce qu'on leur demandait en spé, et ce qui est dans la dernière partie du cours, donc ce qui est vraiment important à travailler pour eux.
Résultat des courses, mon prof a réussi à faire un carnage en proposant pour une fois un exercice de mesure pure en premier exercice facile du partiel final (qui consistait juste à étudier vaguement la mesure de Radon-Nikodym associée à g une fonction : vérifier que c'est une mesure -premier carnage pour la sigma-finitude- et trouver la forme de l'intégrale de f par rapport à cette mesure -encore un carnage, plus le réflexe fonctions étagées puis positives puis générales-), ce qui montre que tristement la mesure n'est pas la partie la mieux acquise de licence, mais que c'est la partie redite.
Pourtant, bizarrement, je me souviens qu'en TD sur les applications de convergence dominée et tout le touin touin, les étudiants avaient l'air de découvrir un peu et ramaient comme si c'était du nouveau.

Pour le reste, je suis d'accord pour dire que les lacunes cumulées expliquent ceci.
Par contre, je trouve dommage qu'on se prive de l'abstraction et de principes généraux, surtout quand ils sont de ceux qu'on peut faire comprendre avec des patatoïdes.
Je pense aux ensembles quotient, car s'il y a bien un chapitre dédié, le prof nous l'avait passé rapidement en une petite heure, sans faire d'exercices obligatoires (mais nous avait donné une feuille quand même pour que les bons puissent chercher s'ils le souhaitaient). La chose ne me paraît pas si dure à comprendre et permettrait de donner du sens à beaucoup de choses. Il y a la construction des ensembles, qu'on peut presque admettre si on veut, mais il y a aussi des théorème auxquels personne ne peut échapper même en le voulant.
Il en est ainsi du théorème du rang. Et ce qui est une chose très limpide avec des dessins de patate (ce théorème explique juste qu'en un sens c'est facile de transformer toute fonction en bijection) devient un tour de magie pratique quand on fait des calculs matriciels.
C'est un exemple symptomatiques de cette impression qu'en prépa on veut gommer l'abstraction et les constructions au profit du pratique, que les deux premières années doivent être ouvertes à tous, même ceux qui s'en battent un peu l'oeil du sens profond des choses, tant qu'on peut fabriquer plein d'exos que tout le monde peut faire quitte à bachoter dessus, car on veut essentiellement jauger notre capacité de travail et seulement très en surface celle à faire des maths.

Le problème encore une fois ce n'est pas qu'on étudie telle ou telle chose plutôt que d'autres, mais la pratique excessive qu'on fait des choses par des exercices essentiellement techniques, mais pas forcément bêtes non plus (il ne s'agit pas d'inverser des matrices, il y a toujours un moment où il faut appliquer telle ou telle méthode plus ou moins subtile selon le concours visé : par exemple, en caricaturant un peu, on sait que les études de sommes de séries se feront d'abord par un critère simple d'Alembertesque chez CCP, avec comparaison à intégrales, puis que plus on monte en concours plus on doit s'attendre à utiliser des méthodes qui se rapprochent de l'adhérence du programme, jusqu'à savoir faire une transformation d'Abel si on va à Centrale). On surpasse nettement le stade de l'acquisition des méthodes et automatismes pour faire de ces exercices une fin en soi. C'est une manière assez juste de trier les compétences de travail des candidats, mais qui peut délaisser aussi ceux qui cherchent d'autres choses en mathématiques, que fort heureusement ils trouveront en L3.
C'est le degré pratique et technique demandé en moyenne qui donne cette impression de format concours.

Même si je sais que les facs ne suivent pas rigoureusement le programme de prépa (en arrivant en magistère la promo des anciens MVA se vantait d'avoir étudié les coniques et formes quadratiques - mais je me demandais bien pourquoi vu comme ils ont galéré à faire en deux séances de trois heures le premier TD de géométrie affine consistant en des révisions d'algèbre linéaire basiques avec exercices type "Décomposer l'espace selon image et noyau d'un projecteur", ou pour prendre le plus subtile "L'union de deux sous espaces n'en est pas un sauf cas trivial", fin de la pique). Après les exemples que tu as pris sont de l'adhérence du programme (je pense que toute classe étoilée voit au moins Dunford dans le sein même du cours, peut-être Jordan en DM, les séries de Fourier sont presque vues étant donné qu'il y a un cours d'espaces de Hilbert qui fait la partie dure du cours et conclut presque, quitte à admettre Stone-Weierstrass). Et encore une fois, ils rejoignent le catalogue de méthodes à apprendre (on savait tous que connaitre la démarche derrière Dunford avait de bonnes chances de nous donner presque gratuitement la première partie d'un écrit Centrale ou Mines, et était presque exigible en oral pour XENS).

Pour la troisième année je ne sais pas si on est toujours forcement dans la redite. Le calcul diff est vraiment un chapitre comique et tarte à la crème, expédié en une semaine à la toute fin du cours (en tous cas dans une prépa normale qui finit son programme un peu avant les écrits, je ne sais pas ce que fait LLG), dans lequel on ne fait que calculer une différentielle. Il est obligatoire de repasser dessus en L3 puisqu'on va vraiment traiter les sujet et obtenir des résultats.
Et pour le cas du calcul intégral j'ai vraiment du mal à parler de redite étant donné qu'on est dans le cas où on refait absolument tout le cours sur les techniques de calcul sur les intégrales multiples, à paramètres ou "généralisées" (les guillemets car c'est le gros changement de Riemann à Lebesgue que cette fois ce sont les vraies intégrales, mais on s'en cogne un peu en pratique), sauf qu'on le fait en nettement moins pénible et technique, en étant focalisé naturellement sur l'acquisition de l'aisance calculatoire et non pas dans l'apprentissage d'une dizaine de techniques borderlines.

En étant loin d'avoir passé du temps sur les exercices proposés par mon prof du spé j'ai quand même suffisamment d'automatismes pour n'avoir aucun problème en analyse.
Ce que j'avais fait pour réapprendre l'analyse, quand j'avais passé deux ans sans faire de maths après être allé en lettres modernes, c'était de retrouver la formule de Stirling en faisant semblant de ne pas connaitre le résultat et en développant la série des log(k!). Beh passer du temps à retrouver ça est quelque chose que j'aurais tendance à qualifier de formateur, et qui panache la plupart des techniques qu'on apprend en sortant de deuxième année.
Aller au-delà dans l'étude de mille et une séries où équivalents random, ça peut démotiver beaucoup de gens, surtout s'ils n'ont pas spécialement foi en les concours.

N'étant pas un grand amoureux de l'algèbre linéaire je ne m'exprimerai pas sur la réduction. Je trouve le chapitre assez simple, et les difficultés liées à l'obstacle que constitue l'alternance permanente entre lecture matricielle et lecture "structurelle" des choses. Je dirais un peu la même chose que pour l'analyse, qu'en soi on fait quand même beaucoup de choses techniques et qu'on acquière beaucoup de méthodes dans une optique d'oraux, mais qu'en pratique je n'ai jamais eu besoin que de la base des bases des résultats de réduction par la suite.

Le problème est justement qu'on transforme toutes ces pratiques (trouver le DA de l'intégrale bidule, les conditions de patagobalisation de la matrice bidule...) en fins en soi.
Ca rejoint un peu ce que je disais en topologie, où j'apprends le théorème de Riesz mais que je suis loin de m'imprégner de ce qu'il dit en substance (on peut le voir comme "petite curiosité topologique" quand on le voit en spé, alors qu'il s'agirait plutôt de "la racine de nos problèmes"), ou le fait que j'ai acquis plein d'automatismes du genre "vérifier que la somme des valeurs absolues converge" sans savoir vraiment en substance pourquoi (Lebesgue me l'a fait comprendre).
Les années d'après, les exercices sont plus théoriques et sont beaucoup plus dans une optique de démonstration de résultat. C'est un moins bon format de concours (une fois qu'une preuve est faite on la connait, et entre le différents livres ce sont les mêmes qui tournent), mais je trouve ça tellement plus stimulant.

Il y avait de temps en temps des choses captivantes en prépa, et certains sujets que j'ai adoré faire (au hasard, l'étude de fonctions de la famille de celle de Weierstrass à l'ENS avec des techniques d'ondelettes, ou un sujet de Maths C qui expliquait pourquoi on n'avait pas de forme fermée pour primitive exp(t²)), mais c'était bien rare (et c'était souvent des Maths C ou D).
Je pense que le programme de deuxième année est relativement pauvre conceptuellement en soi, et qu'avec moins d'exercices type concours on pourrait pousser plus, dans la prolongation de choses qu'on voit déjà actuellement, pour pouvoir faire des vraies choses et montrer des résultats intéressants (par exemple, on n'a pas grand chose à faire pour avoir les séries de Fourier, et avec elles on peut s'amuser).

Il y a une difficulté inhérente au fait qu'on ne puisse pas consciemment faire étudier Lebesgue une année de concours (trop de temps inutile pour la mesure), mais avec cette intégrale on a une forme générale, compréhensive et manipulable de beaucoup de théorèmes de spé.
Les probas de deuxième année portent une bonne part de leur difficulté sur des points techniques (les sommes doubles par exemple), et sur le fait que conceptuellement personne n'y comprend rien (comprendre ce qu'est une loi - d'après les rapports on mélange beaucoup X et sa loi même à Centrale ou X -, comprendre pourquoi les tribus -surtout quand c'est toujours P(N)-...).
On fait plein de choses sans cadre conceptuel, et ça ne pose pas de problème juste parce que c'est plus simple avec Lebesgue, mais bien parce qu'en l'état je pense que 90% des étudiants ne comprennent pas ce qu'ils font. La seule chose qui compte, c'est que les méthodes sont expliquées et doivent être acquises, et que plus elles le sont plus le concours est bon.
La pratique mathématiques, l'apprentissage et la compréhension des concepts est largement passée au second plan avec cette seconde année actuelle, qui fait des méthodes l'objectif à atteindre.

Hum pour reformuler plus clairement, je dirais que le programme est intéressant si on le résume à ses étiquettes ("Reduction des ensomorphismes", "Séries entières", "Topologie des espaces normés", "Integrales à paramètres"), mais que la mise en œuvre pose problème. La raison, c'est qu'on se contente de résultats simples, principalement du type "règles manipulatoires" ou "techniques calculatoires", dont les applications sont les calculs ou vérifications de propriétés sur des objets de plus en plus complexes, qui sont des exercices reproductibles que les examinateurs peuvent tordre plus ou moins pour imposer au candidat d'utiliser plus ou moins de méthode, et sont donc parfaits pour tester le "degré d'admissibilité" du candidat.

Cependant, les exercices ou même, et c'est plus grave, les cours, ne proposent pas d'applications des résultats impliqués, ou bien des applications très internes à la théorie même étudiée en cours, le plus souvent justement des calculs ou vérifications de propriétés.
Un cours de topologie de deuxième année est toujours suivi d'exercices, toujours les mêmes, qu'on peut résumer à :
-On introduit cette norme bizarre, dessiner les boules bizarres
-On introduit tel opérateur sur tel espace de polynômes, montrer qu'il est continu ou non selon telle ou telle norme
-Montrer que tel espace de matrices est compact ou connexe par arcs
-L'éternel théorème de Riesz

Tous ces exercices servent juste à poser une étiquette sur tel espace, telle application, mais ne donnent pas de résultats, c'est-à-dire de solutions à un vrai problème.
Il y a quelques exercices rigolos de topologie qu'on peut très rarement voir en concours (oral Centrale : peut-on recouvrir le plan par des cercles disjoints ? C'est quelque chose d'amusant et c'est une preuve que la topologie peut résoudre un problème), mais dans l'essentiel, ça se résume à de l'étiquetage.

Eh bien le reste de l'analyse de spé me fait un peu le même effet, l'étiquette étant remplacée par la valeur exacte ou approchée de telle quantité.

Quant à Lebesgue en spé, je ne suis pas sûr que ce soit bien plus compliqué que Riemann, surtout pour la manipulation. Je suis à peu près certain que le vrai problème c'est qu'on peut moins faire d'exercices de concours car on gomme beaucoup de technicité grâce à cette nouvelle intégrale. La mesure ne serait pas le genre à avoir le vent en poupe pour les exercices de concours, on n'a pas assez de méthodologie à retenir.

Gerard : j'ai en effet choisi prépa pour avoir une option plus exigeante scolairement, et malgré le mal que je pense de la prépa je ne regrette pas rien que pour l'année de sup.
Au passage à la fac ensuite la difficulté n'était plus du tout la même, bien qu'il ne faille pas comparer, et pour la trouver il faut être autonome et se nourrir ailleurs.
C'est un peu dommage de devoir passer par prépa pour avoir un minimum d'exigence. Je crois que c'est dur pour un débutant après le bac d'entreprendre la démarche de chercher son savoir ailleurs qu'en cours, donc une année au moins de prépa me paraît être un gros plus. Le souci (qui a aussi ses forces) est d'être obligatoirement dans le système concours avec ce que ça implique, au niveau de l'apprentissage et des exercices, surtout en deuxième année.

Autre débat et "scolairement polémique", ne le lançons pas.

Je répondais à la pique de Corto et à ton message ("à l'époque, même dans une fac de seconde zone, on était bien formés sur le cœur des mathématiques" ça sous-entend que plus maintenant).
Je campe sur mes positions concernant l'enseignement à la fac mais je m'en moque, là n'est pas le sujet et je ne suis pas d'humeur belliqueuse.

La logique formelle n'a pas toujours sa place en débat, il y a (peut-être avant tout) la pragmatique. Si, en lisant un message qui commence par "à l'époque...", écrit à l'imparfait et portant un jugement de valeur, je ne voyais pas le sous-entendu "mais plus maintenant", je pourrais m'estimer aveugle, et ça n'a rien à voir avec ce qu'il y avait dans ma tête a priori.
Je veux bien te croire quand tu dis que tu n'en pensais rien mais d'un point de vue stylistique ça ne me paraît pas bien clair.

Ok.

Tout à fait d'accord, à l'université il s'agit de fonctionner honnêtement avec soi-même pour évaluer son niveau. Mais étant donné que l'autonomie prime, ce n'est pas la fac qui stimule car la même remarque s'applique pour quelqu'un travaillant en autodidacte. Si on juge d'un système scolaire et de l'effet qu'il a sur la formation des élèves, il s'agit de juger directement la manière dont ledit système influe sur l'apprentissage, et je trouve personnellement que le fac est bof pour ça, les bons élèves étant ceux qui au final s'en cognent le plus des cours pour se nourrir eux-mêmes. Le niveau d'exigence que j'appellerais inhérent à la fac me paraît bien plus bas que celui inhérent à la prépa (et c'est pour ça que pour un sortant de prépa, lire les sujets de second concours d'ENS Lyon est l'occasion de rager un bon coup sur la manière dont il s'est fait avoir en passant le vrai concours). C'est mon avis, je ne pense pas que ce problème soit vraiment pénalisant pour un élève motivé qui plus est, voilà je me suis exprimé un bon coup, n'en parlons plus.

Colmez vise plutôt juste sur tout je trouve, une fois n'est pas coutume c'est un bon gars.

Oui, je suis plutôt d'accord. Je peux un peu comprendre que l'avis de Colmez en refroidisse certains (parce qu'il veut vraiment faire des matheux, ce qui n'est pas forcément la vocation de la prépa), mais la contagion des programmes qu'implique un certain souci de cohérence nationale touche quand même beaucoup mes facs, malgré les plus ou moins grandes libertés qu'elles peuvent se permettre, et je pense que même en prépa, sans toucher au programme actuel, il y a moyen de remplir les 550 heures non dédiées à l'enseignement des notions au programme à quelque chose de plus enrichissant que du bachotage (car mes souvenirs d'"applications" des notions me font dire que le temps qui leur est alloué est plutôt réduit).

Son bouquin est disponible gratuitement ? Fichtre, je l'ai payé en librairie.

Je suis d'accord pour dire que le nombre de places compense, et en plus il y a l'épreuve de TIPE qui permet de trier les faqueux vraiment passionnés par les maths au point de s'investir dans un sujet des autres. Par contre, deux amis de promo l'ont passé et l'un d'eux a eu le concours (il avait un très bon TIPE qui a dû le distinguer et lui faire mériter sa place). Pour avoir regardé leur écrit, l'un des problèmes se faisait presque de tête en ayant connaissance du théorème spectral, et celui qui a été recalé ne l'a pas fait pour ne pas s'en être souvenu (ils ont passé le concours en L3). Je pense que même une taupe médiocre aurait pu faire ce sujet sans trop de difficulté (bien qu'ayant croisé un ancien camarade en prépa agreg, il ne se souvenait plus du théorème spectral, décidément).
Alors bien que la difficulté absolue des sujets ne veuille rien dire, je pense qu'elle est quand même censée être un indicateur du niveau estimé des candidats qui plancheront dessus, et en voyant les choses comme ça, j'ai envie de dire bof bof (je comparerais ça à du "CCP théorique", c'est-à-dire des exercices intéressants et abstraits, mais de difficulté CCP).

Si je suis bien évidemment d'accord pour dire qu'on ne peut présager de la meilleure réussite d'un élève donné dans le cadre fac ou bien prépa sans plus d'information sur lui, que des réussites fulgurantes sont possibles dans les deux systèmes et que, prépa ou fac, la majorité sera par nature toujours médiocre, la prépa me semble meilleure pour former, en proportion, plus d'élèves capables de sortir de deuxième année avec des réflexes fonctionnels (pour relancer une pique, chaque fois que les faqueux passaient au tableau, c'était la fiesta des quantificateurs et il y avait toujours ce côté "nez dans le guidon", et la différence entre anciens de prépas et purs faqueux se sentait beaucoup à la manière de poser les problèmes, ce qui me fait dire qu'il y a une nécessité à être très encadré au début pour apprendre ces choses générales et importantes).
(Bon, et tant pis pour ce que j'ai dit, nous voilà dans le débat).

Pour Lebesgue, on a normalement tous ces prérequis en fin de sup, et à part peut-être les séries (qu'on peut voir tôt en spé), les avoir solidement acquis.
Ce qu'on voit en analyse de deuxième année donne beaucoup l'impression d'être réappris durant la troisième.

Tout à fait d'accord.

Je corrige pour Corto s'il est curieux de confirmer ou infirmer mes dires sur le sujet de Lyon : c'était le sujet de second concours de 2017. Dis-moi ce que tu penses du premier problème si tu as le courage d'aller voir un jour. En général les annales ne sont pas bien dures mais là c'est un peu exagéré je trouve.

Colmez n'a pas qu'une vision élitiste des maths, il est de ceux qui veulent faire comprendre la beauté de la discipline au plus grand nombre et ne me donne pas l'impression de vouloir un pays d'excellence académique mathématique. Son bouquin respire la bienveillance et le désir de partage, c'est une vraie bouffée d'enthousiasme.

De plus, vouloir qu'il y ait de vraies maths dans la formation la plus exigeante en maths niveau postbac immédiat ne me paraît pas totalement délirant. Certes, on fait vélo et bien des maths en prépa, mais le point marquant du texte de Colmez est l'histoire du volume horaire dédié au cours par rapport au volume total, et le fait que ce volume libre soit occupé par du bachotage.
S'il faut penser à ceux qui sont là uniquement dans l'optique concours, il est dommage de délaisser ceux qui sont en prépa juste pour y faire des maths, et nous savons tous ici que ces derniers sont loin d'être une minorité aérolithique.