Fonctions affines
Bonjour à tous,
j'ai un exercice, niveau 3ème, pour lequel les élèves doivent commencer par déterminer les valeurs de a et b d'une fonction affine f.
Dites-vous que a et b sont des nombres quelconques ?
Parce que si f(x) = ax + b, il y a 3 lettres et pour moi, 2 statuts:
* la lettre x qui désigne n'importe quel nombre.
* les lettres a et b qui désignent ... des nombres : quelconques, fixés, donnés, connus, ... Que dites-vous ?
Les lettres a et b ne sont-ils pas appelés paramètres ?
Dans les livres et sur Internet, on trouve de tout, encore une fois.
J'aimerais de l'éclairage à ce sujet s'il vous plaît.
Merci pour vos sympathiques retours.
j'ai un exercice, niveau 3ème, pour lequel les élèves doivent commencer par déterminer les valeurs de a et b d'une fonction affine f.
Dites-vous que a et b sont des nombres quelconques ?
Parce que si f(x) = ax + b, il y a 3 lettres et pour moi, 2 statuts:
* la lettre x qui désigne n'importe quel nombre.
* les lettres a et b qui désignent ... des nombres : quelconques, fixés, donnés, connus, ... Que dites-vous ?
Les lettres a et b ne sont-ils pas appelés paramètres ?
Dans les livres et sur Internet, on trouve de tout, encore une fois.
J'aimerais de l'éclairage à ce sujet s'il vous plaît.
Merci pour vos sympathiques retours.
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Réponses
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$.
Dire que $f$ est affine signifie qu’il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que pour tout nombre $x$, $f(x)=ax+b$.
Remarque : cela n’a pas de sens sans un autre contexte de dire ici « $a$ et $b$ sont quelconques ».
Oui, dans cette définition, « $x$ désigne n’importe quel nombre » car c’est indiqué « pour tout nombre ».
J'ai trois fonctions affines f, g et h définies resp., pour tout nombre c, par f(x) = 3x + 7, g(x) = - 4x + 2 et h(x) = 1 - 6x.
Ils doivent dans chaque cas déterminer les nombres a et b
C'est exactement comme ça que je la définie aussi (en Seconde).
Ensuite on peut dire :
« je pose $a=...$ et $b=...$ alors on a pour tout nombre $x$, $f(x)=...$ donc $f$ est affine. ».
Quel est le vrai problème ?
Mais je comprends.
Déterminer, pour chacune d'elle, les coefficients a et b.".
Je dois introduire dans l'énoncé les nombres a et b.
P.S. : dans le cours, j'ai la même définition que Dom.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2021548,2021598#msg-2021598
Par contre si la consigne est donnée telle quelle, il y a un vrai problème.
Que veut dire, dans cette consigne, « trouver $a$ et $b$ » ?
Et si on dit « trouver $m$ et $p$ », ça donne quoi ?
Éventuellement on complète la définition avec « coefficient directeur » et « ordonnée à l’origine » et on dit « prouver que chaque fonction est affine et déterminer pour chacune d’elle le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine ».
Comment faire ? Ne pas nommer les coefficients ?
Peut-être : expliciter (donner les nombres) a et b de façon que pour tout nombre x, f(x) = etc. Ce qui revient à leur donner dans l’énoncé la définition.
Juste une petite remarque. Pour pourvoir dire le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, il faudrait justifier de l'unicité de ces nombres après la définition, même si ce n'est pas l'esprit de l'éducation nationale...
Démontrer que c’est affine n’exige pas de parler d’unicité.
Par contre quand on définit ces deux nombres et qu’on leur donne un nom, ça pose une question mathématique, celle de l’unicité.
On considère trois fonctions affines f, g et h définies respectivement, pour tout nombre x, par f(x) = 3x + 7, g(x) = - 4x + 2 et h(x) = 1 - 6x.
Déterminer, pour chacune d'elle, ses coefficients a et b de tels sortes que x -> a * x + b." ?
Je préfère ma contre-proposition avec le vocabulaire.
Bref, pas simple de proposer quelque chose de correcte.
Autre proposition :
"On considère trois fonctions affines f, g et h définies respectivement, pour tout nombre x, par f(x) = 3x + 7, g(x) = - 4x + 2 et h(x) = 1 - 6x.
Déterminer, pour chacune d'elle, ses coefficients."
-> Réponse : f est une fonction affine donc il existe deux nombres a et b tels que, pour n'importe quel nombre x, f(x) = ax + b, avec ici, a = .. et b = ... ."
Mieux ?
Les notions de coefficient directeur et d'ordonnée à l'origine définissent déjà la "position" de ces derniers.
Dans l'exercice, on sait déjà que f est affine.
Du coup, son coefficient directeur est égal à 3 et son ordonnée à l'origine est égale à 7.
On a reçu début mai un document qui vient de l’inspection générale (sauf erreur de ma part). Il fait la liste des attendus et pour les fonctions affines, je lis ceci et c’est tout :
-- Schnoebelen, Philippe
Et un autre [fonction affine] et [droite non verticale].
Qu’attendent les profs de seconde d’ailleurs au sujet des fonctions affines ?
Je dirais plutôt "identifier $a$ et $b$". Quand j'ai des exercices de ce genre, j'essaye de ne pas parler $a$ et $b$, mais dire plutôt le coefficient directeur et l'ordonné à l'origine. Parce que rien ne nous interdit d'écrire $f(x)=a+bx$ ou $f(x)=b+ax$ ou encore $f(x)=m+nx$. Et tes trois exemples sont trop triviaux. On peut donner $f(x) = \frac{x+1}{2}$ ou encore $f(x) = x-1+\sqrt{2}$.
@FLEURISTIN, L'unicité dans quel sens et contexte? N'oublie pas qu'on parles des élèves de 3e qui n'ont aucune notion d'unicité.
La médiatrice d'un segment est l'unique droite qui ...
Le milieu d'un segment est l'unique point du segment qui ...
La différence de deux nombres est l'unique nombre tel que...
Le quotient de deux nombres non nuls est l'unique nombre tel que...
Mais je n'ai peut-être pas compris le sens de cette phrase.
Je vais regarder cela de plus près.
Question au passage :
Fondamentalement, y a-t-il une différence entre "la médiatrice est l'unique droite qui..." et "la médiatrice est la droite qui ..." ?
Parfois on dit « la seule ».
On a aussi « par deux points ne passe qu’une droite » qui est un théorème d’unicité.
Comme Dom je dis que "le/la" signifie "l'unique" et que "un/une" signifie "un/une parmi plusieurs possibilités".
Il faut insister dès les plus petites classes sur cette notion d'unicité, mais les élèves comprennent assez vite, par exemple en leur apprenant à rédiger rigoureusement des programmes de construction.
Le cercle de centre O représenté sur la figure passe par les points A, B et C.
Le rayon est OA.
Un rayon est [OA].
Grâce au codage on sait que le rayon [OA] a pour médiatrice la droite $\mathcal D$.
« Mais non m’sieur, c’est pas "le" qu’il faut dire mais "un"... »
Ça m’évoque « mais Monsieur, elles sont parallèles donc elles ont un point commun... »
L’unicité même si ce n’est pas des choses travaillées me semble par contre très bien comprise.
Le rôle de nom signifiant vraiment quelque chose.
Le rôle d'auxiliaire (pour décrire un mécanisme).
Dans "soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $f(x)=ax+b$ pour tout $x$", $a$ et $b$ désignent des nombres et sont signifiants, mais $x$ est un auxiliaire et ne désigne rien. Au passage $x$ peut être remplacé par une autre lettre sans en altérer le sens, par exemple "soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $f(t)=at+b$ pour tout $t$" et cette phrase dit exactement la même chose que la précédente.
Les différents rôles des lettres se reconnaissent à la manière dont lesdites lettres sont introduites dans la phrase.
La mention "pour tout $x$" en rouge est [large]indispensable[/large] et c'est elle qui fait de $x$ un auxiliaire.
Elle ne peut être retirée que si on met une autre forme à la place qui fera de $x$ un auxiliaire: par exemple :
"Soient $a,b$ des nombres réels et $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $x\mapsto (ax+b)$".
Le rôle d'auxiliaire de $x$ est établi par sa place à la gauche du symbole $\mapsto$ et ne vaut qu'à l'intérieur de la parenthèse à droite du même symbole. Lorsque cela n'entraîne pas d'ambiguité (il n'y a quasiment jamais d'ambiguïté de ce type) il est possible d'omettre ces parenthèses.
Il importe de ne pas croire que $x$ est "spécial" et que c'est automatiquement un auxiliaire.
Dans la phrase "soient $x,y$ des réels $g$ la fonction affine de $\R$ dans lui même définie par $a\mapsto xa+y$, ce sont cette fois $x$ et $y$ désignent des nombres réels et c'est $a$ qui est en position d'auxiliaire.
En lieu et place "d'auxiliaire" on trouve les expressions "lettre liée" ou "variable liée" dans la littérature spécialisée (logique), dans des textes plus courants on trouve parfois "variable" (maladroit). Les lettres non liées d'un texte sont dites "libres". Dans mes première et deuxième phrases ci-dessus entre guillemets, $a$ et $b$ sont libres. Cest phrases ne parlent que de $a$ et de $b$ et pas du tout de $x$ (lié dans la première) ni $t$ (lié dans la deuxième).
Dans ma troisième phrase, $x$ et $y$ sont libres et $a$ est liée.
Comment savoir si des lettres (ici a et b dans le cas de fonctions affines) sont libres ou liées ?
Comment savoir s'il faut dire "pour n'importe quels nombres a et b" ou "Soient a et b deux nombres" ou ... ?
Parce que, je pense que c'est le propos de Foys, x est une nombre quelconque mais a et b sont aussi deux nombres quelconques mais pas au même statut que x (c'est la personne ou l'exercice qui propose des valeurs à x alors que a et b, c'est l'exercice qui attribue les valeurs).
Je pense que je vais faire un post plus technique plus tard.
A]
tes deux phrases entre guillemets
1) « ... pour tout $x$, $f(x)=...$ » et
2) « ... $x\mapsto ...$ »
sont-elles vraiment équivalentes ?
Je crois que Christophe suggère plutôt la première. Voire, rejette la seconde.
B]
Autre question.
Je n’aime pas cette manière de dire (ce n’est pas Foys, c’est une question que je me pose) :
La fonction $f : \R \rightarrow \R$ telle que pour tout réel $x$, $x\mapsto 2x+3$.
Je n’aime pas le « pour tout $x$, $x\mapsto ...$ ». Ça me titille.
Le symbole $\mapsto$, quelle est sa définition finalement ? (À part « qui __ $x$ associe __ » ?)
Aussi, certains profs écrivent explicitement le terme « unicité » ou « unique » ou encore « le seul ».
Pour « les fonctions », la plupart utilisent ces mots.
J'ai lu la conversation sans trouver la réponse à deux questions:
1) Pourquoi peut-on écrire que f(x)=a(x-x1)+y1
Mon hypothèse:
Soit f(x)= ax+b tel que pour tout x appartenant à R, a et b appartient à R
Soit f(x1)=ax1+b tel x1 un réel, a et b appartenant à R
Calculons f(x)-f(x1)
f(x)-f(x1)= (ax+b)-(ax1+b)
f(x)-f(x1)= ax-ax1+b-b
f(x)-f(x1)=a(x-x1)
f(x)=a(x-x1)+f(x1)
f(x)=a(x-x)+y1
alors je pense que le calcul est bon MAIS je ne comprends pas pourquoi dans le livre on "applique cette formule".(a) Pourquoi celle-ci et pas une autre. (b) D'où est venu cette idée de poser f(x)-f(x1) -- j'ai bien compris qu'on pouvait poser f(x)- f(xn)-- pour calculer l'ordonnée à l'origine?
L'exercice de 2nd ( c'est un livre de 2nd) donne deux images et l'objectif est:
1) Calculer le coefficient directeur
2) Calculer l'ordonnée à l'origine
Je poserais la deuxième question plus tard sur une propriété de la fonction affine après avoir compris ce qu'est une loi de composition interne.
Merci à vous pour vos futures réponses.
Jean
"(a) Pourquoi celle-ci et pas une autre ?" Pourquoi pas ? si le livre en avait appliqué une autre, tu poserais encore la même question. Il faut bien faire l'exercice, non ?
"(b) D'où est venu cette idée de poser f(x)-f(x1)". De la pratique de ces calculs, qui se fait quand même depuis des siècles. Elle t'est bien venue, apparemment. mais il y a bien d'autres idées possibles (utilisation de la formule du coefficient directeur, partir de l'équation et dire que la droite passe par les points, ...) qui aboutissent à la même équation.
Cordialement.
"qui se fait quand même depuis des siècles" je me doute bien que les mathématiques n'ont pas vu le jour seulement hier. "Cette idée": elle ne m'est pas venue, je l'ai trouvée posée en exercice sur un autre forum, je l'ai simplement décortiquée.
Ce qui me semble aurait été intéressant de savoir (niveau déplorable en Terminale S, j'en suis l'exemple) c'est le "trouver ces idées" sans forcément regarder les corrections. D'où mon inscription sur ce forum.
Je vous remercie pour cette réponse si rapide et pour vos explications.
Bien à vous.
on passe trop peu de temps sur les techniques de base des calculs ... les programmes n'y incitent pas, les élèves sont réticents (il y a 30 ans, donner 4 exercices pour le cours suivant était un minimum ... et les élèves les faisaient - sans Internet).
Cordialement.
Désolé si je suis hors sujet.
Bonne journée