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Fonctions affines

Envoyé par Arturo 
Fonctions affines
il y a six semaines
Bonjour à tous,

j'ai un exercice, niveau 3ème, pour lequel les élèves doivent commencer par déterminer les valeurs de a et b d'une fonction affine f.

Dites-vous que a et b sont des nombres quelconques ?

Parce que si f(x) = ax + b, il y a 3 lettres et pour moi, 2 statuts:
* la lettre x qui désigne n'importe quel nombre.
* les lettres a et b qui désignent ... des nombres : quelconques, fixés, donnés, connus, ... Que dites-vous ?
Les lettres a et b ne sont-ils pas appelés paramètres ?

Dans les livres et sur Internet, on trouve de tout, encore une fois.
J'aimerais de l'éclairage à ce sujet s'il vous plaît.

Merci pour vos sympathiques retours.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
avatar
Il serait bien de donner une définition de fonction affine, (tout vient de là) et de présenter l'énoncé tel qu'il est présenté.
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Définition d’une fonction affine définie sur l’ensemble des nombres $(\R)$ et à valeurs dans l’ensemble des nombres $(\R)$ :

Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$.
Dire que $f$ est affine signifie qu’il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que pour tout nombre $x$, $f(x)=ax+b$.


Remarque : cela n’a pas de sens sans un autre contexte de dire ici « $a$ et $b$ sont quelconques ».
Oui, dans cette définition, « $x$ désigne n’importe quel nombre » car c’est indiqué « pour tout nombre ».



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Je comprends mais là je suis en exercice, pas dans une définition.

J'ai trois fonctions affines f, g et h définies resp., pour tout nombre c, par f(x) = 3x + 7, g(x) = - 4x + 2 et h(x) = 1 - 6x.
Ils doivent dans chaque cas déterminer les nombres a et b
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
avatar
Dom, je voulais vraiment voir la définition de l'auteur.
C'est exactement comme ça que je la définie aussi (en Seconde).
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
avatar
Justement, ne vois-tu pas que la définition de Dom répond à ta question ?
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Ok, la définition est tout de même utile pour savoir ce que c’est, non ?

Ensuite on peut dire :
« je pose $a=...$ et $b=...$ alors on a pour tout nombre $x$, $f(x)=...$ donc $f$ est affine. ».

Quel est le vrai problème ?
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Ok, FLEURISTIN, moi aussi je n’aime pas les « spoil » ou réponse donnée par d’autres. Mais je me le permets avec Arturo. Disons qu’on a déjà échangé sur quelques sujets.

Mais je comprends.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
"On considère trois fonctions affines f, g et h définies respectivement, pour tout nombre x, par f(x) = 3x + 7, g(x) = - 4x + 2 et h(x) = 1 - 6x.
Déterminer, pour chacune d'elle, les coefficients a et b.".

Je dois introduire dans l'énoncé les nombres a et b.

P.S. : dans le cours, j'ai la même définition que Dom.
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Et bien j’ai répondu, non ?

[www.les-mathematiques.net]

Par contre si la consigne est donnée telle quelle, il y a un vrai problème.
Que veut dire, dans cette consigne, « trouver $a$ et $b$ » ?
Et si on dit « trouver $m$ et $p$ », ça donne quoi ?

Éventuellement on complète la définition avec « coefficient directeur » et « ordonnée à l’origine » et on dit « prouver que chaque fonction est affine et déterminer pour chacune d’elle le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine ».



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Oui, Dom, tu as répondu et ton interrogation ensuite, c'est ce que je voulais ensuite aborder avec vous.
Comment faire ? Ne pas nommer les coefficients ?
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Effectivement, ta question n’a pas de sens puisqu’il n’y a pas de a ni de b dans le début de ton énoncé.

Peut-être : expliciter (donner les nombres) a et b de façon que pour tout nombre x, f(x) = etc. Ce qui revient à leur donner dans l’énoncé la définition.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
avatar
Pas de souci Dom.
Juste une petite remarque. Pour pourvoir dire le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, il faudrait justifier de l'unicité de ces nombres après la définition, même si ce n'est pas l'esprit de l'éducation nationale...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par FLEURISTIN.
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
En effet.
Démontrer que c’est affine n’exige pas de parler d’unicité.
Par contre quand on définit ces deux nombres et qu’on leur donne un nom, ça pose une question mathématique, celle de l’unicité.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Que pensez-vous de :
On considère trois fonctions affines f, g et h définies respectivement, pour tout nombre x, par f(x) = 3x + 7, g(x) = - 4x + 2 et h(x) = 1 - 6x.
Déterminer, pour chacune d'elle, ses coefficients a et b de tels sortes que x -> a * x + b." ?
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Non ça ne me plaît pas.
Je préfère ma contre-proposition avec le vocabulaire.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Le problème aussi, c'est que l'on pourrait très bien écrire f(x) = bx + a.
Bref, pas simple de proposer quelque chose de correcte.

Autre proposition :
"On considère trois fonctions affines f, g et h définies respectivement, pour tout nombre x, par f(x) = 3x + 7, g(x) = - 4x + 2 et h(x) = 1 - 6x.
Déterminer, pour chacune d'elle, ses coefficients."
-> Réponse : f est une fonction affine donc il existe deux nombres a et b tels que, pour n'importe quel nombre x, f(x) = ax + b, avec ici, a = .. et b = ... ."

Mieux ?
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
avatar
Pourquoi veux-tu absolument utiliser les lettres a et b ?
Les notions de coefficient directeur et d'ordonnée à l'origine définissent déjà la "position" de ces derniers.

Dans l'exercice, on sait déjà que f est affine.
Du coup, son coefficient directeur est égal à 3 et son ordonnée à l'origine est égale à 7.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
avatar
Attention, Arturo a des élèves de troisième, pas des élèves de seconde ($\mathbb{R}$ n’est pas connu en troisième).
On a reçu début mai un document qui vient de l’inspection générale (sauf erreur de ma part). Il fait la liste des attendus et pour les fonctions affines, je lis ceci et c’est tout :
Citation

Il représente graphiquement une fonction linéaire, une fonction affine.
Il fait le lien entre situation de proportionnalité et fonction linéaire.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
En gros, on peut considérer qu’il n’y a aucun attendu dans cet attendu du programme. smiling smiley
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Ça donne sans le dire un théorème qui établit une bijection entre [tableau de proportionnalité à deux lignes], [fonction linéaire] et [droite non verticale passant par l’origine].

Et un autre [fonction affine] et [droite non verticale].

Qu’attendent les profs de seconde d’ailleurs au sujet des fonctions affines ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
@Arturo, $x$ - c'est l'argument de la fonction, alors que $a$ et $b$ sont des constantes ou paramètres.

Citation

J'ai trois fonctions affines f, g et h définies resp., pour tout nombre c, par f(x) = 3x + 7, g(x) = - 4x + 2 et h(x) = 1 - 6x.
Ils doivent dans chaque cas déterminer les nombres a et b
Je dirais plutôt "identifier $a$ et $b$". Quand j'ai des exercices de ce genre, j'essaye de ne pas parler $a$ et $b$, mais dire plutôt le coefficient directeur et l'ordonné à l'origine. Parce que rien ne nous interdit d'écrire $f(x)=a+bx$ ou $f(x)=b+ax$ ou encore $f(x)=m+nx$. Et tes trois exemples sont trop triviaux. On peut donner $f(x) = \frac{x+1}{2}$ ou encore $f(x) = x-1+\sqrt{2}$.


@FLEURISTIN,
Citation

Pas de souci Dom.
Juste une petite remarque. Pour pourvoir dire le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, il faudrait justifier de l'unicité de ces nombres après la définition, même si ce n'est pas l'esprit de l'éducation nationale...
L'unicité dans quel sens et contexte? N'oublie pas qu'on parles des élèves de 3e qui n'ont aucune notion d'unicité.
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Pas de notion d'unicité en 3e ?

La médiatrice d'un segment est l'unique droite qui ...
Le milieu d'un segment est l'unique point du segment qui ...

La différence de deux nombres est l'unique nombre tel que...
Le quotient de deux nombres non nuls est l'unique nombre tel que...


Mais je n'ai peut-être pas compris le sens de cette phrase.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
@ tous : merci pour vos retours.
Je vais regarder cela de plus près.

Question au passage :
Fondamentalement, y a-t-il une différence entre "la médiatrice est l'unique droite qui..." et "la médiatrice est la droite qui ..." ?
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Non. « La » en français et dans ce contexte signifie bien « l’unique ».
Parfois on dit « la seule ».

On a aussi « par deux points ne passe qu’une droite » qui est un théorème d’unicité.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Cela s'enseigne dès la sixième, avec par exemple "LA droite perpendiculaire à une autre passant par un point", ou encore "LE point d'intersection de deux droites sécantes".

Comme Dom je dis que "le/la" signifie "l'unique" et que "un/une" signifie "un/une parmi plusieurs possibilités".

Il faut insister dès les plus petites classes sur cette notion d'unicité, mais les élèves comprennent assez vite, par exemple en leur apprenant à rédiger rigoureusement des programmes de construction.
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Et puis il y a les subtilités du langage :
Le cercle de centre O représenté sur la figure passe par les points A, B et C.
Le rayon est OA.
Un rayon est [OA].
Grâce au codage on sait que le rayon [OA] a pour médiatrice la droite $\mathcal D$.

« Mais non m’sieur, c’est pas "le" qu’il faut dire mais "un"... »


Ça m’évoque « mais Monsieur, elles sont parallèles donc elles ont un point commun... »
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Pour ma part, je crois plutôt que c’est « l’existence » d’un objet qui est bien plus abstraite et incomprise en profondeur.
L’unicité même si ce n’est pas des choses travaillées me semble par contre très bien comprise.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Il y a deux rôles pour les lettres en mathématiques:
Le rôle de nom signifiant vraiment quelque chose.
Le rôle d'auxiliaire (pour décrire un mécanisme).

Dans "soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $f(x)=ax+b$ pour tout $x$", $a$ et $b$ désignent des nombres et sont signifiants, mais $x$ est un auxiliaire et ne désigne rien. Au passage $x$ peut être remplacé par une autre lettre sans en altérer le sens, par exemple "soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $f(t)=at+b$ pour tout $t$" et cette phrase dit exactement la même chose que la précédente.
Les différents rôles des lettres se reconnaissent à la manière dont lesdites lettres sont introduites dans la phrase.
La mention "pour tout $x$" en rouge est indispensable et c'est elle qui fait de $x$ un auxiliaire.
Elle ne peut être retirée que si on met une autre forme à la place qui fera de $x$ un auxiliaire: par exemple :

"Soient $a,b$ des nombres réels et $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $x\mapsto (ax+b)$".

Le rôle d'auxiliaire de $x$ est établi par sa place à la gauche du symbole $\mapsto$ et ne vaut qu'à l'intérieur de la parenthèse à droite du même symbole. Lorsque cela n'entraîne pas d'ambiguité (il n'y a quasiment jamais d'ambiguïté de ce type) il est possible d'omettre ces parenthèses.

Il importe de ne pas croire que $x$ est "spécial" et que c'est automatiquement un auxiliaire.
Dans la phrase "soient $x,y$ des réels $g$ la fonction affine de $\R$ dans lui même définie par $a\mapsto xa+y$, ce sont cette fois $x$ et $y$ désignent des nombres réels et c'est $a$ qui est en position d'auxiliaire.

En lieu et place "d'auxiliaire" on trouve les expressions "lettre liée" ou "variable liée" dans la littérature spécialisée (logique), dans des textes plus courants on trouve parfois "variable" (maladroit). Les lettres non liées d'un texte sont dites "libres". Dans mes première et deuxième phrases ci-dessus entre guillemets, $a$ et $b$ sont libres. Cest phrases ne parlent que de $a$ et de $b$ et pas du tout de $x$ (lié dans la première) ni $t$ (lié dans la deuxième).
Dans ma troisième phrase, $x$ et $y$ sont libres et $a$ est liée.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
avatar
Très bonne explication Foys, comme d'habitude.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Foys, je pense que tu voulais écrire $a \mapsto xa+y$ et non $t \mapsto xa+y$
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Exact, merci Héhéhé pour le signalement de cette coquille.
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Merci pour vos retours.

Comment savoir si des lettres (ici a et b dans le cas de fonctions affines) sont libres ou liées ?
Comment savoir s'il faut dire "pour n'importe quels nombres a et b" ou "Soient a et b deux nombres" ou ... ?

Parce que, je pense que c'est le propos de Foys, x est une nombre quelconque mais a et b sont aussi deux nombres quelconques mais pas au même statut que x (c'est la personne ou l'exercice qui propose des valeurs à x alors que a et b, c'est l'exercice qui attribue les valeurs).
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Citation
Arturo
Comment savoir si des lettres (ici a et b dans le cas de fonctions affines) sont libres ou liées ?
Par des modalités d'introduction spécifique (typiquement la lettre $u$ est liée dans toutes les expressions formelles commençant par $u\mapsto$ ou $\forall u$, qu'on dit en prose "pour tout $u$ ..." ). De plus (c'est le plus dur à saisir je pense) $x$ ne désigne pas un nombre. $x$ est littéralement un marqueur de place.
Je pense que je vais faire un post plus technique plus tard.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Foys.
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Foys,

A]
tes deux phrases entre guillemets
1) « ... pour tout $x$, $f(x)=...$ » et
2) « ... $x\mapsto ...$ »

sont-elles vraiment équivalentes ?

Je crois que Christophe suggère plutôt la première. Voire, rejette la seconde.

B]
Autre question.
Je n’aime pas cette manière de dire (ce n’est pas Foys, c’est une question que je me pose) :
La fonction $f : \R \rightarrow \R$ telle que pour tout réel $x$, $x\mapsto 2x+3$.
Je n’aime pas le « pour tout $x$, $x\mapsto ...$ ». Ça me titille.
Le symbole $\mapsto$, quelle est sa définition finalement ? (À part « qui __ $x$ associe __ » ?)
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
@Dom,
Citation

Pas de notion d'unicité en 3e ?
Relis ce que a écrit @FLEURISTIN. Dans tes 4 exemples tu n'utilises jamais le mot unicité et tu ne demande pas de le justifier/démontrer, n'est pas? Mais comme je disais à @FLEURISTIN, cela dépend de ce qu'il veut dire par sa phrase.
Dom
Re: Fonctions affines
il y a six semaines
Ha ?! Tu parlais de la notion et non du terme...

Aussi, certains profs écrivent explicitement le terme « unicité » ou « unique » ou encore « le seul ».
Pour « les fonctions », la plupart utilisent ces mots.
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