Fonctions affines

Définition d’une fonction affine définie sur l’ensemble des nombres $(\R)$ et à valeurs dans l’ensemble des nombres $(\R)$ :

Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$.
Dire que $f$ est affine signifie qu’il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que pour tout nombre $x$, $f(x)=ax+b$.


Remarque : cela n’a pas de sens sans un autre contexte de dire ici « $a$ et $b$ sont quelconques ».
Oui, dans cette définition, « $x$ désigne n’importe quel nombre » car c’est indiqué « pour tout nombre ».

Dom, je voulais vraiment voir la définition de l'auteur.
C'est exactement comme ça que je la définie aussi (en Seconde).

Ok, la définition est tout de même utile pour savoir ce que c’est, non ?

Ensuite on peut dire :
« je pose $a=...$ et $b=...$ alors on a pour tout nombre $x$, $f(x)=...$ donc $f$ est affine. ».

Quel est le vrai problème ?

Pas de souci Dom.
Juste une petite remarque. Pour pourvoir dire le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, il faudrait justifier de l'unicité de ces nombres après la définition, même si ce n'est pas l'esprit de l'éducation nationale...

Attention, Arturo a des élèves de troisième, pas des élèves de seconde ($\mathbb{R}$ n’est pas connu en troisième).
On a reçu début mai un document qui vient de l’inspection générale (sauf erreur de ma part). Il fait la liste des attendus et pour les fonctions affines, je lis ceci et c’est tout :

Il représente graphiquement une fonction linéaire, une fonction affine.
Il fait le lien entre situation de proportionnalité et fonction linéaire.

Ça donne sans le dire un théorème qui établit une bijection entre [tableau de proportionnalité à deux lignes], [fonction linéaire] et [droite non verticale passant par l’origine].

Et un autre [fonction affine] et [droite non verticale].

Qu’attendent les profs de seconde d’ailleurs au sujet des fonctions affines ?

Pas de notion d'unicité en 3e ?

La médiatrice d'un segment est l'unique droite qui ...
Le milieu d'un segment est l'unique point du segment qui ...

La différence de deux nombres est l'unique nombre tel que...
Le quotient de deux nombres non nuls est l'unique nombre tel que...

Mais je n'ai peut-être pas compris le sens de cette phrase.

Non. « La » en français et dans ce contexte signifie bien « l’unique ».
Parfois on dit « la seule ».

On a aussi « par deux points ne passe qu’une droite » qui est un théorème d’unicité.

Et puis il y a les subtilités du langage :
Le cercle de centre O représenté sur la figure passe par les points A, B et C.
Le rayon est OA.
Un rayon est [OA].
Grâce au codage on sait que le rayon [OA] a pour médiatrice la droite $\mathcal D$.

« Mais non m’sieur, c’est pas "le" qu’il faut dire mais "un"... »


Ça m’évoque « mais Monsieur, elles sont parallèles donc elles ont un point commun... »

Il y a deux rôles pour les lettres en mathématiques:
Le rôle de nom signifiant vraiment quelque chose.
Le rôle d'auxiliaire (pour décrire un mécanisme).

Dans "soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $f(x)=ax+b$ pour tout $x$", $a$ et $b$ désignent des nombres et sont signifiants, mais $x$ est un auxiliaire et ne désigne rien. Au passage $x$ peut être remplacé par une autre lettre sans en altérer le sens, par exemple "soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $f(t)=at+b$ pour tout $t$" et cette phrase dit exactement la même chose que la précédente.
Les différents rôles des lettres se reconnaissent à la manière dont lesdites lettres sont introduites dans la phrase.
La mention "pour tout $x$" en rouge est [large]indispensable[/large] et c'est elle qui fait de $x$ un auxiliaire.
Elle ne peut être retirée que si on met une autre forme à la place qui fera de $x$ un auxiliaire: par exemple :

"Soient $a,b$ des nombres réels et $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par $x\mapsto (ax+b)$".

Le rôle d'auxiliaire de $x$ est établi par sa place à la gauche du symbole $\mapsto$ et ne vaut qu'à l'intérieur de la parenthèse à droite du même symbole. Lorsque cela n'entraîne pas d'ambiguité (il n'y a quasiment jamais d'ambiguïté de ce type) il est possible d'omettre ces parenthèses.

Il importe de ne pas croire que $x$ est "spécial" et que c'est automatiquement un auxiliaire.
Dans la phrase "soient $x,y$ des réels $g$ la fonction affine de $\R$ dans lui même définie par $a\mapsto xa+y$, ce sont cette fois $x$ et $y$ désignent des nombres réels et c'est $a$ qui est en position d'auxiliaire.

En lieu et place "d'auxiliaire" on trouve les expressions "lettre liée" ou "variable liée" dans la littérature spécialisée (logique), dans des textes plus courants on trouve parfois "variable" (maladroit). Les lettres non liées d'un texte sont dites "libres". Dans mes première et deuxième phrases ci-dessus entre guillemets, $a$ et $b$ sont libres. Cest phrases ne parlent que de $a$ et de $b$ et pas du tout de $x$ (lié dans la première) ni $t$ (lié dans la deuxième).
Dans ma troisième phrase, $x$ et $y$ sont libres et $a$ est liée.

Foys, je pense que tu voulais écrire $a \mapsto xa+y$ et non $t \mapsto xa+y$

Foys,

A]
tes deux phrases entre guillemets
1) « ... pour tout $x$, $f(x)=...$ » et
2) « ... $x\mapsto ...$ »

sont-elles vraiment équivalentes ?

Je crois que Christophe suggère plutôt la première. Voire, rejette la seconde.

B]
Autre question.
Je n’aime pas cette manière de dire (ce n’est pas Foys, c’est une question que je me pose) :
La fonction $f : \R \rightarrow \R$ telle que pour tout réel $x$, $x\mapsto 2x+3$.
Je n’aime pas le « pour tout $x$, $x\mapsto ...$ ». Ça me titille.
Le symbole $\mapsto$, quelle est sa définition finalement ? (À part « qui __ $x$ associe __ » ?)

Ha ?! Tu parlais de la notion et non du terme...

Aussi, certains profs écrivent explicitement le terme « unicité » ou « unique » ou encore « le seul ».
Pour « les fonctions », la plupart utilisent ces mots.

Bonjour.

"(a) Pourquoi celle-ci et pas une autre ?" Pourquoi pas ? si le livre en avait appliqué une autre, tu poserais encore la même question. Il faut bien faire l'exercice, non ?
"(b) D'où est venu cette idée de poser f(x)-f(x1)". De la pratique de ces calculs, qui se fait quand même depuis des siècles. Elle t'est bien venue, apparemment. mais il y a bien d'autres idées possibles (utilisation de la formule du coefficient directeur, partir de l'équation et dire que la droite passe par les points, ...) qui aboutissent à la même équation.

Cordialement.

Effectivement,

on passe trop peu de temps sur les techniques de base des calculs ... les programmes n'y incitent pas, les élèves sont réticents (il y a 30 ans, donner 4 exercices pour le cours suivant était un minimum ... et les élèves les faisaient - sans Internet).

Cordialement.