Définition de $i$
Bonjour à tous, je ne vois pas trop comment on peut définir le nombre $i$ à des lycéens. Dans mes souvenirs on dit "on définit $i$ le nombre tel que $i^2=-1$", outre le fait que l'existence d'un tel nombre n'est pas évidente, on ne sait surtout pas si "$i=i$" ou si "$i=-i$" puisque le polynôme $X^2+1$ a deux racines. Par exemple, si on définit $x$ le nombre tel que $x^2=2$, on a $x=\sqrt{2}$ ou bien $x=-\sqrt{2}$ ? Ainsi cette définition de $i$ est vraiment ambiguë. On peut contourner le problème en disant que $\mathbb{C}$ est le groupe $\mathbb{R}^2$ munit des lois $(x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)$ et $(x,y)\times(u,v)=(xu-yv,xv+yu)$ et on définit $i:=(0,1)$, ou alors en définissant $\mathbb{C}:=\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$ et en posant $i:=\overline{X}$. Mais pour des lycéens on peut oublier, alors comment vous feriez vous pour définir $i$ ?
Réponses
-
Les nombres complexes sont des couples de nombres réels et rien d'autre, livrés avec les règles de calcul suivantes valables pour tous $a_1,b_1,a_2,b_2\in \R$
1) $(a_1,b_1) +_{\C} (a_2,b_2) := (a_1+a_2,b_1+b_2)$;
2) $(a_1,b_1) -_{\C} (a_2,b_2) := (a_1-a_2,b_1-b_2)$;
3) $(a_1,b_1) \times_{\C} (a_2,b_2) := (a_1\times a_2 - b_1 \times b_2; a_1\times b_2+a_2 \times b_1)$;
4) $\frac{(a_1,b_1)}{(a_2,b_2)} := (a_1,b_1)/_{\C} (a_2,b_2) := (a_1,b_1) \times_{\C} \left ( \frac{a_2}{a_2^2+b^2_2},
- \frac{b_2}{a_2^2+b_2^2}\right )$ lorsque $a_2$ et $b_2$ ne sont pas tous les deux nuls (sinon on ne sait pas ce que cette écriture veut dire).
Définition: on désigne par $\mathbf i$ le nombre complexe $(0,1)$.
Remarque: pour tous $v,w$ réels, on a avec ces définitions:
(i) $(v,0)+_{\C}(w,0)=(v+w,0)$;
(ii) $(v,0) -_{\C} (w,0) = (v-w,0)$;
(iii) $(v,0) \times_{\C} (w,0) = (vw,0)$;
(iv) si $w$ n'est pas nul,(iv) $(v,0) /_{\C} (w,0) = \left (\frac{v}{w} \right)$; et enfin
(v)$(v,0)+_{\C} \left [\mathbf i \times_{\C} (0,w) \right ] = (v,w)$.
Ces propriétés montrent que non seulement l'ensemble des nombres réels peut s'identifier à un sous ensemble des nombres complexes -ce que tout le monde fait- avec les mêmes opérations (et on utilisera dans ce contexte "$t$" pour abréger la notation $(t,0)$) mais qu'en plus on peut adopter un système de notation plus court inspiré des conventions usuelles de manipulation algébriques des nombres réels: on note -vf (v) ci-dessus, $a+\mathbf i b: = (a,b)$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
NB: on a $\mathbf i \times_{\C} \mathbf i = (-1,0)$ (donc $= -1$ avec les conventions d'abréviations de la fin de mon message précédent), en effet:
$$\begin{align}
\mathbf i \times_{\C} \mathbf i &= (0,1) \times_{\C} (0,1)\\
& = \left(0\times 0 - (1 \times 1), 0 \times 1 - 1 \times 0 \right) \tag{ cf point 3) du message précédent}\\
& = (-1,0)\\
& = -1
\end{align}$$Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
La définition de Foys est exactement celle qu’on utilise si on crée une classe en Python pour manipuler les nombres complexes (admettons qu’on ait oublié qu’ils sont déjà présents).Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Une remarque :
Foys définit $\mathbf i$ par $(0;1)$.
Mais par rapport à la question, il me semble qu’on peut le définir par $(0;-1)$ et obtenir les mêmes propriétés.
Si on regarde le plan complexe sur un tableau transparent.
Le $\mathbf i$ usuel est le $-\mathbf i$ de celui qui est de l’autre côté.
Remarque : je ne parviens plus sur l’iPhone à double cliquer pour voir le code LateX, bizarre.
Désolé pour ce $\i$ que je ne parviens pas à reproduire.
Merci Foys ! $\mathbf i$ -
à Dom: la commande "\mathbf A" affiche A en gras.
On peut aussi surligner avec la souris les formules en latex des messages du forum puis faire un clic droit ("show math as") pour les afficher.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Dom, ta remarque ne te rappelle pas des questions d’automorphismes de $\mathbb{C}$ ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Zut je ne sais pas comment interpréter ta question, Nicolas.
Je ne suis plus au point. En trichant je viens de voir qu’on a des automorphismes non continus et que leurs constructions ne sont pas aisées. -
Si $\phi$ est un automorphisme de corps de $\mathbb C$, a-t-on nécessairement $\phi(i) = \pm i$?
-
Je dirais que oui, mais je n'en suis pas certain, avec les objets exotiques, on ne sait jamais trop.
On a $\phi(i)^2 + 1 = \phi(i^2) + \phi(1) = \phi(i^2 + 1) = 0$. Ça n'utilise que les propriétés de morphismes de corps de $\phi$ (unitarité, respect des lois multiplicatives et additives). Pas de $\mathbb{R}$-linéarité, continuité ou autre.
Ça a même l'air de se généraliser: tout automorphisme de $\mathbb{C}$ devrait envoyer tout nombre algébrique sur un de ses conjugués. -
Par contre, c'est faux pour $R$ un anneau (commutatif unitaire comme d'habitude), soit $\phi : R \to R$ un automorphisme, soit $i \in R$ tel que $i^2 +1= 0$, on a pas forcément : $\phi(i) = \pm i$ !
Ça doit être vrai si on suppose que $R$ est sans idempotent (non triviaux) et avec $2$ inversible dans $R$ ! (sauf boulette de ma part, hein). -
Tuvasbien a écrit:outre le fait que l'existence d'un tel nombre n'est pas évidente, on ne sait surtout pas si "i=i" ou si "i=-i" puisque le polynôme $x^2+1$ a deux racines.
Dans un calcul quand on utilise un symbole pour désigner une quantité, jusqu'au bout de celui-ci ce symbole a la même valeur donc $i=i$ peu importe ce que désigne $i$.
On considère que $\mathbb{R}$ est un sous-ensemble de l'ensemble des combinaisons linéaires formelles $a+ib$ avec $a,b$ réels. sur lequel on définit une addition, une multiplication qui prolonge les opérations usuelles sur les réels.
Et on identifie les combinaisons linéaires $a+i\times 0$, $a$ réel, à l'ensemble des réels.
Par ailleurs, on a bien sûr $i^2=-1$.
Et on a aussi $a+bi=a'+b'i$, avec $a,a',b,b'$ réels est équivalent à $a=a'$ et $b=b'$.
C'est la présentation la plus simple du corps des nombres complexes à mon humble avis.
PS:
Dans le corps des réels, dans le corps des nombres complexes, un nombre $x$ qui vérifie $x=-x$ est nul.
Son carré n'est donc pas $-1$. -
@flipflop : Oui, prendre $\phi:\C\times\C\to\C\times\C,\;(x,y)\mapsto (x,\overline y)$.
-
La définition de FdP est la plus simple mais elle évacue la nature de ce $i$. C'est comme ça que j'ai dû voir les complexes en Terminale il y a longtemps.
La définition de Foys est peut-être la plus simple qui soit rigoureuse. C'est comme ça qu'on m'a définit proprement les complexes en 1ère année de Fac. C'est sûrement accessible aux très bons élèves de Terminale, mais les autres ?
J'aime bien la définition par les polynômes et le quotient que je trouve élégant, mais puisque le sujet c'est le lycée...
Pour en revenir à la question de Tuvasbien, on n'est pas obligé de balancer une définition sans justification (justification interne au mathématiques ou aux sciences, en répondant à un besoin, rien à voir avec la photo du gamin sur son trampoline). Il y a les formules de Cardan avec le $\sqrt{-1}$ qu'on n'a pas le droit d'écrire, certains passages du film Dimensions, des utilisations en Physique : électricité, forces...
Avec le plan d'Argand-Cauchy, le choix de l'élément qui sera « notre » $i$ ou notre $-i$ revient à choisir une orientation du plan, ce qui n'est pas canonique, non ? -
Soit tes souvenirs sont flous soit ton prof est allé un peu vite en besogne. Bon on peut déjà se poser la question de savoir si cette phrase définit vraiment quelque chose mais il faut surtout remplacer le mot "le" par le mot "un". Comme tu l'as toi même remarqué $i$ et $-i$ sont tous deux racines de $X^2+1$ et on pourrait bien refaire toutes nos mathématiques avec $-i$ à la place de $i$.tuvasbien a écrit:Dans mes souvenirs on dit "on définit $i$ le nombre tel que $i^2=-1$"
La définition de Foys est évidemment parfaitement rigoureuse mais pour des lycéens je la présenterais personnellement un peu différemment. Plutôt que de commencer avec une notation de couple de réels je pense qu'il est peut-être plus simple, pour des lycéens, de commencer directement avec la notation $z=a+ib$. Pour se faire on pose un symbole $i$ et on définit les opérations que l'on peut faire avec les objets (appelés nombres complexes) écrits comme $a+ib$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
On a alors la même présentation que celle de Foys :
1) $(a+ib) + (c+id) = (a+c)+i(b+d)$, cette définition est relativement naturelle pour des TS qui ont l'habitude de $(a+Xb) + (c+Xd) = (a+c)+X(b+d)$
2) $(a+ib)\times(c+id) = ac + i(bc+ad) + i^2 bd$, là encore la définition est naturelle pour des TS qui ont l'habitude de ce genre de manipulations.
3)On pose alors par définition $i^2= -1$ ce qui nous donne $(a+ib)*(c+id) = (ac-bd) + i(bc+ad) $. Ici on raccrochera par exemple avec une introduction faite sur la formalisation de $\sqrt{-1}$, les formules de Cardan et le discours que je suppose assez classique.
Ainsi la somme et le produit de nombres complexes sont encore des nombres complexes et tout est défini proprement. Les avantage de cette présentation (plutôt que les couples de réels) sont selon moi double :
-Elle résonne un peu plus avec la manipulation de polynômes que les étudiants on déjà vu plutôt qu'un produit de vecteurs peut-être moins naturel pour eux.
-Les nombres complexes de partie imaginaire nulle sont des nombres réels, pas besoin de faire d'identification. Attention tout de même pour cela à bien définir $i0=0$ au préalable ! C'est ce qui remplace cette identification.
L'inconvénient par rapport à la présentation de Foys c'est qu'on a surtout fait une présentation axiomatique et qu'on n'a pas construit les nombres complexes dans la théorie des ensembles. Un autre inconvénient est qu'on manque une occasion de familiariser les étudiants qui continueront de faire des maths dans le supérieur avec ces "identifications" qui sont fréquentes. -
Sato:
Et la nature d'une droite dans les classes de collège, voire de lycée? On ne la connait pas davantage, on en a une définition naïve.
Le résultat qui est important et qui ne peut pas être démontré en Terminale est :
L'introduction du corps des nombres complexes permet d'affirmer que tous les polynômes à coefficients réels (ou complexes) de degré $n$ ont $n$ racines (qui peuvent être multiples) dans ce nouveau corps. -
Je n'ai pas dit que c'était mauvais et je ne le pense pas. La définition de Corto est bien la même, non ?
Plus tard, en algèbre, on donne un sens au notations formelles X, Y, etc., que l'on manipule depuis longtemps, mais après avoir vu que c'était possible on ne s'en embarasse plus nécessairement. -
Oui, la définition de Corto est la même.
Il faut cependant insister sur le fait que l'écriture d'un nombre complexe sous la forme $a+ib$ est unique à condition que $a,b$ soient des réels. -
Oui oui c'était bien la même chose, mon message était plus à propos de la comparaison entre les deux présentations, d'ailleurs la présentation que je donne n'est pas complète.
-
Il faut quand même bien avoir en tête que les présentations de Fin de partie et de Corto sont axiomatiques: on postule l'existence via une série d'axiomes, mais rien ne prouve que l'ensemble $\C$ ainsi défini existe bel et bien (on pourrait aboutir à une contradiction après tout).
Pour en revenir à la discussion, c'est un peu normal qu'on ne puisse pas distinguer $i$ et $-i$, la conjugaison étant un automorphisme du corps $\C$, on dispose de deux copies de $\C$ qui ne sont pas distinguables, on peut passer de l'une à l'autre sans problème.
Présenter les choses en disant "$i$ est le nombre tel que $i^2=-1$" est donc maladroit voire faux (puisque $-i$ le vérifie aussi), il faut donc mieux dire quelque chose comme "on définit $i$ comme un nombre tel que $i^2=-1$". Le mieux étant de démontrer ensuite que $X^2=-1$ n'a que deux racines dans $\C$, à savoir $\pm i$. -
On peut sans doute aussi amener les choses à la mano sur des équations simple en exhibant $i$ sans trop de justification, puis supposer qu'on cherche un ensemble qui a les mêmes règles que $\mathbb{R}$ pour définir une addition (donc facilement que $(\mathbb{R}^2,+)$ est un groupe) et une multiplication ($(\mathbb{R}^2,+,*)$ est un corps commutatif), et, après, exhiber de nouveau $i$ proprement en disant que dans ce corps on note $i=(0,1)$ et on obtient $i^2=-1$, puis reprendre un peu en faisant des manipulations.
Je ne réécris pas tout Foys et Corto l'ont déjà fait, le seul truc c'est que je ne vois pas comment on peut faire comprendre autrement, et en plus ça doit-être comme ça que les choses sont venues, en notant $i$ avant de donner une justification vu que groupes et corps n'étaient pas conceptualisés du temps de Cardan et compagnie."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Il y a bien 200 ans que Monsieur Jean-Robert Argand a publié un Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques qui répond parfaitement à la question posée.Tuvasbien a écrit:Bonjour à tous, je ne vois pas trop comment on peut définir le nombre $ i $ à des lycéens.
Quoi qu'il en soit, avec la réforme du Lycée, les nombres complexes sont désormais hors programme donc dès la rentrée prochaine, la question posée sera caduque. -
Benoît, les nombres complexes sont dans l'option maths expertes : https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=mstsexp_2020&page_gauche=2"J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
-
Mais c'est pas vrai ils ont vraiment osé?!?Benoit RIVET a écrit:Quoi qu'il en soit, avec la réforme du Lycée, les nombres complexes sont désormais hors programme donc dès la rentrée prochaine, la question posée sera caduque.
Les maths sont devenues une activité culturelle à pratiquer en dehors de l'école.
Le système éducatif français public est une honte.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
C'est tout sauf une surprise, trop de géométrie dans ce chapitre.
-
Un lien ici vers les programmes maths expertes.
On a les nombres complexes au début.
Point de vu algébrique et point de vue géométrique.
https://cache.media.education.gouv.fr/file/SPE8_MENJ_25_7_2019/82/5/spe264_annexe_1158825.pdf -
Les horaires dédiés doivent être responsables en partie :
de le 6e à la Tle pour une filière maths-sciences
1980 : 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 9 = 36
2012 : 4,5 + 3,5 + 3,5 + 3,5 + 4 + 4 +(6+2) = 29 ou 31 selon TS ou TS+spé maths
2020 : 4,5 + 3,5 + 3,5 + 3,5 + 4 + 4 + (6+3) = 29 ou 32 selon Tle spé maths ou Tle spé maths+ maths expertes (quasi inchangés) (*)
Avec d'une part des temps d'enseignement en baisse et d'autre part un délayement des contenus sur fond de programmes délabrés, il y a juste une préservation du niveau, voir un petit rebond avec maths expertes, où les nombres complexes restent finalement. Après les nombres complexes sont d'un usage constant en physique et de grands pans de l'ingénierie, mais bien moins en bio, médecine, agro etc. Il faut peut-être lire dans cette suppression du tronc commun de maths un remembrement terminales C et D.
(*) Sur l'ensemble de la scolarité, en maths, on perd globalement une année / filière C de 80 à 1994.
Il faut noter qu'à l'école primaire, la suppression d'une demi-journée (Darcos) aboutit également à la perte d'une année sur la scolarité des petites classes."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Certes, le nombre d’heures est une donnée objective, mais n’oublions pas d’y appliquer le coefficient de bordélisation $\times 0,01$ pour les cinq premières années du secondaire.
-
En effet on n’a pas de données sur le nombre des simples et mignons « taisez-vous » par heure en 1980 et en 2020.
-
Foys a écrit:Mais c'est pas vrai ils ont vraiment osé?!?
Les maths sont devenues une activité culturelle à pratiquer en dehors de l'école.
Le système éducatif français public est une honte.
Le privé sous contrat (i.e l'immense majorité du privé en France) est soumis aux mêmes programmes que le public. On ne verra pas plus de nombres complexes dans le privé que dans le public à la rentrée prochaine. -
Héhéhé a écrit:Il faut quand même bien avoir en tête que les présentations de Fin de partie et de Corto sont axiomatiques: on postule l'existence via une série d'axiomes, mais rien ne prouve que l'ensemble C ainsi défini existe bel et bien (on pourrait aboutir à une contradiction après tout).
Désolé, mais je ne comprends pas où cette construction axiomatique pêche et en quoi ce n'est pas une preuve de l'existence du corps $\mathbb{C}$. On construit un nouveau corps qui contient un sous-corps qu'on peut identifier au corps des réels et on l'appelle $\mathbb{C}$. Où est le problème?
A cette étape, on n'en sait rien que le théorème de d'Alembert-Gauss est vrai.
Par ailleurs, ce théorème n'est jamais démontré au lycée. -
D’ailleurs sait-on prouver que les axiomes (exigences ?) de $\R$ n’aboutissent pas à une contradiction ?
-
FdP a écrit:Désolé, mais je ne comprends pas où cette construction axiomatique pêche et en quoi ce n'est pas une preuve de l'existence du corps C.
Bah, c'est exactement la même chose que pour $\R$, je peux dire "$\R$ est un (en fait le) corps archimédien complet totalement ordonné" ce qui me donne une définition axiomatique de $\R$ mais je ne sais pas si un tel objet existe. Autre exemple, on note $\exp$ la fonction réelle vérifiant $\exp(0)=1$ et $\forall x \in \R, \exp'(x)=\exp(x)$. Ici encore on ne sait pas si une telle fonction existe tant qu'on ne l'a pas construite.
Tout comme on pourrait aboutir à une contradiction dans la théorie des ensembles ;-)Héhéhé a écrit:mais rien ne prouve que l'ensemble C ainsi défini existe bel et bien (on pourrait aboutir à une contradiction après tout). -
La construction de l'ensemble des nombres complexes est plus simple à mon humble avis.
Après, la difficulté est de montrer qu'une construction donne bien les propriétés attendues comme le théorème de d'Alembert-Gauss. -
L'enseignement des mathématiques en Terminale n'est pas l'enseignement de la logique. Pour ce qui est des nombres complexes, le but est de les définir et de travailler avec eux le plus vite possible, non de présenter une liste d'axiomes bien léchés en passant un mois à chercher s'ils sont non-contradictoires, redondants ou que sais-je encore.
Moi je décide d'adjoindre à $\mathbb R$ un nombre désigné par $i$ tel que $i^2=-1$, forcément non réel, et de définir $\mathbb C=\mathbb R+ \mathbb R i$, avec les opérations naturelles découlant de $i^2=-1$. La question de l'« existence » n'a aucune importance à ce niveau, et d'ailleurs la représentation géométrique donne un argument de poids en faveur de cette « existence » si besoin est, et j'appuie l'argument de Benoît Rivet ci-dessus. Ensuite, les nombreux problèmes qu'on pourra traiter concernant ces nouveaux nombres feront passer au second plan la question de leur existence. Au vrai, l'important n'est pas l'« existence » de ces nombres mais ce qu'on peut faire avec.
Dans la suite de ses études, par exemple en Maths-Sup, l'étudiant pourra vérifier cette « existence » en exercice, par exemple avec les matrices $2 \times 2$ comme dans les années 1970, et par la suite encore quand il verra des structures-quotients, il pourra voir $ \mathbb R [X]/(X^2+1)$, mais vraiment, c'est une chose tout à fait sans importance.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Quel est le rapport ?fdp a écrit:La construction de l'ensemble des nombres complexes est plus simple à mon humble avis.
Encore une fois je ne vois pas le rapport. La question est de savoir si ce que toi et moi avons présenté est effectivement une construction mathématique de $\C$ ou non. La réponse à cette question précise est clairement non (on a pas construit $i$), ce qui n'est pas très grave en terminale à mon humble avis.fdp a écrit:Après, la difficulté est de montrer qu'une construction donne bien les propriétés attendues comme le théorème de d'Alembert-Gauss. -
Une construction « rigoureuse » consiste à munir $\mathbb R^2$ des deux opérations :
$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)(x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$.
C'est ce que dit Foys si j'ai bien compris, mais déjà le tralala du $\times_\C$ c'est pour moi un formalisme superfétatoire, et de plus je me demande pourquoi il rajoute la définition de la soustraction et de la division, qui se déduisent de la définition des deux opérations, lesquelles sont suffisantes pour définir entièrement cette structure algébrique.
Évidemment je déconseille cette présentation en Terminale parce que cette multiplication sortie de nulle part ne peut se motiver raisonnablement a priori en aucune manière, et la démonstration de son associativité est repoussante et sans intérêt, et même la distributivité.
Peut-être en thème d'étude libre pour un élève de Maths-Sup se découvrant une vocation pour la logique, mais même là ce serait du temps disputé à des occupations mathématiques plus utiles, donc du temps perdu.
Bonne nuit.
Fr. Ch. -
J'ai vu cette construction avec $\R^2$ muni des deux opérations quand j'étais en terminale C. Effectivement la démonstration de l'associativité est rébarbative, mais si on "construit" $\C$ en parlant de sommes formelles $a+ib$, l'associativité n'est pas une évidence non plus et devrait en principe être démontrée, ce qui n'est pas moins rébarbatif.
-
Fin de partie: donner une liste d'axiomes ne prouve absolument pas qu'un tel ensemble existe, tu n'as rien construit du tout. Qui nous dit que tes axiomes ne sont pas contradictoires ?
-
C'est vrai que la division générale ne sert à rien, il suffit que tout élément de R$²$ ait un inverse à part l'élément neutre de l'addition. Par contre l’exhibition de $i²$ que donne Foys est quand même la plus pédagogique pour comprendre d'où ça vient. Je me rappelle aussi j'avais un bon prof de TC qui nous avait montré comme ça, en fait dans les années 80 il y avait de bonnes chances que beaucoup de gens l'aient vu comme ça."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
-
Ce n'est pas du tralala, je signale explicitement tous les abus de langage commis.Chaurien a écrit:C'est ce que dit Foys si j'ai bien compris, mais déjà le tralala du $\times C$ c'est pour moi un formalisme superfétatoire, et
Quand on programme et que le langage ne "caste" pas les types automatiquement, on ne peut pas utiliser librement un symbole pour deux opérations et dans ma présentation un nombre complexe n'est pas un nombre réel.
Tu veux m'entraîner sur ce terrain-là Chaurien? :-D Tu es sûr? On peut déduire toutes les maths de fondements élémentaires comme ZFC ou la logique combinatoire (4 symboles!) mais je vais encore me faire traiter de logicien étriqué par certains ...Chaurien a écrit:de plus je me demande pourquoi il rajoute la définition de la soustraction et de la division, qui se déduisent de la définition des deux opérations, lesquelles sont suffisantes pour définir entièrement cette structure algébrique.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
xax, il me semble que FdP a contribué honnêtement à ce fil et que cette pique n'est pas franchement utile. Je suis d'accord avec Héhéhé sur l'utilité d'une construction (je ne me prononce pas sur l'exposition aux élèves de Terminale). Certes, on ne peut prouver dans ZF que ZF est non contradictoire, mais si l'on construit $\mathbb{C}$ avec ZF et aucun axiome supplémentaire, alors on est sûr de ne pas aggraver la situation en faisant cela : s'il s'avère que ZF est non contradictoire, la construction de $\mathbb{C}$ dans ZF n'apportera pas de contradiction. À l'inverse, lorsqu'on postule l'existence de « nombres » qui vérifient ceci et cela, c'est tout de suite plus risqué.
-
@brian ce n'est même pas une pique, c'est pour éviter que le fil dégénère, quelques posts récents m'indiquent que le risque est effectif :-)
En fait sur la question que pose Tuvasbien, l'exposition aux élèves de terminale d'aujourd'hui, c'est moins trivial qu'il n'y parait. En effet, quand on on se souvient ce qui était fait dans les années 80 où, bon an mal an, on comprenait que ça sortait de quelque part et que c'était bien justifié, et ce qui se fait maintenant, https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=mstsexp_2020&page_gauche=11, on ne peut que s'interroger sur ce qu'est devenu l'enseignement des maths ..."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
A part ça ma présentation fait 18 lignes, aucun sous-entendu, aucune évocation de concepts avancés (je parle pas de corps et je définis les 4 opérations avec ce que les gens savent déjà) et aucune injonction d'acceptation de sorcellerie ("mes enfants vous avez entendu toute votre vie que le carré d'un nombre est positif, mais on va introduire le nombre imaginaire i et blablabla").Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
@Foys oui ok pour ta présentation, en fait il faudrait tester sur des élèves pour voir la réception. D'un côté ça a le charme d'une certaine simplicité, de l'autre c'est quand même assez sec, mais c'est un avis unique qui n'a pas beaucoup d'intérêt. Par contre avoir une idée sur 2 ou 3 classes ce serait intéressant."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
-
Merci pour toutes vos réponses. Je tiens à préciser que je ne suis pas prof et que je n'ai pas à enseigner les nombres complexes à des lycéens (ouf), c'est une question que je me posais, c'est toujours intéressant de tester sa pédagogie.
-
Certes, comme l'ont souligné certains, les nombres complexes restent au programme de l'option dite "mathématiques expertes" de terminale, mais cela réduit drastiquement le nombre d'élèves concernés. Disons au doigt mouillé que 95% d'élèves de lycée n'apprendront plus les nombres complexes et la richesse qui va avec et qu'on pouvait voir dès l'enseignement secondaire, contrairement à certaines autres notions, d'ailleurs.
Autrement dit, l'assertion "il n'y a plus de nombres complexes au lycée" est vraie "avec un risque d'erreur de 5%", pour employer une terminologie qui va plaire à Ramon Mercader. -
Les nombres complexes sont au programme de première STI ; est-ce que c’est conservé avec la réforme ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Héhéhé:
Ce que tu dis peut s'appliquer probablement à toute construction du corps des nombres complexes.
La présentation de Corto et celle de Foys ne sont pas si différentes que ça en réalité.
Par ailleurs, je ne vois pas ce qui a de scandaleux à sembler sortir de nulle part le nombre $i$.
Pas plus scandaleux que d'avoir introduit le concept de matrices, de $n$-uplets, de nombres irrationnels etc
Les mathématiques sont pleines de concepts? Quelle découverte !
XAX: le comique de répétition a ses limites. -
Les matrices sont des tableaux de nombres, on les "voit". Les nombres irrationnels se "voient" aussi, comme longueurs dans des figures géométriques, donc on accepte facilement leur existence. Par contre les nombres complexes ne se voient pas. Pire, pendant des années on dit aux élèves que $\sqrt{-1}$ n'existe pas, et tout d'un coup on dit que ça existe.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 37
+28 Invités