Définition de $i$
Réponses
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JLT: $i$ est un nombre dont on donne les règles d'interaction avec d'autres nombres qui nous sont plus familiers. On le "voit" aussi.
Je suis sûr que dans le passé on avait aussi ce type de discussion pour les nombres $0,\sqrt{2}$ par exemple. -
Fdp :
- Si $A$ est un anneau et $p,q \in \N^{*}$ (je pense qu'on peut même prendre $\N$ avec des conventions évidentes), l'ensemble $M_{p,q}(A)$ des matrices à coefficients dans $A$ ayant $p$ lignes et $q$ colonnes, peut être construit comme l'ensemble des applications de $\{1, \dotsc, p \} \times \{1, \dotsc, q \}$ dans $A$. Ceci est un objet constructible à partir des axiomes de ZF.
- Si $a$ et $b$ sont des ensembles (i.e., dans la TDE, des objets mathématiques), le couple $(a,b)$ peut être construit comme $\{ \{a\}, \{a, b\} \}$. L'existence d'un tel ensemble est assurée par l'axiome de la paire.
- On sait construire $\R$ de plusieurs façons ainsi que $\Q$ (beaucoup plus facilement). On en déduit une construction de l'ensemble des nombres irrationnels : c'est $\R \setminus \Q = \{ x\in \R \mid x \notin \Q \}$.
Aucune de ces constructions ne nécessite d'accepter de nouveaux axiomes. Donc si la théorie avant ces constructions n'est pas contradictoire, alors elle ne l'est pas non plus après. En revanche, à chaque fois que tu ajoutes un axiome à ceux de la théorie dans laquelle tu travailles, tu prends le risque de la rendre contradictoire. C'est bien pour ça qu'on essaie en général de se restreindre à un nombre minimal d'axiomes ! -
Quand je dis qu'un élève "voit" les tableaux de nombres ou les nombres irrationnels, je veux dire qu'il les a déjà plus ou moins rencontrés.
Une grille de sudoku = une matrice.
La diagonale d'un carré de côté un = $\sqrt{2}$.
Par contre un élève en début de terminale n'a en général jamais rencontré $i$. -
JLT:
Si on comprend la notation $\sqrt{-1}$ comme signifiant qu'on prolonge la fonction racine carrée qui est définie initialement et correctement sur l'ensemble des nombres réels positifs, à tout l'ensemble des nombres réels alors même en introduisant le nombre $i$ cette notation, $\sqrt{-1}$ ne prend pas plus de sens me semble-t-il puisque $i^2=(-i)^2=-1$.
PS:
Je ne conteste pas le fait qu'introduire le nombre $i$ est un pas de plus dans l'abstraction.
Ce n'est pas parce qu'un tableau de nombres est concret que la multiplication de matrices carrées est rendue plus concrète pour les élèves par exemple.
(la multiplication de matrices carrées de taille 2 ou 3 est balancée comme on balance le nombre $i$ en terminale E/S actuellement) -
J'ai eu des formulations un peu trop polémiques à l'égard de Foys, dont je respecte grandement la compétence et avec qui je suis le plus souvent d'accord sur la situation de notre enseignement et autres questions générales. Mais franchement, une fois qu'on a défini une addition et une multiplication sur l'ensemble $\mathbb R^2$, on tire le fil, éléments neutres des deux lois, opposé, inverse, soustraction, division, et je ne vois pas pourquoi les définir à part. Je joins le schéma du cours que je faisais en ECS (prépa-HEC). Ce texte n'était pas pour les élèves mais pour moi, pour être sûr de ne rien oublier.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
JLT a écrit:Par contre un élève en début de terminale n'a en général jamais rencontré $i$.
Pour rejoindre Argand cité plus haut, ils connaissent tout de même les angles droits et savent notamment que deux droits font un plat, ce qui n'est rien d'autre que $i^2 = -1$. Mais je conviens que le passage des transformations géométriques aux nombres n'est pas immédiat. -
Et voici la feuille d'exercices qui allait avec mon cours sur les nombres complexes.
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Fin de Partie: mais non ! Foys a donné une construction des nombres complexes, prouvant au passage son existence, toi tu donnes une axiomatique, c'est fondamentalement différent. Il ne suffit pas d'invoquer un ensemble avec une propriété pour qu'il existe !!!
Exercice: montrer qu'il existe un corps $\C$ tel que [insérer les propriétés de $\C$].
Réponse de l'élève Foys: construisons $\C$ comme l'ensemble $\R^2$ muni des lois de composition interne [blablabla] et posons $i = (0,1)$. Alors on vérifie que la structure ainsi construite convient.
Réponse de l'élève Fin de Partie: soit $i$ tel que $i^2=-1$. Donc $\C$ existe.
Tu vois bien qu'il y a une approche fondamentalement différente. Dans ta réponse, rien ne prouve que $i$ existe (et donc que ton $\C$ existe). Alors que Foys, en posant $i= (0,1)$, montre que $i$ existe en le construisant.
Un autre exemple: en utilisant ta façon de faire, je peux définir un corps, noté disons $\mathbb J$, dont les éléments sont de la forme $a+ib+jc$ avec $a$, $b$ et $c$ des nombres réels. Pas de chance, ça n'existe pas, c'est pour ça qu'on a inventé/découvert les quaternions. -
Une question me vient en tête avec ce fil. Est-ce que quelqu'un sait si le terme de nombre réel est apparu avant ou après le terme d'imaginaire ? Cela donne l'impression qu'on a appelé les nombres réels comme ça par opposition aux imaginaires, mais si c'est le cas, comment appelait-on les nombres réels avant l'arrivée des imaginaires ?FdP a écrit:La présentation de Corto et celle de Foys ne sont pas si différentes que ça en réalité.
Je (tu) prends comme axiome l'existence de $\R$ et d'un nombre $i$ vérifiant certaines propriétés (qui pourraient a priori être contradictoires) pour construire un objet appelé $\C$. À l'inverse Foys prend comme axiome l'existence de l'objet que l'on appelle $\R$ vérifiant certaines propriétés (qui pourraient a priori être contradictoires) ce qui lui permet de construire un objet ayant toutes les propriétés de "mon" $\C$ et qu'il appelle donc très naturellement $\C$ aussi.
La construction de Foys utilise un axiome de moins pour des lycéens et aucun axiomes supplémentaire pour des matheux. Dans un soucis de "minimalité" des axiomes les mathématiciens préfèreront la construction de Foys. Pour des lycéens d'autres questions rentrent en jeu et, du point de vue pédagogique, il y a des avantages et inconvénients à chaque présentation.
C'est sûr que cette pilule peut avoir du mal à passer pour certains élèves, je me suis posé la question de comment le présenter pour montrer, à un lycéen, que ça n'est pas tellement absurde de poser l'existence d'un objet vérifiant $i^2=-1$. Pour le moment l'idée qui me vient est de procéder par analogie. On sait par exemple que pour deux réels $a$ et $b$ on a $ab=0 \Leftrightarrow a=0$ ou $b=0$ mais cette équivalence cesse d'être vraie pour deux fonctions $f$ et $g$ par exemple. De la même façon les nombres complexes sont des objets différents des nombres réels et il n'y a donc pas de raison qu'ils suivent les mêmes règles. Si quelqu'un a une autre idée je suis preneur.Foys a écrit:et aucune injonction d'acceptation de sorcellerie ("mes enfants vous avez entendu toute votre vie que le carré d'un nombre est positif, mais on va introduire le nombre imaginaire i et blablabla").
Ceci dit je ne sais pas comment serait prise la partie de ta présentation ou l'on fait l'identification de $\{(x,0)\in \C : x\in \R\}$ avec $\R$. Ça semble un peu plus naturel que l'identification entre $\R$ et les coupures de $\Q$ c'est sûr mais si c'est la première fois pour des lycéens ça peut aussi poser problème. -
Corto je pense que c'est Dedekind qui a nommé ces nombres les nombres "réels" après que l'on eut découvert l'existence de nombres imaginaires. Je crois qu'il est même l'auteur de la dénomination "irrationnel".
Pour l'introduction du nombre i, je réfléchis en même temps que j'écris (je ne suis pas au lycée). On pourrait imaginer une analogie avec l'histoire de la physique, pour changer un peu de la solution d'une fameuse équation, avec la découverte de nouveaux objets par des raisonnements ontologiques confirmés par l'observation. Un exemple moins connu, des cosmologistes développent des modèles avec de la matière de masse négative, et cela colle plutôt pas mal avec les observations, pour l'instant, donc pourquoi pas des carrés négatifs si cela colle avec les observations ? Le cerveau est obligé d'inventer de nouveaux objets (principe des maths) car la compréhension de l'univers semble hors d'atteinte.
Sinon est-ce (si) tôt pour parler de rotation d'angle Pi/2 qui nous ramène dans le monde réel ? On peut peut-être commencer par de la géométrie.
Bonne journée. -
Juste une remarque. Maintenant que les matrices sont aussi dans le programme de mathématiques expertes, la construction la plus économique serait carrément de poser
\[
\C = \left\{\begin{bmatrix}a & -b\\b & a\end{bmatrix} \mid (a,b) \in \mathbb R^2\right\},
\]
muni des opérations matricielles, et basta. -
Fdp, attention avec cette idée de prolongement qui serait mal défini, le point de vue par les rotations (deux droits font un plat, voir aussi en illustration le film Dimensions) est meilleur.
Qu’en est-il de la question de NP, quid des programmes des 1ères STI2D ? -
Les nombres complexes sont apparus en même temps que les nombres négatifs au XVIème siècle.
La distinction entre les racines réelles et imaginaires d'un polynôme date de Descartes (1596-1650).
Le concept moderne de nombre réel est apparu au XIXème siècle avec Weierstrass, Dedekind, Méray et Cantor.
Voir par exemple le chapitre « Nombres réels » dans Éléments d'histoire des mathématiques, de Bourbaki.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Siméon, tu redécouvres la définition que l'on donnait dans les programmes de 1970. Quand on demandait à un élève ce qu'est un nombre complexe, il répondait : « une matrice ».
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Les nombres complexes sont encore au programme de la filière STI2D (dès la première), mais ont disparu de la série STL.
En terminale STI2D, les expressions complexes des rotations, translations et homothéties ont été rajoutées.
Il y a toujours la démonstration des formules d'additions des sinus et cosinus, étant entendu que $e^{ia}e^{ib}=e^{i(a+b)}$ pour tout $(a,b)$ dans $\R^2$ est un acquis.
Le produit scalaire a totalement disparu (il était en général rappelé brièvement uniquement pour démontrer les formules d'additions).
Comme maigre application de cela, il y a la linéarisation de $\cos^2(a)$ et $\sin^2(a)$ dans le but de calculer des primitives.
En première, j'aime bien montrer les vidéos de Dimensions avec Adrien Douady relatives aux nombres complexes. Les élèves aiment bien en général. -
Au lieu de balancer $i^2=-1$ ce serait plus indiqué d'expliquer que pour certaines équations $\R$ est trop petit et que l'on construit un ensemble "plus grand" à partir de $\R$ qui contient ces solutions, avec une définition à la Foys qui permet d’exhiber facilement $i$. Et là on comprend qu'en fait $i$ est une géniale notation de calcul.
Quelque part c'est ce qu'on faisait dans les années 80, j'ai cru comprendre que JLT avait aussi ce souvenir."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Oui en effet.
C’est moins formel, quoique.
« Chers enfants, certaines équations n’ont pas de solutions réelles, allez, par exemple la plus simple $x^2+1=0$.
Allez on va créer une solution et voir ce que cela donne. On accepte les règles habituelles quand même... on note cette solution d’une manière bien pénible au début (avant $\mathcal i$). Puis ho, regardez ça donne une autre solution, l’opposé. Aussi c’est génial ça donne une manière de résoudre toutes les équations de degré 2 ». -
Pour les enfants comme tu dis, la construction de Foys sans le tremblement structural algébrique est quand même sympa, je pense qu'au lycée, même de nos jours, ça doit pouvoir s'exposer."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
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Comme le dit Chaurien, que je salue, je crois qu’il ne faut pas traîner avec ça.
Surtout de nos jours où l’aisance avec le calcul littéral se fait de plus en plus rare.
Il faut « attaquer par la face Nord ». -
Tout dépend de ce qu'on veut enseigner.
Et à qui évidemment."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Le truc est que balancer : $x^2+1=0$ n'a pas de solution pof j'invente une solution fait un peu arnaque et on a l'impression qu'on peut faire ça avec n'importe quelle équation qui n'a pas de solution...
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Oui et d’ailleurs n’est-ce pas ce que l’on fait quand on parle de « clôture algébrique ».
Notamment d’autres corps comme Z/2Z par exemple.
Je n’y connais rien... -
Héhéhé peut-être pas forcément, il faut (il suffit de ?) donner un contre exemple comme l'a fait un autre intervenant. Et aussi rapprocher cette équation tombée du camion à d'autres équations historiques... Cardan de mémoire ?
En fait il faut peut-être refaire l'histoire, mais j'ai de grosses lacunes.
Bonne soirée à tous. -
« Les inclinations naissantes après tout, ont des charmes inexplicables », certes, mais en mathématiques le charme me semble plutôt dans ce qu'on peut faire avec une notion nouvelle comme les nombres complexes, plutôt que de trop se complaire dans la réflexion indéfinie, et somme toute stérile, sur les commencements.
Je conseille : Titu Andreescu, Dorin Andrica, Complex Numbers from A to ...Z, Birkhäuser, 2006, 2014. La seconde édition de 2014 est bien améliorée par rapport à la première.
Les auteurs sont de ces merveilleux mathématiciens d'Europe centrale, liés aux compétitions mathématiques. Ils ne nous fatiguent pas avec une réflexion interminable sur la définition de $\mathbb C$, ils partent de $\mathbb R^2$ avec les deux lois que j'ai évoquées dans mon précédent message, assénées telles quelles, bon, ce n'est pas joli-joli, mais ils écrivent un livre, ils n'ont pas de cancre en face d'eux pour leur demander pourquoi ces lois et pas d'autres.
L'associativité de la multiplication et sa distributivité sur l'addition sont affirmées, lecteur débrouille-toi pour faire le calcul, mais ce n'est pas grave, car le but, je le redis, n'est pas de s'attarder dans les préliminaires, mais de passer aux choses sérieuses. Et les applications des complexes qu'ils nous donnent sont du plus haut intérêt. Jetez un coup d’œil sur ce livre et si vous aimez vraiment les mathématiques je pense que vous ne serez pas déçus.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
@ foys.
C'est moi ou je n'ai pas vu l'associativité des lois (dans $\C$) et la distributivité dans ton exposé ?
Faut-il que les lycéens se farcissent ces joyeusetés à la pogne ou y a-t-il un raccourci miracle ?
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Ce ne sont pas en soi des questions de cancre. Je ne comprends pas pourquoi l'exigence par un élève de justification de ce qu'on lui présente est assimilable à une tare, dans une matière fondée sur des preuves. Dans un cours de théologie ça passerait à la rigueur.Chaurien a écrit:bon, ce n'est pas joli-joli, mais ils écrivent un livre, ils n'ont pas de cancre en face d'eux pour leur demander pourquoi ces lois et pas d'autres.
Pourquoi peut-on enlever les parenthèses librement dans les calculs? Que veut dire $x^n$ lorsque $x$ est complexe $n$ entier et quid de l'égalité $x^{p+q}=x^px^q$ avec $p,q$ entiers?
Si les gens pensent qu'une des prérogatives de l'élève "bon" est d'écrire spontanément sans aucune preuve a priori, "à l'intuition", de telles inférences dans les calculs, il ne faut pas venir pleurer quand dans la suite un tel élève somme des équivalents de suites ou écrit $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ avec des matrices $A,B$ quelconques.
On croit distinguer les meilleurs mais on entraîne les gens au pipeau qu'en plus on finira par leur reprocher.
Je n'avais pas vu ce message. J'ai livré le minimum syndical (uniquement des définitions). Si on souhaite prouver l'associativité,il y a deux ou trois lignes de calcul un peu longues, sans plus. C'est un peu ce que dit Nicolas Patrois: comment créer une classe "nombres complexes" dans votre langage de programmation préféré? Définir veut dire livrer l'information bas niveau.ev a écrit:
C'est moi ou je n'ai pas vu l'associativité des lois (dans $\C$) et la distributivité dans ton exposé ?Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bon d'accord, il n'y a pas que les cancres qui posent de telles questions, c'est ma tendance naturelle à l'exagération méridionale ;-).
Mais Foys me répond à côté car je n'ai jamais préconisé qu'on sous-estime l'importance de la commutativité et de l'associativité dans la description des propriétés des lois de composition, lorsque ces lois sont définies. Je suis tout à fait d'accord avec lui pour qu'on explique de façon déductive d'où viennent les règles de calcul, et qu'on insiste sur les conséquences de la non-commutativité du produit matriciel, par exemple comme il dit pour $\exp(A+B)$, et de même pour la formule du binôme de Newton.
Simplement, je ne souhaitais pas passer du temps en classe pour définir les opérations sur les nombres complexes, je préférais consacrer ce temps à faire des choses avec, et j'ai été heureux de trouver ce même souci dans le livre que j'ai cité, mais on pourrait en citer bien d'autres.
Bien cordialement à Foys et à tous.
Fr. Ch. -
Bonjour,
je n'ai pas lu tout le fil, aussi ce que je propose sera peut-être redondant. Pourquoi ne pas introduire les nombres complexes en suivant le fil historique, nommément la méthode de Cardan pour résoudre les équations de degré 3 ?
Dans le calcul, des contenus imaginaires apparaissent, qui aboutissent à des résultats réels. Il faut bien donner un statut à ces contenus imaginaires. Je ne connais pas l'histoire, mais il faudrait expliquer comment le développement des mathématiques, à la fois pour elles-mêmes et pour la physique, a montré que ces quantités n'étaient pas de simples auxiliaires de calcul et qu'il fallait leur donner un statut de plein droit.
ignatus. -
Une raison ? Parce que le troisième degré est beaucoup plus compliqué que le second degré, qui est déjà assez difficile pour l'introduction des complexes (pas facile d'extraire une racine carrée complexe), et que dans les problèmes du second degré, si les solutions sont réelles, les intermédiaires de calcul le sont aussi.
A mon avis, ce qu'il faut faire, c'est procéder en deux temps : on regarde ce qui se produit si l'on ajoute aux réel un "nombre" dont le carré vaut $-1$ (ce qui revient à faire ce que proposait Chaurien), puis, une fois qu'on a exhibé ces règles de calcul étranges, on définit proprement les choses (ce qui revient à faire ce que proposait Foys). De la sorte, on satisfait celles qui n'aiment pas les formules parachutées et celles qui aiment la rigueur. Ensuite, on s'aperçoit réjoui que l'on sait résoudre non seulement $x^2+1=0$, mais aussi toutes les équations de degré deux à coefficients réels et même toutes les équations de degré deux à coefficients complexes. Un an ou deux après, on découvre que les deux approches sont en fait identiques via le quotient $\R[X]/(X^2+1)$. -
@Chaurien "Les auteurs sont de ces merveilleux mathématiciens d'Europe centrale, liés aux compétitions mathématiques" ils sont balèzes même, j'ai lu que T. Andreescu est parvenu à sélectionner et à entraîner une équipe US qui a fait un score parfait aux olympiades de 1994 ! Bon en fait les dextérités et l'astuce semblent des choses bien différentes de la définition des objets mathématiques, du moins pour les maths ludiques.
Ça m'a toujours sifflé de voir le nombre de médaillés Fields et autre prix Abel, mais pas un seul podium aux olympiades !"J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
xax: les activités de type olympiades sont très formatrices pour les jeunes, mais malheureusement quasi-confidentielles en France.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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@ Tuvasbien
bonjour,
les nombres complexes, la première fois en terminale ... c'est complexe.
Donc pour rendre les choses plus simples, je commencerais pas visionner une petite vidéo, ou je laisserais la parole à quelqu'un qui les a étudiées toute sa vie : Adrien Douady (j'ai mis la majuscule car sinon j'ai une remarque d'un administrateur du forum !).
Je peux te donner un lien google drive si ça t'intéresse.
Je suis prof de maths, mais j'ai vraiment compris les complexes (je pense) après avoir visionné cette vidéo. Qu'est-ce que j'aurais aimé avoir ce genre d'explications il y a 30 ans !
Ensuite j'irais dans le dur, mais avec des pincettes, en simplifiant au maximum.
Bonne journée
eric
[Même pour son prénom, Adrien Douady (1935-2006) prend une majuscule. AD] -
Bonjour,
> j(ai mis la majuscule car sinon j'ai une remarque d'un administrateur du forum !
C'est normal de mettre une majuscule aux noms des gens, ça s'appelle le respect et tu ne devrais pas avoir à le souligner.
Cordialement,
Rescassol -
@ Rescassol:
bonjour
c'est aussi normal d'avoir un comportement respectueux en voiture et ....
les oublis, ça existe, comme les clefs des voitures par exemple.
eric -
Il reste à régler le cas du prénom « adrien »... sinon !!!!!!!!!!!!(:P)
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De fait on dirait que dans l'enseignement actuel des maths on a emballé les choses de façon à ce qu'absolument rien ne soit délivré, que ce soit en termes de dextérité calculatoire ou de compréhension de la définition des objets mathématiques. Sur les observations de Christophe j'ai pris l'habitude de regarder "les bons profs" qui à l'avantage de refléter le vide absolu de l'EN
d'une manière assez plaisante en plus.
Jusque dans les années 80 c'était plus proche de ce qu'écrivait Foys, on voyait bien que $i$ ne tombait pas du ciel. Aussi sur les olympiades c'est normal en fait, le système français n'étant absolument pas compétitif (il est "méritocratique", id social-dépendant), il n'y a aucune raison que ce genre de chose se développe. De plus j'ai l'impression que les préparations reposent seulement sur la bonne volonté et le dévouement d'un petit nombre de personnes, ça n'a rien à voir avec le professionnalisme des nations qui, je pense pour des raisons également politiques (Chine et autres pays asiatiques, USA, Russie etc.) cherchent à être sur le podium."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
@Dom :et les pseudos ils prennent une majuscule ou pas , car sur cette page la règle appliquée n'est pas claire !
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Chaurien et Majax : merci pour les infos, c'est intéressant.
Xax : en France il y a le concours général, je ne sais pas ce qu'il en est des autres pays mais peut-être que ça joue aussi.
Définir les nombres complexes comme des matrices de la forme $\begin{pmatrix}
a & -b \\ b & a
\end{pmatrix}$ serait effectivement économe mais il faudra de toute façon passer ensuite à la forme $a+ib$ car c'est probablement celle qui apparaitra dans les sujets du bac. En revanche j'ai regardé le programme de math expertes, les "transformations géométriques du plan" sont au programme dans la partie matrice. Il semble donc naturel de faire le lien entre transformations géométriques du plan, multiplications par un nombre complexe $z=a+ib$ et multiplication par des matrices de la forme $\begin{pmatrix}
a & -b \\ b & a
\end{pmatrix}$. -
@Corto : Les nombres complexes passent en maths expertes, option qui ne comptera que dans les 10% affectés au contrôle continu. C'est fini les exercices de bac avec les nombres complexes, mais du coup, chaque prof pourra les introduire selon sa préférence !
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Heh, je n'étais pas au courant de ça ! Bon je pense que ce que je disais vaut quand même pour la suite, les élèves qui continueront de faire des mathématiques après le bac on plus de chance de rencontrer la notation $a+ib$ qu'une autre dans la suite de leurs études.
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De toutes façons, les profs qui enseigneront en 2021-2022 à BAC+1 devront se farcir un chapitre sur les nombres complexes comme s'ils n'auront jamais été enseignés.
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Ce sera ahurissant pour les profs concernés de faire découvrir les nombres complexes en 1ère année !
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Dom a écrit:Oui en effet.
C’est moins formel, quoique.
« Chers enfants, certaines équations n’ont pas de solutions réelles, allez, par exemple la plus simple $ x^2 + 1 = 0 $. Allez on va créer une solution et voir ce que cela donne. On accepte les règles habituelles quand même... on note cette solution d’une manière bien pénible au début (avant $ \mathcal i $). Puis ho, regardez ça donne une autre solution, l’opposé. Aussi c’est génial ça donne une manière de résoudre toutes les équations de degré 2 ».Historiquement, c'est le fait que, lorsqu'une équation de degré 3 a 3 racines distinctes, les formules de Cardan imposent des manipulations algébriques avec des quantités imaginaires (racine carrées de nombres négatifs) pour identifier les racines qui a lancé le calcul sur les nombres complexes. Je vous invite à lire l'article sur la méthode Cardan sur wikipedia qui présente l'exemple de l'équation d'inconnue $ x $ :
$$ x^3 = 15 x + 4 $$
D'après les formules de Cardan, cette équation a pour solution
$$ x = \left(2+11\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(2-11\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{3}} $$
Si on admet que les règles de calcul usuelles restent valables avec $ \sqrt{-1} $, on peut vérifier que $ \left(2+\sqrt{-1}\right)^{3} = 2+11\sqrt{-1} $. On en déduit que $ x = \left(2+11\sqrt{-1}\right) + \left(2-11\sqrt{-1}\right) = 4 $ est solution. Surprise, c'est effectivement le cas : les manipulations formelles foireuses avec $ \sqrt{-1} $ ont permis de trouver une solution, c'est pas très rigoureux, mais c'est chouette.
On peut formaliser rigoureusement les choses : se donner un nombre complexe $ a+b\sqrt{-1} $ revient à se donner un couple $ (a,b) $, la somme et le produit sont définis par telle et telle formule etc... -
@ Foys
J'ai connu une époque, il y a trente-quarante ans, où les compétitions mathématiques étaient vraiment confidentielles. On avait même du mal à connaître les énoncés des Olympiades internationales : il y avait une sorte de rétention de l'information, et nous n'avions pas Internet. J'ai sans doute déjà raconté que j'étais copain avec Lucien Kieffer, chef de délégation du Luxembourg jusqu'en 1991, et grâce à lui j'avais ces énoncés, et même des éléments de solutions, qui m'étaient bien précieux car je n'ai pas le niveau des jeunes compétiteurs !
Aujourd'hui, il me semble que la situation soit quand même meilleure, grâce à des initiatives bénévoles, comme l'association Animath, ou d'autres. Il y a des clubs, des compétitions locales, des préparations aux compétitions, des Olympiades de Première, et le Concours général, dont il faudrait traiter à part. De brillants universitaires, comme nous en avons au moins un sur ce forum, n'hésitent pas à laisser par moments leurs études supérieures, pour piloter les jeunes doués de l'enseignement secondaire.
Néanmoins, Foys a raison en ce sens que les compétitions mathématiques ne sont pas au niveau où elles devraient être dans un pays comme le nôtre, et nos résultats aux Olympiades internationales sont toujours quelque peu décevants, en dépit de la qualité et du dévouement de ceux qui s'en occupent. J'ai déjà préconisé depuis longtemps qu'on professionnalise ce secteur et qu'on détache pour ces tâches des professeurs qui ont le profil requis. Ceci se fait dans d'autres pays, et pas seulement des pays totalitaires. Ce serait plus légitime que les détachements à la Ligue de l'Enseignement ou autre organisation ou syndicat de la gauche. Mais on retrouve les verrous idéologiques que j'ai évoqués dans la question de la revue « Quadrature » : l'argent c'est pour les secteurs prétendument « défavorisés », où il ne sert à rien de toutes façons.
Et les compétitions mathématiques sont mal vues par les autorités morales de gauche qui règnent encore dans notre enseignement, car ces compétitions mettent en lumière ce que chacun sait, que les dons ne sont pas également partagés, dans les disciplines intellectuelles tout comme dans le sport. Le Grand Manitou de l'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public), l'anarchiste franc-maçon Gilbert Waluzinski, avait donné le la dans un article du Bulletin n° 302 de cette association, février 1976 : « Enseignons plutôt en Béotie ». C'est-à-dire : délaissons les élèves doués, et non aux compétitions mathématiques. Aujourd'hui il n'est plus mais il reste La Référence : c'est cette statue qu'il faut déboulonner dans nos têtes.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
16/06/2020 -
Notre résultat d'ensemble à l'OIM 2019 est très honorable (cf [ici]), et ce malgré des résultats très faibles aux problèmes 2 et 6 de géométrie (quelle surprise !).
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Chaurien a écrit:l'anarchiste franc-maçon
Bel oxymore....Gai Requin a écrit:De toutes façons, les profs qui enseigneront en 2021-2022 à BAC+1 devront se farcir un chapitre sur les nombres complexes comme s'ils n'auront jamais été enseignés.
Et les profs qui enseigneront en 2029-2030 à BAC+1 devront se farcir l'actuel programme de seconde....Liberté, égalité, choucroute. -
Eh non, Ramon Mercader.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Benoit Rivet a écrit:Historiquement, c'est le fait que, lorsqu'une équation de degré 3 a 3 racines distinctes, les formules de Cardan imposent des manipulations algébriques avec des quantités imaginaires (racine carrées de nombres négatifs) pour identifier les racines qui a lancé le calcul sur les nombres complexes. Je vous invite à lire l'article sur la méthode Cardan sur wikipedia qui présente l'exemple de l'équation d'inconnue $x$ : $x^3=15x+4$
Exactement !!!! C'est ainsi que les bons profs de TS procèdent avec leurs élèves....Liberté, égalité, choucroute. -
XAX a écrit:Jusque dans les années 80 c'était plus proche de ce qu'écrivait Foys, on voyait bien que i ne tombait pas du ciel.
Il y a eu un changement de programme en Terminale C à la rentrée 1984 (ou en 1983) si je me souviens bien.
Dans ce nouveau programme presque toute l'algèbre (groupes, applications linéaires, matrices....) est passée à la trappe si je me souviens bien.
Je n'arrive pas remettre la main tout de suite sur mon manuel de cours de cette époque (pas celui dont je parle plus bas) mais je pense qu'à ce moment-là on parachutait le nombre $i$ comme on le fait aujourd'hui.
Dans le programme précédent (qui datait de 1971, probablement modifié en 1973* ) on définissait l'ensemble des nombres complexes comme étant l'ensemble des matrices de la forme:
\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}
(muni de l'addition, multiplication des matrices)
* Dans mon manuel Belin de cette époque-là, il est indiqué: BO du 24/06/1971 et du 19/07/1973. -
J’étais en TC après cette réforme et en effet, l’algèbre avait disparu.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe
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