"On voit bien que"
Avez-vous des exemples de propositions (niveau collège, pas la peine de me sortir le TVI) que l'on expédie sans peine avec un "On voit bien que", mais qui cache en fait une vraie difficulté ? Et bien sûr, l'escroquerie n'a que très peu de chance d'être détectée par un élève (tout au plus les bons savent qu'un "On voit bien que" cache certainement une escroquerie).
Je propose la "transitivité du parallélogramme". Si $ABCD$ et $CEFD$ sont des parallélogrammes, alors $ABEF$ est un parallélogramme (et je ne parle même pas des cas dégénérés, juste du cas général).
Je propose la "transitivité du parallélogramme". Si $ABCD$ et $CEFD$ sont des parallélogrammes, alors $ABEF$ est un parallélogramme (et je ne parle même pas des cas dégénérés, juste du cas général).
Réponses
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Quand les gens atteignent une certaine maturité, ils ne disent plus "on voir bien que" mais "exercice facile pour le lecteur" ;-).
Le problème de la géométrie pré-bac dans son ensemble est qu'il n'y a pas d'axiomes explicites, autrement dit on est face à un très gros flou sur ce qui est utilisable ou non.
Le coup de la transitivité pour les parallélogrammes reste cependant un exemple spectaculaire d'énoncé qui a l'air non seulement évident mais de plus trivial à démontrer (et je pense qu'en l'espèce un prof qui dit ça le pense vraiment dans ce contexte, faute d'introspection plus longue, se disant "j'ai pas la preuve là, tout de suite, mais ça ne devrait pas poser de problème").
Je n'ai pas d'exemple aussi frappant sous la main.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors on vient bien qu'elles sont parallèles.
Le moment pour parler de l'axiomatique ?
NB: je ne dis jamais cette phrase -
@majax : Quand mon prof de maths de 6ème nous avait défini les droites comme "des segments que l'on prolonge à l'infini des deux côtés", j'avais immédiatement rétorqué qu'on obtenait du coup des cercles, puisque la Terre était ronde...
Un peu plus tard, quand on a évoqué les droites perpendiculaires à une même troisième... j'ai pensé à des méridiens coupant l'équateur.
Ce n'est pas forcément si bête d'évoquer l'axiomatique. -
euh.. au rissque de passer pour un imbécile, c'est quoi le problème avec la transitivité des paralléogrammes ?
Quand j'étais en troisième, je savais déjà que :
ABCD est un parallélogramme $\Leftrightarrow$ $\overset{\to}{AB} =\overset{\to}{DC}$ $\Leftrightarrow$ $\overset{\to}{AD} =\overset{\to}{BC}$
Donc là j'aurais bêtement dit :
ABCD parallélogramme $\Rightarrow$ $\overset{\to}{AB} =\overset{\to}{DC}$
CEFD parallélogramme $\Rightarrow$ $\overset{\to}{DC} =\overset{\to}{FE}$
Alors $\overset{\to}{AB} =\overset{\to}{DC} =\overset{\to}{FE}$ donc ABEF parallélogramme.
Où est-ce que je me trompe ? -
Gimax,
en troisième, la définition du vecteur comme classe d'équipollence de bipoints utilise la transitivité du parallélogramme. Pour justement la transitivité de cette relation d'équivalence.
Cordialement. -
Aussi, de nos jours on n’a plus de vecteurs au collège et donc il faut se débrouiller autrement et ça entraîne les « on voit bien que ».
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Effectivement Gérard0, on se mord la queue dans ce que je dis !
Merci pour vos réponses. -
Bisam, c'est ce que je dis, le moment est peut-être venu dans ce fil de parler d'axiomatique
Edit: précision dans mon message précédent, je ne dis jamais "on voit bien que" mais je parle volontier d'axiomes à mes élèves, je n'ai pas été clair désolé -
Bien sur, il ne faut pas démarrer par les vecteurs. On se place dans l'axiomatique de Hilbert ou quelque chose d’approchant, c'est-à-dire que l'on n'explicite peut-être pas tous les axiomes, mais on évite l'argument circulaire.
Où est le problème ?
ABCD est un parallélogramme, donc $(AB)$ parallèle à $(CD)$ et $AB=CD$. $CEFD$ est un parallélogramme, donc $(CD)$ parallèle à $(EF)$ et $CD=EF$.
Ainsi, $(AB)$ parallèle à $(EF)$ et $AB=EF$. De plus, "on voit bien que" $ABEF$ n'est pas croisé donc $ABEF$ est un parallélogramme.
Le problème est dans la justification que $ABEF$ n'est pas croisé. Et c'est un problème vraiment difficile si on le prend de front (je connais aussi une démonstration "plus facile" qui contourne le problème et j'en subodore une troisième qui doit éliminer le problème mais que je pense être stratosphérique). -
Un exemple en 5ème dans la démonstration que la somme des mesures des angles dans un triangle fait 180°
En effet, on utilise souvent la symétrie centrale.
Soit un triangle $ABC$ avec $I$ et $J$ les milieux de $[AB]$ et de $[AC]$.
On construit le point $C'$ le symétrique du point $C$ par rapport à $I$ et le point $B'$ le symétrique du point $B$ par rapport à $J$ .
Ensuite " On voit bien que les points $B'$, $C'$ et $A$ sont alignés" -
Je n’avais jamais vu cette manière de faire.
L’alignement se trouve pourtant bien avec les milieux diagonales et les parallélogrammes.
Une autre démonstration fonctionne bien (la plus courante ?) avec une droite parallèle à un côté et les angles alternes-internes.
Les théorèmes sur les angles alternes-internes sont démontrés avec la symétrie centrale.
La 5e est une mine d’or (si on peut dire, en 2020...) pour l’utilisation de la symétrie centrale. -
Vouloir coller des symétries centrales et/ou axiales partout me semble un bon moyen de créer des raisonnements circulaires (le problème se cachant dans l'utilisation de la propriété de conservation des longueurs, bien sûr non démontrée).
En l’occurrence, pour démontrer les théorèmes sur les angles alternes-internes il faut l'axiome cas d'égalité des triangles C-A-C dans un sens et en plus l'axiome de Playfair dans l'autre sens. -
L'axiome principal de la symétrie centrale pour la 5e est « c’est une isométrie » (non dit comme ça, j’entends « segment image de même longueur », « angle image de même mesure »).
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Pour revenir sur l'exemple que je donne au début du fil.
Une démonstration sous forme d'exercice se trouve dans https://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/mbk-47-MBK47IntroGeom_Revision2-0.pdf (ex 10.13 et 10.14 p83-84)
On peut aussi regarder http://gabrielbraun.free.fr/Geometry/Tarski/plg_pseudo_trans.html#/start
"Plus simple" (fortement inspiré de Elementary Geometry de John Roe): $ABCD$ est un parallélogramme donc ses diagonales se coupent en leur milieu $X$. $CEFD$ est un parallélogramme donc ses diagonales se coupent en leur milieu $Y$. D'après la propriété de la droite des milieux, $(XY)$ est parallèle à $(AE)$ et à $(DF)$. Ainsi, les côtés de $AEFD$ sont deux à deux parallèles, donc il s'agit d'un parallélogramme.
Si $A,B,C,D$ sont alignés mais pas alignés avec $E$ et $F$, la démonstration fonctionne encore.
Si $A,B,E,F$ sont alignés mais pas avec $C$ et $D$, alors il faut se ramener au cas particulier précédent (et ce n'est pas une partie de plaisir).
Si $A,B,C,D,E,F$ sont alignés, l'idée précédente ne marche plus, mais ce n'est pas grave. On colle un système de coordonnées sur la droite et un calcul de coordonnées de milieux de segments règle facilement le problème.
Conclusion de l'histoire : "on voit bien que" il vaut mieux éviter les "on voit bien que".
Plus compliqué (c'est possible !) : les deux références que je donne appellent ce résultat le (petit) théorème de Desargues. Roe ajoute que c'est un cas très particulier de ce théorème. Il doit donc y avoir moyen d'obtenir notre résultat comme corollaire de Desargues. Mais une démonstration efficace de Desargues qui inclue les cas particuliers passe par le plan projectif (voila pourquoi je parlais de stratosphérique plus haut). -
Jadis c’était en 4e qu’on avait les théorèmes « droite des milieux ».
Ça se démontrait...avec plein de théorèmes du parallélogramme.
J’imagine que là encore, un loup s’y cache...
Comme évoqué, il n’est pas grave de dire à un moment « bon, pour être rigoureux il faudrait encore démontrer ceci...mais là on va l’admettre ». Je n’y vois pas de gros problèmes.
En effet, si le « circulaire » est inévitable, cela devient problématique.
Et encore : ce qui compte à ce niveau c’est que chaque « donc » soit justifié par un théorème du cours il me semble.
Et quand je dis « à ce niveau », c’est jusqu’à bien tard que l’on ne demande « que ça ».
Il faut comprendre que rien que de démontrer qu’un quadrilatère avec trois angles droits est un rectangle pose déjà problème.
Ça interroge... -
Non rien de cacher à ce niveau. Et donc pas de circularité.
Je donnais un exemple de résultat où on a vite fait d'employer un "on voit bien que", parfois coupler à un raisonnement circulaire dont l'auteur n'est pas conscient (comme le notait Foys). Et cet exemple est un vrai piège parce qu'il a l'air tellement évident qu'aucun prof ne dira jamais qu'en fait, c'est très compliqué à démontrer et que l'on va l'admettre, souvent parce qu'il n'est pas conscient du problème (et les manuels de collège n'aide en rien sur ce point).
Je repose donc ma question de départ (qui a eu quelques réponses) : avez-vous d'autres exemples de "on voit bien que" qui cachent une vraie difficulté ("exercices faciles laissés au lecteur" pour reprendre l'expression de Foys) ? -
J’en oublie le nom du théorème qui dit en gros « si une droite est sécante à un côté d’un triangle, alors elle en coupe un autre ».
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Généralement, ce n'est pas un théorème mais un axiome : l'axiome de Pasch.
Il vaut mieux éviter de démontrer les axiomes. -
Oui Mea Culpa.
Je pensais que c’était un théorème. -
On voit bien que l'axiome de Pasch est vrai (:P)
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J'imagine qu'au collège, on voit bien l'intersection d'une droite et d'un cercle.
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Eric a écrit :Il vaut mieux éviter de démontrer les axiomes.
Les axiomes des uns sont les théorèmes des autres. :-D -
Dans le fil à côté, j’ai parlé de bipoints équipollents définissant les vecteurs… mais en fait, pour moi, des bipoints sont équipollents quand deux segments qui vont bien ont le même milieu.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
@ gai requin : au collège, le cercle est en voie de disparition et il est prié de ne surtout rencontrer aucune droite. Ça évitera de se demander combien de point d'intersection il peut bien y avoir. D'ailleurs, la notion de tangente à un cercle à disparu avec le dernier programme.
Pour autant, il y avait du "on voit bien que" dans cette histoire de tangente au collège (ça dépend toujours de la façon dont on présente la chose). -
@ Nicolas : le problème est dans la vérification de la transitivité de l'équipollence, pas dans la définition de cette notion et donc la définition d'un parallélogramme. Prendre la définition par les milieux des diagonales permet de gérer plus facilement les cas dégénérés. Mais ça ne change rien au problème que j'évoque plus haut.
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La proposition 1 du livre I des Éléments d’Euclide ? (Voir par exemple « critiques or the proof » dans https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI1.html .)
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Eric écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2031512,2031958#msg-2031958
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Pardonnez mon ignorance, voici la (fausse) preuve que j'avais en tête.
Soit $A, B, C$ trois points non alignés, et $d$ une droite qui coupe $(AB)$. Supposons que $(BC)$ et $(AC)$ ne coupent pas $d$, alors $(BC)$ est parallèle à $d$, de même pour $(AC)$, donc le triangle $ABC$ a deux côtés parallèles donc est plat : contradiction.
Où est le problème dans ce que je viens d'écrire ?
Je n'ai jamais fait de géométrie euclidienne (pas depuis la troisième). -
Heu ... ce n'est pas les droites, mais les segments qui sont en cause.
Cordialement. -
Ah ... ceci explique cela ! Du coup c'est moins simple. Cela dit on croirait qu'une preuve est possible. Quelle est la fausse preuve canonique de cet axiome ?
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J’ai pris un crayon et j’ai gribouillé avec des équations de droites dans le repère affine où A(0;0), B(1;0) et C(0;1) (vrai triangle).
On choisit un point M(m;0) de ]AB[ (donc $0<m<1$).
On choisit une droite $\mathcal D$ qui passe par M sans passer par A, ni B, ni C.
$\mathcal D$ a pour équation $ax+by=c$ et on tire des conclusions.
On distingue aussi quelques cas...
On cherche s’il existe un point de $\mathcal D$ qui appartient à ]AC[ ou à ]BC[.
Cette manière de faire utilise-t-elle quelque chose de « caché » ?
On dirait qu’on arrive à démontrer cette axiome... -
Comme l'a dit Serge, les axiomes des uns sont les théorèmes des autres.
Tu es en train de travailler dans $\mathbb{R}^2$ avec toute l'axiomatique qu'il faut pour faire de l'algèbre linéaire (qui est cachée derrière, l'air de rien) ... Et tous les axiomes que l'on énonce lorsque l'on commence à faire de la "géométrie à l'ancienne" deviennent des théorèmes. -
Merci à Sato pour la référence à la première proposition d'Euclide et les critiques qui s'y appliquent. C'est bien dans l'esprit de ce que l'on fait au collège.
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Aujourd'hui, j'ai reçu un spécimen d'ouvrage de la collection Mission Indigo, niveau 4ème (pas de chance, on a choisi cette collection dans le collège où je bosse). Donc l'éditeur se dit qu'il peut nous fourguer sa came nouvelle version (avec Thalès en 4ème qui manquait dans la version précédente, ou est-ce l'aversion ?).
Je feuillète en vitesse avant d'aller faire du présentiel (comme on dit dans la novlangue) et je tombe dans le chapitre parallélogramme sur ... deux parallélogrammes $ABCD$ et $CEFD$ et l'on demande au lecteur de démontrer que $AEFB$ est un parallélogramme. Pour aggraver la chose, la figure est fournie.
Je me demande ce que les auteurs (dont un ipr en tête de gondole) attendent des élèves ... -
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Les auteurs attendent inconsciemment que l’on corrige l’énoncé (en effet c’est bizarre, bon c’est une coquille) puis volontairement que l’on utilise des théorèmes liés au parallélogramme.
Ce sera déjà bien suffisant.
Et on oublie cette histoire de vérifier que ce n’est pas croisé.
Ça m’étonne de trouver ça en 4e cela dit. -
Il n'y a aucune coquille ... il y a juste ce dont il est question dans ce fil avec précisément l'exemple que je donnais : "on voit bien que". Et je suis prêt à parier que l'auteur n'est même pas conscient du problème (comme le notait Foys).
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Eric,
c'est $AEFD$ ou $AEFB$ ?
Cordialement. -
Merci Gérard, j'ai corrigé.
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La géométrie analytique a le mérite de simplifier beaucoup de choses au niveau calculatoire mais il n'en reste pas moins qu'elle présente un problème de fond très gros au niveau du secondaire.
Le corps R (pour modeler la droite euclidienne) ou R2, R3 pour modeler le plan et l'espace. D'où sort ce R et quel est lien avec l'axiomatique "naturelle" d'Euclide. R est vraiment parachuté au niveau du lycée. Il faut se résigner à cet état de fait car on ne peut pas faire la construction à la Hilbert de la géométrie Euclidienne qui inclut par nécessité aussi la construction du corps R aux élèves de seconde, première ou terminale. Donc il restera toujours un quelque chose de flou dans cette histoire de géométrie analytique pour les élèves. -
En gros, au nom de la rigueur, on a remplacé la géométrie euclidienne ( qui nécessite effectivement la construction de $\R$ si on veut être rigoureux ) par comment copier une cellule sous excel.
Effectivement il n'y a plus de « on voit que les cercles se coupent » pour construire un triangle équilatéral.
Mais il n'y a plus de mathématiques non plus. -
verdurin a écrit:En gros, au nom de la rigueur, on a remplacé la géométrie euclidienne ( qui nécessite effectivement la construction de $\R$ si on veut être rigoureux ) par comment copier une cellule sous excel.
Le plus triste, c'est que certains "profs" de "maths" trouvent cela formidable....Il auraient dû passer le CAPLP bureautique....Liberté, égalité, choucroute. -
Y aussi les droites parallèles ça se voit et ça ne se montre pas.
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Peux-tu préciser ta pensée ?
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C'est aussi la question que je me posais. A quelle propriété Lucas fait-il implicitement référence ? Pourrait-il être explicite ?
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J'explique
Quand on veut montrer qu'un triangle à un angle droit on peut le montrer avec l'équerre ou avec la démonstration de [large]P[/large]ythagore mais quand on veut montrer 2 droites parallèles il n'y a pas de démo mais des mesures avec la règle.
[ Pythagore (~580 avJC) prend toujours une majuscule. AD] -
Et les droites parallèles c'est un axiome d'euclide il a dit le prof en seconde
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Hum...
On ne démontre rien à la règle.
Pour démontrer que deux droites sont parallèles je ne vois pas beaucoup de théorème, la réciproque du théorème de Thalès (3e-4e) existe ou bien avec les angles alternes-internes (5e), ou bien « les deux angles droits »*** (6e).
Il reste les théorèmes liés aux quadrilatères particuliers.
***J’imagine que c’est ça, « l’axiome d’Euclide » évoqué : « quelles que soient les trois droites, si deux d’entre elles sont chacune perpendiculaire à la troisième, alors elles sont parallèles ». -
Et l'on ne démontre non plus rien avec une équerre, tout au plus peut-on avoir une vague idée de ce qui se passe (et encore).
J'ai demandé à des élèves de 5e de construire un triangle de dimension 4 cm, 7cm et 8cm, puis de construire les hauteurs.
Un certain nombre d'élèves ne construisent qu'une hauteur, car ils croient que le triangle est rectangle et que les deux autres hauteurs se confondent avec les côtés de l'angle "presque" droit. Et certains reconnaissent qu'ils ont même mis l'équerre pour vérifier que le triangle est rectangle.
Pour autant, ceci ne rentre pas dans la catégorie du "on voit bien que", c'est à dire des pseudo-démonstrations où l'auteur de toute bonne fois croit qu'il suffit de regarder la figure pour justifier son pseudo-argument, ce qui n'est à cet endroit pas le cas. -
Eric je ne serais pas aussi catégorique que ta dernière phrase. À lire des documents mis en ligne par des professeurs des écoles, et en particulier leurs énoncés d'exercices, on a la nette impression que pendant la correction il doit y avoir un florilège de "on voit bien que", et c'est d'ailleurs ce qui est attendu des élèves. Même si on n'est pas dans la tentative de démonstration, c'est pourtant ce qu'il en reste dans la tête des élèves, une croyance tenace pour certains !
Il faut que certains professeurs des écoles clarifient cela dès les premiers niveaux. -
Je clarifie ce que j'ai dit. Ca ne rentre pas dans catégorie du "on voit bien que" telle que je l'ai définie au début du fil.
Ce qui ne veut pas dire qu'il n'y a que ce problème que l'on peut intituler "on voit bien que". Cette façon de faire consistant à remplacer toute forme de raisonnement par un "ça se voit sur la figure" est un problème et certainement plus grave que celui que je visais initialement. D'autant plus grave que c'est fait par les prof des écoles et c'est ce qui reste ensuite dans la tête des élèves (et bien du courage pour rectifier).
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