Degrés °F et °C

Le $32$ est en °F et le $1,8$ est en $\dfrac{°F}{°C}$.
Non ?

Pour $cm$, c’est une notation pour $\dfrac{1}{100} m$.

$1,8$ est en $\dfrac{°F}{°C}$.

X:-( Ce sont des fonctions affines!!

0 absolue = 0 kelvin (K) = 0 rankine (°Ra)

°Ra = K * 1,8
°F = °Ra - 459,67
°C = K - 273,15

Merci à la HP 48SX de m'avoir appris les Degré Rankine il y a 30 ans.

Gérard,

Évidemment que la discussion prend des proportions ahurissantes. Et encore, ça ne s’engueule pas comme dans d’autres. Je retire même le terme « ahurissante » finalement.
Cependant, il existe des élèves, même si c’est très rare, qui posent ce genre de questions. On en trouve un tous les deux ans dans les collèges sinistrés mais un peu plus dans les autres.

Je pense qu’il faut savoir leur répondre et ne pas dire « oui bon, c’est comme ça, ne compliquons pas » ou autre réponse bottant en touche.

Bien entendu on peut présenter les choses comme ça :
Si $x$ est le nombre de $°C$ alors $f(x)$ est le nombre de $°F$.
Et chaque nombre de l’expression de $f$ est un réel (pas d’unité).

Ces questions qui concernent la modélisation des problèmes (ici problème de physique) ont été déjà (trop) largement débattues. Oui on a le droit d'écrire comme des physiciens de temps en temps dans un cours de maths, en manipulant des objets qui n'ont pas de sens mathématique précis. Il est bon selon moi de rappeler alors aux élèves qu'il s'agit de physique (ou plus généralement d'une étape de modélisation). Pas la peine ensuite de trimbaler les unités dans les calculs pour obtenir une bouillie illisible mélangeant °C, °F, K etc. On rappelle simplement les unités à la fin. C'est le choix, par exemple, qui est fait dans les corrigés disponibles sur le site de l'APMEP. À la fois clair et simple.

Pourquoi as-tu besoin d'un système ? Quelles sont tes inconnues et quelle est leur nature ?

Et qu'est-ce qui n'est pas clair dans la rédaction des corrigés proposés par l'APMEP ?

Pas tout à fait JLT, tu ne peux pas laisser $1.8$ adimensionnée :

La formule pour passer du degré Celcius au degré Fahrenheit étant
$(x°C\times\frac{180 °F}{100 °C}) + 32°F = y°F$

En faisant un peu d'analyse dimensionnelle on trouve alors
$\frac{°C\times°F}{°C} + °F = (\frac{°C}{°C}\times °F) + °F = °F + °F = °F$


Si on laisse comme tu le suggères $1.8$ adimensionnée on trouve en revanche
$°C\times\emptyset + °F = °F$
ce qui n'a plus vraiment de sens.

@dp: Pourquoi ça n'aurait pas de sens ? °C et °F sont tous les deux homogènes à des Kelvins à une similitude près non ?

On a abordé ces problèmes de conversion dans un autre fil sur "distance entre deux points". L'analyse dimensionnelle (quel grand mot pour de la règle de trois et du typage) peut apporter son lot de confusions quand des unités, vivant a priori dans un espace différent (à cause de l'écriture), sont en fait éléments du même espace à similitude près (comme c'est le cas ici). Voilà ce qui se passe quand on croit qu'on peut se passer des définitions précises des symboles qu'on utilise en math.

Cela amène naturellement toutes ces confusions et donc les inclure dans des calculs peut embrouiller tout le monde (visiblement le prof, donc encore plus l'élève). Je suis de l'avis de gerard0 dans son commentaire au-dessus.

De mon point de vue vous essayez de justifier que comme des choux et des patates appartiennent à l'espace des légumes alors 2 patates + 5 choux = 6 choux... Mais soit, je vous laisse faire. (:D

Non, ta comparaison est abusive. Disons plutôt :

1 douzaine d'oeufs = 2 demi-douzaines d'oeufs.

Le nombre $2$ est sans dimension, on ne va pas dire qu'il a pour dimension $\dfrac{\mathrm{douzaine \;d'oeufs}}{\mathrm{demi-douzaine\; d'oeufs}}$.

Tu préfères $1$ patate $\times \frac{9}{5} + 5$ choux = 6 choux ? Dans tous les cas ça n'a toujours aucun sens selon moi. (:P)

@dp:

Par définition du degré celsius en physique, celui-ci est homogène à des kelvins et le °F également. Ce n'est pas comme le Kg et le Tesla qui n'ont pas cette relation de similitude.

Ta comparaison néglige (volontairement ?) ce fait précis ou bien ?

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs d'un espace vectoriel de dimension 1 tels que $\overrightarrow{v}=0,914 \overrightarrow{u}$.

Si on cherche $x$ tel que $\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{u}$, on va écrire

$\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v}= \overrightarrow{u}+4(0,914 \overrightarrow{u})=\cdots$.

Pas la peine d'écrire des choses comme $4\overrightarrow{v}\times 0,914\dfrac{\overrightarrow{u}}{\overrightarrow{v}}$.

$0,914$ est un nombre, et pas un vecteur.

@JLT, Soit je suis débile soit tu fais la conversion comme je l'ai indiquée juste de façon "savante" en faisant $\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v}= \overrightarrow{u}+4(0,914 \overrightarrow{u})=\cdots$ ?

Donc on est d'accord pour dire que $4yd = 4yd \times \frac{0.9144m}{1yd} = \frac{4yd\times 0.9144m}{1yd} = \frac{4yd}{1yd}\times 0.9144m = 4\times 0.9144m$ ?

Alors, je reste pas d'accord… si $0.9144$ est sans dimension on a $4yd = 4yd \times 0.9144 = (4\times 0.9144)yd = 3.6576$ yd et je suis pas d'accord avec ça... Mais bon je n'ai rien de plus à ajouter donc je vais en rester là!

La modélisation de JLT est limpide. Nul besoin d'avoir recours à des expressions du type $°F/°C$ qui n'ont pas de sens (i.e non définies sur le plan mathématique). La modélisation de JLT est l'effort de physique que nécessite cet exercice.

@dom: la correction de l'APMEP que tu montres est selon moi un modèle de clarté (on écrit l'unité en fin de calcul au moment où on interprète le résultat, après avoir fait ses petites mathématiques). Nulle part ils n'écrivent des $\frac{3\text{vache}+5\text{vache}} {4\text{cochon}}= 2\text{vache}.\text{cochon}^{-1}$. Parfois ils écrivent l'unité entre parenthèses (ce qui est encore plus clair selon moi) pour rappeler l'unité choisie au moment de la phase de modélisation du problème.

Les partisans de ces notations (unités dans les calculs) sont les premiers à se questionner sans jamais s'en sortir mathématiquement, ce qui n'est pas étonnant puisque les objets qu'ils manipulent n'ont pas d'existence sur le plan mathématique (entendre "au sens de ZFC") du moins avant qu'on prenne le soin d'en donner un bien évidemment.

Écrire les unités à la fin dans des parenthèses c'est bien. D'habitude ils le font. C'est explicite (ça signifie "pour rappel").

j'ai juste envie de rappeler que le 0°C et le 100°c ont été choisis parce qu'ils représentent des points physiques de l'eau sous 1atmosphère.

• point de solidification (ou congélation) pour le premier = 0°C
• point de vaporisation (ou d’ébullition pour le second = 100°C

J'imagine ensuite que travailler sur une base 100 est plus commode.

D'autres points physiques sont aussi utilisés, particulièrement pour des questions d'étalonnage : $N_2$ ou $Ne$ par exemple on cryogénie, $Pb$, $Ag$, $Cu$ pour des plus hautes températures.

Enfin, la Température a beau être une grandeur physique, on ne la mesure pas directement: avec un thermomètre c'est la dilatation d'un liquide ($\Delta V$), avec un thermocouple c'est une force électromotrice ($U$), avec une résistance platine ou cuivre, c'est une résistivité ($R$), avec un pyromètre c'est une longueur d'onde ($\lambda$), etc, etc., etc.

@arturo
Une longueur en mathématique est un nombre réel (pas d'unité). C'est la définition commune à tout mathématicien, d'une distance qui l'impose.

En physique par contre, c'est à dire dans le monde réel, on l'affuble ce réel d'une unité dont la définition est celle d'une grandeur physique imposée par un étalon observable et mesurable invariablement.

C'est cette confusion que tu fais entre le réel et sa modélisation qui fait que tu poses des questions sur ce forum et que tu as des difficultés. Tu n'es pas le seul visiblement à faire ces confusions entre ce qui se passe en physique (avant la modélisation, lieu où existe l'unité) et en math (après la modélisation où l'unité physique n'existe plus).

Cette confusion t'amène à vouloir écrire des unités physiques au sein d'expressions mathématiques. Car tu penses que les mathématiques peuvent t'aider à détecter un défaut d'homogénéité dans tes calculs.

Deux remarques:
1) visiblement ça ne t'aide pas à vérifier l'homogénéité au contraire.
2) tu mélanges des objets physiques qui n'ont aucune définition mathématique avec des objets mathématiques parfaitement définis et tu arrives à des expressions inutilement compliquées où tu divises des $°F$ par des $°C$ que tu remultiplies par des
$°C$ en oubliant justement que ces quantités sont des Kelvins (et donc que ton quotient est sans unité)

Si tu veux absolument modéliser mathématiquement tes unités, tu peux le faire (même si ça ne sert à rien techniquement), tu peux suivre ce qu'a dit JLT qui a modélisé cette situation physique précise. Malheureusement ou heureusement (?) il n'y a pas de théorie mathématiques (au sens définie par ZFC) globale des unités et c'est normal car ceci relève d'un processus pré-mathématique: la modélisation physique du problème. L'analyse dimensionnelle est une activité du physicien (un mathématicien a le droit d'être physicien à ses heures, mais le mieux c'est qu'il en soit conscient)


Sans l'effort d'abstraction montré par JLT, tu te heurtes irrémédiablement à des écritures où tu manipules des $\frac{°F}{°C}$ que tu serais bien en peine de définir à un élève trop(?) curieux, un collègue voire un inspecteur qui te demanderait comment tu définis rigoureusement cette écriture (alors que c'est juste un scalaire puisque c'est un rapport de quantités Kelvin).

Le plus simple est de ne pas mélanger tes unités avec tes calculs et de regarder simplement leur définition physique (qui t'aurait permis de répondre tout seul à ta question.

Quand tu lis 3x4=12cm² tu inclus le cm² dans le signe = alors que celui qui l'écrit a pensé (3x4=12)cm². Parfois on écrit plutôt le cm² entre parenthèses (c'est à mon avis le plus clair). Tout a déjà été dit sur un l'autre fil que tu as ouvert avec tes distances. Tu devrais peut-être lire plus attentivement les objections qui sont faites sur cette pratique du mélange math et trucs non définis, peut-être que tu verrais plus clair et du coup tes élèves aussi.

Oui Dom, je suis d'accord avec toi.
On peut parfaitement prendre sa casquette de physicien, d'architecte, de jardinier ou d'informaticien ou de ce qu'on veut pour modéliser une situation et expliquer l'homogénéité des formules et plus généralement la cohérence d'un résultat avec la réalité qu'on veut modéliser. Mélanger les deux au sein d'écritures qu'on croît mathématiques est juste casse gueule (pour le prof comme nous le montre l'expérience d'Arturo) et encore plus pour l'élève qu'on croît aider et qu'en fait on noie dans une abstraction hors sol et non définie. Ça part d'une bonne intention (pédagogique) et ça finit en nœuds au cerveau inutiles.

Si c’est « bien fait » (à définir !) ça prépare assez bien au calcul littéral où le $2x+3x^2$ n’est pas automatiquement transformé en du $ax^m$.
J’admets que c’est rare (que c’est soit bien fait ou que ce ne soit pas transformé automatiquement...).

dp, pour être un brin taquin, si écrire les unités permettait à quiconque d'y voir plus clair, ce ne seraient pas les partisans de cette pratique qui s’emmêleraient systématiquement les pinceaux. Les partisans du "poser des calculs sans trimbaler des unités" m'ont l'air plus clairs. Fin de la taquinerie

Voilà les conseils donnés par une prof de physique en PCSI qui explique ce qu'on appelle très pompeusement "l'analyse dimensionnelle": lire la conclusion C'est ce qu'on pratique le plus souvent en école d'ingénieur et qui porte ses fruits depuis des décennies. Aucun étudiant, à ma connaissance, n'écrit d'unité partout (même en physique !), sinon c'est juste une torture (les applications numériques ne sont pas toutes aussi sympa que celle dont on parle dans ce fil, alors imagine ce que ça pourrait donner quand tu as une bonne dizaine de variables: c'est juste impossible à écrire). On vérifie à la fin, en sortie de calcul, de retour vers le modèle, ça suffit largement dans la plupart des cas.

En effet, le faire partout n’est pas pertinent.

Pour les équations, par exemple, il ne faut pas se louper sur l’inconnue : $x$ est la longueur ? le nombre de $m$ ?
Autre exemple : on trouve souvent des exercices du type
« soit $x$ un nombre positif, un triangle a pour longueurs de côté $3x+1,5$, $4x+2$ et $5x+2,5$.
1) est-il rectangle ?
2) représenter le triangle pour $x=2 \ cm$.
»

Bien malin qui sait faire la question « 2) » sans sourciller.
Sauf s’il lit dans la tête de l’auteur.
Mieux, celui qui ne se pose aucune question réussit.
Celui qui s’interroge...échoue s’il n’ose pas dire qu’il y a un léger problème.