Enseignement des fractions

Bonjour, ce sont les 6e ou les 3e? Sont ils à l'aise avec les tables de multiplication? Suis-tu les progressions imposées par le ministère?

Le problème des fractions vient de :
1) trop grand écrémage dans le temps : au lieu de tout faire en 6e, on fini le chapitre sur les fractions en 3e. Et on ne parle même pas des nombres rationnels/irrationnels.
2) manque de pratique. Puisque le chapitre sur les fractions n'est fini qu'en 3e, on ne peut pas les utiliser dans les exercices pour un entrainement passif.
3) définitions et explications sont trop savantes et s'adressent plus à un étudiant en Licence qu'à un collégien. Il y a eu une grosse discussion il y a deux mois concernant la définition de la "fraction" en 6e. On a le choix entre : donner une définition exacte (la majorité des matheux ici sont Pour), ne pas donner de définition du tout (parce que la définition exacte n'est pas à la porté des 6e-5e et en réalité ils ne comprennent rien de ce blabla) ou donner une définition floue et intuitive qui ne mobilise pas des choses pas encore enseignées (et qui joue sur le fait que les élèves connaissent peu de choses et de ce fait ne penseront pas aux choses "fausses"). Le troisième cas est très peu soutenu.
4) utilisation de plus en plus fréquente de la calculatrice à l'école et au collège.

Pour pouvoir maîtriser les fractions, il y a certains prérequis. Il y a eu plusieurs articles sur ce sujet dans Petit $x$. Thèmes à apprendre dans l'ordre avant de commencer le chapitre sur les fractions :
1) tables d'addition
2) tables de multiplication
3) maîtriser les entiers naturels (ensemble, comparaison des nombres, les 4 opérations, priorités opératoires, algo de calcul)
4) puissances entières, opération avec les puissances
5) critères de divisibilité
6) nombres premiers
7) décomposition en facteurs premiers + algo qui permet de le faire
8) PPCM et PGCD (TRES important!)
Tout ceci est faisable en 6e, mais n'est pas fait...

Il faut aussi avoir une bonne méthodologie, d'être un bon pédagogue. Il faut que tout cela soit structuré, enseigné notion par notion, illustré par les exemples, appris à travers des nombreux exercices.

Bon, imaginons que tes élèves maitrisent les bases (de 1) à 8) ), dans ce cas tu pourras enseigner les fractions. Liste des notions à apprendre pour maîtriser les fractions :
1) Définition ou une explication ce que c'est grosso modo (un machin qui s'écrit sous forme $\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls). Il est important de faire comprendre aux élèves que les entiers naturels sont des fractions!
2) Quelques manipulations et rappels. Passage de la notion du partage à la notion du nombre. Il est important de ne pas se limiter aux fractions inférieures à $1$.
3) Des fractions "égales" (ou équivalentes si tu veux, mais c'est moins intuitif pour l'élève)
4) Simplification des fractions et la fraction irréductible, utilisation de PGCD pour simplifier.
5) Mettre les fractions sous le même dénominateur, trouver le plus petit dénominateur commun (coucou à PPCM)
6) Comparer les fractions, y compris les trucs et astuces
7) Addition
8) Soustraction
9) Multiplication, y compris distributivité
10) Division (diviser une fraction par une autre)
11) Extraction de la partie entière
12) Infaisable en France, mais je donne quand même. A l'étranger il y a des fractions simples (inférieure à $1$) et des fractions composées (supérieures à $1$). Les fonctions composés s'écrivent sans signe $+$ entre la partie entière et la partie fractionnaire : $\frac{12}{5} =\frac{10}{5} + \frac{2}{5} =2+ \frac{2}{5} = 2 \frac{2}{5} $. Dans les manuels russes terminent le chapitre des fractions par les opérations sur les fractions composées.

Exemple d'exercice simple en fin de 6e :
\[4 \frac{2}{3} \cdot 7\frac{1}{12} - 6\frac{1}{12}\cdot 4\frac{2}{3}\]
Exercice du niveau moyen :
\[ \Big(\frac{2}{15} +1\frac{7}{12}\Big) \cdot \frac{30}{103} - 2 \div 2\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{32} + 2\frac{1}{3}\]
Exercice difficile :
\[\frac{5\frac{1}{5} \div \frac{39}{40}}{2\frac{4}{5} \div \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{4}} + \frac{\Big(2-1\frac{3}{20} \Big) \cdot 48}{\frac{1}{4} \cdot 20 + 1 \div 10}\]


Où trouver les exercices et un manuel avec le cours? Recicler Lebossé-Hemery, prendre le livre bleu d'Ellipse comme manuel du cours (Les maths au collège : démontrer pour comprendre). Tu peux aussi regarder les manuels étrangers pour le niveau 6e et 5e. J'ai sous la main le lien vers le manuel russe (équivalent 6e) : lien. C'est en russe, mais on comprend facilement ce qu'on demande dans les exercices calculatoires. Concernant le cours : en Russie une bonne définition du point de vu pédagogique c'est celle l'élève comprend. Donc pas de définition exacte, savante et élégante à la sauce Bourbaki.

-Soient $a,b,c,d$ des nombres avec $c,d$ non nuls; la somme de deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ est par définition la fraction $\frac{ad+bc}{bd}$.
-Soient $a,b,c$ avec $b,c\neq 0$; alors $\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}$.

nicolas.patrois : c'est marrant, maintenant que tu le dis je viens d'avoir un flashback de ces années où on apprend ces choses là, et je me souviens très distinctement que le ppcm me faisait peur, mais pas le pgcd. Va savoir pourquoi.

@Homo Topi, vous avez encore de la matière dans les programmes!

Les élèves que j'ai, si je leur avais donné ton "exercice simple" dans le devoir, ils n'auraient même pas réussi la première question du devoir.

Attention. Les trois exercices que j'ai donné, sont à faire en fin d'année quand on a déjà tout appris sur les fractions. SI comme tu dis, les bases ne sont pas enseignées.... alors c'est normal de ne pas savoir faire.

Tu es dans quel pays? A quel point es tu contraint à suivre le programme? Est-ce que tu revois tes élèves (la même classe) l'année suivante ou les professeurs changent chaque année comme en France?

vorobichek a écrit:

@Foys, ce que tu as écris s'adresse aux étudiants en Licence ou en prépa (eux, ils comprendront). Il faut être plus pédagogue.

J'avais moins de dix ans quand ma grand-mère m'a appris à additionner des fractions en faisant exactement comme ça et je m'en souviens encore (il y avait pas les lettres mais c'était exactement ces règles).
Il n'y avait pas non plus tout le tralala grotesque des parts de gâteaux etc.

Les pédagos compliquent les notions.

Pour faire comprendre très jeune le découpage marche très bien, et je ne suis pas du tout sûr que "grostesque" soit le mot pour un élève qui vraiment n'y arrive pas mais qui finit par comprendre comme ça :-)

Foys a écrit:

Soient $a,b,c,d$ des nombres avec $c,d$ non nuls;la somme de deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ est par définition la fraction $\frac{ad+bc}{bd}$.

Absolument pas, ce que tu écris n'est en rien une définition mais un théorème.

$\frac{2}{7}$+ $\frac{3}{7}$ ... Allez appliquons la définition.

zeitnot, c'est comme ça que sont définis les (sommes de) fractions dans n'importe quel bouquin d'algèbre commutative...

(* Ce programme compile avec COQ 8.7*)

Section fractions_entiers_naturels.

  Inductive Fraction: Set:=
    |frac: nat -> nat -> Fraction.

  Inductive f_eq: Fraction -> Fraction -> Prop:=
  |f_refl: forall x:Fraction, f_eq x x
  |f_sym: forall x y:Fraction, f_eq x y -> f_eq y x
  |f_trans: forall x y z:Fraction, f_eq x y -> f_eq y z -> f_eq x z
  |f_eq_prod: forall a b c:nat,
      b<>0 -> c<>0 -> f_eq (frac a b) (frac (a * c) (b * c)).
  
  [color=#FF0000]Definition f_somme (x y:Fraction):=
    match x with 
    | frac a b => match y with
                    |frac c d => frac ((a * d)+(b * c)) (b*d)
                    end
    end.[/color]

  Theorem eq_zeitnot: f_eq (f_somme (frac 2 7) (frac 3 7)) (frac 5 7).
  Proof.
    simpl.
    apply f_sym.
    apply f_eq_prod with (c:=7).
    discriminate.
    discriminate.
  Qed.
    
End fractions_entiers_naturels.

  

Où est le problème?

Peux-tu donner les définitions des mots "définition" et "théorème"? Ce serait souhaitable avant de tenter des procès en rigueur intellectuelle...

Je crois qu'au fond une majorité d'élèves entrant en sixième n'ont pas compris ce qu'est une addition. Et, à vrai dire, cela ne s'arrange pas durant le collège. À une question simple ou la réponse nécessite de faire une - juste une - des 4 opérations de base je dirais au doigt mouillé qu'en fin de troisième 1 élève sur 2 répond, de préférence, absolument n'importe quoi.

Vous pouvez vous acharner vous n'aurez que très peu de résultats du point de vue de la compréhension. C'est, à l'heure actuelle, mission impossible. Et dans la plupart des collèges à mon avis. Pire : les processus de destruction en cours n'ont pas fini leur cycle.

Dès lors, quoi faire ? Mystère...

Peut-on seulement espérer qu'il sorte quoi que ce soit de positif de cette crise ? J'en doute, car les profs sont aveugles (il y a une contradiction majeure à reconnaître l'impossibilité d'une action qui fait, dans tous les sens du terme, vivre). Conclusion : l'enseignement des maths va, pour une bonne partie, disparaître. Et nous avec.

Deux mètres plus trois mètres font cinq mètres, deux septièmes plus trois septièmes font cinq septièmes.
Deux mètres plus trois décimètres font ? Et deux cinquièmes plus trois dixièmes ?

Hein quoi, des septièmes sont des unités ? On m’aurait menti ?

Pourquoi voudrais-tu donner ça à des enfants de 12 ans ?

La catastrophe n’est pas liée aux divergences éloquentes.
La cohérence d’un professeur et le choix pédagogique qu’il s’est accaparé pour enseigner une notion suffisent.
Au contraire, utiliser la méthode de son collègue, s’il n’y adhère pas, ne fonctionnera pas.

L’échec est lié davantage aux conditions d’apprentissages des élèves.

Une remarque pour Foys :
Je n’ai certainement pas appris à additionner des fractions avec cette définition.
Par contre j’ai compris tout de suite la phrase « pour additionner deux fractions avec le même dénominateur, il faut ... » puis « quand les dénominateurs sont différents, il suffit de les écrire avec le même dénominateur... »
Mais ces phrases sont abjectes pour les élèves qui d’une part ne savent pas lire et d’autre part ne connaissent pas le vocabulaire. Elles sont aussi souvent mal énoncée si on parle « mathématiques ».
Au fait, maintiens-tu « définition » à la place de « théorème » ?
Pour moi la définition qu’on donne est celle de $a/b$ (quand ça existe) puis le théorème dit « il existe une fraction qui vaut $a/b+c/d$ et c’est celle là... ».
Légère digression, Foys, juste pour comprendre ce que tu dis en dehors du sujet du fil.

Même si on accepte « ce qu’il faut faire depuis l’école, avant la 6e ».
Comme ce n’est pas fait. En septembre 2020, que faut-il faire en 6e ?

Quelques plâtres, quelques pansements, un coup de peinture sur l’ancienne qui n’est pas encore sèche, qui n’est pas de la bonne couleur et qui n’a pas été peinte de manière idoine.
C’est ça, pour moi, la situation.

xax a écrit:

[...]en essayant de faire croire que les élèves de primaire disposent d'une enseignement permettant de comprendre et de manipuler les fractions, ce qui est totalement faux.

Tu déformes ce que j'ai dit: ils ont bien le bon programme oui (il n'a jamais changé en 25 ans),mais ils n'ont pas forcément tous en face l'enseignement et la pédagogie qu'il faudrait.

Il y a deux choses distinctes:

- Ce que l'on voudrait que les élèves sachent (le programme, qui n'a pas changé, ou de façon marginale depuis 25 ans)

- Ce que les élèves comprennent au final (l'efficacité pédagogique)

xax a écrit:

Le fait que tu ne comprennes rien, que tu nies l'évidence de l'effondrement du niveau [...]

On va éviter ce genre d'attaque et de me faire dire ce que je ne pense pas. L'effondrement du niveau n'a malheureusement rien à voir avec les programmes. Pour régler ces gros problèmes il convient de ne pas focaliser sur ce qui est secondaire.

Quand je te demande des points précis sur quelque chose qui aurait été modifié du programme au primaire par VNB ou Darcos, tu en es incapable et tu me renvoies à des documents de plusieurs pages où nulle part il n'y a la réponse précise à ma question. Et c'est normal que tu en sois incapable puisque ce que tu décris (une modification catastrophique) n'existe pas.

Tu pointes un problème de programme, et moi j'en pointe plusieurs, qui ont, selon moi, beaucoup plus d'impact:

- un mauvais recrutement (lié à une baisse d'attractivité du métier)
- un manque cruel de formation pédagogique et mathématique des enseignants
- une mauvaise image (paupérisation française des enseignants à comparer avec l'image qu'ont les allemands ou les suisses de leurs professeurs. cf témoignage sur un autre fil)
- un niveau moyen très faible en math des enseignants du primaire (à relier au problème de formation)
- des difficultés énormes de concentration chez nos élèves montrés dès l'âge de trois ans par des études pédiatriques (écrans non contrôlés à la maison ?)

La différence c'est que je ne focalise pas sur des personnes (Darcos ou NVB) qui auraient modifié un BO (qui en réalité n'a pas bougé d'un pouce) pour leur imputer tous les maux du monde. J'essaye de voir quels sont les vrais problèmes.

Je n'ai pas appris avec la sainte méthode Singapour comme mes copains à l'école primaire, pourtant on avait de meilleurs résultats qu'aujourd'hui. La méthode de l'enseignant était franchement pas terrible et la trace écrite sur les cahiers était bof bof. Le programme était le même qu'aujourd'hui (ma fille a appris les mêmes choses que moi au même âge).

Les problèmes dépassent donc le champ du programme et questionnent plus profondément notre société et le rapport que nous avons à l'éducation et en conséquence ce que l'état est prêt à consentir pour améliorer les choses. Si c'était aussi simple que de prendre la méthode X ou Y, on aurait déjà fait.

PS: éviter les attaques perso. Je crois qu'on a fait le tour. La seule chose que tu amènes ce sont des attaques de plus en plus personnelles sans démontrer précisément ce que tu affirmes. Ce n'est pas intéressant, on peut s'arrêter.

@Dom, je n'ai rien contre le calcul littéral et il faut commencer à introduire les lettres très tôt. Mais cela doit être bien pensé. Mais tu as raison, ma remarque sur ce point n'est pas le fond du problème. La "définition" est tout simplement apédagogique à ce niveau.

vorobichek et SERGE_S,
Vous parlez d’une progression minutieuse. Vous parler d’avoir acquis des choses avant de commencer les sommes de fractions.
Et quand ce n’est pas le cas ? Que proposez-vous ?

Quand les bases ne sont pas acquises, il est illusoire de passer à autre chose et avancer. Donc il vaut mieux être en retard sur le programme, mais être sur que les élèves ont une base solide, que faire le programme. Dans la réalité, les bases ne sont pas au programme de 6e et on ne les enseignent pas. On se limite aux entiers naturels dans le meilleur des cas. Dans ces conditions, pourquoi évoquer ton "si"? Bien sur il y a des professeurs et des endroits, où on n'a pas appliquée les directifs. Mais c'est rare, et il s'agit plutôt des endroits bien côtés pour les enfants de CSP+++.
Et comme je disais dans d'autres file, il y a un moyen de libérer les heures. Par exemple ne plus faire les ateliers d'introduction qui sont chronophages et inutiles dans la plupart des cas.

@SERGE_S

Ensuite on progesse en définissant la somme de deux fractions avec le même dénominateur. Une fois qu'ils ont compris on passe à la somme de deux fractions avec différents denominateurs et là le ppcm fait son apparition qu'on le veuille ou non. Et on fini par leur expliquer comment réduire les fractions (décomposition d'un nombre en facteurs premiers et élimination des facteurs communs aux numérateur et dénominateur).

A mon avis, avant de passer aux 4 opérations, il faut que les enfants comprennent ce que c'est le nombre "fraction" dans le langage courant. Cela passe par les fractions équivalentes et la fraction irréductible. Ton fin, je le mets au début.

Et tu crois qu’un enfant de 12 ans va te poser une question comme ça ?
Si jamais ça arrive, tu peux lui répondre qu’il a le droit d’écrire un tel truc, à lui d’y donner un sens (pas à toi).

Je parlais de l’addition.
Quand on multiplie des fractions, on utilise $\frac{a}{b}=a×\frac{1}{b}$ dans le secondaire. 1 cm×1 cm=1 cm²=0,1 dm×0,1 dm=0,01 dm². Intuitivement, il s’agit de proportions de proportions (50 % de 30 %).

Ça ne se fait pas en un cours, comme tu l’écris. C’est bien sûr un travail de longue haleine.
En fait, tu fais comme tu veux, en fonction aussi des élèves que tu as.