Enseignement de la géométrie
[Discussion scindée à partir de celle-ci]
Si je peux me permettre une petite remarque, malgré le fait que les résultats du partiel soient effectivement catastrophiques, il faut dire que le statut de la géométrie est très particulier. Le lycée et le supérieur même n'en donnent pas le goût (sans aller jusqu'à dire que le collège aurait rendu Socrate fier, il n'y a que là que j'avais besoin de produire une démarche mathématique, en troisième, probablement grâce à un professeur qui profitait de la richesse de la géométrie par rapport au reste du programme pour nous donner des annales type Olympiades un peu guidées mais pensées pour véritablement nous faire résoudre un problème).
Étant né après la guerre bourbakiste et la quenelle de Dieudonné à la géométrie, je ne vois pas d'inconvénient particulier à ce statut, et ne pense pas que ce soit forcément gênant pour les étudiants ensuite, bien que le niveau dans tous les autres chapitres ait effectivement chuté et qu'au final on se ramène au premier cours de sup avec nos poches crevées à recoudre avant de pouvoir mettre de nouveaux concepts dedans. Mais même les bons qui comblent les lacunes persistent à ne pas aimer la géométrie (normal, nous n'en faisons pas).
Un partiel d'arithmétique me rendrait plus curieux vu que beaucoup continuent à bien aimer, et qu'on peut toujours y faire des choses non purement calculatoires calibrées pour des partiels, comme on le fait généralement en analyse ou algèbre linéaire.
Si je peux me permettre une petite remarque, malgré le fait que les résultats du partiel soient effectivement catastrophiques, il faut dire que le statut de la géométrie est très particulier. Le lycée et le supérieur même n'en donnent pas le goût (sans aller jusqu'à dire que le collège aurait rendu Socrate fier, il n'y a que là que j'avais besoin de produire une démarche mathématique, en troisième, probablement grâce à un professeur qui profitait de la richesse de la géométrie par rapport au reste du programme pour nous donner des annales type Olympiades un peu guidées mais pensées pour véritablement nous faire résoudre un problème).
Étant né après la guerre bourbakiste et la quenelle de Dieudonné à la géométrie, je ne vois pas d'inconvénient particulier à ce statut, et ne pense pas que ce soit forcément gênant pour les étudiants ensuite, bien que le niveau dans tous les autres chapitres ait effectivement chuté et qu'au final on se ramène au premier cours de sup avec nos poches crevées à recoudre avant de pouvoir mettre de nouveaux concepts dedans. Mais même les bons qui comblent les lacunes persistent à ne pas aimer la géométrie (normal, nous n'en faisons pas).
Un partiel d'arithmétique me rendrait plus curieux vu que beaucoup continuent à bien aimer, et qu'on peut toujours y faire des choses non purement calculatoires calibrées pour des partiels, comme on le fait généralement en analyse ou algèbre linéaire.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Même si je suis persuadé que le niveau a baissé (c'est une évidence), l'exemple choisi est peu probant.
Le statut de la géométrie est assez particulier, celui de la géométrie avec les nombres complexes encore plus. Certaines choses sont très prisées à un moment, et jugées moins importantes à d'autres.
On pourrait tout à fait s'indigner que la maman ne connaisse pas Dist Norm Cmd; comme dirait l'autre.
Si on veut faire une comparaison qui ait du sens, il faut comparer des choses qui sont également considérées dans les deux époques (par exemple le calcul algébrique).
C'est un état de fait que j'ai toujours regretté parce que contrairement au sentiment répandu (d'après RLC), j'ai toujours aimé cette partie des maths. Plus tard, mon patron de thèse (physique) appelait "générations sacrifiées" les générations qui avaient fait moins de géométrie que lui... Que dirait-il aujourd'hui ?
Requiescat in pace.
Disons que je ne vois pas d'inconvénient à enlever la géométrie spécifiquement, car on dirait que c'est vraiment le fait que ce soit la géométrie plutôt qu'une autre branche des maths qui ait été enlevée la véritable source des tracas de certains.
Sans développer outre mesure une chose que je connais mal, j'ai l'impression que certains voient en la géométrie euclidienne, surtout la géométrie "vieux papa", une formation de l'esprit formant de véritables citoyens, etc etc.
Si je reste sceptique sur les vertus de la géométrie par rapport à environ toutes les autres formes de maths ou énigmes sur le pur plan du développement de l'esprit, en revanche j'admets mon désarroi à avoir parfois eu si peu d'aisance pour faire des "maths pratiques" en cours de physique, en ayant eu certains jours trop de mal à mon goût à trouver un bête angle.
Mais je ne dirais pas que ceux qui ont fait moins de géométrie ont été sacrifiés, à part évidemment pour les raisons pratiques de calculs qui ont tendance à ramer (mais on ne sort pas les cors funèbres pour pleurer les générations sacrifiées s'il ne s'agit que de calcul). C'est le genre de choses qu'on a dû dire du latin à une époque. Personnellement je trouve que l'effondrement du crédit de la littérature est le plus grave (je soulève uniquement pour dire qu'on a tous une paroisse sur le sujet des enseignements importants). Et faire de la géométrie de la manière que déplore Ramon servant aux autres branches mathématiques et plus largement scolaires, je ne pense pas que ça profitera beaucoup aux collégiens ou lycéens.
Est-ce seulement une question de tradition ?
Il y a quelques semaines, j'avais publié une citation de René Thom, qui évoquait les bienfaits de la géométrie.
La géométrie a au moins un immense mérite: elle permet d'apprendre dès la 4ème comment rédiger une démonstration. Sans démonstrations pas de mathématiques....
Ce n'est ni avec scratch, ni avec DIST NORM NCD, ni avec les probabilités ou la statistique misérabilistes de 3ème que l'on apprend à faire une démonstration....
L'importance croissante prise par les probabilités au collège et au lycée est un cache-misère providentiel pour ceux qui voudraient nous faire croire que le niveau n'a pas baissé....Il est autrement plus élémentaire de remplir un tableau à double entrée et de faires des pseudo-calculs de probabilités que de rédiger une démonstration qui tienne la route !!!!
Quand je pense qu'en 3ème, on nous faisait démonter en DM les théorèmes de Ménélaüs et de Ceva...
Certains adjudants pédagogiques régionaux ont l'outrecuidance d'affirmer qu'en mathématiques, la démonstration n'est qu'une activité parmi d'autres....
Le résultat est dramatique....on ne fait plus de vraies maths de la 6ème à la terminable....
Arrivé en prépa ou à l'université, il est trop tard et le cerveau restera mal câblé....
Je ne pense pas. Mais les autres thèmes suffisent à la plupart des élèves pour avoir une activité mathématique. Ce n'est pas un argument pour le départ de la géométrie, seulement une manière de le relativiser.
Elle a ce caractère indéniable qu'on peut y faire beaucoup avec rien et est donc parfaite pour les épreuves type Olympiades. Seulement, il y a d'autres moyens d'être créatif, et les maths ont suffisamment de branches encore enseignées pour potentiellement apporter aux élèves, à condition que ce soit bien fait (et le problème se situe plus dans cette condition que dans les thèmes enseignés). Je veux dire que même sans géométrie on peut faire des têtes de géomètres, et que dans le contexte actuel, la remettre ou non, ça ne risque pas de changer la face du monde. On trouverait bien le moyen de CDALiser la géométrie s'il fallait la remettre.
Edit RM : mais par exemple l'analyse, qui est l'impératrice des maths scolaires à partir du lycée, permet aussi de faire des démonstrations. L'algèbre aussi.
Encore une fois si les élèves ne savent pas démontrer, je crois que le problème est plus compliqué que la simple disparition de la géométrie. Effectivement, ça peut en aider certains à cause du support visuel qui guide la preuve, mais dans le contexte actuel où on se contrefout globalement de tout ce qu'on fait en cours, on ne va même pas faire le dessin.
Les bons élèves ? Je pense qu'ils s'en sortent sans ça.
Si l'enseignement ne bougeait pas dans sa mise en œuvre mais qu'on apprenait Pappus à tout le monde au lycée, je pense que ça gueulerait tout autant.
Bref, je suis tombée amoureuse de maths, c'est devenu un plaisir et une passion. Et je trouve dommage que les élèves français n'ont pas eu la chance de voir ces maths là. Certains élèves potentiellement matheux ne se rendent pas compte qu'ils le sont parce que ils n'ont jamais touché aux vraies maths.
Dans un file où on discutait des maths modernes, j'ai donné les citations des mathématiciens russes concernant la reforme de maths moderne en URSS. Ils ont tenté de faire la géométrie moderne pendant 10 ans et c'était un échec. Ils ont conclu que cette géométrie moderne n'est pas adapté aux enfants : trop compliqué, trop élitiste, trop abstrait, ne permet pas d'enseigner bien le raisonnement. Ils ont eu peur que cela entraine la baisse du niveau général. Ils ont donc décidé de revenir à la géométrie de "papi-mami" afin d'avoir les élèves matheux.
P.S. d'après les résultats de la coupe Animath printemps, une fille fait partie de l'équipe IMO. C'est une fille d'origine russe qui a donné un interview il y a deux ans où elle dit qu'elle a appris comment raisonner avec le manuel de Pogorelov (ses parents n'étaient pas satisfait du programme français). Bon, il y a un autre nom russe dans l'équipe. Dommage que cette année l'IMO sera en ligne... ce n'est pas la même chose
Eh bien j'ai eu un très bon prof en troisième qui nous faisait faire de la "vraie" géométrie (on avait eu un DM sur démonstration de Menelaus et applications, un autre comme j'ai dit avec sujet d'Olympiade guidé je crois, et d'autres souvenirs qui me passent bien au-dessus)...et j'ai détesté. Par contre, les histoires de trésors de pirates en arithmétique, ça me branchait. Il y a des gens bizarres pour être gonflés par les figures de manière presque innée.
Si c'est une histoire de "goût des maths", je comprends le fond mais maintiens qu'on peut faire des démonstrations et les faire sentir ailleurs, et que chaque discipline aura des partisans et détracteurs.
Le bon vieux "Montrer qu'il y a deux pays qui ont forcément même nombre de voisins" est un peu le type de ce qui m'a fait aimer les maths.
Encore une fois, ce n'est pas question de militer contre la géométrie, on l'aurait tous acceptée si elle avait été là, au même titre que les autres chapitres. C'est juste que je pense qu'on peut faire quand même de belles maths intéressantes et des édifices de démonstrations avec ce qu'il reste. Et même ailleurs, on peut éveiller des qualités mathématiques, par exemple avec le latin (mdr) (fait proprement, ça ressemble beaucoup à des maths, avec le côté "énigme" en moins, mais toujours la joie de manipuler le langage comme des Lego propre aux matheux, avec bien plus de précaution encore), exemple que je prends encore a priori éloigné des maths pour dire que les qualités de chaque domaine ne leur sont pas forcément propres, et que donc, on peut quand même faire des gens tout à fait dignes d'entrer dans l'Académie qu'ils ne soient géomètres (j'ai pris le latin parce que je pense qu'on a dû en dire les mêmes choses à l'époque de sa mort, mais au final personne ne semble gêné).
Je ne nie cependant pas la facilité pédagogique de la géométrie pour ça (appui des figures et habitude historique pour enseigner ça aux petits qui remonte aux Grecs). Mais l'histoire de l'enseignement mathématique est telle que je ne crois pas en sa réinsertion, même s'il y avait un mieux dans les enseignements. Le temps qu'une réforme vienne, si elle vient un jour, il n'y aura plus de survivants pour aimer suffisamment la géométrie, et probablement seulement deux trois experts dans le pays pour savoir la refaire à la Euclide (parce que la géométrie affine que j'ai apprise n'y a plus grand rapport). Mais ça fait rien, ça fait rien parce que les gens qui ont appris à aimer les maths sans la géométrie, ils aiment quand même les maths, ils savent ce qu'est par essence une démonstration et une énigme, et ils savent d'autres moyens d'en donner le goût.
Par ailleurs je ne suis pas convaincu que les gens au collège et lycée soient tant gênés par le principe même de la démonstration, ou plutôt si, mais que ce problème est d'office phagocyté par le calcul de x/2 - x/3 = x/6 à la deuxième ligne du tableau pendant la preuve du prof, qui capte l'attention des élèves qui suivent pendant les dix minutes qu'il met à la rédiger, et qui ne lui permet jamais d'expliquer ce qu'il fait en temps réel.
Je ne peux m’empêcher d’avoir une pensée un peu iconoclaste.
En un certain sens la géométrie ce n’est pas vraiment des maths, c’est une discipline qui applique les maths (comme la physique, les statistiques…).
La vraie géométrie c’est l’art de tracer des figures, des courbes et des surfaces, sa finalité existe en elle-même indépendamment de la modélisation mathématique qui lui est appliquée (modélisation qui peut être "pure" ou avec des coordonnées).
Cette modélisation est très riche et a nourri des pans entiers des mathématiques, mais ce n’est en fait que de l’algèbre ou de l’analyse appliquées à la géométrie.
En tant que discipline la géométrie sert à la modélisation des situations dans les autres sciences particulières (notamment la physique). En ce sens elle est un intermédiaire important (mais pas le seul) dans l’usage que l’on fait des mathématiques.
Il est normal que la géométrie soit enseignée au lycée et collège par le professeur de mathématiques, mais cela se comprendrait qu’elle soit enseignée en tant que telle dans le supérieur.
Ce qui est formateur dans l’introduction de la géométrie au collège est qu’il s’agit à la fois d’une discipline concrète (on trace, on voit) et d’une discipline qui utilise des maths rigoureusement (la modélisation euclidienne). Elle permet donc d’apprendre à faire des démonstrations dans un cadre agréable.
Cordialement
Entièrement d'accord.
Le gros problème pour les profs (ignorons pour l'instant les programmes officiels) c'est comment presenter cette géométrie. Je me rappelle que la géométrie "euclidenne" était presentée comme un mix de vieux axiomes classiques + éléments affines + éléments vectoriels. A la fin on obtient un gros bordel conceptuel dont uniquement les meilleurs arrivent à mettre de l'ordre et s'en sortent. Moi je pense qu'il faut procéder comme le fait Pierre Gabriel dans son ouvrage, on part de la modélisation de l'espace physique comme ensemble de points sur lequel on impose un petit nombre explicite d'axiomes (de distance, de symétrie),et à partir de là on fait émerger les vecteurs. Mais il ne faut jamais oublier que la géométrie est intimement liée aux figures.
La géométrie c'est l'art de bien raisonner sur des dessins imparfaits (c'est vrai dans toutes les géométries, euclidienne, projective, hyperbolique et elliptique). Donc vouloir la réduire à l'algèbre est une erreur.
Édifice de démonstrations? Pas de vrai démonstrations? Tu sais, on a essayé et c'était un échec (maths moderne). ;-)
@Mathurin Donc pour toi le plan, la droite, l'angle ne sont pas les objets mathématiques?
P.S. les statistiques sont les maths.
Il y a toute une partie des statistiques (la question des enquêtes par exemple) qui est hors du champ des mathématiques. Bien sur les statistiques appliquent des théories mathématiques, mais leur finalité ultime (évaluer des phénomènes très répandus) reste en dehors des maths (voir l'article wikipedia sur le sujet).
Pour la notion de disciplines d'"applications des mathématiques", je m'appuie sur Dieudonné dans "Pour l'honneur de l'esprit humain".
Le plan, la droite et l'angle sont des notions géométriques, modélisées par les mathématiques. Hilbert a bien dit que d'un point de vue mathématique, on pourrait tout autant les appeler "chope", "table", "chaise".
Cordialement
Édifices de démonstrations au sens propre : poser les fondations et construire. C'est effectivement comme tu le présentes que je conçois la géométrie euclidienne (et twist : les maths en général).
Si dans le fond tu as raison pour dire qu'on ne partait pas de 0 et qu'on a effectivement jamais fair de vraie géométrie (ainsi, je dirais que la première fois que j'ai fait de la géométrie, c'est quand j'ai étudié la construction axiomatique des entiers), on avait malgré tout un cahier des charges (les théorèmes qu'on pouvait utiliser, les règles du jeu, dans l'absolu on peut voir ça comme de la géométrie traditionnelle sauf que l'axiome qu'on nous donnait c'était le théorème de Thalès).
Encore une fois je pense que j'aurais adoré faire ça à l'école comme un gros puzzle. Je le regrette moi-même, personne n'aimait les fausses probas qu'on faisait sur lesquelles on passait vingt ans. Beaucoup auraient largement préféré avoir quelque chose de consistant pour ne pas décrocher.
Mais on peut toujours apprendre à faire des preuves ailleurs (et on aurait un argument un peu convaincant pour enlever la géométrie par exemple en arguant que la plupart des gens auront besoin de plus d'analyse que de géométrie vieux papa dans leur cursus professionnel si on vise large). Or on ne le fait pas. Le problème est plus profond.
J'ai quand même tendance à m'interroger sur la vertu pédagogique de la géométrie (plutôt sur son caractère incontestablement supérieur, je reconnais que ça doit être bien d'apprendre à prouver avec un support visuel), à cause d'un fait : il faut souvent une grande idée, là où les preuves arithmétiques ou algébriques peuvent longtemps se faire en se mettant sur les rails (traduire l'énoncé déroule les expressions naturellement en gardant en tête le résultat). C'est avec le même prof de troisième que j'avais appris à démontrer, mais c'était grâce à l'arithmétique. Bon, après, evidemment qu'axiomatiser tout ça ferait une hécatombe, mais on peut apprendre à prouver sans les axiomes de base, en partant de théorèmes déjà établis. On a des moyens de faire des preuves avec ce qu'on a déjà, ou plutôt ce qu'il nous reste. Le problème est vraiment qu'on a peur de sensibiliser les élèves aux démonstrations avant le supérieur. Je ne sais pas à quel point la géométrie explique tout.
Bien sur qu'on peut encore démontrer 3 ou 4 petits théorèmes en arithmétique ou en analyse mais ce n'est pas la même chose. On ne peut enseigner en terminale la théorie des nombres (qui comprend aussi la théorie analytique des nombres), ni l'analyse mathématique sur R, ou dans R^n. Alors il reste quoi si on veut présenter aux élèves une branche entière des mathématiques qui leur soit intelligible et qu'ils peuvent utiliser pour démontrer beaucoup, beaucoup de théorèmes et de choses non triviales ?
Oui c'est ca, la matière qu'on ne veut pas nommer. La géométrie.
Mon frère a suivi un cursus littéraire mais pas en France. Au college il a du faire de la géométrie euclidienne comme Dieu commande. Son manuel de géométrie était épais, presque 400 pages en noir et blanc avec beaucoup de figures et de problèmes (non-corrigés). Que de la substance et ce dans une section non scientifique. Fin des années 90. Donc oui il existe encore des pays où la géométrie n'a pas été défenestrée complètement de l'école.
Je suis bien d'accord. Mais c'est justement cette volonté de ne rien prouver qui est écrasante, plus que la fin de la géométrie en elle-même. Encore une fois, je suis pour la remettre, bien que je ne l'aime pas comme toute ma génération pour n'en avoir pas fait à temps. Mais avec ce qui reste, en persistant à ne jamais la remettre au nom de "l'utile", on pourrait faire des choses. Je me doute bien que la géométrie euclidienne a ses avantages pour apprendre, mais je crois que le coup de grâce définitif à été donné il y a pas longtemps, lorsque j'ai appris en donnant des cours que les collégiens ne savaient même plus utiliser Thales. Il semble si invraisemblable de la voir ressusciter que ma pensée est juste "Tant qu'à vivre sans elle, autant se dire qu'on peut apprendre ailleurs".
Même en probabilités de bébés comme on les fait on pourrait initier les élèves aux preuves ensemblistes. Mais on ne le fait pas. C'est un aveu de volonté du grand rien.
L'avantage de la géométrie c'est qu'elle est enseignable au début du collège contrairement à l'algèbre (en 4ème*) et l'analyse (en seconde*).
On peut donc entrainer à raisonner beaucoup et bien sans formalisme, sans avoir à ajouter de nouvelles notions(dérivée, nombre complexe) ardues.
[small]* niveau d'il y a 25 ans bien sûr.[/small]
Mais en l'état, mon neveu de CM1 a un enseignement de géométrie qui lui permet au mieux de distinguer triangle rectangle des autres (au mieux).
Je crois qu'en sixième ça partirait mal les axiomes.
Il nous faut juste arrêter de prendre les enfants pour des demeurés, le cerveau à cet âge précoce est encore capable d'une grande résilience intellectuelle. Après c'est un peu tard, me semble-t-il.
"La géométrie a au moins un immense mérite: elle permet d'apprendre dès la 4ème comment rédiger une démonstration. Sans démonstrations pas de mathématiques...."
et les observations de @vorobichev.
Elève de quatrième en 1953, j'étais intéressé par la recherche d'une solution mais plus encore par la rédaction de la démonstration: l'apprentissage de la géométrie et celui du français me semblaient liés...
Et je n'ai pas changé d'avis en étant prof quelques années plus tard.
Peut-être encore de l'utilisable dans cette playlist (non rémunérée) ?