Montrer que $\Z$ est intègre

Supposons que deux entiers naturels $n$ et $m$ soient non nuls. Alors $n \geqslant 1$ et $m \geqslant 1$ donc $mn \geqslant 1 \times 1 = 1$ (dessine un rectangle de côtés $n$ et $m$ et montre qu'il contient un carré $1 \times 1$ c'est a priori assez convaincant) et ainsi le produit de deux entiers naturels non nuls est non nul.

Pour $\mathbb{Z}$, il suffit en plus de connaître la règle des signes.

Edit ; devancé

J’aime bien la preuve par inclusion du carré unitaire dans tout rectangle entier.

Pourquoi le justifier ?

Sinon tu le fais sur Q et tu dis qu'à fortiori Z et N sont intègres.

Je crois qu'il ne faut pas toujours penser justification en termes de preuve/démonstration formalisée.

Un élève qui connait ses tables de multiplications sait qu'il n'y a pas d'autres possibilités pour obtenir un produit $a.b$ qui vaut $0$ que d'avoir un des facteurs qui est nul (si on suppose que $0\leq a,b\leq 10$ )

Une démonstration incompréhensible pour un élève de collège:

Soient $a,b$ des réels tels que $a\times b=0$

De deux choses l'une,
Soit $a,b$ sont tous les deux nuls, soit l'un des deux est non nul. Dans ce dernier cas on peut supposer que c'est $a$ qui est non nul.

On divise les deux membres de l'égalité $a\times b=0$ par $a$ qui est non nul.
On obtient que $b=0$.

(il n'est pas exclu que cette "preuve" soit une belle arnaque)

Donc dans tous les cas si $a\times b=0$ nécessairement $a=0$ ou $b=0$ , $a,b$ pouvant être tous les deux nuls.