Nombre d'or

OShine
OShine
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonsoir,

Je ne comprends pas le rapport entre l'algorithme et l'arrondi.

En appliquant l'algorithme je tombe sur $1,66666$ mais $1,667$ n'est pas un arrondi du nombre d'or au centième car le nombre d'or vaut environ $1.61803398875$

Réponses

  • bisam
    bisam
    Allo, Oshine... Nous ne sommes pas dans ta tête...
    De quoi parles-tu ? Quel algorithme ?
  • Dom
    Dom
    Tu as bien pris l’arrondi au millième d’une valeur approchée (par excès) au dixième du nombre d’or.

    bisam a raison,
    l’algorithme, est-ce l’utilisation de la suite de Fibonacci pour laquelle on calcule le quotient de deux termes consécutifs ?
  • OShine
    OShine
    Le voici pardon.

    Je réfléchissais à donner cet exercice aux 4èmes.108830
    1.png 389.1K
  • Dom
    Dom
    Pas très clair mais voilà ce que ça donne :
    1
    1/1
    2
    1/2
    3/2
    2/3
    5/3
    3/5
    8/5
    5/8
    13/8
    8/13
    21/13

    Bon :
    1) cette suite ne converge pas car on a toujours deux termes consécutifs qui sont inverses l’un de l’autre (et ce n’est pas 1, ni -1...)
    2) si on saute une étape, ça converge vers le nombre d’or mais on ne sait pas, à ce niveau d’étude, comment raisonner pour démontrer qu’on s’approche toujours du nombre d’or et ainsi qu’on obtient au bout d’un certain rang les bonnes décimales

    Qu’en conclure ?
  • zestiria
    zestiria
    C'est le sujet du CAPES où on définit une suite récurrente qui converge vers $\phi$ le nombre d'or.
    $u_{n+1} = 1 + \frac{1}{u_n}$
  • Dom
    Dom
    Celle-ci à deux valeurs d’adhérence : $\varphi$ et $1/\varphi$, sauf erreur.
  • zestiria
    zestiria
    Si $u_0=1$ j’imagine que la suite converge vers la bonne valeur d'adhérence.
  • OShine
    OShine
    Bah je n'ai pas compris le lien entre les différentes valeurs calculées et la question "déterminer l'arrondi au millième du nombre d'or".

    Dom c'est un exercice de 4ème, à mon avis il n'y a pas besoin de convergence.
  • Alexique
    Alexique
    Si tu obtiens disons trois termes consécutifs dont les arrondis au millième sont égaux, en gros, ça veut dire que c'est bon, qu'on a bien le nombre d'or au millième. En 4ème de toute façon, on peut pas faire mieux...
  • Dom
    Dom
    zestiria,

    J’ai compris l’algorithme.
    Sauf le « et ainsi de suite ».
    S’il s’agit d’effectuer le bloc des quatre instructions (2,3,4,5) et de regarder la valeur obtenue, alors ça donne ce que tu dis.
    Mais s’il s’agit d’effectuer pas a pas et de regarder la valeur obtenue, alors on a plein de termes qui ne sont pas dans ce que tu dis.
    En gros : « et ainsi de suite » est ambigu.

    OShine,

    On considère que la suite donnée par zestiria est bien celle décrite dans cet algorithme.
    Ok, on dit aux élèves, « au bout d’un moment, les nombres sont très proches du nombre d’or » (et encore ça n’est pas clair de dire ça...).
    Pourquoi t’arrêtes-tu à un certain terme (1,6666666) ?
    Pourquoi pas avant ? Après ?
    Comment savoir quand s’arrêter ?
    Comment justifier ?

    Alexique,

    Tentons alors le mot « conjecture ».
    Il faut se méfier du « ça a l’air de marcher alors ça marche ».
    C’est même un énorme travail de leur chasser de leur tête ce réflexe pavlovien.
    Si on passe vite, dans 999 cas sur 1000 ils auront acquis ce « faux raisonnement ».
  • verdurin
    verdurin
    L'algorithme me semble mal écrit : on obtient une suite dont les termes de rang pair tendent vers $\varphi^{-1}=\varphi-1$ et les termes de rang impair tendent vers $\varphi$.
    Quoique pair et impair dépende de la façon dont on numérote le premier terme.
    Si on regarde ceux désignés par « ce nombre » ils tendent vers $\varphi^{-1}$.
    Et je ne vois aucune méthode accessible à un élève de quatrième qui permettrait de dire qu' un moment quelconque on a un arrondi au millième de $\varphi$.

    Ps : conformément à l'usage courant je note $\varphi$ le nombre d'or.
  • OShine
    OShine
    Merci pour vos réponses.
    Je vois que cet exercice est un vrai piège.
    Heureusement que je l'ai testé avant, je vais le retirer de ma liste d'exercices.
    Ça aurait été un massacre en classe; les élèves n'auraient pas compris et je n'aurais pas su leur expliquer.

    Puis le "et ainsi de suite" de l'algorithme c'est du n'importe quoi. Un algorithme c'est précis.

    @Dom
    Je ne sais pas répondre aux questions.
  • Dom
    Dom
    Là, tu bosses bien.
    Il faut toujours tester les exercices.

    Un inspecteur me confiait que c’est assez « pénalisant » quand il s’aperçoit qu’un prof ne l’a pas fait. Et surtout si le prof ne parvient pas à s’extirper de la mouise dans laquelle il s’est mise.

    Moi non plus je ne sais pas répondre à ces questions.
    Sauf à leur mâcher un « vous admettez » incompréhensible et du coup qui ne sert à rien.
  • lourrran
    lourrran
    Ici, pour que l'algorithme devienne utilisable et ne soulève pas toutes ces questions, il faut ajouter une ligne 'Afficher ce nombre' juste avant la ligne 'Et ainsi de suite'
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    OShine
    Lourran mais ça ne répond pas aux questions de l'arrondi comme l'ont souligné Verdurin et Dom.
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonsoir.

    Il n'y a pas que la question de l'arrêt momentané pour se rendre compte d'un résultat (d'ailleurs il n'est pas précisé sur quel résultat s'arrêter), il y a notamment l'implicite de la répétition.

    Strictement parlant, je ne sais pas, en tant qu'élève de 4ème, si le "ainsi de suite" n'est pas à comprendre comme la répétition de toutes les instructions précédentes.

    Dans ce cas, on est bien en présence de la valeur donnée par Oshine et tout l'intérêt de la procédure tombe à la poubelle.

    La bonne façon de représenter cet algorithme est de mettre formellement la répétition, quelque chose du style "recommencer la suite d'instructions suivante" en mettant juste une occurrence du calcul à répéter suivi directement d'un affichage, pour mettre en évidence quelle valeur doit être lue.

    Je ne sais pas si la répétition est vraiment un problème en 4ème.

    Les questions de convergences sont au-delà des possibilités de compréhension des élèves à ce stade, mais si l'affichage se fait uniquement sur la valeur qui suit l'instruction "ajouter 1", tout se passe normalement bien si l'affichage est décimal (dans ce cas, l'élève 'voit' les décimales successives se fixer, même si ce n'est pas formalisé à ce stade).

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • verdurin
    verdurin
    Dreamer a écrit:
    si l'affichage se fait uniquement sur la valeur qui suit l'instruction "ajouter 1", tout se passe normalement bien si l'affichage est décimal
    Bien sur.
    Et c'est précisément ce qui manque à l'énoncé.
    Je trouve ce genre d'exercice vraiment nuisible.
    [edit] correction d'une faute de frappe.
  • Dom
    Dom
    Une instruction « répéter 5 fois bla-bla-bla » était si bien venue.
    Ou « répéter jusqu’au ce que les résultats soient distincts d’au plus un millième ».
    Bref.
  • OShine
    OShine
    Du coup je me suis que ma question n'était pas si bête pour une fois.
  • kolotoko
    kolotoko
    Bonjour,

    curieux :

    longueur du Parthénon : 69,51 m
    largeur du Parthénon : 30,88 m

    Etonnant comme nombre d'or !

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Bonjour

    Bravo kolotoko. Je suis mort de rire.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • soleil_vert
    soleil_vert
    En utilisant ce programme de calcul

    Cela sous-entendrait-il écrire un programme?

    Le plus simple sur certaines calculatrices qui ont un "ans",
    c'est de taper 1 puis = puis 1 + 1/ans puis plusieurs fois = jusqu'à ce que ça se stabilise.
    J'imagine que c'est tout ce qui est demandé.

    Puis il faut expliquer l'arrondi.


    https://fr.wikipedia.org/wiki/Parthénon#Données_architecturales faut bien admettre que c'est plein de mots compliqués :-D109558
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