Enseignement de la division euclidienne

Bonjour,
J'ai utilisé l'exemple donné dans le rapport "Villani-Torossian" de 2018 pour cette vidéo

Le prof de sixième a des élèves qui viennent d'écoles différentes est confronté à différentes "variantes"...

Je n'en sais rien, j'indique juste comment je procède personnellement...

J’ai pratiquement refait le CM2 au moment où j'entraînais ma fille pour le Concours d’entrée en 6e (nous ne sommes pas en France...) et un enfant de 10 ans bien formé en calcul voit tout de suite que dans 128, il y a 5 fois 24 et 8.

Cela demande juste de l’entraînement et une fois que la table de multiplication par 12 est connue (et maîtrisée), il est relativement simple d’aller au-delà.

Donc, oui, un enfant du CM2, voire CM1, y arrive aisément... quand les bases ont été posées au préalable ! Il est vrai qu’ici (Cameroun) nous sommes aidés par le fait que les calculatrices sont proscrites quasiment jusqu’en Première. Les enfants apprennent donc à calculer.

Test grandeur nature : je viens de demander à ma fille de 12 ans de calculer mentalement 368 divisé par 24 : elle a trouvé en 120 secondes tout juste 15,33333. Et justement c’est sur 128 divisé par 24 qu’elle a passé le plus de temps

Je pense qu’elle était mieux entraînée à la fin du CM2, mais bon... faut pas pinailler on plus

vorobichek a écrit:

je ne vois pas de division dans division.

Rappelons qu'effectuer une division euclidienne de $a$ par $b>0$ c'est chercher $q$ maximal tel que $bq\leqslant a$ donc c'est faire des multiplications répétées jusqu'à obtenir le quotient voulu.

vorobichek a écrit:

Donc je fais une multiplication posée quelque part. Si je vois que cela ne fonctionne pas (trop ou pas assez), je refais le calcul en augmentant ou diminuant de 1.

Tu refais donc bien une division dans la division.

PS
Si tu fais la preuve par récurrence (sur le dividende) que l'algorithme que tu utilises fonctionne, tu vois apparaître cette division dans la division.

Bonjour

interprete a écrit:

Il est obligé de démembrer 24 en 2*10+4 afin d’avoir une table de 2, une table de 10 et une table de 4.

Mais pas du tout. Si les enfants sont tenus de connaître les tables de multiplication jusqu'à 10, c'est justement parce que nous écrivons en chiffres arabes en base 10. Il en serait autrement si les écritures étaient en hexadécimal base 16 ou binaire base 2.
Tu dis "démembrer". Mais c'est justement ce qui est écrit sur sa feuille. Il ne va pas démembrer grand chose. le 2 tombe instantanément. 128 / 24 ? 12 / 2 ? 6 ! Tout pile. Mais comme 6*4 fait une retenue, il faut viser plus bas. 5 ? Oui c'est bon. 5*2 = 10 et 5*4 = 20 donc 2 de retenue. Nous n'avons pas dépassé 12. Note bien : je n'ai utilisé que la table requise.

C'est l'écriture en base 10 qui provoque la nécessite de connaissance des tables jusqu'à 10. Pas plus, pas moins.

Bonjour.

J'ai appris la division "avec reste" avant 1960, avec la méthode suivante pour 128 et 24 :
On ne regarde que les premiers chiffres : En 12, il y a 6 fois 2; on lance le calcul avec 6, il coince (avec l'expérience on saute vite cette étape); on barre et on recommence avec 5. Ça marche, on continue...

Pour 123456789987654321 divisé par 987654321, qu'on n'abordait qu'au CM2 (avec quand même moins de chiffres), on utilise les arrondis : 98 ça fait presque 100 et dans 123 il y a 1 fois 100; on pose 1 et on lance le calcul.

Ensuite, on avait souvent à diviser par 3,14, ou 3,1416, ou 1,4142, puis en terminale arrivaient la table de log et la règle à calcul. Les calculettes ne sont arrivées que dans le courant des années 1970 (en 1972, une HP en notation polonaise (inversée ??) avec en mémoire seulement une pile de 10 valeurs valait le salaire mensuel d'un prof (mieux payé qu'aujourd'hui !). Ce qui fait qu'on ne pouvait faire des études jusqu'au bac qu'en sachant calculer (même si on était nul en géométrie).

Cordialement.

Je n'ai pas été clair (car j'ai mal choisi mon exemple) et on ne s'est pas compris. En base $b$ il suffit effectivement de pouvoir effectuer des produits de deux entiers de $\{0;\dots;b-1\}$ et des additions sur ce même ensemble pour effectuer l'algorithme naïf de division du CM2 (ajouter à cela comparer avec l'ordre lexicographique).

Mais pour effectuer 123456789987654321 divisé par 34567899876543, tu vois que 12 / 3 = 4 ne fournit pas le bon chiffre de poids fort du quotient et c'est là que tu te heurtes au problème évoqué par interprete. Il faudra bien faire des multiples de 34567899876543 jusqu'à ce que le produit ne dépasse plus le dividende (c'est à dire finalement, refaire une division mais en partant d'un bon ordre de grandeur obtenu par division des chiffres de poids fort).

L'algorithme du CM2 est bien un algorithme et la division des chiffres de poids fort a pour but unique de trouver un majorant des chiffres de poids fort du quotient afin d'initialiser une boucle où le quotient est descendu d'unité en unité (ce qui peut être long mais qui est contrôlable (on sait le majorer)).

Les processeurs arithmétiques (FPU) n'ont pas inclus d'algorithme différent pour effectuer des divisions mais ils ont pour but de décharger le CPU de ce genre d'opérations en les déléguant au FPU.

Il est très intéressant de programmer les opérations élémentaires en précision arbitraire (limitée par la taille de la mémoire et non par la taille des registres du CPU ou du FPU). Les entiers sont alors représentés par des tableaux de chiffres (souvent on choisit pour base $b=2^{32}$ car comme le mentionne PetitLutinMalicieux il faut pouvoir calculer exactement des produits de chiffres en ne dépassant pas ce que le FPU peut caculer c'est à dire $2^{64}$). Au passage, il est amusant de voir qu'un FPU actuel ne calcule pas dans $\Z$ mais dans $\Z/2^{64}\Z$.

Cette petite activité informatique permet de comprendre très profondément ce qu'on faisait au CM2 et de bien voir qu'il s'agit bel et bien d'un algorithme (dont la preuve qu'il est correct n'est pas si facile à produire).

La mise en place de l'algo de Newton (de meilleure complexité) est encore plus intéressante mais nécessite beaucoup plus de travail.

Concernant le bug dont tu parles gerard0, il s'agit j'imagine du bug du pentium (1994) et il ne concernait pas la division entière mais la division chez les flottants (à l'époque sur 32 bits). L'algorithme pour cette division flottante est l'algorithme de Newton (qui nécessite l'initialisation d'une "lookup table" et c'est cette table de valeurs qui contenait une valeur erronée, ce n'était pas l'algorithme qui était en cause contrairement à ce qu'on lit parfois).

@troisqua

Tu refais donc bien une division dans la division.

Bah non... je pose bien $24 \times 5$ et non $128 \div 24$. Ce que tu dis plus bas est un autre sujet. ;-) Ici, du point de vu pratique, il est plus facile et plus rapide de multiplier que de diviser pour "deviner" le bon nombre.

Bon ok, pour $24 \times 5$ je vais le faire de tête, c'est facile. Mais s'il faut trouver $314 \times 8$, et bah je fais mon petit calcul sur un brouillon.

Quand on souhaite effectuer par exemple 123456789987654321 divisé par 987654321 on s'aperçoit beaucoup mieux de ce que veut dire interprete.

On va jamais faire ce genre de chose à la main.

@PetitLutinMalicieux,
Tu réponds à qui?

Vorobichek: tu n'as visiblement pas compris ce que j'ai écrit (ou lu beaucoup trop vite).

Si tu veux comprendre ce que j'ai dit il faut que que tu écrives en pseudo-code l'algorithme de la division euclidienne et seulement là tu auras compris qu'au sein de ta division tu refais une division.

En effet, effectuer l'algorithme de la division (naïve de CM2) consiste à déterminer un quotient en calculant des produits successifs en partant d'un bon majorant du quotient et le descendant jusqu'à ce que tu ne dépasses plus le dividende. Tu obtiens après soustraction un nouveau dividende et tu recommences à diviser (c'est à dire que tu refais des produits successifs comme précédemment et tu poursuis ce processus jusqu'à ce que le dividende soit strictement inférieur au diviseur)

Quand tu dis "je fais des produits jusqu'à ce que [...]" tu es exactement en train de diviser !

@Boole et Bill
Ton algo est exactement l'algo naïf sauf que les chiffres de poids fort de ton quotient sont obtenus en partant en général trop loin et tu tâtonnes en montant de 1 en 1 : c'est plus long que de partir d'un bon majorant (obtenu grâce au quotient des chiffres de poids fort du dividende et du diviseur) et en descendant de 1 en 1.

Pédagogiquement, je m’interroge sur la pertinence, de nos jours, de faire acquérir aux jeunes élèves l’automatisme d’un algorithme aussi complexe que ceux permettant de faire des divisions euclidiennes de « grands » nombres en ne calculant qu’avec des « petits » nombres. L’intérêt mathématique est limité car l’élève ne comprend pas ce qu’il fait et peut même ignorer le concept de division euclidienne. L’intérêt opérationnel est faible compte tenu de la grande disponibilité des calculateurs électroniques. Par contre c’est intéressant d’étudier l’algorithme pour un « adulte ».

@vorobichek : je n'écris pas mes "tartines" spécialement pour toi. Il faut que tu parviennes à te décentrer un peu. J'ajoute que si tu ne vois aucun intérêt pédagogique à ce que je dis, ce n'est peut-être pas le cas de tout le monde.

@Philou22: c'est aussi ce que je pense.

Il est assez illusoire de prétendre qu'on a bien fait comprendre l'algorithme naïf de la division euclidienne à ses élèves sous prétexte que dans des cas qui ne posent pas trop de problèmes ils parviennent à s'en sortir. C'est se mentir à soi et aussi mentir aux élèves. Pour prétendre ça il faudrait au moins voir une ou deux divisions avec 7 ou 8 chiffres, car c'est là qu'on voit vraiment où l'algorithme peut nous emmener dans certains cas bien choisis. Mais comme tu dis, je crois qu'insister sur la technique générale ne sert pas à grand chose.

Par contre il peut être bon de les entraîner sur des cas simples assez longtemps puis, pour ceux qui sont plus à l'aise, montrer des exemples où trouver le chiffre de poids fort occasionne plusieurs grosses multiplications. Ce n'est pas nécessaire d'aller beaucoup plus loin mais au moins qu'ils voient ce qui peut se passer. La preuve de cette nécessité c'est ce fil initié par interprete.

@Laurette: as-tu essayé 3950617283 divisé par 987654321 avec ta méthode ?