Enseignement de la division euclidienne
Bonjour
Je suis en train de reprendre la base de la base, pour moi-même, et j'en suis à la division euclidienne.
Cette révision me rappelle un point qui me gênait déjà à l'époque, quand on m'a appris la technique à l'école : lorsqu'on a des nombres assez élevés, on se retrouve à devoir poser des divisions dans la division, faute de pouvoir les faire de tête.
Par exemple, si on pose 368 divisé par 24, à un moment donné on est amené à se demander combien de fois on a 24 dans 128. Un écolier de CM2 est-il censé pouvoir répondre de tête ? Je n'en suis aujourd'hui capable qu'au prix d'une laborieuse et hasardeuse gymnastique (24*10 = 240, donc 24*5 = 120, ah j'ai du bol, c'est juste inférieur à 128, donc ça doit être 5 et il me reste 8, et je ne pense même pas avoir été capable de faire ça de tête quand j’avais 10 ans), et je serais plus sûr de moi en posant 128/24 à la main, ce qui donne une mise en abyme assez intéressante.
D'ailleurs le programme de CM2, à en juger par le manuel que j'ai en mains, n'enseigne à trouver des diviseurs que sur la base de nombres assez petits, qui correspondent aux tables de multiplication, donc ne dépassant pas 100, c’est-à-dire jamais des nombres à trois chiffres comme c’est le cas dans l'exemple ci-dessus, pourtant tiré du même manuel scolaire. J'en viens presque à soupçonner une lacune pédagogique. À moins d’avoir raté quelque chose, et c'est pour ça que j'aurais voulu vous en parler.
En bref, est-il normal et attendu de l'élève qu'il doive poser des divisions annexes dans la division principale, pour arriver au résultat final ?
Merci d’avance.
Je suis en train de reprendre la base de la base, pour moi-même, et j'en suis à la division euclidienne.
Cette révision me rappelle un point qui me gênait déjà à l'époque, quand on m'a appris la technique à l'école : lorsqu'on a des nombres assez élevés, on se retrouve à devoir poser des divisions dans la division, faute de pouvoir les faire de tête.
Par exemple, si on pose 368 divisé par 24, à un moment donné on est amené à se demander combien de fois on a 24 dans 128. Un écolier de CM2 est-il censé pouvoir répondre de tête ? Je n'en suis aujourd'hui capable qu'au prix d'une laborieuse et hasardeuse gymnastique (24*10 = 240, donc 24*5 = 120, ah j'ai du bol, c'est juste inférieur à 128, donc ça doit être 5 et il me reste 8, et je ne pense même pas avoir été capable de faire ça de tête quand j’avais 10 ans), et je serais plus sûr de moi en posant 128/24 à la main, ce qui donne une mise en abyme assez intéressante.
D'ailleurs le programme de CM2, à en juger par le manuel que j'ai en mains, n'enseigne à trouver des diviseurs que sur la base de nombres assez petits, qui correspondent aux tables de multiplication, donc ne dépassant pas 100, c’est-à-dire jamais des nombres à trois chiffres comme c’est le cas dans l'exemple ci-dessus, pourtant tiré du même manuel scolaire. J'en viens presque à soupçonner une lacune pédagogique. À moins d’avoir raté quelque chose, et c'est pour ça que j'aurais voulu vous en parler.
En bref, est-il normal et attendu de l'élève qu'il doive poser des divisions annexes dans la division principale, pour arriver au résultat final ?
Merci d’avance.
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Réponses
Si on se limite à des divisions à un chiffres, alors la connaissance des tables doit effectivement suffire.
J'ai utilisé l'exemple donné dans le rapport "Villani-Torossian" de 2018 pour cette vidéo
Le prof de sixième a des élèves qui viennent d'écoles différentes est confronté à différentes "variantes"...
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Mais justement, quel élève de CM2 connaît la table de 24 par cœur ? Personnellement je n’ai aucun souvenir qu’on me l’ait jamais apprise. Du coup il est obligé de démembrer 24 en 2*10+4 afin d’avoir une table de 2, une table de 10 et une table de 4. Ce qui me paraît quand même hyper laborieux.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Merci JLT. Est-ce là une technique qu’on enseigne aux élèves ? Elle n’apparaît nulle part dans mon "Bled" (malheureusement).
2 x 24 = 48
...
Ils doivent tout de même être capable de la calculer.
Cela demande juste de l’entraînement et une fois que la table de multiplication par 12 est connue (et maîtrisée), il est relativement simple d’aller au-delà.
Donc, oui, un enfant du CM2, voire CM1, y arrive aisément... quand les bases ont été posées au préalable ! Il est vrai qu’ici (Cameroun) nous sommes aidés par le fait que les calculatrices sont proscrites quasiment jusqu’en Première. Les enfants apprennent donc à calculer.
> J’ai pratiquement refait le CM2 au moment où
> j'entraînais ma fille pour le Concours
> d’entrée en 6e (nous ne sommes pas en
> France...) et un enfant de 10 ans bien formé en
> calcul voit tout de suite que dans 128, il y a 5
> fois 24 et 8.
>
> Cela demande juste de l’entraînement et une
> fois que la table de multiplication par 12 est
> connue (et maîtrisée), il est relativement
> simple d’aller au-delà.
>
> Donc, oui, un enfant du CM2, voire CM1, y arrive
> aisément... quand les bases ont été posées au
> préalable ! Il est vrai qu’ici (Cameroun) nous
> sommes aidés par le fait que les calculatrices
> sont proscrites quasiment jusqu’en Première.
> Les enfants apprennent donc à calculer.
En France on n’apprend les tables de multiplication que jusqu’à 10, d’où la difficulté supplémentaire...
Je pense qu’elle était mieux entraînée à la fin du CM2, mais bon... faut pas pinailler on plus
@interprete, je ne vois pas de division dans division. C’est plutôt multiplication. En tout cas on m’a appris comme ceci : combien de fois 24 pour arriver à 128? La pratique des calculs permet de voir que c’est autour de 6, plutôt 5. Donc je fais une multiplication posée quelque part. Si je vois que cela ne fonctionne pas (trop ou pas assez), je refais le calcul en augmentant ou diminuant de 1. D’ailleurs les élèves russes ont souvent recours au calcul posé, personne ne les embête “il faut faire tout de tête”. Si tu peux : grand bien te fasse!
Rappelons qu'effectuer une division euclidienne de $a$ par $b>0$ c'est chercher $q$ maximal tel que $bq\leqslant a$ donc c'est faire des multiplications répétées jusqu'à obtenir le quotient voulu.
Tu refais donc bien une division dans la division.
PS
Si tu fais la preuve par récurrence (sur le dividende) que l'algorithme que tu utilises fonctionne, tu vois apparaître cette division dans la division.
Par contre, il existe d'autres méthodes (quand les entiers deviennent très grands) améliorant la complexité, comme la méthode de Newton.
Pour plus de détails, voir ici.
Mais pas du tout. Si les enfants sont tenus de connaître les tables de multiplication jusqu'à 10, c'est justement parce que nous écrivons en chiffres arabes en base 10. Il en serait autrement si les écritures étaient en hexadécimal base 16 ou binaire base 2.
Tu dis "démembrer". Mais c'est justement ce qui est écrit sur sa feuille. Il ne va pas démembrer grand chose. le 2 tombe instantanément. 128 / 24 ? 12 / 2 ? 6 ! Tout pile. Mais comme 6*4 fait une retenue, il faut viser plus bas. 5 ? Oui c'est bon. 5*2 = 10 et 5*4 = 20 donc 2 de retenue. Nous n'avons pas dépassé 12. Note bien : je n'ai utilisé que la table requise.
C'est l'écriture en base 10 qui provoque la nécessite de connaissance des tables jusqu'à 10. Pas plus, pas moins.
Quand on souhaite effectuer par exemple 123456789987654321 divisé par 987654321 on s'aperçoit beaucoup mieux de ce que veut dire interprete.
[édit: très mauvais choix d'exemple pour illustrer ce que je voulais dire. Considérer plutôt 123456789987654321 divisé par 34567899876543]
J'ai appris la division "avec reste" avant 1960, avec la méthode suivante pour 128 et 24 :
On ne regarde que les premiers chiffres : En 12, il y a 6 fois 2; on lance le calcul avec 6, il coince (avec l'expérience on saute vite cette étape); on barre et on recommence avec 5. Ça marche, on continue...
Pour 123456789987654321 divisé par 987654321, qu'on n'abordait qu'au CM2 (avec quand même moins de chiffres), on utilise les arrondis : 98 ça fait presque 100 et dans 123 il y a 1 fois 100; on pose 1 et on lance le calcul.
Ensuite, on avait souvent à diviser par 3,14, ou 3,1416, ou 1,4142, puis en terminale arrivaient la table de log et la règle à calcul. Les calculettes ne sont arrivées que dans le courant des années 1970 (en 1972, une HP en notation polonaise (inversée ??) avec en mémoire seulement une pile de 10 valeurs valait le salaire mensuel d'un prof (mieux payé qu'aujourd'hui !). Ce qui fait qu'on ne pouvait faire des études jusqu'au bac qu'en sachant calculer (même si on était nul en géométrie).
Cordialement.
Mais pour effectuer 123456789987654321 divisé par 34567899876543, tu vois que 12 / 3 = 4 ne fournit pas le bon chiffre de poids fort du quotient et c'est là que tu te heurtes au problème évoqué par interprete. Il faudra bien faire des multiples de 34567899876543 jusqu'à ce que le produit ne dépasse plus le dividende (c'est à dire finalement, refaire une division mais en partant d'un bon ordre de grandeur obtenu par division des chiffres de poids fort).
Au vingtième siècle, il y a eu au moins un cas où un co-processeur arithmétique a été mal programmé pour la division. Il n'y avait qu'une chance sur un million qu'il se trompe pour un couple de nombres pris au hasard, mais ça a très vite été détecté par les utilisateurs. Il a fallu le refaire !
Cordialement.
Les processeurs arithmétiques (FPU) n'ont pas inclus d'algorithme différent pour effectuer des divisions mais ils ont pour but de décharger le CPU de ce genre d'opérations en les déléguant au FPU.
Il est très intéressant de programmer les opérations élémentaires en précision arbitraire (limitée par la taille de la mémoire et non par la taille des registres du CPU ou du FPU). Les entiers sont alors représentés par des tableaux de chiffres (souvent on choisit pour base $b=2^{32}$ car comme le mentionne PetitLutinMalicieux il faut pouvoir calculer exactement des produits de chiffres en ne dépassant pas ce que le FPU peut caculer c'est à dire $2^{64}$). Au passage, il est amusant de voir qu'un FPU actuel ne calcule pas dans $\Z$ mais dans $\Z/2^{64}\Z$.
Cette petite activité informatique permet de comprendre très profondément ce qu'on faisait au CM2 et de bien voir qu'il s'agit bel et bien d'un algorithme (dont la preuve qu'il est correct n'est pas si facile à produire).
La mise en place de l'algo de Newton (de meilleure complexité) est encore plus intéressante mais nécessite beaucoup plus de travail.
Concernant le bug dont tu parles gerard0, il s'agit j'imagine du bug du pentium (1994) et il ne concernait pas la division entière mais la division chez les flottants (à l'époque sur 32 bits). L'algorithme pour cette division flottante est l'algorithme de Newton (qui nécessite l'initialisation d'une "lookup table" et c'est cette table de valeurs qui contenait une valeur erronée, ce n'était pas l'algorithme qui était en cause contrairement à ce qu'on lit parfois).
Bon ok, pour $24 \times 5$ je vais le faire de tête, c'est facile. Mais s'il faut trouver $314 \times 8$, et bah je fais mon petit calcul sur un brouillon.
On va jamais faire ce genre de chose à la main.
123456789987654321 divisé par 34567899876543.
12/3 = 4 mais 4*4=16 donc une retenue qui demande de viser plus bas (3). À ce titre, ton calcul n'est pas plus compliqué que 128/24. Et je tape ce message pour souligner que ce n'est qu'un problème de retenue, et donc, l'élève ira rarement plus loin que le deuxième chiffre du dividende. Ce que j'ai fait pour ton exemple supposé compliqué. Comme quoi, ce n'est pas dur. La méthode est bonne. Et la table de multiplication est nécessaire et suffisante.
Tu réponds à qui?
J’ai dit que l’algorithme classique faisait la même chose : je m’explique. Sur mon exemple, en appliquant la méthode classique, la première étape consiste à dire « dans $1234$ il y a trois fois $314$ » et à inscrire un $3$ en bas à droite, puis écrire la soustraction etc... Si l’on comprend ce que l’on fait, on devrait écrire un $300000$, puis à la prochaine étape écrire $300000+\text{ce que l’on trouve}$. Le fait est que cela revient au même mais permet de comprendre ce que l’on fait.
Si tu veux comprendre ce que j'ai dit il faut que que tu écrives en pseudo-code l'algorithme de la division euclidienne et seulement là tu auras compris qu'au sein de ta division tu refais une division.
En effet, effectuer l'algorithme de la division (naïve de CM2) consiste à déterminer un quotient en calculant des produits successifs en partant d'un bon majorant du quotient et le descendant jusqu'à ce que tu ne dépasses plus le dividende. Tu obtiens après soustraction un nouveau dividende et tu recommences à diviser (c'est à dire que tu refais des produits successifs comme précédemment et tu poursuis ce processus jusqu'à ce que le dividende soit strictement inférieur au diviseur)
Quand tu dis "je fais des produits jusqu'à ce que [...]" tu es exactement en train de diviser !
Oui et on peut aller loin comme ça si on fabrique bien l'exemple (genre 3950617283 divisé par 987654321 ). Tu ne peux pas te contenter de faire du produit "un chiffre par un chiffre" mais vraiment calculer tout le produit $bq$ pour voir que $q$ doit finalement être diminué. C'est ce qui fait que l'algo naïf a une complexité en $n^2$ (si $n$ désigne le max entre les longueurs des deux opérandes).
Ton algo est exactement l'algo naïf sauf que les chiffres de poids fort de ton quotient sont obtenus en partant en général trop loin et tu tâtonnes en montant de 1 en 1 : c'est plus long que de partir d'un bon majorant (obtenu grâce au quotient des chiffres de poids fort du dividende et du diviseur) et en descendant de 1 en 1.
Les sujets dans ce sous forum s’éloignent rapidement des questions pédagogiques vers des questions de fond purement mathématiques qui n’ont rien à voir avec la pédagogie. A ce sujet j’ai dit plusieurs fois:
1) vous êtes des mathématiciens diplômés, moi non. Je ne veux pas contribuer à ces discussions.
2) je viens ici pour parler pédagogie, quand cela dévie : je ne lis pas !
Bref, je n’ai pas lu cette partie et je ne vais pas essayer de la comprendre. Rien à voir avec la pédagogie. Comme dit bien @gerard0, à ce niveau l’algo est de deviner un bon nombre. Les approches varient : diviser, multiplier, arrondir etc. Plus on pratique, plus on est vertueux ou optimal dans la recherche de ce nombre.
Sur ce fil, je m'adresse à toi et aux autres lecteurs qui ne sont clairement pas des élèves de 5ème.
La question initiale était:
Comme il se pose des questions sur l'algorithme naïf de la division euclidienne, il est normal de rappeler qu'il consiste à faire des produits successifs pour obtenir les chiffres du quotient en partant de ceux de poids fort jusqu'à ceux de poids faible.
Ensuite il se demandait s'il était normal, après avoir effectué des quotients sur les chiffres de poids forts, de devoir à nouveau "diviser" et la réponse est oui (comme le montre l'exemple 3950617283 divisé par 987654321) mais pour cela il faut bien expliquer l'algorithme. On ne peut pas faire autrement. Désolé si ces "détails" mathématiques t'ennuient. Tu peux les zapper si ces mathématiques ne t'intéressent pas.
PS : @interprete: as-tu essayé de poser 3950617283 divisé par 987654321 ?
Je n'ai pas lu ta deuxième explication, non plus. Je te préviens afin que tu évites de tartiner des pages que je ne lirai pas. ;-)
@Philou22: c'est aussi ce que je pense.
Il est assez illusoire de prétendre qu'on a bien fait comprendre l'algorithme naïf de la division euclidienne à ses élèves sous prétexte que dans des cas qui ne posent pas trop de problèmes ils parviennent à s'en sortir. C'est se mentir à soi et aussi mentir aux élèves. Pour prétendre ça il faudrait au moins voir une ou deux divisions avec 7 ou 8 chiffres, car c'est là qu'on voit vraiment où l'algorithme peut nous emmener dans certains cas bien choisis. Mais comme tu dis, je crois qu'insister sur la technique générale ne sert pas à grand chose.
Par contre il peut être bon de les entraîner sur des cas simples assez longtemps puis, pour ceux qui sont plus à l'aise, montrer des exemples où trouver le chiffre de poids fort occasionne plusieurs grosses multiplications. Ce n'est pas nécessaire d'aller beaucoup plus loin mais au moins qu'ils voient ce qui peut se passer. La preuve de cette nécessité c'est ce fil initié par interprete.
> J'ai appris la division "avec reste" avant 1960, avec la méthode suivante pour 128 et 24 :
> On ne regarde que les premiers chiffres : En 12, il y a 6 fois 2; on lance le calcul avec 6, il
> coince (avec l'expérience on saute vite cette étape); on barre et on recommence avec 5.
> Ça marche, on continue...
J’ai appris avec la même méthode dans les années 1970, et c’était tellement efficace que non seulement je fais encore ainsi, mais en plus quand ma fille a eu un peu de mal avec les divisions en CM1 ou CM2 (la maîtresse lui faisait écrire la table de 24 dans l’exemple...) je lui ai appris cette méthode.