Schéma des espaces fonctionnels courants
Bonjour,
Voici une représentation schématique des principaux espaces en analyse fonctionnelle que j'ai originellement faite pour moi et qui pourra peut-être aider d'autres étudiants. Chaque espace est placé sur le graphique suivant la régularité et la taille de ses éléments. Les flèches représentent les inclusions entre espaces. Vous êtes libres d'utiliser, modifier et améliorer ce schéma.
Naturellement, les inclusions vont presque systématiquement vers le haut et la droite. Et on remarque une jolie symétrie : les segments tracés entre un espace et son dual (par exemple $(\cal D,D')$, $(\cal S,S')$, $({\cal C}^\infty,\cal E')$ et $(L^p,L^{p'})$) se croisent approximativement tous en leurs milieux en un même point au centre du graphique (autrement dit, une symétrie centrale envoie chaque espace sur son dual). On peut donc presque connaître les duaux des espaces à la simple lecture du schéma.
Voici une représentation schématique des principaux espaces en analyse fonctionnelle que j'ai originellement faite pour moi et qui pourra peut-être aider d'autres étudiants. Chaque espace est placé sur le graphique suivant la régularité et la taille de ses éléments. Les flèches représentent les inclusions entre espaces. Vous êtes libres d'utiliser, modifier et améliorer ce schéma.
Naturellement, les inclusions vont presque systématiquement vers le haut et la droite. Et on remarque une jolie symétrie : les segments tracés entre un espace et son dual (par exemple $(\cal D,D')$, $(\cal S,S')$, $({\cal C}^\infty,\cal E')$ et $(L^p,L^{p'})$) se croisent approximativement tous en leurs milieux en un même point au centre du graphique (autrement dit, une symétrie centrale envoie chaque espace sur son dual). On peut donc presque connaître les duaux des espaces à la simple lecture du schéma.
Réponses
-
Joli travail !
Il y a une flèche qui me parait incongrue entre les deux exemples situés sur la ligne "intégrable". Que représente-t-elle ? -
Cette flèche montre l'inclusion entre ${\cal C}^\infty \cap L^1$ et ${\cal C}^0 \cap L^1$. Le but est surtout de relier $\cal S$ à ${\cal C}_0$ et $L^\infty$ tout en mettant un exemple de fonction lisse et intégrable qui n'est pas dans $\cal S$. Mais comme ces deux premiers ensembles ne sont pas vraiment des espaces fonctionnels (ils n'ont ni de noms dédiés, ni de topologies qui les rendent complets), je me retrouve à mettre une flèche entre exemples, chose que j'ai évité de faire ailleurs. Mais j'ai dit qu'on pouvait améliorer ce schéma. ;-)
-
Il y a une seconde symétrie dans le schéma : la transformée de Fourier réalise environ une symétrie axiale par rapport à la diagonale principale (puisque Fourier échange taille et régularité). Par exemple, $\cal S\overset{\mathscr F}\leftrightarrow S$, $\cal S'\overset{\mathscr F}\leftrightarrow S'$, $L^2\overset{\mathscr F}\leftrightarrow L^2$, $\{\text{fonctions à décroissance rapide}\} \overset{\mathscr F}\rightarrow \{\text{fonctions lisses bornées}\}$, ${\cal E}' \overset{\mathscr F}\rightarrow \{\text{fonctions holomorphes}\}$ (si on rajoutait les fonctions holomorphes sur le schéma, elles seraient juste à droite de ${\cal C}^\infty$).
-
Bonne initiative. Je n'ai vu de schéma du genre dans aucun cours, et ça peut servir à certains. Ça me rappelle le genre de schémas qu'on peut se faire sur les modes de convergence en probas. -
Il y a un schéma similaire (mais je pense un peu moins complet) en annexe du livre de Jean-Michel Bony aux Éditions de l'École Polytechnique.
-
C'est très instructif ça, merci.
-
J'ai apporté quelques petites modifications à mon schéma, donc je le mets à jour.
Terence Tao a aussi fait un diagramme dans le même style, mais il regarde le degré d'homogénéité plutôt que l'intégrabilité, ce qui permet de voir d'autres choses. C'est ici : https://terrytao.wordpress.com/2010/03/11/a-type-diagram-for-function-spaces/. -
Merci Calli c'est du beau travail. J'espère que monsieur Bony pourra y jeter un oeil, c'est dans son livre en voyant un diagramme de ce genre que pas mal de lumières s'étaient allumées pour ma part... :-D
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres