Qu'est-ce qu'une bonne preuve en géométrie ?
Bonjours tout le monde !
Dans un livre de niveau Seconde conforme au programme de 1987 (c'est pas tout neuf (:P)) on trouve au tout premier chapitre de géométrie les deux pages en pièces jointes. Parmi ces pages se trouve l'exercice suivant :
Je me pose alors la question, quelle serait une preuve adéquate dans ce contexte ? Une simple figure géométrique ? Un raisonnement logique portant sur les définitions déjà données ? Un savant mélange des deux ? Complètement autre chose ?
(Pour ceux qui se sentent le courage, je ne serais pas contre une preuve type pour cet exercice ! :-))
PS: Désolé pour la qualité des photos... il faudra vraiment que je m'achète un scanner un jour ! :)o
Dans un livre de niveau Seconde conforme au programme de 1987 (c'est pas tout neuf (:P)) on trouve au tout premier chapitre de géométrie les deux pages en pièces jointes. Parmi ces pages se trouve l'exercice suivant :
sans plus d'indication.Prouvez que les trois médiatrices sont concourantes en $O$, centre du cercle passant par $A$, $B$, $C$.
Je me pose alors la question, quelle serait une preuve adéquate dans ce contexte ? Une simple figure géométrique ? Un raisonnement logique portant sur les définitions déjà données ? Un savant mélange des deux ? Complètement autre chose ?
(Pour ceux qui se sentent le courage, je ne serais pas contre une preuve type pour cet exercice ! :-))
PS: Désolé pour la qualité des photos... il faudra vraiment que je m'achète un scanner un jour ! :)o
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Réponses
Soit $ABC$ un triangle. La médiatrice du segment $[AB]$ et la médiatrice du segment $[BC]$ ne sont pas parallèles, car $(AB)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. Elles se coupent donc en un unique point que l'on nomme $O$. On a donc $OA=OB=OC$, car la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance des extrémités du segment. Il s'ensuit que le point $O$ se trouve aussi sur la médiatrice du segment $[AC]$. Ainsi, les médiatrices des trois côtés de $ABC$ concourent en $O$.
De plus, les points $A$, $B$ et $C$ étant à égale distance de $O$, ils se trouvent sur l'unique cercle de centre $O$ et de rayon $OA$.
On pourrait, avant ceci, commencer par prouver la propriété caractéristique donnée en bas de la page 203 (ça se fait très bien à coup de triangles égaux).
J'aimerais toutefois avoir aussi bien ton avis que celui des différents (futurs) intervenants sur la question restée en suspens :
Qu'est-ce qu'une bonne preuve en géométrie ?
Dois-je impérativement me cantonner à cette preuve type que tu m'as fourni ou bien puis-je partir sur totalement autre chose ? Si c'est le cas, qu'elles sont les limites ? (un exemple parmi d'autres : je suppose que réaliser une simple figure géométrique n'est pas suffisant ?)
Mes plus humbles excuses, Ô gardien de notre magnifique langue française, pour cette inopinée faute de frappe.
@Eric
Ça ne répond pas à la question, mais soit, j'ai compris, je vais me débrouiller. (:D
Tu écris : "puis-je partir sur totalement autre chose", mais tu ne dis pas, même vaguement, ce qu'est ce "totalement autre chose". Tant que tu n 'explicites pas ce que tu vises, il va être difficile de répondre à ta non-question.
Tout au plus, tu indiques la possibilité de ne donner qu'une figure en guise de démonstration. Note que c'est fait dans le bouquin que tu affiches pour les hauteurs. Penses-tu que cela suffise pour emporter l'adhésion ? D'ailleurs, pour les médianes, l'auteur ne semble pas convaincu par la seule figure, puisqu'il annonce une démonstration en exercice.
Qu'elle pourrait-être une bonne démonstration en géométrie à un niveau "faible" : fin collège -- début lycée, et ce (évidement) peu importe l'époque (et le programme en vigueur) ?
Il est évident qu'une simple figure géométrique est insuffisante, j'en suis bien conscient... sinon pourquoi serais-je venu vous demander une quelconque preuve ?
Je comprends bien que ma question est assez lacunaire et sans doute même idiote (pour ma défense la part de géométrie dans l'enseignement secondaire des mathématiques ces dernières années (décennies ?) est, pour ne pas dire inexistante, très faible...) d'autant que j'ai déjà un peu travaillé avec les Lebossé-Héméry pour la géométrie. Mais... parce qu'il y a un mais, dû à ma pauvre expérience en géométrie je serais bien incapable de définir de but en blanc à quoi doit en ressembler une démonstration.
Plus succinctement la question qui me taraude est (aussi lacunaire, idiote et sans réel intérêt soit-elle) : à quoi donc ressemble une preuve en géométrie qui soit compréhensible par un élève de seconde et qui soit, si possible, élégante ?
Tu vas sûrement me répondre que ta démonstration est impeccable et que je ne devrais donc pas me poser la question... dans ce cas (toujours pareil... lacunaire, idiot, sans réel intérêt) : quels écarts puis-je me permettre sur cette démonstration type que tu m'as fournie ? Comment formuler de telles démonstrations ? Comment savoir si je suis dans les clous ? Et par quel bout commencer dans l'écriture de la solution d'un tel exercice (ou démonstration) ?
@AD: Je te remercie pour ces petites fautes que tu corriges mais... si possible, soit à la page !
Merci de (me) rappeler cette nuance que j'ai tendance à laisser s'estomper avec la fatigue !
1) Elle n'utilise que des axiomes et des théorèmes déjà prouvés dans le cours.
2) Toutes les étapes sont décrites par des phrases complètes. On ne saute donc pas les étapes "évidentes". Les seuls choses évidentes en géométrie euclidienne sont des axiomes. Et on les nomme quand on démontre quelque chose.
3) Optionnel : si le schéma aide, il faut le dessiner. Ce n'est pas toujours le cas en géométrie.
Une preuve élégante est une preuve courte pour moi. J'ai le souvenir d'un théorème où il a fallu au manuel 1 page et demi pour le démontrer, mais notre professeur a utilisé quelques lignes. Sa preuve était élégante.
Dans la section "géométrie" j'avais crée un sujet pour trouver des preuves plus courtes niveau fin de 2nd. Il s'agit d'un exercice du niveau de 3e.
Le sujet : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2065690
La compilation finale des différentes preuves sans sauter les étapes : http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?8,file=107302,filename=preuves_exo44.pdf
Il y a une coquille (repère orthogonal ou orthonormé et non orthonormal), mais j'ai la flemme de corriger.
Par exemple, pour moi la preuve de @Bouzar n'est pas une bonne preuve.
Après, dans le cadre de cet exercice, là tout de suite, je n'ai pas de preuve sans mots, mais la preuve immédiate est que, en notant Med(AB) la médiatrice de (AB),
Med(AB)={points à égale distance de A et de B}
Donc Med(AB) INTER Med (AC) = {points à égale distance de A, B et C} = centre du cercle passant par A, B et C.
edit : ah, Eric m'a doublement battu car ma preuve est incomplète !
D'autre part, faut-il expliciter tous les axiomes utilisés ? Je doute de l'utilité, surtout à destination d'élèves de collège ou de lycée (qui a un jour explicité l'axiome de Pasch à ses élèves ?). La question se pose du niveau de détail à donner. Si l'on suit les programmes, la question est vite réglée : il faut faire des "démonstrations" sans jamais expliciter aucun axiome. Si ceci conduit à un raisonnement circulaire, on est prié de détourner le regard...
Je trouve l'exemple des médiatrices trop limitant. Il n'y a pas trop de raison d'aller chercher autre chose que ce que j'ai donné plus haut.
L'exemple des hauteurs est peut-être plus intéressant, car plusieurs démonstrations sont possibles.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/FunktionUmkehrIntegral2.svg/1920px-FunktionUmkehrIntegral2.svg.png
https://blogdemaths.files.wordpress.com/2017/08/preuve_sans_mot.png
Exemple (hors programme actuellement, mais que l'on aurait pu traiter en 3e il y a encore une dizaine d'années) : étudier la composée de trois symétries centrales.
J’étais septique mais en fait... Après tracer dans GeoGebra que je ne peux pas facilement coller ici, c’est vrai.
Soit $f$ cette composée.
$\vec f$ est une homothétie de rapport $(-1)^3=-1$ donc $f$ est une symétrie centrale.
De plus, $f(A+C-B)=s_C\circ s_B(A+B-C)=s_C(B+C-A)=A+C-B$.
Et j'ai donné cet exemple pour illustrer, du point de vue de l'élève, l'utilité d'une figure : conjecturer. Et bien sûr, ça ne dispense pas d'une démonstration (qui ne se fera pas avec l'artillerie lourde que l'élève n'a pas à disposition).
http://rdassonval.free.fr/flash/film.html (en Flash)
Une playlist de démonstrations:
Peut-être encore un intérêt historique ?!!
Pour tous points $A,B,M$, on a $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}4$, où $I$ désigne le milieu de $[AB]$.
Pour tout point $M$, on note $\sigma_{M}$ la symétrie de centre $M$.
a) Soit $ABCD$ un parallélogramme. Étudier la composée $\sigma_{A}\circ\sigma_{B}\circ\sigma_{C}\circ\sigma_{D}$.
b) Énoncer et démontrer la réciproque du résultat de la question précédente.
c) Soient $MNPQ$ un quadrilatère convexe, $A$, $B$, $C$ et $D$ les milieux respectifs des côtés $[MN]$, $[NP]$, $[PQ]$ et $[QM]$. Utiliser la question précédente pour déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$.
L'exercice consistant à étudier la composée $\sigma_{A}\circ\sigma_{B}\circ\sigma_{C}$ devient une application (immédiate) du précédent.