Ensembles de nombres

Dans mo, magasin...

Attention aux formulations :
Un nombre entier [...] est un nombre entier positif ou négatif.
Quel est le sens du verbe être ?
Un nombre entier relatif est un nombre décimal.
Quel est le sens du verbe être ?

Nombre décimal : pourquoi s’intéresser aux fractions décimale ? (À cause de l’écriture dans le système positionnel décimal).

Aussi : réel := rationnel ou irrationnel, bof... on peut parler de la droite numérique.

@Arturo, il ne faut pas hésiter à donner des vrais définitions. Je trouve que tes définitions sont floues. Quand aux particularités, elles sont fausses.

Je commence par dire ce que c'est un ensemble, puis je présente chaque ensemble des nombres dans l'ordre historique : N, Z, Q (avec un sous ensemble D) et R.

Un ensemble est une collection des objets. Il faut donner quelques exemples et les notations.

Ensemble des nombres entiers : collections des nombres qui sont utilisés pour compter les objets un par un. On peut les ranger selon l’ordre croissant sur une demi-droite graduée : commençant par $0$ et en ajoutant $1$ chaque fois pour obtenir le nombre suivant. Comme on peut ajouter $1$ à l'infini, cette collection des nombres n'a pas de fin. On dénote cette ensemble par la lettre $\mathbb{N}$.

Ensemble des entiers relatifs noté $\mathbb{Z}$ : on aimerait étendre l'ensemble des entiers naturels de sorte que le nouveau ensemble contient les nombres négatifs et où la différence entre deux entiers naturels $a$ et $b$ est possible dans les deux sens : $a-b$ et $b-a$. On peut représenter ces nombres sur une droite graduée. A droite de $0$ on aura les entiers naturels et à gauche leur opposés avec signe $-$. Les nombres opposés se trouvent à la même distance de $0$ à gauche. Par exemple $+12$ est à une distance de $12$ unités à droite de $0$ et $-12$ est à une distance de $12$ unités à gauche de $0$. Cette distance s'appelle la valeur absolue.
Particularité : il n'y a plus que des additions puisque $a-b$ peut s'écrire comme $(+a)+(-b)$.

Ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$: ce sont des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme fractionnaire $\frac{a}{b}$ où $a$ est entier relatif et $b$ un entier relatif non nul. Ces nombres étendent l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ en fractionnant l'unité entre deux entiers. Quand on écrit ces nombres en écriture décimale, leur partie décimale est soit nulle, soit finie, soit infinie périodique.
Particularité : toute division se ramène à une multiplication. Par exemple $a \div b = a \times \frac{1}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^{\ast}$.

Nombres décimaux $\mathbb{D}$ : est un sous ensemble des nombres rationnels où tous les nombres peuvent s'écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
Particularité : en écriture décimale, tous les nombres décimaux peuvent s'écrire exactement avec un nombre fini des chiffres après la virgule.

Nombres irrationnels : il s'agit des nombres dont la partie décimale en écriture décimale est infinie et non périodique. Autrement dit on ne peut pas les écrire sous forme d'un quotient des deux entiers. Par exemple : le nombre $\pi$, les racines carrés des nombres premiers ($\sqrt{7}$, $\sqrt{19}$), le nombre d'or $\phi$ etc.

Nombres réels $\mathbb{R}$ : est un ensemble qui regroupe les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

Une remarque :
« la partie décimale de l'écriture décimale d'un nombre rationnel est finie (elle s'arrête à un certain rang. »

Attention car ce que l’on appelle « partie décimale » est un nombre.
Et là, tu dis « le nombre est fini » c’est étrange.
N’est-ce pas plutôt « l’écriture décimale de la partie décimale d’un nombre rationnelle est finie » ?
CE QUI EST FAUX mais a davantage de sens.

Un truc vrai : « Quel que soit le nombre décimal, il en existe une écriture décimale qui contient un nombre fini de symboles ».

Enfin : on s’aperçoit que la nature des nombres (N, Q, D, R\Q) se caractérise avec les écritures décimales possibles.