f continue sur A

Question amusante... J'hésiterais entre a et b. J'écarte c parce que « continue sur » doit parler de l'ensemble de départ et pas de l'ensemble d'arrivée et d qui doit vouloir dire « autre réponse ».

Une remarque évidente : si $A$ est un ouvert, il est équivalent de dire que $f$ est continue en un point $a$ de $A$ et que la restriction $f|_A$ de $f$ à $A$ est continue en $a$. La raison en est qu'un voisinage (assez petit) de $a$ dans $\R$ ou dans $A$, c'est la même chose.

En fait, le seul théorème qui me vient à l'esprit où il y a une différence entre domaine de définition et domaine de continuité, c'est la continuité d'une fonction convexe à l'intérieur de son intervalle de définition $I$, ce que je dis sur $\stackrel{\circ}I$. Je pense aussi aux accroissements finis, où il s'agit de la dérivabilité sur $\left]a,b\right[$ et pas de continuité. Dans ces cas, les définitions a et b coïncident donc.

Au bout du compte, j'opte pour l'interprétation a : continue sur $A$ signifie continue en tout point de $A$. Usage de la locution : exprimer où une hypothèse locale est vraie pour les théorèmes de passage du local au global. Si on passe de $f$ à sa restriction $f|_A$ à $A$, on change totalement de fonction et donc ce n'est plus une propriété de $f$ (sauf si $A$ est ouvert) ; pour moi, cela disqualifie l'interprétation b.

Bonjour,
Je ne suis pas enseignant, mais je donne des colles et l'un de mes exos utilise la définition a). Quand je le donne, je précise bien "continue en tout point de $A$" car je trouve que "continue sur $A$" est trop ambigu entre a) et b). Et ce serait bête d'être mal compris par l'élève alors que ça ne coûte vraiment pas grand chose de préciser "en tout point". Donc ma réponse à « qu'entendez-vous par "continue sur $A$" ? » est « je ne dis jamais "continue sur $A$" » :-P.

La schlague ?

Bisam, il me semble qu’une question assez proche a donné lieu récemment à d’épiques crêpages de chignons jusqu’au scalp.

Idem : continue sur A c’est continue en tout point de A.

Dans une discussion d’il y a deux ou trois ans j’avais trouvé bien mal habiles et bien mal inspirés des intervenants qui le sont habituellement. Comme le sujet du fil n’était pas exactement celui-là, ce sera difficile de retrouver les échanges.

On avait des choses du genre « ça dépend, faut pas pousser ».

Étrange coïncidence... en trainant ici et là je retrouve ledit fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1589906,1590362

C'était sur "dérivable sur" au lieu de "continue sur".

Yes.
Franchement j’ai été déçu de quelques messages.
M’enfin pas de fâcherie.

Le distinguo est sans doute entre "sur" et "en tout point". Personnellement pour b je précise toujours que j' emploie la restriction.

Edit message corrigé, j'avais mal lu

Bonjour

Ah ben non. La fonction inverse n'est pas continue. Mais elle est continue sur $\R_*^+$

Pour moi il n'y pas d'ambiguïté. La réponse correcte est la (a).
La (b) introduit une nouvelle fonction qui ne coïncide pas avec f.

Il est utile de rappeler qu'une fonction est définie par son domaine, codomaine et loi de correspondance. f et f|_A ont des domaines qui sont différents ergo il s'agit de deux fonctions différentes.