Algorithme de calcul
Bonsoir,
voici un algorithme de calcul.
1) Choisir un nombre.
2) Le multiplier par - 3.
3) Ajouter - 5 au résultat obtenu.
On obtient 1 comme résultat de l'algorithme.
Quel nombre faut-il choisir au départ ?
Je me place en 5ème / début 4ème.
Je cherche à répondre à cette question de manière rigoureuse (sans les équations pas encore étudiées à ce moment-là).
Je lis souvent "On remonte l'algorithme en effectuant les opérations contraires".
Je comprends l'idée de la phrase mais je la trouve malheureuse en 2 points :
* "remonter un algorithme" : je ne sais pas ce que cela signifie précisément.
* "opérations contraires" : peut-on dire que la soustraction (respectivement la division) est l'opération contraire de l'addition (resp. de la multiplication) ?
Il s'agit clairement de calculer [1 - (- 5)] / (- 3).
Soit [1 - (- 5)] / (- 3) = [1 + 5] / (- 3) = 6 / (- 3) = - 2.
Donc, a priori, en choisissant - 2, on obtient 1.
Vérification : - 2 -> - 2 * (- 3) = 6 -> 6 + (- 5) = 1.
Merci pour ces prochains échanges.
voici un algorithme de calcul.
1) Choisir un nombre.
2) Le multiplier par - 3.
3) Ajouter - 5 au résultat obtenu.
On obtient 1 comme résultat de l'algorithme.
Quel nombre faut-il choisir au départ ?
Je me place en 5ème / début 4ème.
Je cherche à répondre à cette question de manière rigoureuse (sans les équations pas encore étudiées à ce moment-là).
Je lis souvent "On remonte l'algorithme en effectuant les opérations contraires".
Je comprends l'idée de la phrase mais je la trouve malheureuse en 2 points :
* "remonter un algorithme" : je ne sais pas ce que cela signifie précisément.
* "opérations contraires" : peut-on dire que la soustraction (respectivement la division) est l'opération contraire de l'addition (resp. de la multiplication) ?
Il s'agit clairement de calculer [1 - (- 5)] / (- 3).
Soit [1 - (- 5)] / (- 3) = [1 + 5] / (- 3) = 6 / (- 3) = - 2.
Donc, a priori, en choisissant - 2, on obtient 1.
Vérification : - 2 -> - 2 * (- 3) = 6 -> 6 + (- 5) = 1.
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Réponses
Ça ne signifie rien de mieux mais au moins on n’a pas les termes « inverses » ou « contraires ».
S’il fallait un terme ce serait « opérations réciproques » peut-être ? Dans le sens des fonctions réciproques, l’inverse pour la composition...
L’approche naïve du vocabulaire « la soustraction c’est le contraire de l’addition » me va quand même.
Disons que, là encore, à l’oral tout va bien pour moi.
Par contre je ne ferais pas un cours là-dessus.
Pour moi, il me semble qu'une petite explication (rigoureuse) est à écrire pour justifier ce que l'on fait.
Et c'est là où je peine.
Après c'est simple de parler d'opérations "réciproques" même si mathématiquement ça n'existe pas
Rappel de deux théorèmes/définitions :
Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $x$, si $a+x=b$, alors $x=b-a$.
Ce nombre $b-a$ s’appelle la différence de $b$ et $a$.
Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $x$ non nuls, si $ax=b$, alors $x=\dfrac{b}{a}$.
Ce nombre $\dfrac{b}{a}$ s’appelle le quotient de $b$ par $a$.
Ça paraît difficile ? C’est pourtant les définitions à donner au plus tôt.
En 6e et rappelées en 5e.
À l’école, le sens de la soustraction est bien de trouver le terme qui manque dans l’addition à trous.
Idem pour la division...
Sans parler d’équations, mes théorèmes sont opérants.
Édit : je n’avais pas vu le message de geo, je fais de la redite en étant plus explicite.
Partir d'un calcul à trous, pourquoi pas mais comment rédiger cela proprement ?
3) a - 5 = 1 donc a = 6.
2) b * (- 3) = 6 donc b = 6 / (- 3) = - 2.
1) - 2.
Ainsi ?
Faut-il encore préciser qui est "a" et qui est "b".
On note $\square$ le nombre ... : $\square + 9 = 17$.
C’est exactement comme une lettre.
Je les introduis comment ?
Peut-être qu'il n'y a pas besoin de les introduire ici...
Ça remettra les pendules à l’heure.
Ça te permettra de rappeler « les évidences » sur la soustraction et la division (et l’addition et la multiplication d’ailleurs...si au lieu de +, c’est $-$...).
Et pose des lettres, oui.
Si tu crains des froncements de sourcils, mets d’abord le carré $\square$ puis finis par dire « bon, on va faire comme les pros maintenant, hein !!! ».
Le problème du carré, c’est que quand on a d’autres nombres, on va manquer de symboles.
voici un algorithme de calcul.
1) Choisir un nombre.
2) Le multiplier par 3.
3) Ajouter 5 au résultat obtenu.
On obtient 23 après ces 2 opérations ; quel était le nombre choisi au départ.
La mécanique est la même, mais il n'y a pas toutes ces difficultés avec les nombres négatifs.
Et exercice suivant, celui que tu proposais au début.
Je n’avais même pas regardé les détails.
Il vaut mieux proposer en premier lieu des nombres qui n’ajoutent pas une deuxième, voire troisième difficulté.
On se retrouve parfois à ce que des élèves croient que c’est « le type » d’exercice qui est difficile alors que ici, le principe de l’exercice, ne l’est pas autant que ça.
Sinon, le fait de "remonter l'algorithme dans sa tête" pour trouver le fameux nombre de départ et d'écrire l'étape de verification consistant à montrer que ce nombre de départ donne bien le nombre final recherché : est-ce suffisant ?
Si tu commences à mettre des puissances par exemple, tu dois faire attention aux multiples solutions. Il faut juste imaginer que tu rédiges à côté avec des équivalences.
nombre étape 1
nombre étape 2
nombre étape 3
à gauche, x 3 pour aller de 1 à 2, puis + 5 pour aller de 2 à 3.
Vous devinerez ce qu'il y a à droite :-)
Je propose donc pour répondre à la question de l'exercice initial.
--
3) a est le nombre recherché tel que a - 5 = 1 donc a = 6.
2) b es le nombre recherché tel que b * (- 3) = 6 donc b = 6 / (- 3) = - 2.
1) - 2 est le nombre de départ recherché pour lequel l'algorithme renvoie 1 comme résultat.
--
Vous en pensez quoi ?
Pas sur qu'ils vont comprendre. Le langage est un peu trop soutenu.
J'aurais répondu ainsi :
P.S. oui, je demande beaucoup de blablabla et une phrase réponse.
Mais les élèves ont déjà du mal à retenir la rédaction du théorème de Pythagore, alors l'explication que tu proposes va être trop longue pour eux.
Mais j'insiste : je suis pour expliquer ce que l'on fait et les élèves, dans cet exercice, peinent à y arriver.
Tout à l’oral peut passer quand on raisonne « en vrai ».
Là, je ne sais pas s’il faut absolument rédiger ça.
Pire : si les élèves veulent apprendre ce texte c’est complètement débile.
Ce n’est pas ça, les maths.
Autant, réciter Pythagore, ça ne me gêne pas car c’est classique, court et carré.
On en revient à une discussion d’ailleurs : il est extrêmement difficile de savoir rédiger comment on a fait pour trouver ce nombre.
Et l’on attend pas cela des élèves, dans cet exercice, lorsque l’on ne se permet pas les équations.
On attend qu’ils proposent un nombre, et qu’ils démontrent que le nombre choisi correspond bien à la contrainte.
Là, tu donnes une méthode « on remonte les calculs », c’est très bien. Mais de rédiger cette méthode, comme souvent, ça ne sera compris que par celui qui sait le faire (voir qui l’a rédigé). Mais ça ne rendra pas service à celui qui n’a pas cherché, ni même à celui qui n’a pas trouvé. Lire un tel texte fair croire que les maths sont ultra difficiles « mais comment je peux faire ça tout seul ».
Et pourtant, même des élèves faibles peuvent réussir ce truc lorsqu’ils se rendent disponibles pour l’exercice.
Et là j’admets que c’est difficile à obtenir au regard de tous les paramètres mis en jeu.
Dans ce cas, pour une question d' "unicité" de la réponse, il faut modifier la consigne en
"Quel nombre suffit-il de choisir ? Justifie ta réponse."
(et non "Quel nombre faut-il choisir ?").
Ou bien
"Propose un tel nombre et vérifie qu'il permet bien d'obtenir le résultat souhaité.".
Ainsi, l'élève tâtonne ou "remonte l'algorithme blablabla".
Il trouve - 2.
Il propose - 2 et effectue l'étape de vérification précité.
Tu en penses quoi ?
Propose un nombre, quel nombre suffit-il, quel nombre a-t-il pu choisir...
Sinon, ce sera très difficile de valider un raisonnement qui prouve rigoureusement que c’est le seul.
Perso je me dis toujours qu'il faut être PRÉCIS et CONCIS. Un diagramme ça explique très bien (voir plus haut), et pour rédiger pourquoi ne pas indiquer, seulement : ce diagramme montre clairement que pour trouver le nombre recherché il suffit de faire les opérations suivantes, etc..
Une flèche avec un $\times$ dessus.
Une flèche dans l’autre sens avec un $\div$ dessus.
C’est l’idée de l’application réciproque.
L'opération contraire de la multiplication est la factorisation.
L'opération contraire de la multiplication par 6 est la division par 6.
Dans une vision fonctionnelle, une entrée, une sortie, remonter l'algorithme signifie remonter le courant des flèches.
Nombre choisi
Nombre obtenu après l’instruction 1
Nombre obtenu après l’instruction
Et, à droite de haut en bas des flèches (ici, deux) qui descendent
Et, à gauche des flèches qui remontent.
Et j’ose dire que c’est même rigoureux.
Par contre avec des programmes plus compliqués, ça ne peut pas remonter.
Produit de deux « trucs » ou carré...
Heu.... je ne comprends pas « L'opération contraire de la multiplication est la factorisation. » ?
Ha si en écrivant, je viens de comprendre....mais... le terme « contraire » est encore un truc un peu langage courant mortifère...
La consigne « multiplie trois par quatre » demande juste d’écrire $3\times 4$... même si certains diront encore que « la réponse attendue est évidemment 12 ». B-)-
Je viens d’user du smiley préféré de l’idéologue.
4 -> 4 × (- 3) = - 12 -> - 12 + (- 5) = - 17.
Ou
1) 4.
2) 4 × (- 3) = - 12.
3) - 12 + (- 5) = - 17.
Mais cela concerne l'application directe de l'algorithme.
Mais pour la remontée de l'algorithme (parlerez-vous d' "application indirecte de l'algorithme ?), qu'ecrirait un élève sur sa copie ?
« Application directe de l’algorithme », n’est pas un vocabulaire mathématique donc il n’est pas nécessaire de demander si « application indirecte » est autorisé.
Cela dit, non, je ne suis pas d’accord. Dans le langage courant, « application indirecte » signifie plutôt qu’on applique tout de même l’algorithme, et non que l’on l’applique « à l’envers ».
Je le répète, l’idée du schéma est rigoureuse !
Les cases sont les nombres et les flèches sont les instructions.
Remarque : pour les tableaux de proportionnalité, il est courant de représenter cette flèche avec le coefficient de proportionnalité.
C’est rigoureux car c’est identifiable au formalisme des fonctions.
On cache sous le tapis la justification de la flèche qui remonte (application réciproque), mais là, c’est l’évidence de l’école et du collège qui nous sauve.
Comme dit plus haut, choisis quand même des nombres positifs dans ton premier exemple afin que la difficulté ne soit pas décuplée.
Or, j'ai 3 instructions (étapes).
La 1ère instruction (choisir un nombre) n'apparaît pas.
Si tu veux tu mets un flèche tout en haute qui vient de nulle part et qui arrive sur $4$.
Remarque : D’ailleurs on va avoir du mal à remonter cette flèche « choisir un nombre », haha.
Oui, je commencerais par un algorithme plus simple.
@Dom : dans la rédaction avec les flèches, tu utilises les deux sens (application de l'algorithme en connaissant le nombre de départ et remontée de l'algorithme en connaissant le nombre final).
Mais
1) quand il s'agit seulement de trouver le nombre final en connaissant le nombre de départ, il y aurait quoi comme rédaction ?
2) quand il s'agit seulement de trouver le nombre de départ en connaissant le nombre final, il y aurait quoi comme rédaction ?
Pour mieux illustrer ce qui me pose problème, voici la rédaction (en ligne ou en colonne) que j'imagine pour répondre à 1) et 2).
En fait tu peux mettre d’abord des cases vides et indiquer les flèches qui descendent (traduction des instructions).
Puis pour remonter, c’est une première étape de réflexion.
Ainsi, dans les cas où c’est possible on peut garder toutes les cases vides mais tout de même trouver les flèches qui descendent et celles qui montent.
J’ose dire « sans rédaction ».
Aucune rédaction mathématique n'est sérieuse avant la classe prépa.
Mais comme déjà dit, c’est indigeste pour quelque chose d’assez simple.
Au fond, les cases et les flèches ne sont pas justifiées, mais se contenter de cela, c’est déjà beaucoup, voire ambitieux dans certains établissements.
mais peut-être que j'ai, comment dire, perdu pied, tant les collégiens m'ont totalement "refait"
il n'y a presque rien dans le programme donné au début du fil
et je sais que les collégiens, l'immense majorité, le comprennent très bien
faudrait pas non plus créer des problèmes là où il n'y en a pas
il y en a tellement ailleurs, des vrais
peut-être que cette discussion qui s'éternise est un indice :
les profs de maths sont vraiment à côté de la plaque
c'est ça, le réel, aujourd'hui
Je ne comprends pas cette phrase. Les flèches sont pleinement justifiées, dans le sens où il y a un point de départ (l'origine), et un point d'arrivée (la flèche ou la tête). Et inverser l'opération consiste à intervertir départ et arrivée.
Et pour sortir du cadre de l'école, on peut citer les calculs d'empreinte de fichier (genre md5), qui sont des algorithmes intrinsèquement faits pour ne pas être réversibles. D'un fichier, on peut avoir l'empreinte, mais de l'empreinte, on ne peut pas reconstruire le fichier.
Autrement dit, algorithme de calcul :
1) Multiplier le nombre choisi par - 3.
2) Ajouter - 5 au résultat obtenu.
Ainsi, 2 instructions : 2 flèches.
Aussi, cela évitera aux élèves de demander pourquoi il y a écrit "Choisir un nombre" alors que le nombre, c'est (en général) l'énoncé qui le donne.
Donc on peut appliquer les schémas précédents.
C’est évident, je le sais. Mais on n’a pas de justification.
Et je ne dis pas qu’il la faut !
En effet, détricoter un truc aussi banal, c’est assez étrange.
Par contre en conclure « c’est un indice ... les profs sont à côté de la plaque » montre, pour moi, que celui c’est celui qui pense ça qui est lui-même à côté de la plaque sur ces sujets.
Arturo,
Mais qu’est-ce que ça peut faire si la premier instruction est là et qu’on ne la représente pas ?
Dans l’idée « programme de calculs », on a « premier programme » dans le sens naïf de l’ordinateur.
D’ailleurs il manque peut-être l’instruction « afficher le résultat ».
Quand on programme, calculer, affecter une mémoire, n’affiche pas toujours quelque chose.
Ainsi :
1) demander un nombre
2) plein de demandes de calculs..
...
5) afficher le nombre obtenu
Est tout à fait légitime.