Algorithme de calcul

Pour moi, c’est un très bon exercice d’introduction de la lettre.

Rappel de deux théorèmes/définitions :
Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $x$, si $a+x=b$, alors $x=b-a$.
Ce nombre $b-a$ s’appelle la différence de $b$ et $a$.
Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $x$ non nuls, si $ax=b$, alors $x=\dfrac{b}{a}$.
Ce nombre $\dfrac{b}{a}$ s’appelle le quotient de $b$ par $a$.

Ça paraît difficile ? C’est pourtant les définitions à donner au plus tôt.
En 6e et rappelées en 5e.
À l’école, le sens de la soustraction est bien de trouver le terme qui manque dans l’addition à trous.
Idem pour la division...

Sans parler d’équations, mes théorèmes sont opérants.

Édit : je n’avais pas vu le message de geo, je fais de la redite en étant plus explicite.

Si tu veux tu as même le droit de faire des « cases vides ».
On note $\square$ le nombre ... : $\square + 9 = 17$.

C’est exactement comme une lettre.

Si tu veux tu donnes d’abord des programmes de calculs avec une seule instruction.
Ça remettra les pendules à l’heure.
Ça te permettra de rappeler « les évidences » sur la soustraction et la division (et l’addition et la multiplication d’ailleurs...si au lieu de +, c’est $-$...).

Et pose des lettres, oui.
Si tu crains des froncements de sourcils, mets d’abord le carré $\square$ puis finis par dire « bon, on va faire comme les pros maintenant, hein !!! ».
Le problème du carré, c’est que quand on a d’autres nombres, on va manquer de symboles.

Je suis d’accord avec lourrran.
Je n’avais même pas regardé les détails.
Il vaut mieux proposer en premier lieu des nombres qui n’ajoutent pas une deuxième, voire troisième difficulté.

On se retrouve parfois à ce que des élèves croient que c’est « le type » d’exercice qui est difficile alors que ici, le principe de l’exercice, ne l’est pas autant que ça.

Si ton programme possède une unique solution alors ça va.
Si tu commences à mettre des puissances par exemple, tu dois faire attention aux multiples solutions. Il faut juste imaginer que tu rédiges à côté avec des équivalences.

Oui, on peut juste alors se poser la question de l'unicité de la flèche. Ce qui fera écho lors du chapitre sur les équations puis images/antécédents.

Pourquoi voudrais tu une réponse rigoureuse? Si l'élève explique par les phrases, quel est le mal?

Vous en pensez quoi ?

Pas sur qu'ils vont comprendre. Le langage est un peu trop soutenu.

J'aurais répondu ainsi :

Pour retrouver le nombre de départ, on va calculer les nombres intermédiaires en rebroussant le programme de calcul :

A l'étape 3) on a demandé d'effectuer l'opération $\square + (-5) = 1$. Pour retrouver le nombre manquant on soustrait $(-5)$ à $1$. Donc $1 - (-5) = 1+5 =6$. Le nombre manquant est $6$, c'est le résultat du calcul à l'étape 2).

A l'étape 2) on a demandé d'effectuer l'opération $\square \times (-3) = 6$. Pour retrouver le nombre manquant on divise $6$ par $-3$ : $6 \div (-3) = -2$.

On en déduit qu'à l'étape 1) on a choisi le nombre $-2$.

Vérifions :
1) Choisir $-2$
2) Multiplier $-2$ par $-3$, résultat $(-2) \times (-3) = 6$
3) Ajouter $-5$ au résultat précédent : $6 + (-5) = 6-5=1$
Le programme de calcul donne bien $1$ comme réponse.

Réponse : Il faut choisir au départ $-2$.

P.S. oui, je demande beaucoup de blablabla et une phrase réponse.

De toute manière, dans ce cas, lire la recherche de la réponse sans l’avoir cherchée, c’est imbitable.

Tout à l’oral peut passer quand on raisonne « en vrai ».
Là, je ne sais pas s’il faut absolument rédiger ça.
Pire : si les élèves veulent apprendre ce texte c’est complètement débile.
Ce n’est pas ça, les maths.
Autant, réciter Pythagore, ça ne me gêne pas car c’est classique, court et carré.

On en revient à une discussion d’ailleurs : il est extrêmement difficile de savoir rédiger comment on a fait pour trouver ce nombre.
Et l’on attend pas cela des élèves, dans cet exercice, lorsque l’on ne se permet pas les équations.
On attend qu’ils proposent un nombre, et qu’ils démontrent que le nombre choisi correspond bien à la contrainte.

Là, tu donnes une méthode « on remonte les calculs », c’est très bien. Mais de rédiger cette méthode, comme souvent, ça ne sera compris que par celui qui sait le faire (voir qui l’a rédigé). Mais ça ne rendra pas service à celui qui n’a pas cherché, ni même à celui qui n’a pas trouvé. Lire un tel texte fair croire que les maths sont ultra difficiles « mais comment je peux faire ça tout seul ».
Et pourtant, même des élèves faibles peuvent réussir ce truc lorsqu’ils se rendent disponibles pour l’exercice.
Et là j’admets que c’est difficile à obtenir au regard de tous les paramètres mis en jeu.

Oui c’est ça.
Propose un nombre, quel nombre suffit-il, quel nombre a-t-il pu choisir...

Sinon, ce sera très difficile de valider un raisonnement qui prouve rigoureusement que c’est le seul.

Exact !
Une flèche avec un $\times$ dessus.
Une flèche dans l’autre sens avec un $\div$ dessus.

C’est l’idée de l’application réciproque.

Je vois plutôt :

Nombre choisi

Nombre obtenu après l’instruction 1

Nombre obtenu après l’instruction


Et, à droite de haut en bas des flèches (ici, deux) qui descendent
Et, à gauche des flèches qui remontent.

Et j’ose dire que c’est même rigoureux.

Par contre avec des programmes plus compliqués, ça ne peut pas remonter.
Produit de deux « trucs » ou carré...


Heu.... je ne comprends pas « L'opération contraire de la multiplication est la factorisation. » ?
Ha si en écrivant, je viens de comprendre....mais... le terme « contraire » est encore un truc un peu langage courant mortifère...
La consigne « multiplie trois par quatre » demande juste d’écrire $3\times 4$... même si certains diront encore que « la réponse attendue est évidemment 12 ». B-)-
Je viens d’user du smiley préféré de l’idéologue.

Dis à tes élèves de faire des schémas, circule dans les rangs, adopte le plus clair. Parfois ils sont épatants.

Pardon, ce n’est pas très beau mais ça illustre ce que je dis.
Remarque : pour les tableaux de proportionnalité, il est courant de représenter cette flèche avec le coefficient de proportionnalité.

C’est rigoureux car c’est identifiable au formalisme des fonctions.
On cache sous le tapis la justification de la flèche qui remonte (application réciproque), mais là, c’est l’évidence de l’école et du collège qui nous sauve.

Comme dit plus haut, choisis quand même des nombres positifs dans ton premier exemple afin que la difficulté ne soit pas décuplée.

C'est normal, tu l'as remplacée par "trouver le nombre choisi".

Le fait de savoir si une opération a une réciproque n'est pas du niveau collège. Mais les élèves comprennent bien que ce que l'on enlève, on peut l'ajouter (et inversement), et ce que l'on a divisé, on peut le regrouper (et inversement).

Aucune rédaction mathématique n'est sérieuse avant la classe prépa.

hé bé, j'aurais jamais pensé qu'un petit programme de rien du tout puisse autant faire parler
mais peut-être que j'ai, comment dire, perdu pied, tant les collégiens m'ont totalement "refait"

il n'y a presque rien dans le programme donné au début du fil
et je sais que les collégiens, l'immense majorité, le comprennent très bien

faudrait pas non plus créer des problèmes là où il n'y en a pas
il y en a tellement ailleurs, des vrais

peut-être que cette discussion qui s'éternise est un indice :
les profs de maths sont vraiment à côté de la plaque
c'est ça, le réel, aujourd'hui

Quand je dis « la flèche n’est pas justifiée » c’est que l’on ne sait pas pourquoi « ajouter 5 » a pour inverse « soustraire 5 ».
C’est évident, je le sais. Mais on n’a pas de justification.
Et je ne dis pas qu’il la faut !

En effet, détricoter un truc aussi banal, c’est assez étrange.
Par contre en conclure « c’est un indice ... les profs sont à côté de la plaque » montre, pour moi, que celui c’est celui qui pense ça qui est lui-même à côté de la plaque sur ces sujets.

Arturo,
Mais qu’est-ce que ça peut faire si la premier instruction est là et qu’on ne la représente pas ?
Dans l’idée « programme de calculs », on a « premier programme » dans le sens naïf de l’ordinateur.
D’ailleurs il manque peut-être l’instruction « afficher le résultat ».
Quand on programme, calculer, affecter une mémoire, n’affiche pas toujours quelque chose.
Ainsi :
1) demander un nombre
2) plein de demandes de calculs..
...
5) afficher le nombre obtenu

Est tout à fait légitime.