Introduction de l'inconnue

C’est en effet efficace dans un premier temps.
Pour moi c’est fait assez couramment.

Un lien vers xCas : c’est un peu technique pour la prise en main et sans gestion des erreurs mais ça peut être utile en 4e.
https://www.xcasenligne.fr/giac_online/Facilimaths/balance/page.xhtml

Les résolutions c’est plutôt en 4e dans les programmes.
En 5e, c’est évidemment faisable.

En fait j’ai toujours vu les balances.

Je suis d’accord avec Dom. On est déjà dans l’introduction d’équations.
J’aime bien par exemple:
2A+3A
On a combien de A?
Ben 2...
OK, maintenant, remplace A par le mot pomme.
On a combien de pommes?
Ben on a 5 pommes!
:-D

Bonjour.

Dans ma génération, l'introduction des lettres se faisait en primaire avec des formules comme $P = 2\pi R$; plus tard (en cinquième et quatrième), on traitait de la manipulation des expressions algébriques (en particulier monômes et polynômes en quatrième, explicitement) et des équations. Le x des équations était simplement une "lettre qui n'a pas de nom", qui peut être le rayon du cercle, ou le côté du carré, ou n'importe quoi d'autre.
Mais dans un public choisi, ceux qui "faisaient le certif" ne voyaient pas l'algèbre.

Cordialement.

Sans référence, j'ai toujours pensé qu'il fallait distinguer les différents statuts de la lettre, avec parmi eux le statut d'inconnue. Mais après tout, l'introduction de la lettre par le statut d'inconnue doit pouvoir donner lieu à une progression cohérente.

Ce dont témoigne Gerard0, il me semble que c'est toujours d'actualité.

Comme xax a réclamé un texte non pédagogiste je mets mon grain de sel.

Il n'y a qu'une seule dichotomie pertinente dans l'usage des lettres en mathématiques: celle de la distinction entre lettre libre et lettre liée (on dit aussi "muette" parfois) dans un texte ou une formule.

Les distinctions "inconnue/lettre connue", "variable/constante" qui s'y substituent maladroitement sont toutes porteuses de très graves contresens compromettant considérablement la poursuite de l'apprentissage des mathématiques chez une personne (pas seulement un enfant: le nombre d'adultes et de profs de maths qui butent là-dessus est conséquent). Il n'existe pas, en maths d'objets "constants" ni d'objets "variables" (et qui seraient désignés par des letres décorées des mêmes adjectifs)

La raison de ces contresens est que la propriété d'être libre ou non d'une lettre ne fait pas référence à ce que la lettre désigne; au lieu de ça elle fait référence à un rôle (syntaxique!) que la lettre elle-même va jouer dans la phrase ou la formule où elle apparaît.

1°) Une lettre qui est libre dans un énoncé désigne quelque chose (c'est un nom).
2°) Une lettre liée dans un énoncé ne désigne rien. En fait il s'agit d'un élément d'une construction grammaticale qui doit être soigneusement mise en évidence (par notamment des symboles ou des formulations idoines: des énoncés où la lettre $m$ est liée commenceront par exemple par $m \mapsto$, $\forall m$, ou feront apparaître $\int_0^1 (...) dm$ etc).
Cette construction grammaticale est le plus souvent une façon de définir une fonction (par exemple une équation à une inconnue réelle peut être vue comme un cas particulier de fonction de source $\R$ et à valeurs dans $\{vrai, faux\}$).

Le drame du refus du formalisme amenant trop de gens à s'arracher les cheveux toute leur vie sur les propriétés de l'ensemble vide (propriétés qu'ils finissent par consentir à admettre au lieu de les saisir vraiment) est typiquement dû à ça. On éprouve de la gêne devant les applications $f: \emptyset \to \N$ et $g: x \in \emptyset \mapsto f(x)+1$ qui sont égales. On évite de parler de ce que $\forall y \in \emptyset, \mathcal P(y) \subseteq y$.
Alors qu'en fait comme les lettres $x$ et $y$ sont liées dans ces énoncés, elles ne désignent rien (je suis lourd mais j'insiste à nouveau), et à aucun moment on ne parle dans ces énoncés de mystérieux éléments nommés "$x$" et "$y$" qui se trouveraient dans l'ensemble vide et qui déclencheraient des anomalies.
Et même si l'usage de l'ensemble vide est marginal dans une bonne partie des pratiques mathématiques, les mécanismes sous-jacents à cette erreur sont bien là chez certaines personnes et leur pourrissent la vie sans qu'elles arrivent à mettre le doigt sur la véritable cause de leurs errements.

Pour ne rien arranger, il y a très peu de textes où le formalisme et la description complète de la liberté et de la liaison des lettres est décrit de façon détaillée (et digeste). Citons le controversé Bourbaki-théorie des ensembles (qui offre une description complète du langage formel employé, la problématique de la liaison étant évacuée par un artifice visuel intelligent, inspiré en fait des indices de De Bruijn du lambda calcul). Sinon les gens peuvent se former à la logique combinatoire (typée à la rigueur).

Quand j'aurai le temps je pense que je ferai une présentation détaillée d'un tel système formel.

À mon sens il n'y a pas d'inconnue sans problème, et des problèmes suffisamment compliqués pour qu'ils ne soient pas solutionnables sans... l'introduction d'une inconnue et le calcul littéral. Il y a certes une inconnue dans les opérations à trous mais il n'y a pas de problème, donc le concept est un peu vidé de sa substance. C'est juste un petit jeu où il s'agit de déterminer la bonne opération pour trouver le nombre manquant.

Malheureusement les problèmes, bien souvent, n'en sont pas vraiment : beaucoup sont résolubles sans équation. Dans le fichier IREM posté plus haut figure le problème ultra-cité, et qui n'en est tout simplement pas un :
La somme de trois naturels consécutifs est 51. Quels sont ces nombres ?
Juste en dessous le non moins célèbre problème avec les âges :
Un père à 40 ans et son fils 12. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de celui de son fils ?
Ici, il est faux de dire que sa résolution à l'aide d'une équation est plus rapide que celle empirique.

Pour introduire le concept d'inconnue aux collégiens, et la résolution d'équations qui va avec, il faut à mon avis proposer, dès le début, des problèmes de prime abord infaisables, pour créer un seuil, un palier qu'il sera possible de franchir uniquement avec la nouvelle méthode.

Les lettres ça arrive bien tôt.

Je note F le montant de la facture en euros.
F=35,08

J’ai donnée un billet de 50 €.
Je note R la monnaie rendue en euros.
R=50-35,08.

Même à l’école...

Le fameux longueur$\times$ largeur, comme dit plus haut.

Le nombre $\pi$ : rappelons que $\pi$ est une lettre.
En profiter pour proposer des petites réductions simples avec ce $nombre \ utile \ aux \ sages$.

@ majax : bien sûr que si ce seuil existe au collège, il suffit de prendre des problèmes qui conduisent à une équation où il est nécessaire de développer. Beaucoup d'entre eux sont difficiles voire très difficiles à résoudre par une autre méthode.

Au collège on dispose aussi du théorème de Pythagore. Un problème de géométrie peut alors conduire à une équation du second degré qui n'en ai pas une puisqu'elle se ramène après simplification au premier degré (voir pdf joint). Il s'agit bien là d'un problème impossible à résoudre sans l'introduction d'une inconnue et du calcul littéral qui va avec.

@Ludwig oui il est possible d'en trouver. Je veux parler du programme. Comment interpréter cet extrait du Bulletin officiel n° 30 du 26 juillet 2018. Arrêté du 17 juillet 2018 ? (ce n'est pas une question à toi mais à un inspecteur par exemple) : "résoudre algébriquement des équations du premier degré ou s’y ramenant (équations produits), en particulier des équations du type x^2=a."
Je trouve que les contours du programme sur ce point particulier sont pour le moins flous, pour ne pas dire réducteurs (même si je prends toutes les libertés de bon sens).
Effectivement ta catégorie de problèmes est intéressante et surtout indispensable (sinon à quoi bon), pour ma part je suis le même début progression que Dom et je fais ça plus tard.

Edit : en y réfléchissant, il est vrai qu'il n'est pas fait mention dans ce document du type d'équation du premier degré. Je suis pourtant certain d'avoir vu dans un document, il y a deux ans, qu'on se limiterait désormais à la résolution d'équation du type ax=b et x + a = b et je me demande même s'il ne fallait pas abandonner la combinaison des deux. Cela avait fait bondir tout le monde lors d'une réunion de bassin. Il faut vraiment que je retrouve cela.

Bien sûr on en faisait plus avant. Mais que faisait-on exactement ? Des pages et des pages de calculs détachés de tout contexte. Or le calcul littéral ça sert n'est-ce pas ? Je prétends qu'il n'est pas plus infaisable de faire ces calculs aujourd'hui qu'hier (en réalité tous ces calculs relèvent de l'enfantillage). Simplement il ne faut pas y aller de main morte : toujours commencer par donner des problèmes impossibles sinon il n'y a pas de marche (lire ici marchepied et cheminement). On explique ainsi clairement pourquoi on va faire ces calculs. Conclusion : il faut inonder les réseaux de tels problèmes.

Que sur des élèves doués à la base ? Je crois vraiment qu'il faut arrêter de prendre les élèves pour des cons. Bon courage Biely !

Tu ne réponds pas Biely. Mais ce que tu fais je sais que la très grande majorité des profs de maths en font autant. Et je sais que ça ne sert quasiment à rien. C'est même largement contre-productif. Arrêtez de vous plaindre et passez à l'action !
Ah au fait, je met des notes en dessous de 10, c'est juste que je m'arrange pour mettre 10 de moyenne. Tu as du mal lire encore une fois.
Quant à mon problème sur le sangaku posté plus haut je n'en changerais pas une ligne.

Ludwig
’’c’est juste que je m’arrange pour avoir 10 de moyenne’’ (au minimum j’imagine)
Oui ben je ne vois pas vraiment la différence...
Pratiquement aucun prof ne pratique aujourd'hui le calcul littéral à forte dose et régulièrement! Il faut arrêter de raconter n’importe quoi. Cela ne marche pas car on n’essaye plus. C’est exactement comme si on essayait d’apprendre une langue étrangère en travaillant une fois par semaine (ou pire...): c’est inutile, on passe son temps à reprendre à zéro et c’est sans fin.

Ludwig,

Dans énormément de bahuts, TOUS les problèmes sont insolubles par les élèves.
Ils sont totalement bloqués.
Non, ce n’est pas parce qu’ils seraient idiots, non, non et non.

Je t’incite à te demander pourquoi avant de parler « d’agir ».

Aussi avec ton « on essaie mal », tu m’amuses.
Bravo pour ta modestie.

@ Dom : les élèves bloquent car on ne leur donne que des recettes, pas des méthodes. Pourquoi ? Car on a peur que sinon ils ne trouvent pas. Diable !
Comme tout ça est fait à grande échelle, chaque année, rebelote, chaque année, ils sont enfoncés un peu plus. Bilan final oui, le blocage. Les profs ont une très grande responsabilité là-dedans.

Je n'ai fait que ça Dom, travailler dans des zones compliquées : 9 ans en ZEP (aujourd'hui ce collège est en REP+), actuellement dans un collège disons de milieu de tableau, depuis 8 ans, mais profondément miné par d'énormes tensions. Je ne rentrerais pas dans les détails.
D'un certain point de vue, je travaille à la marge. Et c'est ce regard que je qualifierais d'extérieur qui me fais dire que, véritablement, tout va de travers en maths. Quant à mes pratiques, elles sont en cours de changement. Ce dont j'ai parlé est plus haut est ce vers quoi je veux aller. Et irais.

J'ajoute que le principal obstacle à mon chemin est l'institution elle-même, mais que cet obstacle est moins contraignant du fait de ma position, à la marge, dans cette institution : le chaos ambiant me donne une marge de manoeuvre.

Ils sont quand même sacrément débiles ces Inconnus..
Apéro double dose

Je ne comprends pas pourquoi vous parler de l'enseignement du calcul littéral. Hum... Le calcul littéral n'est pas enseigné en France. Il n'y a strictement rien pour apprendre ce que c'est au collège et au lycée. La caricature parfaite de cet "enseignement" est:

Hé!!! Toi! Tu veux apprendre à nager? Bah tient : le bout de papier sur lequel il est écrit "nage, idiot!".

Voilà comment on enseigne partout dans le monde et comment c'était enseigné en France il y a un certain temps : chaine youtube, la source d'inspération d'Yvan Monka. La liste est malheureusement en désordre. Mais grosso modo c'est:
1) intro à la notation littérale
2) tout sur les monômes
3) 4 opération sur les monômes
4) polynôme (comme somme des monômes standardisés)
5) multiplication du polynôme par monôme
6) multiplication des polynômes, simplification, développement
7) et à partir de là on commence la factorisation.
8) etc.

@Dom,

Mouais, je veux bien entendre ce discours mais « recette » et « méthode » pour moi c’est pareil.

Pour moi les recettes de cuisine c'est:
1) l’équation $2x+3=-9$ : on met $3$ à droite et on change le signe.
2) développer: $(a+b)(c+d)=ac + ad + bc +db$
Bref, on dit comment faire, mais on n'explique pas. Impossible de généraliser la démarche. Surtout le 2nd exemple est complétement pipo puisque les élèves ne savent pas ce que c'est: $a,b,c,d$, $a+b$, $c+d$.

Les méthodes c'est :
Pour résoudre l'équation $2(x+3)=3(9-3x)+1$, il faut procéder par plusieurs étapes: et on décrit clairement le pourquoi et le comment. Au lieu de développer (dans l'exemple 2), on enseigne le calcul littéral, y compris la multiplication des polynômes dont $(a+b)(c+d)$ est juste un cas particulier.

« Ce n’est jamais expliqué » m’étonne.
Les élèves sautent en général sur l’occasion de demander « pourquoi on a une lettre ? ».
Je pense que c’est expliqué.

J’imagine que ça te met, toi, en difficulté de proposer des exercices comme ça « calculer A = ... ».
D’une part je préfère la consigne « écrire en écriture décimale les nombres suivants ».
Et le « A » prend tout son sens.
C’est un nombre et l’on observe plusieurs écritures de ce même nombre.

Sur la distinction majuscule/minuscule je ne comprends pas pourquoi la faire ?!?!
Sauf en géométrie où il me paraît pertinent de n’utiliser que des majuscules pour les noms des points, pour le reste on n’a pas que des minuscules ou que des majuscules. Rien que $L\times \ell$ permet de le voir.

Enfin, sur la stratégie de l’apprentissage du calcul littéral, il est inutile de parler de polynôme et de monôme.
Ce n’est pas le problème.
Le problème est qu’en effet les profs en font de moins en moins. [ne pas mal comprendre cette phrase !!! Je parle du calcul littéral]
Il faudra m’expliquer comment on peut « faire ses gammes » en proposant soi-disant des problèmes concrets.
Voir toutes les mentions « ce n’est pas exigible », « on ne demande pas de techniques » dans les programmes.

Et encore une fois, les profs sont coincés et il est trop facile de s’exclamer « mais qu’ont fait les profs d’avant ? ».
J’entends encore ça des profs de lycées « qu’ont fait les profs de collèges ? ».
Puis des profs de collège « qu’ont fait les profs des écoles ? ».
Cette recherche de la personne responsable sur le parcours scolaire est vaine, faussée et certainement rassurante pour celui qui pose la question.

@Dom,

« Ce n’est jamais expliqué » m’étonne.
Les élèves sautent en général sur l’occasion de demander « pourquoi on a une lettre ? ».
Je pense que c’est expliqué.

Je n'utilise pas les lettres pour les calculs parce que justement je ne vois pas l'utilité et il en découle que je ne peux pas l'expliquer.

Sur la distinction majuscule/minuscule je ne comprends pas pourquoi la faire ?!?!

Les conventions en mathématique, la lettre majuscule ne signifie pas une valeur en général. C'est plutôt un ensemble, une variable aléatoire (stat). Mais bon, ok pour ton exemple avec $L \times l$.

Enfin, sur la stratégie de l’apprentissage du calcul littéral, il est inutile de parler de polynôme et de monôme.
Ce n’est pas le problème.

Pourquoi tu penses que c'est inutile? Comme j'ai pas mal travaillé en remédiation sur le calcul littéral, passer par monôme/polynôme éclaire vraiment les élèves. Je vois le problème que si on ne parle jamais de polynôme et monôme, on ne peut pas généraliser et on est obligé de se limiter aux cas banals comme $(a+b)(c+d)$. Or tu sais bien que le programme de lycée dépasse largement ce cas banal. Si on demande de développer $(1-\pi)(x^2 +abc^3)$, quelle réponse tu attends? Et comment tu l'expliques?

Il faudra m’expliquer comment on peut « faire ses gammes » en proposant soi-disant des problèmes concrets.
Voir toutes les mentions « ce n’est pas exigible », « on ne demande pas de techniques » dans les programmes.

Là, on est d'accord ;-) Mais pour moi cela n'explique pas tout. Si tu passes aux exercices plus compliqués comme j'avais montré ou comme dans la chaine Youtube plus haut, il faudra expliquer ce que tu fais.

Et encore une fois, les profs sont coincés

Je sais, je ne tiens pas les profs pour responsables.