Réciproque et contraposée

Xavier Var
Xavier Var
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

Peut-on m'expliquer les explications de la prof à la 35ème minutes de cette vidéo Youtube.

J'ai toujours appris que la contraposée de A=>B ce n'est pas B=>A mais non(B)=>non(A).

Réponses

  • Dom
    Dom
    En effet elle se trompe.
    Je n’ai regardé que ce passage.

    Quand ce n’est PAS ÉGAL, on applique la contraposée du TP pour démontrer qu’il n’est pas rectangle.
    On a le droit de n’appliquer que le TP.
    Mais pas la réciproque.

    Amusant : on pourrait se demander ce qu’est la contraposée de la réciproque.
    Ce serait « s’il n’est pas rectangle, alors ce n’est pas égal ».

    Remarque : la conclusion est effarante également.
    Dire « donc le triangle est quelconque » n’est pas professionnel (sauf si comme elle semble le justifier, elle appelle « quelconque » un triangle qui n’est ni isocèle, ni rectangle mais bon....bref...).
  • Xavier Var
    Xavier Var
    Merci Dom.
    Dans l'une de ses séances une intervenante lui a parlé de triangle scalène, elle ne connaissait pas. Je pense donc que pour elle c'est comme dire quelconque.
  • Dom
    Dom
    Oui. Cependant scalène signifie plutôt « non isocèle » mais ça peut être rectangle selon moi.
  • Foys
    Foys
    $A \Rightarrow B$ est équivalente (en logique classique) à $(\neg B) \Rightarrow \neg A$ mais psa à $B\Rightarrow A$.
    Prendre $A$ := "j'ai moins de 30 ans" et $B$:= "j'ai moins de 40 ans" par exemple.

    $(\neg B) \Rightarrow \neg A$ s'appelle "la contraposée de $A\Rightarrow B$".
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • zeitnot
    zeitnot
    "S'il pleut, j'irais chez ma grand-mère ce week-end".
    Je ne suis pas allé chez ma grand-mère ce week-end, je peux donc conclure qu'il n'a pas plu. Car s'il avait plu, j'y serais allé.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • biely
    biely
    Comme on considère que les élèves sont trop idiots pour comprendre ces histoires on a droit maintenant à des ’’l’égalité de Pythagore est vérifiée donc...’’ ou ’’l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée donc...’’ et hop le tour est joué...
  • Dom
    Dom
    En effet biely,
    Pendant un temps on était même passé à « le théorème est l’équivalence rectangle <=> égalité ».
    Ça n’a duré qu’un temps et surtout personne ne l’a vraiment fait comme ça... et c’est tant mieux.
  • Xavier Var
    Xavier Var
    Bon... Youtube X:-(
    Voilà une histoire qui se termine bien.
  • biely
    biely
    Mouais...évidemment elle a rectifié car cela mettait à mal son petit business. Son erreur n’était pas une erreur d’étourderie puisqu’à la fin elle avait précisé " je sais que certains profs disent, quand cela ne marche pas, d’après la contraposée, mais contraposée ou réciproque c’est la même chose...”.
  • majax
    majax
    Elle n'a pas rectifié la conclusion...
  • biely
    biely
    Ah oui je n’avais pas écouté jusqu’à la dernière seconde...pfff...:-D
    On remarque sa malhonnêteté car elle a coupé juste le passage où elle censé être en direct avec un élève pour rectifier son énormité sans avoir l’air d’y toucher.
  • Xavier Var
    Xavier Var
    Bien vu. C'est une pro du montage. Regardez bien le titre encadré au tableau Youtube.
    Elle a incorporé deux lives distincts je n'avais même pas fait attention.
  • P.
    P.
    Il y a 60 ans, Tintin contraposait en disant aux Dupondt 'le cirque Hipparque n'a pas besoin de deux clowns, vous ne pouvez donc pas faire l'affaire.'
  • blaise
    blaise
    J'ai mis au point une séance pour enseigner la notion de proposition réciproque en quatrième/troisième. A lire ici : https://ressourcesmathematiques.wordpress.com/2020/11/20/une-seance-sur-la-notion-de-proposition-reciproque-en-quatrieme/
    J'ai moi aussi cédé aux sirènes de l'enseignement de Pythagore par équivalence mais franchement les élèves ne comprenaient pas mieux. Je suis donc revenu à l'enseignement classique théorème direct / théorème réciproque, en me disant que de toute façon, ce n'est pas en masquant les difficultés qu'on allait les résoudre. Mieux vaut affronter le taureau par les cornes ! De plus,si on enseigne les maths, c'est bien pour apprendre aux élèves à raisonner, sinon quel intérêt ? Le truc sympa avec la géométrie dans le secondaire, c'est justement qu'il y a des raisonnements, des propositions et des propositions réciproques, et même des raisonnement par contraposition...
  • Dom
    Dom
    Avec les tables on peut créer un tas de propositions :
    Quels que soient les entiers naturels a et b, si a et b sont pairs alors a + b est un multiple de quatre.

    Quel que soit le nombre a de la table de trois, alors il est dans la table de neuf.

    Etc.

    Questions : Vraie, fausse, contraposée, réciproque, etc.
  • lepto
    lepto
    Je fais un peu pareil en quatrième et je donne l'exemple suivant:

    Si $IA=IB$ alors $I$ est milieu de $[AB]$

    Déterminer la réciproque et sa véracité.

    J'introduis la notion de contre-exemple aussi.
  • Dom
    Dom
    Oui très bien aussi.
    Il faut privilégier le « simple ».

    Quels que soient les points A, B et C,
    Si A, B et C sont alignés, alors B appartient à [AC].

    Véracité ? Réciproque ?

    On l’a déjà évoqué dans plein de fils.
    Ce serait pertinent que les programmes fassent rentrer ces choses de logique rudimentaire.
    Et ce ne serait pas vain pour toutes discussions, même non-maths.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    blaise a écrit:
    De plus,si on enseigne les maths, c'est bien pour apprendre aux élèves à raisonner, sinon quel intérêt ?

    Et d’ailleurs, raisonner est une des six compétences en mathématiques.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Dom
    Dom
    Attention Nicolas,

    Le jargon des compétences utilise des mots qui n’ont pas les mêmes définitions que le dictionnaire courant.
    Petit sarcasme du soir, espoir ;-)
  • blaise
    blaise
    Très bons exemples, je les utiliserai ! J'essaie de donner également des propositions simples pour que les élèves puissent se concentrer sur l'aspect logique.
  • Dom
    Dom
    Je m’intéresse à l’exemple de lepto :

    Si IA=IB alors I est milieu de [AB]

    Je sais bien qu’on va me rétorquer qu’il y a un implicite évident mais je détaille quand même.

    Proposition 1 :
    Quels que soient les points distincts A et B du plan, quel que soit le point I de la droite (AB),
    Si IA=IB alors I est milieu de [AB]

    Proposition 2 :
    Quels que soient les points distincts A et B du plan, quel que soit le point I du plan,
    Si IA=IB alors I est milieu de [AB]


    Pourquoi mon intervention ?
    Pour convaincre que les quantificateurs « implicites » sont dangereux, surtout pour les esprits a priori non matheux.
    Il arrive que des élèves trouvent « normal » que l’implicite soit que les points A, B et I sont alignés.
    Qu’il aient tort ou raison ne m’intéresse pas.
    Le problème est que l’élève ne fait pas mention de son implicite, mais a « raison » dans son raisonnement (dans le cas des points alignés, c’est vrai). Pour éviter tout malentendu, n’hésitons pas à expliciter.
  • Eric
    Eric
    @ Blaise : je viens de lire ton texte et je te suis sur à peu près tout. D'ailleurs, je fais un cours de logique à mes élèves de collège (5e et 4e), avant d'attaquer des démonstrations. Et j'utilise le vocabulaire "réciproque" et "contraposée" et la notion de raisonnement par l'absurde. Je diffère par rapport à toi dans le choix des exemples. Je vais chercher du côté de la météo (s'il pleut, alors il y a des nuages).

    Un point cependant. Je ne suis pas d'accord lorsque tu dis qu'il faut admettre la réciproque du théorème de Pythagore. La démonstration qu'en donne Euclide est très simple et peut se faire en classe sans aucun problème.

    Une remarque : un collègue qui fait aussi un cours de logique à ses élèves a été inspecté il y a deux ans. Il a demandé à l'inspectrice (une quiche) ce qu'elle en pensait. Réponse de la quiche : " l’inspection ne peut avoir d’avis tant que les didacticiens n’ont pas documenté la question".
  • Dom
    Dom
    Fichtre. Elle est belle celle-là !
  • zeitnot
    zeitnot
    Cette inspectrice ne s'appellerait pas Chloraine ?
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Sato
    Sato
    C’est un prénom inventé ?
    Bon, moi aussi, j’ai souvent utilisé le « s’il pleut, alors il y a des nuages ».

  • majax
    majax
    J'avais conçu une mini "BD" avec ce genre d'exemples, si ça intéresse. Ça vaut ce que ça vaut...

    Sinon c'est qui Chloraine ? ;-)
  • Dom
    Dom
    Moi c’est : on est dans la cours de récréation, et pas sous une tente ou autre...

    « S’il pleut, alors le sol est mouillé ».

    Oui bon, les nuages c’est mieux, en effet.
  • blaise
    blaise
    @Eric : concernant l'exemple "météo" j'ai des collègues qui disent "s'il pleut alors je prends mon parapluie" : pour moi ce n'est pas une implication logique mais un "si alors" de causalité. Ton exemple est différent et est bien une implication (pluie implique nuages) mais les élèves vont forcément penser (nuages causent pluie) . Bref, est-ce que tu n'introduis pas une difficulté en jouant (volontairement ?) sur l'ambiguïté du "si alors" dans la langue française ? Comment les élèves réagissent-ils ?
    Personnellement je préfère partir sur un exemple "ensembliste" : A inclus dans B - Si x dans A alors x dans B.
    Concernant la réciproque de Pythagore par Euclide, je dois avouer mon ignorance mais je vais y remédier...
    Un IPR m'a dit que la logique ne devait pas faire preuve de séances dédiées : on doit donc attendre des élèves qu'ils aient la science infuse ! Je refuse cette illusion.
  • Dom
    Dom
    De mémoire la preuve de la réciproque du théorème de Pythagore que je connais utilise le sens direct.
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