Qu'est-ce que mesurer des segments ?
(message d'origine modifié)
Cette définition (en première approche : primaire, collège ) est elle correcte? Pourrait-elle être améliorée ?
Mesurer des segments c’est leur associer à chacun un nombre pour déterminer s’ils sont plus petits, égaux ou plus grands les uns par rapport aux autres.
Ce nombre caractérise la longueur d’un segment. Il est sa valeur numérique.
Ce nombre dépend de l’instrument utilisé pour la mesure du segment l’unité de mesure utilisée mais pas seulement (précision de mesure, etc...)
Cette définition (en première approche : primaire, collège ) est elle correcte? Pourrait-elle être améliorée ?
Mesurer des segments c’est leur associer à chacun un nombre pour déterminer s’ils sont plus petits, égaux ou plus grands les uns par rapport aux autres.
Ce nombre caractérise la longueur d’un segment. Il est sa valeur numérique.
Ce nombre dépend de l’instrument utilisé pour la mesure du segment l’unité de mesure utilisée mais pas seulement (précision de mesure, etc...)
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Réponses
Je donne un point de vue. Je ne sais pas où trouver une « nomenclature officielle ».
« Avoir la même longueur » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des segments.
On doit définir ça par « ils sont superposables » (notion empirique - collège) ou « ils sont isométriques » (définition supérieurr) mais ça semble tourner en rond... car définir « isométrique » ou « superposable » peut faire tourner el rond (non ?).
Bon mais c’est l’idée.
Ensuite, en effet, on fixe une unité de mesure pour affecter un réel positif à une classe (une longueur).
En fait si je ne me trompe pas, ça revient à prendre une des classes comme référence.
Pour l’acception du mot longueur :
Au collège : « longueur » c’est la mesure.
Dans le supérieur : « longueur » c’est plutôt la classe d’après moi.
Je ne comprends pas : La valeur de la longueur dépend de l’instrument utilisé pour sa mesure mais pas seulement.
Je pensais que la valeur de la longueur ne dépend pas de l'instrument de mesure, ni de l'âge du capitaine.
Et le "pas seulement" est un teaser insupportable. (:P)
Je ne valide rien de cette proposition de définition.
Oui c'est ce que je détaille après la phrase "teaser" un peu vague de la fin. Mais ça passe par une anatomie de la règle longue mais nécessaire pour amener la notion d'unité.
Je reste dans le cadre euclidien
Il n'est pas indispensable de diffuser des définitions en Collèges, d'autant qu'il ne s'agit nullement de véritables définitions au sens (métamathématique) où on l'entend habituellement. Cela étant clairement dit, proposons ceci comme parade, qui n'est pas une vraie définition :
La longueur d'un segment qui joint deux points [donnés] est la longueur du plus court chemin entre ces deux points.
Elle est critiquable, mais elle a le mérite de faire appel à l’intuition d'un élève. Cette intuition sera plus grande en l'accompagnant d'un ostensif graphique schématisant ce qui a été évoqué dans cette pseudo-définition.
En effet c'est une manière comme une autre. On peut se contenter de ses yeux sauf que dans certaines situations notre vision peut nous jouer des tours.
Ex : Grands ou petits segments quasi semblables, éloignés, d'inclinaisons différentes.
Pourquoi ? Peux-tu me détailler ce qui ne va pas ?
La longueur ne dépend-elle pas de l'unité de mesure utilisée ? Par ailleurs, sous un sytème de mesure par exemple le système métrique, la valeur de la longueur s'exprime différemment selon qu'on utilise un sous-multiple ou multiple du mètre, non ?
C'est le but visé ;-)
n’est-ce pas plutôt « le segment d’extrémités A et B est le chemin le plus court joignant A à B » ?
Je veux dire qu’on définit « segment » à partir des longueurs.
NB : on est bien dans le cadre collège.
Cantor-Bernstein a tendance à compliquer inutilement les concepts, pensant ainsi être rigoureux et précis. Tel n'est pas le cas. Tout est à revoir en profondeur.
Tout ce que j'écris depuis le début n'est ni précis, ni rigoureux ? Qu'entends-tu par "tout" ?
Il y a des chances. J'attends juste qu'on me le prouve. Mon intérêt s'éveille par la preuve.
Je suis là pour apprendre et progresser sur des arguments solides. Je me ferai une joie de revoir tout en profondeur si de tels arguments sont avancés Thierry. ;-)
PS : Effectivement j'aimerai rester simple, clair et rigoureux (j'ai encore du travail à faire là dessus).
Tu as raison, ça fait un peu vague :-/. J'essaie de préciser par la suite comment on opère cette association en détaillant la règle, ses graduations, unités (partie encore en rédaction).
J’ai relu.
Dans ce que tu proposes (définition de longueur de segment), as-tu d’abord défini « segment » ?
(Quand je dis « définir segment », j’entends une définition empirique, intuitive... je l’imagine bien qu’on ne peut pas le faire rigoureusement).
Moi je ferais plutôt : Le segment [AB] est (par définition) le chemin le plus court entre A et B.
Sans définir chemin, notion intuitive.
Ainsi il est immédiat que la longueur du segment est la longueur du plus court chemin joignant ses extrémités (pour toi c’est une définition). .
Je représente deux points : A x .......... x B.
Quelle est la longueur de [AB] ?
Cordialement.
Je ne retiens pas ta définition, à savoir : le segment [AB] est (par définition) le chemin le plus court entre A et B. Cela me gêne profondément.
"La longueur ne dépend-elle pas de l'unité de mesure utilisée ? Par ailleurs, sous un sytème de mesure par exemple le système métrique, la valeur de la longueur s'exprime différemment selon qu'on utilise un sous-multiple ou multiple du mètre, non ?"
Non, la longueur ne dépend pas de l'unité.
Par exemple, L = 1000 mètres = 1 kilomètre. La longueur est la même : elle est exprimée par différents nombres selon les unités choisies. Mais c'est la même longueur.
Tu peux définir 'la mesure d'une longueur dans une unité donnée' comme le nombre qui représente cette longueur dans cette unité.
Ainsi, 1000 est la mesure de la longueur L dans l'unité mètre.
Ainsi, 1 est la mesure de la longueur L dans l'unité kilomètre.
La longueur L ne dépend pas de l'unité de mesure. La mesure de la longueur dépend de l'unité.
Quelles sont les mesures du tableau en centimètres ? Combien mesure la Tour Eiffel (on précisera l'unité) ?
C'est justement parce que la longueur ne dépend pas des unités de mesure qu'on peut exprimer cette longueur dans différentes unités.
On peut aussi définir une mesure de la longueur sans unité (en mathématiques). Les unités sont utilisées en physiques.
Pour le primaire, aucune idée... On peut se convaincre intuitivement que la ligne droite est la distance la plus courte entre deux points avec une corde non élastique mais graduée.
Pour notamment ne pas faire semblant.
Quelle est la tienne ? pour le collège ?
> On peut se contenter de ses yeux sauf que dans certaines situations notre vision peut nous jouer des tours.
Non, il ne s’agit pas de se contenter de ses yeux. On peut utiliser la règle et le compas. Cf 2e proposition chez Euclide.
Oui, je me suis emmêlé dans ce que je souhaitais exprimer. C'est seulement la valeur numérique de la longueur qui dépend de l'unité. J'ai d'ailleurs modifié mon message.
@YvesM : C'est bien ce que tu voulais dire par "selon les unités" ?
L'observation de 2 segments ne suffit-elle pas pour déterminer qui de l'un ou de l'autre est le plus grand ? Je ne comprends pas ce qui s'y oppose.
Intéressant, je vais voir ça. Je ne l'ai pas encore lue. Avec une règle graduée ou sans ?
Penser au fil « figures presque » qui propose des figures dont on peut se laisser surprendre par l’observation.
Et je vois que personne n'a voulu répondre à ma question, pourtant basique, et qui est au cœur du problème. Et ce n'est pas pour rien que je la repose, je ne pouvais pas copier/coller.
Cordialement.
Réponse qui n’en est pas une : $AB$ (:P)
Je répète : « longueur » c’est plutôt une classe d’équivalence dans le supérieur et « longueur » dans le secondaire c’est plutôt une mesure (souvent en $cm$ sur les cahiers).
Dans ce fil, c’est la deuxième acception que tout le monde utilise ou alors il faut préciser.
Moi je demande à nouveau la définition de « segment » à Thierry.
Bonne journée à tous.
Dom
C'est le B.A.-BA .
en prenant comme unité de longueur [AB]
Dans quelques jours ou quelques semaines lorsque le forum saura définir le point Mi milieu de [AB]
On verra si [AMi] vaut 0,5 si c'est sur ou pas et comment le prouver sans l'admettre...
[AB] est de longueur 1 unité de longueur [AB] quel que soit le moment passé , présent , futur des mesures.
Donc ni le niveau d'inflation, ni l'augmentation du nombre des retraités ou autre éléments faisant régulièrement varier les unités de mesure ne doivent intervenir.
Il faut s'en assurer.
Après avoir mesuré des longueurs à la règle, puis transféré des longueurs au compas (éventuellement par parallélisme ou symétrie), il faudra bien que l'élève se rende compte que la notion de longueur est très relative (à une unité de longueur), puis l'étudiant en géométrie verra qu'elle peut ne pas être pertinente et qu'un grand nombre de questions qu'il traitait avec la longueur sont en fait indépendantes de cette notion; le milieu d'un segment, par exemple, en géométrie affine.
Donc rêver d'une définition de la longueur à donner en sixième est une mauvaise idée, aucune ne tiendra définitivement.
Cordialement.
(*) vous n'avez pas le même écran que moi, donc vous n'avez même pas le même segment !!
Je n’ai pas vraiment compris l’objet de la discussion. Je pensais qu’il suffisait de considérer un segment et de le prendre comme unité de longueur. On ne définit pas le segment ni le nombre en 6e mais on les prend comme des notions premières et on reporte cette étude au bac+4. Jusqu’à présent, cela marchait plutôt bien.
Thierry,
Oui, ne pas définir ne me pose pas de problème.
Comme on ne définit pas la droite. Ni même le point.
Par contre, justement je choisis une définition empirique (ce n’est pas une définition mathématique).
Être « entre » et sur la droite, c’est de la paraphrase selon moi.
C’est une bonne définition, celle du supérieur avec notamment le paramètre t qui varie entre 0 et 1 et {at+b(1-t)}, etc. (qui est de la convexité notamment).
Je crois qu’il y a deux approches possibles :
1) droite en premier, puis être entre deux points de la droite
2) segment en premier, qu’on prolonge (mais comment ? réponse : avec le souci d’avoir des distances les plus courtes et A, M, B alignés dans cet ordre équivalent à AM+MB=AB).
Ça reste valable pour le plan et tout ce que l’on fait dans le secondaire.
Tout est euclidien (ou presque ?) dans le secondaire.
Autrefois, on faisait du dessin géométrique en sixième et cinquième : tracer des parallèles et des perpendiculaires, utiliser le compas, mesurer des longueurs (règle) et des angles, repérer des propriétés (angles alternes-internes, somme des angles), utiliser des symétries, etc. Puis, en quatrième, on passait à la démonstration géométrique. C'était un choc pour pas mal d'élèves, car le "on voit sur la figure" n'était plus accepté. Mais ça passait généralement, car le "on voit" était pour les petits, les débutants. Ce n'était pas miraculeux, et les profs qui ont enseigné comme ça ont été contents qu'on reprenne les programmes vers 1970. Un temps ...
A quoi sert d'avoir des définitions mathématiques ? Alors qu'on va très peu s'en servir, et pas pour démontrer. D'ailleurs, on démontre très rarement avec les définitions; plutôt avec les théorèmes. Donc donnons des théorèmes à nos élèves, et leur utilisation donnera du sens aux notions de base. Par exemple le fait que le milieu d'un segment [AB], pour A différent de B est un troisième point, différent des deux premiers, chose qui n'est pas dite habituellement, permet de voir que dans un segment, il y a une infinité (potentielle ? Effective ?) de points. Et que ça n'épuise pas les points du segment : on peut diviser en 3 ou 5. Plus tard, le théorème de Pythagore trouvera encore d'autres points, et ce n'est pas fini !
Cordialement.
Par la suite on balance « l’inégalité triangulaire » qui tomberait du ciel.
A mon sens cela vient bien d’une « distance la plus courte » que l’on n’a pas (surtout l’unicité !) dans n’importe quel espace métrique mais au moins dans l’euclidien.
C’est lié à « l’histoire » et aux étalons.
Le mètre (sa définition physique) d’ailleurs a changé au siècle dernier il me semble.
Sans rire, je commence depuis quelques années à douter de la pertinence de l'enseignement de la géométrie euclidienne sur Terre. Pourquoi ne pas enseigner les rudiments de la relativité (qui d'ailleurs est sans doute incomplète) dès le plus jeune âge ? À tout le moins de la géométrie non euclidienne ? Nous avons fait des avancées dans la connaissance de l'univers et ça ne profite presque à aucun élève, la fausse vision du monde est enseignée depuis 2500 ans au moins. Qui sait, un bambin pourrait avoir le génie de trouver la géométrie de notre univers, mais on ne leur pose même pas la question.
Bref à l'école, ça m'aurait fait autrement plus rêvé et stimulé que de tracer des segments et des perpendiculaires dans une géométrie qui n'existe sans doute nulle part dans l'univers.
Aucune géométrie n'existe quelque part dans l'univers. Par contre, une géométrie peut servir de modèle pour une réflexion concrète. A ma connaissance, maçons, géomètres experts et entrepreneurs de travaux publics utilisent la géométrie euclidienne pour travailler. Un chauffeur de taxi américain utilisera plutôt la "distance de Manhattan" que le théorème de Pythagore, donc une géométrie différente.
Quant aux "rudiments de la relativité", qu'est-ce qui est enseignable aux écoliers et collégiens réels ?
Tu es loin du sujet de ce fil !!!
Cordialement.