Exercices sur les aires (concours kangourou)
Bonsoir
Je sais résoudre l'exercice mais en utilisant les fractions.
Comment l'expliquer à des élèves de 6ème ?
Je sais résoudre l'exercice mais en utilisant les fractions.
Comment l'expliquer à des élèves de 6ème ?
Réponses
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Bonjour,
Par déplacement de carrés noirs pour recouvrir des blancs. Et par découpage en deux de carrés selon la diagonale pour formé un carrer noir et recouvrir des blancs.
On résout tout le problème sans aucun calcul. -
D’abord : qu’est-ce qu’une aire ?
J’entends au collège ! Évitons d’envoyer des choses n’importe comment... -
Il est facile d'expliquer que sur les figures A, C, E, la moitié du carré est coloriée ; et que sur les figures B, D, strictement plus de la moitié est coloriée. Le choix se fait donc entre B et D.
Ensuite on écrit les proportions coloriées sur chacune des figures B et D sous forme de fractions et on compare en réduisant au même dénominateur (on peut bien sûr le faire dès le début avec A, B, C, D, E, mais c'est un peu lourdingue).
Il me semble utile avant tout cela d'avoir fait des rappels sur les fractions.
Mais as-tu vraiment besoin de notre aide pour savoir comment t'y prendre en classe ? Trouves tes propres méthodes ! -
Yves ok merci. Le concours kangourou durant 50 min, je me demande pourquoi on donne cet exercice qui prend du temps pour un élève de 6ème vu qu'il faut dessiner et colorier.
Rebellin je suis prof débutant.
La méthode des fractions me semble adaptée pour des 4èmes.
J'ai le même problème en niveau lycée mais je ne trouve pas. -
Celui-là est facile.
Trois des aires sont égales à 1/2, l’autre est inférieure à 1/2 et la dernière est supérieure à 1/2.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
On peut se passer de fraction puisque l'on ne cherche que « le numérateur ».
Il suffit de compter des carrés de même taille si possible. -
Pour le premier exercice, il est plus rapide de calculer noir/blanc.
D=13/12
B=5/4=15/12 > D. -
Pour le premier, trois des damiers sont noircis à moitié, les deux autres le sont aux 5/9 et aux 13/25.
Ce n’est pas trop dur ensuite de comparer 0,5/9 et 0,5/25.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Vous m'étonnez à utiliser des fractions alors que les carrés sont superposables.
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Pas les petits.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Nicolas Patrois merci je n'avais pas fait attention.
Dom
Je ne vois pas comment on peut compter les carrés de même taille entre A et B.
Ok ça marche.
JLT
Merci en effet c'est plus rapide. -
De mon souvenir (et je ne suis si vieux que ça...), on définissait les fractions en CM1/CM2 et on apprenait à les additionner/soustraire en 6ème.
Où en est-on maintenant ?
Le message d'OS laisse entendre que les fractions se font en 5ème/4ème... -
Les fractions se font en 6ème, mais la comparaison de fraction en 5ème.
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Ben, c'est un exercice du Kangourou, ce n'est pas destiné à tous les élèves a priori.
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Et bien on quadrille le carré, voyons !
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Dom, avec des côtés coupés en trois et en cinq ? Bon courage pour compter.
Sinon, les fractions sont introduites en CM1.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
On peut dire que le carré $3\times 3$ en haut à gauche du carré D a la même proportion de noir que le carré B, tandis que le reste du carré D a autant de noir que de blanc, donc la proportion de noir dans le carré D est intermédiaire entre 50% et la proportion de noir dans le carré B.
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La difficulté, JLT, est de convaincre un gars qui n'a rien pigé du tout et qui n'a pas non plus le compas dans l'œil.
Par exemple : "vous voyez bien que A) et C) ont autant de noir et blanc chacun !" permet seulement d'entendre un "heu...oui" des plus faibles mais sans êtes certains qu'ils ont compris la phrase (je ne désigne pas là un problème de langue).
On peut poursuivre : "vous voyez bien que dans A), la moitié est en noir et la moitié est en blanc" n'est pas non plus une évidence pour tout le monde.
Enfin : "comme A) contient la moitié en noir et comme C) contient la moitié en noir, alors A) et C) ont la même aire coloriée en noire" n'est pas non plus une évidence...
Dans toutes mes observations de ces choses-là, le prof finit par s'arracher les cheveux si des élèves sont sincères et osent dire "je ne comprends pas". J'y vois un problème qui sort du champ mathématique (cognitif ? faux implicite ? je ne sais pas...).
Je parle maintenant de l'exercice avec les rectangles et les triangles grisés :
"A) , et C) ont même grisaille" n'est pas une évidence pour tout le monde (le 50-50 est abstrait quand on y réfléchit ou bien quand on n'a jamais rien compris à ces histoires d'aires).
Mode rigoriste \on j'ajoute que l'on n'a pas la certitude que les triangles sont superposables Mode rigoriste \off -
Pourquoi vouloir expliquer à toute une classe de sixième la résolution d’un exercice d’un concours kangourou qui est, comme le rappelle kioups, pas vraiment destiné à l’élève lambda? Je ne comprends pas trop ton but OShine.
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Je voulais le mettre en devoir maison...
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@OS : encore heureux que tu ne le proposes pas en évaluation formative, voire sommative.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Choisir un ou deux exercices comme ça et les déposer dans un sujet de contrôle est tout de même une bonne idée.
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Si je les mets en contrôle je donnerai des questions intermédiaires.
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Je propose de les mettre pour ceux qui torchent le contrôle en 15 minutes.
Ainsi, je les laisserais comme ça.
Justement. -
Donc le prof ne sait pas vraiment expliquer avec des outils que les élèves de sixième ont à leur disposition mais il veut mettre cet exo en devoir maison ou pire en contrôle? Mouais...Et tu attends quoi des élèves comme justifications? Celles que tu cherches sur ce forum?:-D
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Dom je peux en mettre un en fin de contrôle pour les très bons élèves.
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Oui. Je dis que c’est une bonne idée.
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Biely en 6ème, dans chaque classe de 6ème j'ai 2 élèves qui ont un niveau très élevé : ils ont 19,5/20 à chaque DS et ils terminent 15 min avant la fin.
En classe, ils terminent les exercices très rapidement et s'ennuient souvent.
Malheureusement en 4ème, je n'ai qu'un seul élève qui se balade, mais il perd des points dans la rédaction. -
Oshine
D’accord, dans ce cas, pourquoi ne pas le mettre seulement en bonus? -
Exercice 26: Il y a 17 passagers dans les wagons 3-4-5, et aussi dans les wagons 6-7-8, et aussi dans les wagons 9-10-11.
Donc il y a 66-(17x3)=15 passagers dans les wagons restants: 1 et 2. Comme il y a 17 passagers dans les wagons 1-2-3, il y a 2 passagers dans le 3-ième wagon.
Il y a autant de passagers (17) dans les wagons 3-4-5 que dans les wagons 4-5-6. Il y a donc autant de passagers dans le wagon n°3 que dans le wagon n°6, à savoir 2.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
On départage $B$ et $D$ en prenant des carrés de côté $3\times5=15$ $cm$ :
aire noire $B$ = $5\times5^{2}=125$ $cm^{2}$
et aire noire $D$ = $13\times3^{2}=117$ $cm^{2}$. -
Personnellement je refuse de réfléchir à un problème où la case blanche n'est pas en bas à droite. (:DKarl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
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Bien sûr qu'on peut mettre des questions du Kangourou en exercice bonus (voire pas bonus). Mais ces questions balaient un peu plus que le spectre du programme de 6ème (c'est d'ailleurs la catégorie 6ème-5ème, je crois). Et la question 26 est une questions subsidiaire. Ceci dit, c'est inquiétant pour un enseignant de ne pas pouvoir y répondre...
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Foys joli sans équation.
Ludwig je ne comprends pas ce que vous faites. -
Dans les wagons $\{1,2,3,4,5,6,9,10,11\}$ il y a $17\times 3=51$ passagers, donc $66-51=15$ passagers dans les wagons $7$ et $8$. Or il y a $17$ passagers dans les wagons $6,7,8$ donc $2$ passagers dans le wagon $6$.
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@ Oshine : ben j'ai calculé l'aire noire pour un carré dont j'ai choisi le côté.
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Autre manière de résoudre l'exercice 13. Notons B' et D' les figures obtenues à partir de B et D en coloriant le petit carré central à moitié en noir et à moitié en blanc. Alors il y a 50% de noir dans les figures B' et D'. Pour passer de B' à B on doit colorier un demi petit carré. Même principe pour passer de D' à D. Or le petit carré central de B est plus gros que celui de D, donc passer de B' à B nécessite plus de coloriage que passer de D' à D.
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"La difficulté, JLT, est de convaincre un gars qui n'a rien pigé du tout et qui n'a pas non plus le compas dans l'œil.
Par exemple : "vous voyez bien que A) et C) ont autant de noir et blanc chacun !" permet seulement d'entendre un "heu...oui" des plus faibles mais sans êtes certains qu'ils ont compris la phrase (je ne désigne pas là un problème de langue).
On peut poursuivre : "vous voyez bien que dans A), la moitié est en noir et la moitié est en blanc" n'est pas non plus une évidence pour tout le monde.
Enfin : "comme A) contient la moitié en noir et comme C) contient la moitié en noir, alors A) et C) ont la même aire coloriée en noire" n'est pas non plus une évidence...
Dans toutes mes observations de ces choses-là, le prof finit par s'arracher les cheveux si des élèves sont sincères et osent dire "je ne comprends pas". J'y vois un problème qui sort du champ mathématique (cognitif ? faux implicite ? je ne sais pas...). "
ça c'est encore plus surprenant.
Si autant de noir que de blanc cela signifie que aire blanche = aire noire = moitié de aire du carré.
Si des élèves sont en difficulté sur ça, faut les prendre en particulier les yeux dans les yeux
et les surveiller!!!!!!
encore un soucis ensembliste assez grave, pas la peine de continuer les maths, faut s'arréter là! -
Il faut prendre le temps de faire ce que les parents n'ont pas dû/pu/su/voulu... faire en bas âge. Même si au collège, c'est déjà tard. Et le kangourou s'y prête bien.
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Pour l'exercice 26.
si on considère une succession de 5 wagons $\boxed{n+0}\boxed{n+1}\boxed{n+2}\boxed{n+3}\boxed{n+4}$
Il est clair que la somme du nombre de voyageurs dans les wagons $n+0$ et $n+1$ est la même que la somme du nombre de voyageurs dans les wagons $n+3$ et $n+4$.
Or:
$66=17\times 3+15$
$\boxed{\boxed{1}\boxed{2}\boxed{3}}\boxed{\boxed{4}\boxed{5}\boxed{6}}\boxed{\boxed{7}\boxed{8}\boxed{9}}\boxed{10}\boxed{11}$
Ce qui fait que le total des voyageurs dans les wagons $10$ et $11$ est de $15$.
Mais compte tenu de ce qui est dit plus haut:
$\boxed{1}\boxed{2}\boxed{3}\boxed{\boxed{\color{red}{4}}\boxed{\color{red}{5}}}\boxed{6}\boxed{\boxed{\boxed{\color{red}{7}}\boxed{\color{red}{8}}}\boxed{9}\boxed{\boxed{\color{red}{10}}\boxed{\color{red}{11}}}}$
$\boxed{1}\boxed{2}\boxed{3}\boxed{\boxed{\boxed{\color{red}{4}}\boxed{\color{red}{5}}}\boxed{6}\boxed{\boxed{\color{red}{7}}\boxed{\color{red}{8}}}}\boxed{9}\boxed{\boxed{\color{red}{10}}\boxed{\color{red}{11}}}$
La somme des voyageurs dans les wagons $4$ et $5$, la somme des voyageurs dans les wagons $7$ et $8$, la somme dans les wagons $10$ et $11$ sont toutes égales à $15$.
Or, la somme des voyageurs dans les wagons $4$,$5$,$6$ est égale à $17$ donc le nombre de voyageurs dans le wagon $6$ est égal à $17-15=2$. -
Les exercices 25 et 26 sont difficiles.
OOShine, tu dis qu'aucun élève de tes 6èmes ne serait capable de les faire, et même en 4ème, probablement aucun élève ne saurait les faire.
C'est probablement vrai.
En fait, je pense que l'école ne prépare pas les élèves à ce genre d'exercice. Si on propose l'un de ces 2 exercices à un élève, un élève qui maitrise correctement l'addition la soustraction et la multiplication, alors peu importe son âge. Soit il sait faire, soit il ne sait pas faire.
Soit il a la tournure d'esprit pour poser les bons calculs, et il va trouver, soit il n'a pas la tournure d'esprit, et il ne trouvera pas.
Et la tournure d'esprit, on l'a ou on ne l'a pas. Si on ne l'a pas à 12 ans, on ne l'aura pas non plus à 14 ans, ni à 16 ans.
J'exagère un peu, bien sûr.
Ces 2 exercices, il y a 10%des enfants qui vont savoir les faire à 12 ans , et 15% si on prend des ados de 16 ans.
Les plus assidus pourront trouver la solution, par tâtonnement, en essayant toutes les valeurs imaginables.
Pour les exercices sur les carrés noirs et blancs, ou les triangles noirs et blancs, il y a une question préliminaire très utile :
Pour chaque dessin, dire si la surface en blanc est plus petite, plus grande, ou égale à la surface en noir.
Dans l'exercice avec les carrés, tous devraient savoir répondre à cette question préliminaire.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
exo 26, lourran, il ya la tournure d'esprit
et il ya aussi une différence entre ceux qui cherchent, et ceux qui n'essayent pas également.
Pour ceux qui cherchent,
on doit arriver à trouver que les valeurs pour 1,4,7,10 meme nombre
pour 2,5,8,11 également un meme nombre
pour 3,6,9 meme valeur
Alors avec la technique cette fois ci de mise en équation = sujet d'apprentissage des élèves d'OShine:
4 fois valeur de (1,4,7,10) + 4 fois valeur de (2,5,8,11) + 3 fois la valeur de (3,6,9) = 66
4fois [valeur de (1,4,7,10) + valeur de (2,5,8,11) ]+ 3 fois (valeur de 3,6,9) = 66
si a est la valeur de 3 ou 6 ou 9 alors on a
4 x (17-a) + 3 x a = 66
a = 7x17-66
et le raisonnement peut se construire sur j'essaye = je prends un exemple
que raconte cet exemple
par exemple je prends 1 et 1
4x1 + 4x1 + 3 x(17 -1 -1 ) = 53 trop petit ok je prends d'autres valeurs
ben en manipulant par l'exemple tu vois bien que ton total tu essayes d'avoir 66
et tu vois bien que dès que tu prends des valeurs pour (1,4,7,10) et (2,5,8,11) cela t'oblige à faire 17- ces deux valeurs pour avoir valeur de (3,6,9)
Donc il ya une base de compréhension ensembliste quelles parties forment quel tout
Il ya une phase où je tatonne je fais des essais
Ces essais m'aident à écrire ce que je recherche. -
On peut aussi raisonner comme ceci. La somme des wagons 1, 2, 3 est égale à la somme des wagons 2, 3, 4 donc il y a autant de voyageurs dans le wagon 1 que dans le wagon 4. En raisonnant de même sur les wagons suivants, on voit que le nombre de voyageurs par wagon est 3-périodique : a, b, c, a, b, c, a, b, c, a, b.
On rajoute un douzième wagon avec c voyageurs. Il y a alors en tout $4\times 17=68$ voyageurs, donc $c=68-66=2$. -
J'aime beaucoup cette solution.
Cela me rappelle les exos de géométrie, on regarde ce qui est déjà dans la figure,
or en mettant un point juste à coté tout s'éclaire par symétrie ou autre raison.
Voilà bien un des "raisonnements", un "truc" de résolution mathématique à transmettre.
Pour le dire autrement, c'est quoi le pénible dans cet exo,
est-ce que je suis serais moins géné si …
Mais pour transformer l'exo comme JLT faut déjà avoir l'habitude de bouger les problèmes,
les bousculer, et si ça ou si cet autre truc. -
Même ça, ce n’est pas immédiat :
« On peut aussi raisonner comme ceci. La somme des wagons 1, 2, 3 est égale à la somme des wagons 2, 3, 4 donc il y a autant de voyageurs dans le wagon 1 que dans le wagon 4.»
C’est quel théorème de maths ?
Dans le littéral, je ne sais pas faire.
NB : je ne critique pas, je dis que de trouver une preuve en quelques phrases n’est pas synonyme de convaincre. -
"« On peut aussi raisonner comme ceci. La somme des wagons 1, 2, 3 est égale à la somme des wagons 2, 3, 4 donc il y a autant de voyageurs dans le wagon 1 que dans le wagon 4.»
pas besoin de théorème, mais cette notion est ensembliste, tout bêtement ensembliste
l'ensemble 1,2,3 c'est l'ensemble 1 et l'ensemble 2et 3
si c'est le meme ensemble que l'ensemble 4 et l'ensemble 2et 3
ben c'est que l'ensemble 1 est l'ensemble 4
Bref c'est le BABA ensembliste de l'addition , soustraction
le gros ensemble est la réunion ou la somme des deux petits
et la soustraction c'est le complémentaire… -
Mais il ne s'agit pas que de convaincre d'une solution.
Il s'agit de manipuler les données.
à certains il va manquer des bases
à d'autres il va manquer de bouger les données, se bouger ... -
a1+a2+a3=a2+a3+a4 donc a1=a4 en retranchant a2 et à3 à droite et à gauche du signe égal.
Je pense que si un enfant met en doute ce point là, il faut lui dire : 'Laisse moi continuer, je vais revenir sur ce point à la fin. Fais moi confiance'
Il faut pouvoir offrir à la majorité des élèves un raisonnement suivi, pas entrecoupé par des incidentes comme celle-ci.
Et il faut effectivement revenir sur ces questions 'pseudo-évidentes' à la fin.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
« a1+a2+a3=a2+a3+a4 donc a1=a4 en retranchant a2 et à3 à droite et à gauche du signe égal. »
Oui, d’accord sur le « fais-moi confiance ».
Mais même comme ça, ce n’est pas aisé et évident.
On en est là. Sans savoir si c’était « mieux avant ».
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Bonjour!
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