Contraposée 6ème

Non.
Mais des notions de logique naturelle. Pas d’inquiétude. Enfin...

Tout va être dans « comment démontrer » dans cet exercice.
Certains vont saigner des oreilles s’il assiste à ce cours car une erreur de langage est rapide en général, même par les Pro s’ils ne sont pas au mieux de leurs formes.
Aussi, je suis certain que ça se réglera pour certains élèves à coups de tragiques « bon, c’est moi qui ai raison, je suis le prof ».

Sur ce sujet précis : théorème, contraposée du théorème, réciproque du théorème, je suis d’accord.
On pourrait introduire ces notions très tôt.
Je propose même qu’on l’impose en 4e (Pythagore est parfait pour ça).
Franchement ça ne coûte pas cher. Quitte à formater l’utilisation en fonction de la situation.
Des profs le font, sans scrupule et sans embêtement.

Je dis « on pourrait (en 6e) » et j’ai déjà vu des collègues le faire, dès que l’objet d’étude est opportun.

On pourrait aussi en faire une séquence : attention, ça c’est se créer des embêtements si ça remonte « en haut ».

Quel est le texte qui l'interdit ?

Thierry Poma
Et dans les textes officiels, à quel niveau la contraposée doit être enseignée?
Ne pas expliquer ce qu’est la contraposée au moment du théorème de Pythagore est d’une absurdité...

Par contre Thierry a raison quand il parle « d’arrêter de se faire plaisir ».

Bilan d’échanges avec des inspecteurs depuis les années 2000 jusqu’à aujourd’hui :
1) ne surtout pas sanctionner un élève qui écrit « réciproque » alors que l’égalité n’est pas vérifiée.
2) rectifier à chaque fois mais ne pas retirer de points quand il y a confusion entre « théorème » et « réciproque »
3) le théorème de Pythagore est désormais une équivalence (on parlait d’égalité de Pythagore). C’était comme ça pendant un moment dans les programmes (autour de 2010 je crois, il faudrait confirmer...). Dans ce cas « théorème de Pythagore » suffit dans tous les cas.
4) pendant cette période : vous n’avez pas écrit réciproque, ha si, si, il faut l’écrire (incompréhension du prof puisque ce sont les programmes qui parlaient de l’équivalence qui s’appelait théorème de Pythagore - toujours à vérifier !!!).
5) retour à « 1) et 2) » qui sont, disons, la même chose.

Par contre je n’ai jamais rien entendu sur « pas le droit de parler de contraposée ».

Question subsidiaire :
a) La contraposée, pour moi, ça s’applique à une (seule) implication et pas à une équivalence.
Ai-je tort ?
b) si j’ai raison, est-il licite de parler de contraposée d’un théorème qui est une équivalence ?
j’entends bien qu’il s’agirait de l’abus de langage : « contraposée de A<=> B » = (nonA) <=> (nonB)
mais tout de même ?

J’irais peut-être dans « Logique » si ça se bataille fort.

Voici un texte officiel dans lequel il n'y a pas d'injonction, mais seulement une forte recommandation à employer une forme de raisonnement reductio ad absurdum, nettement plus accessible et naturelle pour des élèves de collèges.

Ce choix, vous l'aurez compris, est essentiellement motivé didactiquement, pas mathématiquement, car ...

NB : en logique classique, faire un raisonnement reductio ad absurdum revient au même que faire un raisonnement par contraposition. En logique intuitionniste, c'est une autre affaire.

Il me semble qu'il ne faut pas se cantonner à cette 'inférence' (qui pour beaucoup d'humains tient plus de la gymnastique de la langue française que de la logique elle-même), mais l'étayer systématiquement d'un "car si Alex n'en portait pas, alors...".

Thierry,

D'une part c'est un document officiel mais qui n'est pas "le programme officiel" donc on peut le foutre en l'air.
J'entends : on s'en sert pour se justifier mais ça ne peut pas servir de "directive".

Ensuite, je ne vois pas vraiment la forte recommandation, encore moins l'interdiction.

Enfin, ça date de 2009 et on ne trouve plus cela (sauf erreur). C'est simple, on enlève beaucoup de mots du dictionnaires de maths donc les documents "officiels" ne peuvent plus interdire ce dont "il ne faut pas prononcer le nom".

lourrran,

Je n'aime pas l'exemple "pluie => parapluie" .
[small]Plaisanterie : J'en connais même qui prennent le parapluie pour qu'il ne pleuve pas, par supersticion.[/small]
Je préfère : "pluie => sol mouillé" (en étant dehors, pas de toit, pas de tente, patati et patata).

Heu... douée non. Ni doué d’ailleurs. Mais je ne parle pas du tout de l’enseigner.

J’ai dû mal m’exprimer.
OShine disait « ancrer la notion » et moi « introduire ».

Je ne dis pas de faire un cours là-dessus.

Cela dit ça ne m’effraie pas pour chaque théorème d’énoncer aussitôt la contraposée en le mentionnant explicitement afin de dire qu’on peut l’utiliser car c’est parfois pratique. Bon, en 6e, difficile de trouver des théorèmes pertinents (quelle horreur ces théorèmes sur les droites perpendiculaires/parallèles - il faut nier des et/ou-, et qu’existe-t-il d’autres en géométrie ?).
Avec la notion de diviseur par contre c’est pas mal : (multiple de 10 => multiple de 2, par exemple).
Mais c’est artificiel.

Bref introduire pour introduire, bof. Mais en parler dans des cas opportuns, oui je n’y vois aucun problème.

Édit :
En 4e, écrire les énoncés suivants
THÉORÈME DE PYTHAGORE : ...
CONTRAPOSÉE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE : ...
RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE : ...

C’est bien plus efficace que de zapper la contraposée volontairement et de dire « écrivez que c’est le théorème quand ça ne marche pas ».

Le théorème de Pythagore est vraiment adapté. Je l'ai fait assez récemment dans l'ordre donné par Dom ci-dessus.
Bilan :
- une parenthèse agréable à faire participer les élèves oralement sur des questions de logique ;
- peu semblent avoir bien compris, mais je me dis que de l'avoir vu, ça peut les aider à comprendre plus vite la prochaine fois qu'on leur en parlera.

Et bien voilà quelque chose qui est agréable à lire, OShine.

Bon, c’est sûr que la manière dont tu le dis étonne quand même.
Le « et non réciproque » peut faire penser que tu écrivais « réciproque » dans le cas non égal...

Là où tu as raison, c’est que les gamins réussissent mieux que les adultes, en proportion. (Je n’ai pas de preuve, c’est rhétorique mais j’en suis convaincu).

Ça se gâte après... quand ? pourquoi ?
Une des raisons est par exemple le document de 2009 posté par Thierry (que je n’incrimine pas !) où l’on dit « il vaut mieux utiliser une réduction par l’absurde à la place de la contraposée ».
Pour « ne pas embrouiller » on complique.
Et ce que l’on appelle « embrouiller » ici, c’est juste l’utilisation d’un mot. Sans ce mot, beagle, tu as raison, beaucoup savent faire s’en s’embarrasser car ils pensent d’abord avec leurs têtes, plutôt « bien faites » quand elles ne sont pas perturbées par toutes ces dérives.

Autant je vois une différence entre le si A alors B et le si B alors A (c'est heureux d'ailleurs)

autant je ne vois pas de différence entre le si A alors B et sa contraposée.

Pour mois c'est la meme chose, un truc existe et se définit par ce qu'il est,
et par ce qu'il n'est pas.
Si l'ensemble A est la réunion sans intersection de B et de C,
ben je peux appeler soit directement B soit je le nomme ou je le cherche en tant que A qui n'est pas C.
B est à la fois ce qu'il est, et ce qu'il n'est pas.

et cela doit bien suffire pour les raisonnements de base.

Il y avait aussi le nécessaire et suffisant,
ben le nécessaire tu l'as ou tu l'as pas

Merci Julian,
tu as bien fait de nous prévenir!

Une digression très courte (dans un message très long) :
On voit parfois des énoncés :
« Un bidule est [...] et un machin est [...]. C’est en menuiserie qu’on a besoin de ça. Voir la figure 1.
Voici la formule qui permet de calculer le bidule du machin $f(a,b,c)$ où $a$ est le truc, $b$ la chose et $c$ le reste.
La formule est à utiliser quand toutes les valeurs sont données avec les unités [...].
Calculer le bidule du machin lorsque la chose vaut 7 m, le truc 9 dm et le reste 11,5 km. »

L’exercice contient du texte et ne demande QUE de remplacer des lettres par des valeurs explicites.


Il est très facile de faire de même, non pas avec une formule mais avec un théorème.

« Le théorème suivant a pour nom la relation d’Euler [relation avec les sommets, arêtes et face des polyèdres valables]. On admet que le cube est un polyèdre valable. Vérifier la relation d’Euler pour le cube.  »

Ou encore :
« Voici un théorème à connaître en 4e.
Quel que soit le triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Le triangle ABC suivant [mesures des côtés données] est-il rectangle ? ».

Je suggère de faire essayer cela à des 5e ou bien à des débuts de 4e ou bien même d’autres théorèmes. Au programme ou pas, on s’en fiche. Et même des petites choses de ce genre à des 6e.
C’est exactement la même chose qu’appliquer une formule. Certes l’énoncé en français peut gêner, dans ce cas on peut énoncer le théorème avec des lettres (sommets des triangles).
On peut même se passer du « $^2$ », et écrire si $UV\times UV= ... $.

Si quelqu’un du forum le propose, qu’il nous dise ce que cela a donné.

Remarque : ça peut ne pas marcher, mais avec un coup de pouce, c'est souvent un succès.
L’intérêt : on lit le truc sans émotion, et il n’y a pas besoin « d’activités » souvent plus difficiles que d’appliquer le théorème lui-même. L’élève travaille avec sa tête. Et il est souvent en réussite. Et on lui dit après « tu devras savoir faire ça l’année prochaine ». Attention, il ne faut pas brider la rédaction mais la vérifier et la valider ou non.
J’affirme que, collège défavorisé ou pas, ça fonctionne très très souvent. Le reste étant les classes « hostiles » (travail, comportement, etc.).

Tout ça pour dire que l’on peut distinguer fortement théorème et contraposée en écrivant explicitement les énoncés.
Éventuellement faire une « synthèse » ensuite.

Ha ? Non, non, c’est juste l’énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore (si c’est égal alors c’est rectangle) et une application à un triangle genre 3/4/5.

Oui, oui pardon.
En fait je prenais des exemples.
Il faut un moment présenter la contraposée.
C’est super important d’ailleurs de proposer plein de triangles et de voir qui va appliquer le mauvais théorème.
En logique il faut être scrupuleux !

Mais, oui, je comprends ton intervention.
Ça manquait de cohérence vis à vis des échanges précédents.

En effet j’ai découvert le mot contraposée en DEUG 1 (L1 actuel).
Moi je trouve sain de mettre des noms sur des choses.
Et je trouve malsain de dire « bon, vous écrivez ça... » (et dans la tête « parce que c’est trop compliqué pour vous d’écrire le vrai truc »).


Au fait, je n’ai pas compris ce passage :
« Donc on a supprimé l'usage jusqu'au lycée de l'implication, et on le réserve aux théorèmes avec 4 sens (les deux contraposées) »

Si l'élève n'est pas gentil, il doit poser son carnet sur la table. S'il est contre à poser son carnet sur la table, est-il gentil ? Une contra-diction ?

Beagle fait honneur à son pseudonyme.

"Il se trouve que ce n'est pas exactement pareil puisque selon ce que l'on accepte, un théorème et sa contraposée ne sont pas équivalentes"

Bah oui, mais les apprentissages se construisent, et des trucs vrais, plus tard sont a moitié vrai car il existe d'autres situations etc...
On reste sur un enseignement collège voire lycée.
Et toi tu enseignes que si on a le si A alors B, alors l'élève a le droit d'utiliser la contraposée si nonB alors nonA.
La seule différence avec ce que je dis,
c'est que pour moi dédoubler ce truc revient à ne pas comprendre ce qui est derrière le si A alors B.
C'est juste cela que je dis.

Prenons un autre exemple:
si k multiple de 6 alors K divisible par 2

admettons que je bosse un truc exprimé en k, je le trouve sous forme 2k'+1

je dis mon truc en k est impair.
Je peux trouver un multiple de 6 dedans?
non car pas divisible par 2

reprenons la différence entre prendre juste le si A alors B
ou utiliser la contraposée.

Si j'ai un k impair multiple de 6, comme c'est un multiple de 6 il est divisble par 2
Si k impair multiple de 6 alors il est pair
juste en le remettant dans son si a lors B

je vois un animal avec deux pattes.C'est peut-être un chien.
Donc j'ai un chien avec deux pattes
mais comme c'est un chien il a 4 pattes
Donc le chien a deux pattes il a aussi 4 pattes
juste en remettant dans le si A lors B de chien alors 4 pattes.

On voit bien que la nécessité d'en invoquer à la contraposée n'est pas necessaire c'est déjà dans la compréhension du si A alors B.

Or dédoubler le si A alors B et le si non B alors non a
on peut se demander si c'est une aide à la compréhension,
ou si cela ne va pas finir en recettes pour certains élèves.
je ne comprends pas le si a alors B dans ses consequenses mais j'ai une formule …

La différence entre les deux positions n'est pas une négation de la contraposée.
c'est de demander pourquoi on est obligé de l'invoquer,
car cela aide , ce que tu penses
car cela masque une incompréhension réelle, ce que je pense

AlainLyon a écrit:

Si $A\Rightarrow B$ alors $non A\Rightarrow non B$ et si $non A\Rightarrow non B$ alors $A\Rightarrow B$ : cela veut bien dire que les théorèmes $A\Rightarrow B$ et $non A\Rightarrow non B$ sont équivalents. Pourquoi-donc est-il interdit de parler de logique? Dans une classe de mathématiques c'est un comble!

J'ai copié le message avant qu'il soit modifié, car parler de logique en faisant une énorme erreur de logique ("si c'est un chat, c'est un animal" et "si c'est un animal c'est un chat" y sont dits équivalents !!!) est un comble.

Contraposée : On appose les contraires.

Cordialement.

Oui, on est d'accord. La construction du mot n'est pas sortie de nulle part. Et j'aime ce mot, je ne refuse pas de l'employer. Je n'ai aucune envie de réformer la langue française pour imposer equirenversée plutot que contraposée.
J'aime ce mot, mais je pense qu'introduire ce mot au collège serait contreproductif.
Les collégiens savent raisonner par contraposée. Il savent reformuler une implication, en écrivant la contraposée. Mais ils n'ont pas besoin de connaître le mot contraposée.