Je pense que si on sait mettre des mots sur ce que l'on fait, cela enrichit culturellement. Pourquoi faudrait-il niveler par le bas et interdire la curiosité?
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Bah contraposée je n'ai pas eu ce mot dans ma scolarité,
Dom dit l'avoir appris en deug,
donc la question est de savoir si on veut pratiquer des maths, faire des exos, résoudre des trucs,
ou si on veut savoir mettre un titre à toutes les actions maths que l'on afait dans la journée.
Bref le mot est-il ici une aide à la compréhension ou non.
Parce que à force de s'arréter pour definir le point, le segment, l'angle, la contraposée etc...
on se demande si à un moment les élèves mettent les mains dans le cambouis et manipulent des trucs.
Sont-ils juste bon a connaitre tous les outils qu'ils n'utilisent pas,
ou bien n'est-il pas préférable de bosser des maths sans savoir nommer tous les outils de façon précise.
Parce que franchement s'il faut dire, je vais utiliser la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore,
euh moi je veux bien,
mais bon...
Ok.
Peu importe le terme, ou peu importe de nommer les choses, ok c’est ce que tu dis.
Je n’ai pas cet avis. Tu dis qu’il n’est pas utile d’appeler un chat un chat du moment qu’on bosse les choses.
Par contre, tu sembles aussi dire qu’il n’y a pas besoin d’utiliser nonB => nonA car A => B suffit.
C’est une autre discussion que « appeler un chat un chat ».
Je persiste à dire que ce n’est pas la même chose en ayant argumenté, dans un message précédent.
Édit : j’avais écrit A à la place de B, c’est rectifié.
Bah Dom,
tu as dit le mot contraposée je l'ai appris en deug.
Perso de mon bac C je n'ai pas souvenir de ce mot.
Donc on utilisait pour nos problèmes le si A alors B
sans avoir besoin de passer par la contraposée.
Et j'aimerais savoir dans les exos que l'on faisait à l'époque où a été le soucis.
Je suis un peu étonné. Personnellement je suis quasiment certain que j'ai entendu pour la première fois le mot contraposée au collège au moment du théorème de Pythagore et pas en Deug. Cela peut être aussi utile au lycée pour certaines démonstrations.
Ce n'est que durant une période relativement récente que ce mot a été presque "banni" au collège il me semble.
Il faudrait retrouver les manuels de l'époque.
Le mot oui, mais l’utilisation de « nonB => non A » est importante à connaître pour démontrer « A => B ».
Je répète :
Si la seule manière de convaincre que c’est pareil utilise un raisonnement, alors c’est la preuve que ce n’est pas une évidence.
C’est donc bien un théorème qui dit :
quels que soient A et B,
(nonB => nonA) => (A =>
Tu devrais l’avoir constaté : ce n’est pas une évidence (pour tout le monde).
C’est surtout le fait de cacher ce théorème qui est fautif.
L’histoire de nommer les choses est bénigne, à côté.
Moi, je pense avoir rencontré ce mot au lycée. Je dois être de la même génération que Beagle (bientôt 60 ans).
Wikipédia dit que ce mot serait apparu en 1862, dans une traduction à partir de textes de Kant, mais je pense que ce mot s'est "démocratisé" beaucoup plus tard, il y a une cinquantaine d'années.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Bon, alors ceux qui l'ont eu en enseignement le trouvent utile.
perso j'ai appris contraposée tres tres tard sur les forums.
Et je ne me sens pas géné pour faire des problèmes collège et lycée.
Je veux bien voir les exos où il y a une gène au raisonnement.
Enfin des exos normaux, pas des exos de logique avec table de vérité et autre A implique B avec A faux.
Car le A implique B avec A faux n'était pas enseigné au lycée.
Encore une fois si A alors B, A implique B, B est nécessaire non suffisant à A,
equivalence si et seulement si
il y avait peut-ètre un autre baratin, une autre enveloppe pour apprendre si A alors B
qui fait que
ben non B avec du A était inconcevable
puisque cela aboutissait à non B alors B
Pour commencer je ne dis pas que ma conception = ce que j'ai reçu comme enseignement
ou cru recevoir?
est meilleure.
Ou pourra discuter un jour si rendre explicite le plus grand nombre de choses est utile ou non.
Utile en terme d'augmenter le nombre d'élèves qui comprennent.
Nécessaire car l'implicite issu de la pratique disparait par le manque de pratique...là c'est une moins bonne justification.
etc...
Je vais juste redévelopper ici pourquoi dans le si A alors B il ya déjà la contraposée.
Et donc pourquoi cela me donne la sensation d'un : "je dirais meme plus" de Dupond et Dupont.
Il me semble que le support implicite est encore ensembliste.
(ou je suis obsédé et tombé dedans puisque je suis encore a cheval maths modernes maths post-modernes)
Bref, en logique les propositions analysent le vrai le faux.
La comprehension autrefois enseignée dans l'implication , dans le si A alors B,
parlait plutot de conditions nécessaires , de conditions nécessaires et suffisantes pour l'equivalence.
Ces conditions , ces propriétés plutôt que vraies ou fausses,
peuvent se voir comme dedans dehors,
donc comme des notions ensemblistes.
Si on reprend le:
si multiple de 6 alors multiple de 2 (je change plutôt que divisible par deux)
Cela signifie que pour avoir multiple de 6 une condition nécessaire est multiple de 2.
Bon déjà condition nécessaire, cela signifie que tu l'as ou tu l'as pas, ben nécessaire tu dois l'avoir.
Au niveau ensembliste:
L'ensemble des multiples de 6 je dois les chercher dans l'ensemble des multiples de 2.
Que dis le si multiple de6 alors multiple de 2:
si j'ai un multiple de 6 il est dans les multiples de 2
si je cherche un multiple de 6 je dois chercher dans les multiples de 2.
Que nous dit la contraposée.
Si je suis dans les impairs, alors je ne peux pas trouver un multiples de 6
Donc Dupond dit: un multiple de 6 est dans les multiples de 2
et Dupont rajoute: je dirais même mieux:
dans les nombres impairs il n' ya pas de multiple de 6
MAIS !
J’ai vu que la proposition directe [multiple de 6 => multiple de 2] est vraie.
Ok.
MÉZALOR : Pourquoi sa contraposée est vraie ?
Si Robert, au fond, pose la question, qu’allons-nous lui répondre ?
Qu’il parte lire Tintin ?
Je dis qu’on va lui répondre par un raisonnement.
DONC que ce n’est pas si « Dupon$dt$ » que ça.
J’ajoute que ce serait malveillant de lui dire « bah voyons, c’est évident ! ».
Remarque : dans tout ce que j’ai pu voir, c’était en majorité « c’est évident... parce que... ».
Un mélange du « bah voyons » et... d’un raisonnement !
j'ai bien parlé d'implicite.
Donc la question que je te retourne pour l'élève qui demande pourquoi la contraposée?
pourquoi tu ne lui a pas fait pratiquer ce qui développe son implicite?
Encore une fois je ne dis pas ce qui est mieux.
Mais faut-il tout rendre explicite avant que de commencer à pratiquer?
Ou faut-il pratiquer ce qui forme l'implicite tout seul .*
*ou comme le dit lourran est naturel de base
déjà en premier niveau = la pratique ne venant que consolider
Préambule :
Mais avant, était-ce le même professeur qu’il a eu ?
Et quand bien même, si « son implicite » n’a pas été assez aiguisé ?
Bon, la tournure « son implicite » est vague, j’en conviens...
Au sujet des ensembles :
Si $A$ inclus dans $B$, alors $B^c$ inclus dans $A^c$.
Est-ce un axiome ou est-ce que cela se démontre ?
Et quand bien même, c’est encore la même discussion.
Faut-il dire 1) « c’est évident » ou annoncer 2) « on va l’utiliser souvent sans le redémontrer à chaque fois ».
Je réfute le « c’est évident » et préfère l’autre solution.
Je crois que c’est cela la synthèse de la discussion.
Pour moi ça reste accessoire le fait de mentionner "d'après la réciproque du th. de Pythagore" ou "d'après la contraposée".
Je suis d'accord que le vocabulaire est important et qu'il faut l'enseigner, ... mais le problème est que les élèves se focalisent sur ces (petits) points de rédaction et non sur le raisonnement à mener.
Pour appliquer la réciproque ou la contraposée, il faut d'abord montrer que l'égalité est vraie ou non. Et là, bien souvent c'est le drame.
Agaçant aussi les élèves qui commencent un raisonnement par "D'après la réciproque du théorème de Pythagore" car on leur demande de prouver qu'un triangle est rectangle ...
En effet, fxb, on a d’abord le problème de l’enchaînement du raisonnement.
J’ai remarqué qu’avant même d’avoir reçu les méthodes, juste en énonçant comme suit ...
Théorème A (sans nom, donc) :
Si le plus grand côté ... est égal... les deux autres, alors le triangle est rectangle.
Théorème B (idem) :
Si le plus grand côté ... n’est pas égal ... les deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle.
... c’était très efficace.
D’une part ça enlève ton problème (« d’après.... ») et d’autre part tu as deux catégories :
- ceux qui disent « comprends rien ! »
- ceux qui appliquent : et le plus souvent c’est fait dans le bon ordre
Il est facile d’aider les premiers en disant « on va lire ensemble ».
A méditer, à essayer.
Là sans aucun cours de logique, sans aucun mot nouveau, ça passe vraiment bien. Même dans le bahut sinistré.
Déjà vu plusieurs fois :
Les cas rectangles passent sans problème. Une fois expliqué ce que signifie l’équivalent, etc.
Les cas « non rectangles/non égaux » bloquent certains gamins (proportion difficile à estimer... autour d’un quart mais ça ne vaut rien de fiable, je le reconnais).
Pour certains c’est évident, pour d’autres « je ne peux pas appliquer car je ne suis dans aucun cas $rectangle \ ou \ égal$ ».
C’est vraiment une vraie question ces négations.
Je propose de tester ça avec toutes les classes.
Il faudrait trouver une assertion avec équivalence qui sortent des choses connues mais qui soit simple à appliquer.
Relation d’Euler pour les solides idoines ?
Si quelqu’un a quelque chose à proposer... dès la 6e : un truc vraiment simple qui le demande pas de compréhension des concepts mais qui le soient pas du commun pour éviter les réflexes (la pluie, le mouillé, etc.).
Retire les habitudes et situations familières si tu veux examiner un raisonnement.
Cela dit, l’exemple de la pluie qui mouille le sol présente parfois des surprises, même en L1.
Justement des implicites font dire à des élèves ou étudiants que si le sol est mouillé c’est qu’il pleut puisque l’on parle de pluie (j’ai assisté à cet échange moi-même quand j’étais en DEUG). L’étudiante en question avait même conclu qu’il y avait un piège dans l’exercice.
C’est pour ça que je préfère enlever les assertions de la vie courante. Elles ne permettent pas de valider le raisonnement.
Bien sûr s’en servir pédagogiquement est pertinent.
Tiens, un exemple courant qui fait échouer à cause des implicites :
« Si j’écris dans ton carnet, alors c’est pour un problème de travail ou de comportement. ».
La majorité des élèves vont dire que c’est vrai. Là encore, à essayer !!! Je ne demande qu’à être contredit.
Attention... sans spoiler, sans préparer l’auditoire.
Car si j’ai le droit de préparer l’auditoire, alors je peux faire échouer toutes les expériences que vous me proposerez.
Dom
Je n’aime pas trop ton idée de théorème A et B car là j’estime que c’est de la récitation et que l’on ne donne même plus la possibilité de comprendre. Je ne dis pas que ces histoires sont évidentes pour tous les élèves mais franchement cela reste accessible pour une bonne part (petite ou grande cela dépend... ) et je ne vois pas dans ce cas de différence avec ce que tu n’apprecies pas (avec raison) ’’bon quand ’’ça ne marche pas’’ tu écris ’’d’après la transposée’’ , ne cherche pas à comprendre...’’ et tes théorèmes A et B.
Ha mince.
Justement ce n’est pas de la récitation.
L’exercice est le suivant :
« Vous disposez d’une dizaine de triangles dont on connaît les trois côtés.
Vous avez aussi les deux théorèmes A et B.
Dites-moi quels triangles sont rectangles et lesquels ne le sont pas.
(Évidemment en justifiant comment vous faites) ».
Au contraire, les élèves qui cherchent sont obligés de comprendre.
Ils n’ont rien d’autre à se mettre sous la dent.
Ok, biely ?
Ce n’est qu’ensuite que l’on peut dire : « le premier s’appelle comme ceci et le second s’appelle comme cela ».
Puis qu’on les écrit dans le cours.
Parler de contraposée en général, de réciproque, de jouer avec la pluie et le beau temps.
C’est l’arrivée du mot « Pythagore » qui met le bazar car les élèves récitent le modèle d’exercices... et sont sujets à un problème de confusion ensuite, presque pavlovien.
Pas du tout convaincu que cela aide les élèves à comprendre. D’ailleurs je propose un exercice supplémentaire: je donne un triangle rectangle et deux longueurs, calculer la troisième. Dire quel théorème A ou B on doit appliquer et bien je suis prêt à prendre les paris que la majorité écriront ’’d’après le théorème A’’.
Attendons les tests (non spoilés) des intervenants.
Dans cette majorité, qui saura démontrer ce qu’il dit ? (Moins du tiers...)
Ensuite, comment convaincre le reste ?
Dans une classe, à la question « qui entre X ou Y ? » on a toujours des avis.
Mais quand on demande « pourquoi ? » on a toujours très peu de volontaire.
Même si les réponses sont justes d’ailleurs, même si tout le monde répond bien, ça n’enlève pas qu’ils ne savent pas pourquoi...
Les maths, c’est convaincre, ce n’est pas statistique.
À n’importe quelle époque des collégiens écrivaient « d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle n’est pas rectangle ».
À n’importe quelle époque (encore aujourd’hui), des collégiens trouvent confus qu’on démontre qu’un triangle n’est pas rectangle avec le théorème de Pythagore.
Personnellement, j'attend la 3e pour introduire explicitement ce type de concepts logiques.
Je dis qu'un théorème est une implication de la forme si hypothèse alors conclusion comme "si je suis à Paris alors je suis en France".
Ensuite je demande si la réciproque est vraie sans préciser ce que cela veut dire, les élèves comprennent tous spontanément que c'est faux.
Ensuite je leur explique que le théorème contraposé qui est lui aussi vrai que le théorème lui même est : si la conclusion n'est pas vérifiée alors l'hypothèse ne peut pas l'être.
En réfléchissant un peu, une bonne partie des élèves arrivent à formuler "Si je ne suis pas en France alors je ne suis pas à Paris".
Ensuite par contre, ils passent plus ou moins en mode automatique binaire pour justifier que deux droites sont parallèles ou non, soit avec la réciproque de Thalès, soit avec la contraposée. J'espère poser des pierres qui leur serviront d'appuis à d'autre raisonnement pour la suite. Je pense aussi que c'est le véritable intérêt d'étudier Thalès en 3e, travailler le raisonnement plutôt que le calcul.
Une remarque : en disant « ne peut pas l’être » c’est déjà raisonner alors que la conclusion est plutôt « ne l’est pas ».
Mais je comprends que c’est oralisé, bien entendu.
Une remarque sur le sujet « dans le dur » de la contraposée :
S’il faut donner des exemples pour convaincre, jusqu’à ce qu’ils soient tirés de la pluie et du beau temps, c’est d’une part que ce n’est pas si évident mais d’autre part c’est que l’on parvient à convaincre des élèves avec des exemples alors que c’est à caractère universel. Ça fait réfléchir également.
Je ne critique pas le fait de donner des exemples. Je ne suis pas en train de faire une critique acerbe des professeurs.
Tous se retrouvent un jour ou l’autre à formuler des exemples pour que Norbert parvienne à cesser d’être stressé par l’objet du moment.
Je propose juste des manières de procéder.
Évidemment à prendre ou à laisser.
Au temps des "maths modernes", des éléments de logique étaient au programme de seconde...
L'équivalence d'une implication et de sa contraposée est démontrée par tables de vérité.
Pour les amateurs qui n'ont pas la chance d'être assez vieux, on en parle ici :
Remarquer qu'il n'y a aucune idée de déduction dans une implication !
Le livre de cours utilisait le mot "infère" (---I) pour une déduction.
Suggestion pour revenir simplement à aujourd'hui :
étudier la "conjecture de Syracuse".
Des milliards de milliards de ... verifications ne constituent pas une démonstration
et aucune démonstration n'a été trouvée...
Erreur classique de démonstration par l'utilisation de l'implication:
Problème:
-énoncé A
-montrer E
L'élève écrit:
Si A alors B,
si B alors C,
si C alors D,
si D alors E.
Sa conclusion:
Si A alors E.
Mais zo fait, quelle erreur a été commise?
$\left ((A\to \wedge (B\to C) \wedge (C \to D) \wedge (D\to E)\right) \to (A\to E)$ est une tautologie.
Si les preuves des affirmations de chaque ligne sont fournies et si $A$ est prouvé alors $E$ est prouvé ici.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Comme on a montré que $A \Rightarrow E$ (enfin, on suppose que c'est bien démontré pour chaque ligne), il manque simplement le fait de conclure que puisque $A$ est supposée vraie (énoncé), $E$ est vraie ?
J'ai bien compris la préférence d'écriture:
A donc B
plutôt que mon adoré si A alors B.
Néanmoins en tant que témoin ou avocat de la défense du si A alors B,
je vais essayer quelques remarques.
1) On nous dit l'implication cela ne sert pas à démontrer,
il faut utiliser l'inférence (que je sais pas ce que c'est).
J'ai sur maths forum contribué à plusieurs fils de discussion sur la suppression de l'implique au lycée,
qui serait justifié car qs faut faire le cas A faux, faut faire les tables de vérité, c'est compliqué faut voir cela plus tard que lycée.
Oui mais sauf que, on utilisait au lycée le A implique B sans avoir à preciser A vrai,
A implique B avec A faux nous aurait fait bugger.
Et je trouve que cela marchait plutôt bien.
Alors je réponds, d'accord les gars, je n'utilise plus le mot implique, le symbole implique.
Je vais écrire si A alors B.
Et là on me retombe dessus, mais malheureux le si A alors B, c'est l'implication.
T'as toujours pas le droit à ce truc.
2)donc le si A lors B, déjà c'est pas si net que cela que cela ne démontre rien
qs mon exemple
3)mais pourquoi le si A alors B m'est si important.
Ben je ne sais pas vous comment vous faites uen résolution de problème,
mais perso , moi c'est systématique et si et si et si et si et si.
C'est la manière de bousculer le problème, voir ce qu'il a dans les tripes, pousser le bouchon vers si truc, et dans l'autre sens si machin.
De sorte que si le si A alors B est l'essence de la résolution du problème.
Cela me gave de passer en mode A donc B au moment de la rédaction.
Et je pense que si on apprend aux élèves à rédiger A donc B pour l'écriture de la démonstration,
alors on les incite en mode résolution de probème
à prendre ce qui est connu de l'énoncé et faire du donc.
Bref, cela n'incite pas l'élève à fouiller le problème.
L'élève va partir de l'angle droit qu'on lui donne dans l'énoncé,
mais il va moins etre enclin a se demander, et si les deux angles truc muche étaeient égaux , n'aurais-je pas plié l'exo?
3)Bref l'abandon de l'implication,
mais qui est ici introduite dans les théorèmes,
l'élève ne sait pas ce qu'est un si A alors B, que déjà on lui donne les clés de la contraposée.
Qui plus est, je trouve que se former l'esprit au si A lors B
dans l'équivalence, ben c'est assez horrible en fait
car on demande dans Pythagore les 4 sens possibles de l'équivalence,
alors que le caractère unilatéral de l'implication n'est pas acquis.
Voilà, choses discutables j'en conviens.
Et je ne dis pas à dom ce qu'il convient de faire.
Je réfléchis à ce que m'inspire cette difficulté de la contraposée
et du si A alors B puisque la nécessité d'en référer à la contraposée est pour moi un aveu d'échec plutôt qu'une augmentation des capacités.
L'implication "ne sert pas à démontrer" est une phrase maladroite.
En fait l'implication est juste un élément de construction d'un énoncé à partir de deux autres.
Alors qu'une démonstration est un enchaînement d'énoncés réalisé selon des règles établies à l'avance.
Il convient de lire des manuels de logique formelle si on veut savoir de quoi il en retourne, l'opinion de gens non logiciens (même matheux) n'est pas plus pertinente sur ces sujets que celle de monsieur tout le monde en général.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Exemple sur ce que l’on peut voir parfois et dont certains profs déclarent que ce qui est écrit est faux.
Je mets ça sur le compte de « oui mais il n’a pas compris donc je mets faux quand même » et pourtant c’est juste.
Bien entendu, l’élève n’a pas répondu à la consigne posée qui était « Déterminer AB en écriture décimale ».
Moi je propose d’écrire plutôt « et donc ? Combien vaut AB ? ».
—- début —-
Le triangle ABC (avec BC=4 et AC=3) est rectangle en A
Réponses
Dom dit l'avoir appris en deug,
donc la question est de savoir si on veut pratiquer des maths, faire des exos, résoudre des trucs,
ou si on veut savoir mettre un titre à toutes les actions maths que l'on afait dans la journée.
Bref le mot est-il ici une aide à la compréhension ou non.
Parce que à force de s'arréter pour definir le point, le segment, l'angle, la contraposée etc...
on se demande si à un moment les élèves mettent les mains dans le cambouis et manipulent des trucs.
Sont-ils juste bon a connaitre tous les outils qu'ils n'utilisent pas,
ou bien n'est-il pas préférable de bosser des maths sans savoir nommer tous les outils de façon précise.
Parce que franchement s'il faut dire, je vais utiliser la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore,
euh moi je veux bien,
mais bon...
Ok.
Peu importe le terme, ou peu importe de nommer les choses, ok c’est ce que tu dis.
Je n’ai pas cet avis. Tu dis qu’il n’est pas utile d’appeler un chat un chat du moment qu’on bosse les choses.
Par contre, tu sembles aussi dire qu’il n’y a pas besoin d’utiliser nonB => nonA car A => B suffit.
C’est une autre discussion que « appeler un chat un chat ».
Je persiste à dire que ce n’est pas la même chose en ayant argumenté, dans un message précédent.
Édit : j’avais écrit A à la place de B, c’est rectifié.
tu as dit le mot contraposée je l'ai appris en deug.
Perso de mon bac C je n'ai pas souvenir de ce mot.
Donc on utilisait pour nos problèmes le si A alors B
sans avoir besoin de passer par la contraposée.
Et j'aimerais savoir dans les exos que l'on faisait à l'époque où a été le soucis.
Ce n'est que durant une période relativement récente que ce mot a été presque "banni" au collège il me semble.
Il faudrait retrouver les manuels de l'époque.
Je répète :
Si la seule manière de convaincre que c’est pareil utilise un raisonnement, alors c’est la preuve que ce n’est pas une évidence.
C’est donc bien un théorème qui dit :
quels que soient A et B,
(nonB => nonA) => (A =>
Tu devrais l’avoir constaté : ce n’est pas une évidence (pour tout le monde).
C’est surtout le fait de cacher ce théorème qui est fautif.
L’histoire de nommer les choses est bénigne, à côté.
Wikipédia dit que ce mot serait apparu en 1862, dans une traduction à partir de textes de Kant, mais je pense que ce mot s'est "démocratisé" beaucoup plus tard, il y a une cinquantaine d'années.
perso j'ai appris contraposée tres tres tard sur les forums.
Et je ne me sens pas géné pour faire des problèmes collège et lycée.
Je veux bien voir les exos où il y a une gène au raisonnement.
Enfin des exos normaux, pas des exos de logique avec table de vérité et autre A implique B avec A faux.
Car le A implique B avec A faux n'était pas enseigné au lycée.
Encore une fois si A alors B, A implique B, B est nécessaire non suffisant à A,
equivalence si et seulement si
il y avait peut-ètre un autre baratin, une autre enveloppe pour apprendre si A alors B
qui fait que
ben non B avec du A était inconcevable
puisque cela aboutissait à non B alors B
C’est donc un théorème : on le prouve !
ou cru recevoir?
est meilleure.
Ou pourra discuter un jour si rendre explicite le plus grand nombre de choses est utile ou non.
Utile en terme d'augmenter le nombre d'élèves qui comprennent.
Nécessaire car l'implicite issu de la pratique disparait par le manque de pratique...là c'est une moins bonne justification.
etc...
Je vais juste redévelopper ici pourquoi dans le si A alors B il ya déjà la contraposée.
Et donc pourquoi cela me donne la sensation d'un : "je dirais meme plus" de Dupond et Dupont.
a suivre
(ou je suis obsédé et tombé dedans puisque je suis encore a cheval maths modernes maths post-modernes)
Bref, en logique les propositions analysent le vrai le faux.
La comprehension autrefois enseignée dans l'implication , dans le si A alors B,
parlait plutot de conditions nécessaires , de conditions nécessaires et suffisantes pour l'equivalence.
Ces conditions , ces propriétés plutôt que vraies ou fausses,
peuvent se voir comme dedans dehors,
donc comme des notions ensemblistes.
Si on reprend le:
si multiple de 6 alors multiple de 2 (je change plutôt que divisible par deux)
Cela signifie que pour avoir multiple de 6 une condition nécessaire est multiple de 2.
Bon déjà condition nécessaire, cela signifie que tu l'as ou tu l'as pas, ben nécessaire tu dois l'avoir.
Au niveau ensembliste:
L'ensemble des multiples de 6 je dois les chercher dans l'ensemble des multiples de 2.
Que dis le si multiple de6 alors multiple de 2:
si j'ai un multiple de 6 il est dans les multiples de 2
si je cherche un multiple de 6 je dois chercher dans les multiples de 2.
Que nous dit la contraposée.
Si je suis dans les impairs, alors je ne peux pas trouver un multiples de 6
Donc Dupond dit: un multiple de 6 est dans les multiples de 2
et Dupont rajoute: je dirais même mieux:
dans les nombres impairs il n' ya pas de multiple de 6
MAIS !
J’ai vu que la proposition directe [multiple de 6 => multiple de 2] est vraie.
Ok.
MÉZALOR : Pourquoi sa contraposée est vraie ?
Si Robert, au fond, pose la question, qu’allons-nous lui répondre ?
Qu’il parte lire Tintin ?
Je dis qu’on va lui répondre par un raisonnement.
DONC que ce n’est pas si « Dupon$dt$ » que ça.
J’ajoute que ce serait malveillant de lui dire « bah voyons, c’est évident ! ».
Remarque : dans tout ce que j’ai pu voir, c’était en majorité « c’est évident... parce que... ».
Un mélange du « bah voyons » et... d’un raisonnement !
Donc la question que je te retourne pour l'élève qui demande pourquoi la contraposée?
pourquoi tu ne lui a pas fait pratiquer ce qui développe son implicite?
Encore une fois je ne dis pas ce qui est mieux.
Mais faut-il tout rendre explicite avant que de commencer à pratiquer?
Ou faut-il pratiquer ce qui forme l'implicite tout seul .*
*ou comme le dit lourran est naturel de base
déjà en premier niveau = la pratique ne venant que consolider
Mais avant, était-ce le même professeur qu’il a eu ?
Et quand bien même, si « son implicite » n’a pas été assez aiguisé ?
Bon, la tournure « son implicite » est vague, j’en conviens...
Au sujet des ensembles :
Si $A$ inclus dans $B$, alors $B^c$ inclus dans $A^c$.
Est-ce un axiome ou est-ce que cela se démontre ?
Et quand bien même, c’est encore la même discussion.
Faut-il dire 1) « c’est évident » ou annoncer 2) « on va l’utiliser souvent sans le redémontrer à chaque fois ».
Je réfute le « c’est évident » et préfère l’autre solution.
Je crois que c’est cela la synthèse de la discussion.
Faut juste sortir et arréter les confinements.
Si je te vois dessiner des patates pour convaincre quelqu’un alors plumes et goudron.
Je suis d'accord que le vocabulaire est important et qu'il faut l'enseigner, ... mais le problème est que les élèves se focalisent sur ces (petits) points de rédaction et non sur le raisonnement à mener.
Pour appliquer la réciproque ou la contraposée, il faut d'abord montrer que l'égalité est vraie ou non. Et là, bien souvent c'est le drame.
Agaçant aussi les élèves qui commencent un raisonnement par "D'après la réciproque du théorème de Pythagore" car on leur demande de prouver qu'un triangle est rectangle ...
J’ai remarqué qu’avant même d’avoir reçu les méthodes, juste en énonçant comme suit ...
Théorème A (sans nom, donc) :
Si le plus grand côté ... est égal... les deux autres, alors le triangle est rectangle.
Théorème B (idem) :
Si le plus grand côté ... n’est pas égal ... les deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle.
... c’était très efficace.
D’une part ça enlève ton problème (« d’après.... ») et d’autre part tu as deux catégories :
- ceux qui disent « comprends rien ! »
- ceux qui appliquent : et le plus souvent c’est fait dans le bon ordre
Il est facile d’aider les premiers en disant « on va lire ensemble ».
A méditer, à essayer.
Là sans aucun cours de logique, sans aucun mot nouveau, ça passe vraiment bien. Même dans le bahut sinistré.
ABC est rectangle en C si et seulement si AB² = AC² + BC²
ça pose d'autres problèmes?
Les cas rectangles passent sans problème. Une fois expliqué ce que signifie l’équivalent, etc.
Les cas « non rectangles/non égaux » bloquent certains gamins (proportion difficile à estimer... autour d’un quart mais ça ne vaut rien de fiable, je le reconnais).
Pour certains c’est évident, pour d’autres « je ne peux pas appliquer car je ne suis dans aucun cas $rectangle \ ou \ égal$ ».
C’est vraiment une vraie question ces négations.
Je propose de tester ça avec toutes les classes.
Il faudrait trouver une assertion avec équivalence qui sortent des choses connues mais qui soit simple à appliquer.
Relation d’Euler pour les solides idoines ?
Si quelqu’un a quelque chose à proposer... dès la 6e : un truc vraiment simple qui le demande pas de compréhension des concepts mais qui le soient pas du commun pour éviter les réflexes (la pluie, le mouillé, etc.).
J'ai pas fait le devoir de maths, je ferais pas le devoir de maths,
bref la négation ,
bloque vraiment?
Enfin bloque la compréhension?,
car cela ddevrait bien ne bloquer que la sortie avec les copains
Cela dit, l’exemple de la pluie qui mouille le sol présente parfois des surprises, même en L1.
Justement des implicites font dire à des élèves ou étudiants que si le sol est mouillé c’est qu’il pleut puisque l’on parle de pluie (j’ai assisté à cet échange moi-même quand j’étais en DEUG). L’étudiante en question avait même conclu qu’il y avait un piège dans l’exercice.
C’est pour ça que je préfère enlever les assertions de la vie courante. Elles ne permettent pas de valider le raisonnement.
Bien sûr s’en servir pédagogiquement est pertinent.
Tiens, un exemple courant qui fait échouer à cause des implicites :
« Si j’écris dans ton carnet, alors c’est pour un problème de travail ou de comportement. ».
La majorité des élèves vont dire que c’est vrai. Là encore, à essayer !!! Je ne demande qu’à être contredit.
Attention... sans spoiler, sans préparer l’auditoire.
Car si j’ai le droit de préparer l’auditoire, alors je peux faire échouer toutes les expériences que vous me proposerez.
Je n’aime pas trop ton idée de théorème A et B car là j’estime que c’est de la récitation et que l’on ne donne même plus la possibilité de comprendre. Je ne dis pas que ces histoires sont évidentes pour tous les élèves mais franchement cela reste accessible pour une bonne part (petite ou grande cela dépend... ) et je ne vois pas dans ce cas de différence avec ce que tu n’apprecies pas (avec raison) ’’bon quand ’’ça ne marche pas’’ tu écris ’’d’après la transposée’’ , ne cherche pas à comprendre...’’ et tes théorèmes A et B.
Justement ce n’est pas de la récitation.
L’exercice est le suivant :
« Vous disposez d’une dizaine de triangles dont on connaît les trois côtés.
Vous avez aussi les deux théorèmes A et B.
Dites-moi quels triangles sont rectangles et lesquels ne le sont pas.
(Évidemment en justifiant comment vous faites) ».
Au contraire, les élèves qui cherchent sont obligés de comprendre.
Ils n’ont rien d’autre à se mettre sous la dent.
Ok, biely ?
Ce n’est qu’ensuite que l’on peut dire : « le premier s’appelle comme ceci et le second s’appelle comme cela ».
Puis qu’on les écrit dans le cours.
Parler de contraposée en général, de réciproque, de jouer avec la pluie et le beau temps.
C’est l’arrivée du mot « Pythagore » qui met le bazar car les élèves récitent le modèle d’exercices... et sont sujets à un problème de confusion ensuite, presque pavlovien.
...
Dites-moi quels triangles sont rectangles et lesquels ne le sont pas.
le triangle est rectangle seulement si qs egalité
On a un gars qui demande : « pourquoi ? » .
Je n’y peux rien ! Moi j’ai bien compris.
Dans cette majorité, qui saura démontrer ce qu’il dit ? (Moins du tiers...)
Ensuite, comment convaincre le reste ?
Dans une classe, à la question « qui entre X ou Y ? » on a toujours des avis.
Mais quand on demande « pourquoi ? » on a toujours très peu de volontaire.
Même si les réponses sont justes d’ailleurs, même si tout le monde répond bien, ça n’enlève pas qu’ils ne savent pas pourquoi...
Les maths, c’est convaincre, ce n’est pas statistique.
grace à l'introduction de la contraposée,
vous avez donné 4 sens possibles à une équivalence!!!!
Ce qui permet de s'amuser avec Pythagore...
versus de mon temps une équivalence c'était deux sens.
Et il n'apparait pas qu'en démontrant la contraposée
on a véritablement amélioré la compréhension de l'implication.
démontrer n'est pas comprendre
Donc l'objectif pourrait ètre faire comprendre l'implication à ceux qui ne l'ont pas comprise.
Enfin l'implication de "mon temps" au collège lycée.
À n’importe quelle époque (encore aujourd’hui), des collégiens trouvent confus qu’on démontre qu’un triangle n’est pas rectangle avec le théorème de Pythagore.
Ce n’est pas une conclusion. C’est un fait.
Et de faire juste les calculs .
Puis avec les calculs tirer une conclusion rectangle ou non.
Et on bosse le si A alors B sur d'autres exos dont on ne connait pas l'auteur.
Sinon perso, je serais à deux doigts de vous conseiller de revendre.
En l'état.
A faible prix, certes.
Je dis qu'un théorème est une implication de la forme si hypothèse alors conclusion comme "si je suis à Paris alors je suis en France".
Ensuite je demande si la réciproque est vraie sans préciser ce que cela veut dire, les élèves comprennent tous spontanément que c'est faux.
Ensuite je leur explique que le théorème contraposé qui est lui aussi vrai que le théorème lui même est : si la conclusion n'est pas vérifiée alors l'hypothèse ne peut pas l'être.
En réfléchissant un peu, une bonne partie des élèves arrivent à formuler "Si je ne suis pas en France alors je ne suis pas à Paris".
Ensuite par contre, ils passent plus ou moins en mode automatique binaire pour justifier que deux droites sont parallèles ou non, soit avec la réciproque de Thalès, soit avec la contraposée. J'espère poser des pierres qui leur serviront d'appuis à d'autre raisonnement pour la suite. Je pense aussi que c'est le véritable intérêt d'étudier Thalès en 3e, travailler le raisonnement plutôt que le calcul.
Tout est dans le « une bonne partie des élèves ».
Une remarque : en disant « ne peut pas l’être » c’est déjà raisonner alors que la conclusion est plutôt « ne l’est pas ».
Mais je comprends que c’est oralisé, bien entendu.
S’il faut donner des exemples pour convaincre, jusqu’à ce qu’ils soient tirés de la pluie et du beau temps, c’est d’une part que ce n’est pas si évident mais d’autre part c’est que l’on parvient à convaincre des élèves avec des exemples alors que c’est à caractère universel. Ça fait réfléchir également.
Je ne critique pas le fait de donner des exemples. Je ne suis pas en train de faire une critique acerbe des professeurs.
Tous se retrouvent un jour ou l’autre à formuler des exemples pour que Norbert parvienne à cesser d’être stressé par l’objet du moment.
Je propose juste des manières de procéder.
Évidemment à prendre ou à laisser.
L'équivalence d'une implication et de sa contraposée est démontrée par tables de vérité.
Pour les amateurs qui n'ont pas la chance d'être assez vieux, on en parle ici :
Remarquer qu'il n'y a aucune idée de déduction dans une implication !
Le livre de cours utilisait le mot "infère" (---I) pour une déduction.
Suggestion pour revenir simplement à aujourd'hui :
étudier la "conjecture de Syracuse".
Des milliards de milliards de ... verifications ne constituent pas une démonstration
et aucune démonstration n'a été trouvée...
Problème:
-énoncé A
-montrer E
L'élève écrit:
Si A alors B,
si B alors C,
si C alors D,
si D alors E.
Sa conclusion:
Si A alors E.
Mais zo fait, quelle erreur a été commise?
Si les preuves des affirmations de chaque ligne sont fournies et si $A$ est prouvé alors $E$ est prouvé ici.
edit: tout comme Foys.
On a A.
Donc B.
Donc C.
Donc D.
Donc E.
On demande bien de montrer E sous conditions de l'énoncé A, non?
En quoi l'écriture de l"élève ne répont-elle pas à :
sous condition de A alors on a E ?
A donc B
plutôt que mon adoré si A alors B.
Néanmoins en tant que témoin ou avocat de la défense du si A alors B,
je vais essayer quelques remarques.
1) On nous dit l'implication cela ne sert pas à démontrer,
il faut utiliser l'inférence (que je sais pas ce que c'est).
J'ai sur maths forum contribué à plusieurs fils de discussion sur la suppression de l'implique au lycée,
qui serait justifié car qs faut faire le cas A faux, faut faire les tables de vérité, c'est compliqué faut voir cela plus tard que lycée.
Oui mais sauf que, on utilisait au lycée le A implique B sans avoir à preciser A vrai,
A implique B avec A faux nous aurait fait bugger.
Et je trouve que cela marchait plutôt bien.
Alors je réponds, d'accord les gars, je n'utilise plus le mot implique, le symbole implique.
Je vais écrire si A alors B.
Et là on me retombe dessus, mais malheureux le si A alors B, c'est l'implication.
T'as toujours pas le droit à ce truc.
2)donc le si A lors B, déjà c'est pas si net que cela que cela ne démontre rien
qs mon exemple
3)mais pourquoi le si A alors B m'est si important.
Ben je ne sais pas vous comment vous faites uen résolution de problème,
mais perso , moi c'est systématique et si et si et si et si et si.
C'est la manière de bousculer le problème, voir ce qu'il a dans les tripes, pousser le bouchon vers si truc, et dans l'autre sens si machin.
De sorte que si le si A alors B est l'essence de la résolution du problème.
Cela me gave de passer en mode A donc B au moment de la rédaction.
Et je pense que si on apprend aux élèves à rédiger A donc B pour l'écriture de la démonstration,
alors on les incite en mode résolution de probème
à prendre ce qui est connu de l'énoncé et faire du donc.
Bref, cela n'incite pas l'élève à fouiller le problème.
L'élève va partir de l'angle droit qu'on lui donne dans l'énoncé,
mais il va moins etre enclin a se demander, et si les deux angles truc muche étaeient égaux , n'aurais-je pas plié l'exo?
3)Bref l'abandon de l'implication,
mais qui est ici introduite dans les théorèmes,
l'élève ne sait pas ce qu'est un si A alors B, que déjà on lui donne les clés de la contraposée.
Qui plus est, je trouve que se former l'esprit au si A lors B
dans l'équivalence, ben c'est assez horrible en fait
car on demande dans Pythagore les 4 sens possibles de l'équivalence,
alors que le caractère unilatéral de l'implication n'est pas acquis.
Voilà, choses discutables j'en conviens.
Et je ne dis pas à dom ce qu'il convient de faire.
Je réfléchis à ce que m'inspire cette difficulté de la contraposée
et du si A alors B puisque la nécessité d'en référer à la contraposée est pour moi un aveu d'échec plutôt qu'une augmentation des capacités.
En fait l'implication est juste un élément de construction d'un énoncé à partir de deux autres.
Alors qu'une démonstration est un enchaînement d'énoncés réalisé selon des règles établies à l'avance.
Il convient de lire des manuels de logique formelle si on veut savoir de quoi il en retourne, l'opinion de gens non logiciens (même matheux) n'est pas plus pertinente sur ces sujets que celle de monsieur tout le monde en général.
quand je prends A vrai (qu'il soit vrai ou pas d'ailleurs)
si j'ai A alors j'ai B
Si j'avais A alors j'aurais B
Quand j'aurais A alors j'aurais B.
Que les logiciens me redonnent ce truc,
c'est du vol cette appropiation.
au voleur!
Je mets ça sur le compte de « oui mais il n’a pas compris donc je mets faux quand même » et pourtant c’est juste.
Bien entendu, l’élève n’a pas répondu à la consigne posée qui était « Déterminer AB en écriture décimale ».
Moi je propose d’écrire plutôt « et donc ? Combien vaut AB ? ».
—- début —-
Le triangle ABC (avec BC=4 et AC=3) est rectangle en A
donc BC$^2$=BA$^2$+AC$^2$ .
AB$^2$=3$^2$+4$^2$ et AB>0 $<=>$ AB=5
—- fin —-
Il n’y a rien de faux dans ce texte.