Inégalité dans division euclidienne

Arturo
Arturo
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

en 6ème, lorsque vous faites poser des divisions euclidiennes à vos élèves comme 39 = 9 x 4 + 3,
leur faites-vous écrire "avec 3 < 9" (avec reste inférieur au diviseur) ?

Je pense (à tort peut-être) qu'il est important d'utiliser cette inégalité dans une vérification type :
* 3 < 9 -> le reste est inférieur au diviseur (mais cela ne suffit pas car cela ne veut pas dire que le quotient obtenu est juste / qu'il n'y a pas eu d'erreur de calcul).
* 9 x 4 = 36
36 + 3 = 39
Les deux étapes précédentes sont vérifiées, on ne s'est pas trompé.

Un exercice pourrait être
1) Pose la division euclidienne de 39 par 9.
2) Vérifie, en deux étapes que tu ne t'es pas trompé. / Effectue les deux étapes de vérification.

Qu'en pensez-vous ?
Merci.

Réponses

  • Dom
    Dom
    En effet.
    IL FAUT l’écrire.
    Mais on a vite la flemme.

    Je pense qu’il faut l’exiger en 6e au début.
    Quand on sait de quoi on parle, on peut lâcher un peu.


    Une remarque : avant même de faire le cours, « compléter par des entiers naturels 37 = 5x___ + ___ » est pertinent je trouve.
    Comparer toutes les réponses obtenues, montrer qu’on peut feinter et écrire 37 = 5x0+37, puis dire que quand on maximise le premier nombre (sans dépasser ou quand le second reste positif... en 6e... pas de négatif de toute façon) , ça porte un nom.

    Rappel : on peut voir la division euclidienne comme une soustraction du même nombre jusqu’à épuisement...
  • Arturo
    Arturo
    Salut Dom,

    pour toi, l'écrire seulement dans les 2 étapes de vérification ne suffit pas ?

    Quand les élèves pose 39 div 9 (avec la potence), qu'ils obtienne q = 4 et r = 3, il faut selon toi écrire en dessous de la potence "avec 3 < 9".
    C'est ça ?

    En même temps, par définition, une division euclidienne induit d'avoir le reste inférieur au diviseur.
    Donc si un élève écrit : 39 = 9 * 2 + 21, c'est, certes, juste mais ce n'est pas une division euclidienne ; pour preuve, 21 > 9.
    Donc ce n'est peut-être pas utile de l'écrire, hormis pour vérifier.
    J'insiste : peut-être ai-je tort.
    Je m'interroge.
  • Dom
    Dom
    Il faut tout écrire (et je nuance le « il faut » avec... mais c’est lourd...). 
    39 7
 4 5

39=7x5+4

4<7

    Tu remarqueras que j’enlève $0\leq 4$.
    Et d’ailleurs, peut-être faut-il l’écrire...(mais c’est lourd...)
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @Arturo : soit tu poses la division entière et/ou tu écris la relation qui lie dividende, diviseur, quotient, reste, ainsi que l'inégalité stricte reste<diviseur.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Dasson
    Dasson
    Exemple donné dans le rapport "Vilani Torossian":

    Le FLASH est lisible par "ruffle" :
  • Arturo
    Arturo
    Merci pour vos réponses.

    Je vous posais la question car l'année dernière, un élève m'a demandé (je ne sais plus comment il m'a dit ça mais l'idée était :) "Pourquoi écrire à chaque fois reste < diviseur puisque on le voit dans le calcul avec la potence ou dans l'égalité."
    J'ai été déstabilisé parce que je ne voyais pas quoi répondre à sa question.
  • OShine
    OShine
    Je l'écris à chaque fois
  • vorobichek
    vorobichek
    J'ai vu la même discussion sur neoprof. Les enfants ont appris à écrire $11 \div 5 = 2 \; (reste \;\; 1)$. Pourquoi inventer une autre écriture?
  • Sato
    Sato
    Je pense, Dasson, qu’il est temps de convertir toutes tes animations.

  • Dom
    Dom
    Vorobichek,

    Je ne sais pas dans quel sens va ton message.
    En effet l’écriture 6=4x1+2 est tellement commode.
    Pourquoi écrire 6:4=1 (reste 2) ?

    Est-ce cela ton message ?
  • lourrran
    lourrran
    Quand on demande à un élève : quel est le résultat de telle opération (remplacer le mot opération par addition, soustraction, multiplication, division, ou même exponentiation pourquoi pas), la réponse sera toujours données sous la forme
    a ~ b = c ( ~ est un symbole générique ... à remplacer par + - * : ou ^)

    Quel est le résultat de 15+6 ? 15+6=21
    Quel est le résultat de 15-6 ? 15-6=9
    Quel est le résultat de 15:6 ? 15:6=2 reste 3

    D'un côté du signe =, on a les données de la question , et de l'autre coté du signe égal, on a la réponse
    Il se trouve que dans le cas d'une division entière, le résultat n'est pas un entier, mais un couple d'entier. Soit.

    Et à voix haute, ce symbole = , il se traduit par quel verbe ? par le verbe donner, ou par le verbe faire. Ou éventuellement par le verbe égaler.

    Le fait d'avoir d'un coté du symbole = les données d'input, et de l'autre côté la réponse, c'est quand même une normalisation très utile.

    En plus, on prépare au concept de fonction : la fonction division entière est une fonction de NxN* vers N², définie par f(dividende, diviseur) = (quotient, reste).
    Je sais que là, je brûle 1000 étapes, mais on est dans la même logique. l'input d'un côté du signe =, et le résultat de l'autre côté.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Dom
    Dom
    Je crois plutôt que « 15:6=2 reste 3 » est une dérive orale qui se dit par beaucoup en lisant une potence.
    La question est « 15 |6, alors ? »
    La réponse est « 2 reste 3 » qui s’écrit plutôt en dessous. 
    15 |[u]6[/u]
 3 |2

    J’irais même jusqu’à dire que je suis convaincu que ça vient de là : on lit ce diagramme avec potence.
    « 15 divisé par 6, 2 reste 3 ».
    Et le satané « = » est mis pour faire un lien car écrire « 15 : 6, 2 reste 3 » n’est pas satisfaisant.

    J’ai déjà vu qu’on oblige à dire « quotient 2 reste 3 ».
    J’imagine très bien qu’on finisse par oublier de dire « quotient » tout en disant « 2 reste 3 », pour aller plus vite.

    Rappelons que la division euclidienne est un théorème :
    À un couple d’entiers naturels (a;b) dont le second est non nul, on associe un couple d’entiers naturels dont le second est strictement inférieur à b.
    Ça pourrait s’écrire : 15:6=(2;3).
  • Sato
    Sato
    Lourrrrran, sur le principe, oui, pourquoi pas, mais on utilise alors pour deux choses différentes le même symbole (celui de la division, solidus ou quelque chose comme ça) pour deux choses différentes, une fonction à valeurs dans N2 et une autre dans Q, ce qui pourrait ajouter à la confusion en sixième. Il faudrait un autre symbole.

  • Arturo
    Arturo
    Il me semblait que 15 : 6 = 2,5.

    Outre cette boutade, la division euclidienne ne serait-elle pas une opération un peu différente (cas particulier de la division au sens large ou le contraire ?) ?
  • Dom
    Dom
    C’est plutôt que dans un corps, toutes les divisions ont comme reste « zéro ».
  • vorobichek
    vorobichek
    @Dom
    Vorobichek,

    Je ne sais pas dans quel sens va ton message.
    En effet l’écriture 6=4x1+2 est tellement commode.
    Pourquoi écrire 6:4=1 (reste 2) ?

    Est-ce cela ton message ?
    Parce que ré-apprendre une autre méthode, alors que la première est apprise et maitrisée, est contre productif et une perte de temps en 6e et 5e. Nous, nous sommes des adultes qui maitrisent les maths et on a tout appris. Pour nous écrire $6=4 \times 1 +2$ est commode et logique. Mais ce n'est pas le cas pour les petits, d'où cette notation $6 \div 4 = 1 \;(reste \; 2) $ à l'école. J'ai lu le file sur néoprofs, cette notation est utilisée dans des nombreux pays.
    Rappelons que la division euclidienne est un théorème :
    Oui... et? Les petits ne sont pas assez matures et ne maitrisent pas assez le français pour suivre le raisonnement et la démonstration des théorèmes. On ne peut pas tout faire. C'est repoussé à plus tard. Je ne vois aucun mal. Encore une fois, la paroisse qui prêche pour l'écriture très tôt $6=4 \times 1 +2$ le fait -elle pour des raisons pédagogiques? Ou bien parce que les mathématiciens de cette paroisse n'aiment pas utiliser les définitions et notations floues?

    C'est comme la discussion entre nous deux à propos de quotient/fraction/nombre irrationnel.
  • Dom
    Dom
    Pour ce cas là, c’est bien pédagogique : le lien entre ces quatre nombres doit être connu.

    Le cacher est honteux.
    Beaucoup ne savent pas justement retrouver ce que veut dire « 6 reste 2 ». On obtient n’importe quoi.
    Pour beaucoup ça n’a même aucun sens.
    D’ailleurs peu écrivent « 10:7=1 (reste 3) » d’eux-même.

    Quand tu dis « Les petits ne sont pas assez matures », avoue que tu fais de la provocation.
    Étonnant de lire aussi « commode et logique ». Ce n’est pas une histoire de logique, c’est ce que signifie ces deux nombres.

    Tu dis 6e-5e...
    Mais sais-tu ce que cela va coûter aux 4e-3e de « ré-apprendre ». Déconstruire est très difficile justement et si on le fait trop tard, c’est encore plus malveillant.
    Pauvres gamins de fin de collège...

    Remarque :
    Quand je disais « c’est un théorème » je voulais appuyer que l’image était un couple et non un seul nombre.
    En ce sens on comprend la difficulté. Là je suis d’accord, ce n’est pas naturel pour celui qui apprend que les opérations élémentaires ne renvoient qu’un seul nombre.
  • Dasson
    Dasson
    J'attendais des avis sur la façon de faire une division posée dans l'exemple donné (rapport Torossian Vilani).
    Je n'avais jamais vu.
    Souvenirs lointains des techniques utilisées par des élèves de sixièmes, différentes selon l'école primaire d'origine...
  • Dom
    Dom
    Dasson,

    Cette manière de décomposer n’est rien d’autre que le tableau de numération (unité dizaine centaine...)
    Je préfère écrire au dessus de chaque chiffre ces « étiquettes » qui indiquent la colonne.
    Et aussi les écrire au dessus du dividende.

    J’ose dire que cela éclairera peut-être des enseignants qui connaissaient l’algorithme de division mais qui n’y ont jamais réfléchi. Je ne les blâme pas.

    Voilà ;-) pour le commentaire.

    Aussi, à l’école, s’ils avaient le temps, ils pourraient faire cela avec des billets (de 100, de 10) et des pièces de 1.
    Mais force est de constater qu’ils ont la tête dans le guidon dans une majorité d’établissements puisqu’il faut à chaque fois tenter de combler un retard.

    Rien qu’écrire « 45,9 centaines » dans le tableau de numération, ce n’est pas acquis pour la plupart des élèves de 6e.
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