Vos exercices originaux préférés
J'ouvre ce fil pour que chacun puisse partager ses exercices originaux préférés. La seule règle : vous devez avoir inventé l'exercice.
J'ouvre le bal.
Exercice : quel est le prix de cette brique de lait ?
(Niveau collège).
J'ouvre le bal.
Exercice : quel est le prix de cette brique de lait ?
(Niveau collège).
Réponses
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C’est quand même fabuleux la communication...52,88% du PHT est redonné à l’éleveur, pas 52,88% des 1,04 euros que vous allez payer à la caisse...remarquez comme le 52,88% est écrit en gros et comme le 5,5% de TVA est tout riquiqui...:)o
-
Si, c'est bien 52,88% du prix TTC (payé en caisse).
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Une estimation de Fermi : estimer le nombre de naissances annuelles en France.
Idée : utiliser la population totale et l'espérance de vie. -
Je dois être fatigué mais il y a un truc que je pige pas...
Déjà on a bien 52,88+22,09+19,53+5,5=100.
La TVA à 5,5 c’est bien 5,5% du prix hors taxe et pas ttc donc logiquement dans leurs pourcentages c’est le pourcentage du prix hors taxe. -
Peut-être que dans ce pays, le taux de TVA n'est pas de 5.5% ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Je vois les choses plutôt de cette manière : 52,88% du prix hors taxes soit 0,51975 euros pour l’éleveur. Cela nous fait un prix du litre hors taxes de 0,98288578 euros hors taxes (moins de 1 euros le litre! Ils se sont bien gardés de le signaler sur l’emballage :-D) et 1,037 ttc ce qui nous ramène bien à 1,04 euros au centime près, prix payé en caisse.
Le taux de TVA reste à 5,5% , l’arnaque est le mélange sans le dire 52,88% (du prix HT) soit 0,55 euros (TTC) pour l’éleveur (mais cela m’étonnerait que l’éleveur garde dans sa poche réellement les 0,55 euros...)
Papa, c’est quoi cette bouteille de lait?:-D -
Je ne sais pas... dans ce cas il y aurait 5,5% du prix HT qui se seraient volatilisés...
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Autre exercice :
Trouver deux nombres décimaux, non entiers, dont le produit soit un nombre entier.
(Niveau sixième) -
[EDIT] : Il faut prendre des nombres décimaux, j'avais oublié, donc au dénominateur du multiplicateur, (et donc au numérateur du multiplicande), il faut uniquement prendre des nombres $a$ sous la forme :
$ \forall (n,m) \in \mathbb{N}^2, a = 2^n \times 5^m,$. [FIN DE L'EDIT].
En fait, j'ai trouvé une infinité de solutions, dont : 4/5 * 5/4; 2/3 * 3/2; 5/6 * 6/5; 3/4 * 4/3; etc...
Il suffit que le multiplicateur soit l'inverse du multiplicande et que le numérateur soit strictement différent du dénominateur, et que le numérateur et le dénominateur soient strictement positifs et strictement différents de 1 :
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = 1 $
Ici, on obtient à chaque fois 1 bien évidemment, pour obtenir 2, il suffit que le multiplicande soit 2b si le numérateur du multiplicateur est a, et le dénominateur b. Il faut également que le dénominateur du multiplicande soit a :
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{2b}{a} = $
Plus généralement, je conjecture que l'on a :
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{nb}{a} = n, \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2$ \ {0;1}$ \forall n \in \mathbb{N} $ -
@Mohammed R
2/3 n'est pas un nombre décimal. Pour ton bout de LaTeX manquant, tu peux utiliser :\setminus \{ 0; 1 \}(\setminus = soustraction ensembliste).
Edit : et aussi, il faut que tu mettes tes quantificateurs $\forall, \exists$ avant l'utilisation des variables qu'ils introduisent. L'ordre est important en général (il y a parfois des abus tels que tu as écrit, mais il vaut mieux les éviter). -
Soit $(u_n)_{n\geq 0} $ de limite nulle. Alors il n'y a au plus qu'une seule suite $ (x_n)_{n\geq 0}$ positive telle que pour tout $n$ on ait $x_n+x_{n+1}=u_n.$
-
@Mohammed R
Je commente ton :
\[ \forall (n,m) \in \mathbb{N}^2, \quad a = 2^n \times 5^m \]
car tu as visiblement essayé d'appliquer ce que je suggérais, mais pour cette phrase, cela ne convient pas. Cette assertion se lit : « quels que soient les entiers naturels $m$ et $n$, on a $a = 2^n \times 5^m$ ». Si elle était vraie, je pourrais donc en particulier prendre $m = 0$ et $n = 0$ pour en déduire $a=1$, puis $m = 1$ et $n = 0$ pour en déduire $a=5$. Nous aurions donc $1=5$, ce qui est un peu gênant, tu en conviendras sans doute.
Ce que tu voulais écrire ici est sans doute « il faut uniquement prendre des nombres de la forme $2^n \times 5^m$ avec $m$ et $n$ dans $\mathbb{N}$ ».
Ta conjecture, quant à elle, s'écrit :
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \forall (a,b) \in \bigl( \mathbb{R \setminus \{ 0, 1 \}} \bigr)^2 , \quad \frac{a}{b} \times \frac{nb}{a} = n. \]
Il s'agit juste d'une simplification d'écritures fractionnaires ; elle ne traduit pas le fait que tu veux que $\frac{a}{b}$ et $\frac{nb}{a}$ soient des décimaux non entiers...
Note le :\bigl( \mathbb{R \setminus \{ 0, 1 \}} \bigr)^2au lieu de :\mathbb{R}^2 \setminus \{ 0, 1 \}($0$ et $1$ ne sont pas éléments de $\mathbb{R}^2$).
N'oublie pas que tu peux faire « clic droit » sur une formule puis « Show math as -> TeX commands » pour voir le code LaTeX d'une formule. Si plein de formules d'un même message t'intéressent, il est plus rapide d'utiliser le lien « Citer » situé sous le message, et bien entendu de ne pas envoyer la réponse dans ce cas. -
Bonjour,
$a = \alpha\dfrac{2^m}{5^n}, b = \beta\dfrac{5^n}{2^m}$, $n$ et $m$ entiers strictement positifs, $\alpha$ et $\beta$ entiers premiers avec $10$
Cordialement,
Rescassol -
@ Brian :
Merci beaucoup en tout cas, c'est très intéressant ce que tu me dis là, je vais remodifier et étudier ce que tu m'as dis, car c'est vrai que c'est bien bête ce que j'ai mis :-(. -
À moi !
Calculer
\[
\int\dfrac{dx}{\sqrt[3]{x+\sqrt {x^{2}-\frac{4}{27}\left( {x^{2}-1} \right)^3}}
-\sqrt[3]{\sqrt {x^{2}-\frac{4}{27}\left( {x^{2}-1} \right)^3} -x}}.
\] e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Original, c'est vite dit. Parfois on lit un énoncé, on l'oublie, et on le retrouve en croyant l’avoir inventé. En voici un que je ne crois avoir lu nulle part.$\bullet $ Montrer qu'une application $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ est l'exponentielle complexe $f(z)=e^z $ si et seulement si elle vérifie :
$\mathbf{(i)}$ $\forall z\in \mathbb{C},\forall z^{\prime }\in
\mathbb{C},f(z+z^{\prime })=f(z)f(z^{\prime })$ ;
$\mathbf{(ii)}$ $\forall z\in \mathbb{C},\left| z\right| \leq1\Rightarrow \left| f(z)-1-z\right| \leq \left| z\right| ^{2}$.Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Un autre qui me semble original, mais va savoir...$\bullet$ Démontrer qu'un (vrai) triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si, pour tout point $ M $ intérieur à ce triangle, on a :
$ MA+MB+MC \le \frac 23 (AB+BC+CA)$.Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Et encore un, toujours sans garantie d'originalité (vous me direz).$\bullet $ La suite de Fibonacci $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ est définie par : $F_0=0,F_1=1$ et pour tout $n \ge 2$ : $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$.
La suite de Lucas $(L_n)_{n \in \mathbb N}$ est définie par : $L_0=2,L_1=1$ et pour tout $n \ge 2$ : $L_n=L_{n-1}+L_{n-2}$.
À part $1,2,3$, y a-t-il des nombres qui soient simultanément des termes de ces deux suites ?Bonne soirée.
Fr. Ch. -
En voici un dans la veine de celui d'ev : montrer que $x\in\Q$, où
$x=\sqrt[3]{\frac23+\frac{41}{81}\sqrt{\frac53}}+\sqrt[3]{\frac23-\frac{41}{81}\sqrt{\frac53}}$
Celui qui suit est un peu plus méchant : si $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, existe-t-il une base de ${\cal L}(E)$ qui soit multiplicativement stable ? -
Bonjour j_j,
$x^3=\dfrac 4 3+\dfrac 7 9 x$ et $9X^3-7X-12=(3X-4)(3X^2+4X+3)$ donc $x=\dfrac 4 3$. -
Exact, Gai Requin ! Il fallait y voir les formules de Cardan à l'envers (et, bien sûr, j'étais parti d'une équation $x^3+px+q=0$ admettant une unique solution réelle, et de surcroît rationnelle).
-
Bonjour
Petit exercice facile.
La somme des diviseurs du nombre de CD que Michel a est de 9856.
Il en donne 1\2 à son grand frère, 1\3 à son petit frère, 1\7 à sa sœur et 1\43 à son père
Combien de CD avait-il au début ?Je suis donc je pense -
@ Blaise
Auquel de mes trois exercices s'applique ta demande ? -
@ Blaise
Ah, j'ai regardé, c'est le triangle, je n'avais pas mémorisé le nom de cette inégalité.
Non, c'est bien plus simple, il faut démontrer une assertion et sa réciproque. Dans un des deux sens c'est très simple, et dans l'autre il faut regarder la maximum de $MA+MB+MC$ lorsque $M$ est intérieur au triangle $ABC$, et ce n'est pas très compliqué non plus. Rien de bien compliqué.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Voici ma solution
$i)$
Si $ABC$ est tel que pour tout $M$ intérieur on a :
$ MA+MB+MC \le \frac 23 (AB+BC+CA)$.
alors en faisant tendre $M$ successivement vers $A$, $B$ et $C$ on obtient :
$AB+BC \le 2AC$
$AB+AC \le 2AB$
$AC+BC \le 2BC$
ce qui permet de conclure que
$AB=AC=BC$
En effet, $4 AC \ge 2AB+2BC \ge AC+BC+2BC$ et $AC \ge BC$, puis de même $BC \ge AC$, $AB \ge AC$ et $AC \ge AB$.
$ii)$
Si $ABC$ est équilatéral, l'inégalité ci-dessous donne la conclusion :
$MA+MB+MC \le AB + AC $
Reste à démontrer cette inégalité : on trouve des preuves ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1550338,1550740
Je cherche une preuve personnelle mais ce n'est pas gagné... -
Exercice :
Pour $n \ge2$ : existe-t-il un application $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tel que tout $y \in \mathbb R$ admette exactement $n$ antécédents par $f$ ? -
Merci Blaise de remettre en vue un vieux fil à propos du triangle équilatéral. J'avais oublié, et j'avais notamment oublié Marie Berrondo-Agrell, auteur d'un grand nombre de livres de problèmes mathématiques, et aussi mère de quatre enfants et grand-mère de sept petits-enfants.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Autre exercice que je trouve plaisant.$\bullet$ Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel normé de dimension finie ou non, mais supérieure ou égale à $2$. Montrer qu'une application $f$ de $E$ dans $E$ qui est additive et qui conserve la norme $1$ est une isométrie linéaire.Bonne nuit.
Fr. Ch. -
6e
—-
Démontrer que $\sqrt{2}$ n’est pas un nombre décimal.
—-
L’idée est d’appliquer l’algorithme du produit posé de deux nombres décimaux.
Évidemment on peut ne pas utiliser le symbole $\sqrt{.}$ mais parler du nombre (positif) dont le produit avec lui-même vaut $2$. -
Je précise les termes de mon dernier énoncé. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2176002,2179420#msg-2179420
$ \bullet $ Une application $f$ d'un espace vectoriel normé $E$ dans lui-même est additive si elle vérifie :
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\forall x \in E,\ \forall y \in E,\ f(x+y)=f(x)+f(y)$.
$ \bullet $ Une application $f$ d'un espace vectoriel normé $E$ dans lui-même conserve la norme $1$ si elle vérifie :
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\forall x \in E,\ \left\Vert x\right\Vert=1 \Rightarrow \left\Vert f(x)\right\Vert=1 $.
$ \bullet $ Une application $f$ d'un espace vectoriel normé $E$ dans lui-même est une isométrie si elle vérifie :
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\forall x \in E,\ \forall y \in E,\ \left\Vert f(x)-f(y) \right\Vert= \left\Vert x-y \right\Vert $.
Tout le monde le sait, mais mieux vaut le dire. « Linéaire », je ne rappelle pas la définition...
Bion dimanche.
Fr. Ch. -
Bonjour
Petite variante de l'exo du fil Sac et billes:
Un sac contient seulement des billes vertes et des billes rouges. Chaque fois qu'on y prend 6 billes, Il y en a au moins une verte. Chaque fois qu'on y prend 5 billes, Il y en a au moins une rouge.Y a t-il remise ou pas remise? ou pas.
PS:un raisonnement niveau primaire suffit à résoudre ce problème, la réponse est simple...Je suis donc je pense -
Ce n'est pas un exercice original, mais une pâle copie ...
-
c'est pas faux...Je suis donc je pense
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Tu n'as pas compris ce qu'a dit Dom ? :-D (Blague pour les fans de Kaamelott)Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
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(pas compris)
Edit : haha -
Vous ne savez pas ce que veut dire savoureux ? C'est côtelette que vous comprenez pas ?
-
Moi aussi j'ai un petit exercice, ( il ne vient pas de moi), peut-être que vous le connaissez déjà, mais il a beaucoup circulé sur les réseaux sociaux et était même au coeur d'un débat.
Le voici:
$8:2(2+2)$
Réponse A : $1$
Réponse B : $16$
Indice: même les calculatrices ne donnent pas toutes le même résultat, et ils ont dû faire intervenir Cédric Villani mais il a refusé de répondre... -
Si ça t'intéresse, Flora, Mickaël Launay a fait une vidéo sur un calcul du même acabit : Le calcul qui divise
(pour en discuter plus en détails, merci d'ouvrir un autre fil de discussion). -
Merci beaucoup Michael, je ne savais pas pour la vidéo et que d 'autres personnes s'etaient aussi penchées sur la question, c'est super intéressant.
Oh pour l'ouverture d'un nouveau fil, peut-être une prochaine fois, en ce moment j'ai beaucoup de travail, je suis épuisée et je suis de moins en moins sur le forum, mais merci quand même :-)
Belle soirée à vous ! -
Quand on creuse un peu, le gars qui répond mal et qui connaît les règles finit par dire « ha mais oui, si j’applique les règles que je connais, alors je trouve la bonne réponse ». Mais il y a une paresse de détailler, comme toujours.
L’investissement pour si peu rebute la plupart des gens.
Je parle de l’exercice donné par Flora. -
Je reviens sur le problème que j'ai posé ci-dessus.$\bullet$ Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel normé de dimension finie ou non, mais supérieure ou égale à $2$. Montrer qu'une application $f$ de $E$ dans $E$ qui est additive et qui conserve la norme $1$ est une isométrie linéaire.J'ai fabriqué moi-même cet énoncé il y a quelques années, mais si certains le trouvent déjà publié par ailleurs, j'aimerais en être informé.
Inédit ou non, il peut intéresser des collègues professeurs ou colleurs.
Pendant l'été j'avais remarqué la propriété suivante. D'après la géométrie de Quatrième, il est clair qu'un point d'un disque du plan est toujours le milieu d'une corde, c'est-à-dire le milieu de deux points du cercle qui est la frontière de ce disque. Cette propriété reste donc vraie dans tout espace euclidien, et même dans tout espace préhilbertien : un point d'une boule est toujours le milieu de deux points de la sphère qui est la frontière de cette boule. Et je me suis aperçu que cette propriété reste vraie, avec une autre démonstration, dans tout espace vectoriel normé.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Merci Blaise pour cette généralisation (je présume qu'une $n$-boule est une boule de rayon $n$, et idem pour une sphère).
Maintenant, j'aimerais avoir ton avis sur le problème que j'ai posé, à propos d'une application additive qui conserve la norme $1$.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Non, je voulais dire : 0-sphère = extrémités d'un segment, 1- sphère = cercle, 2-sphère = sphère de l'espace au sens usuel. Idem, 2-boule =boule de l'espace (ou faut-il dire 3-boule ?)
Par exemple tout point d'une boule est centre d'un cercle sur la sphère.
Je vais étudier ton problème ! -
@Chaurien : voici ce que j'ai réussi à faire :
1) $f$ est additive, on en déduit que pour tout $x$ et tout entier $n$, $f(nx)=nf(x)$. On a également $f(0+0)=f(0)+f(0)$ d'où $f(0)=0$ et par suite $f(-x)=-f(x)$ et $f(x-y)=f(x)-f(y)$.
2) pour $\dfrac p q \in \mathbb Q$ :
$qf\left(\dfrac p q x\right)=f\left(q \dfrac p q x\right)=f(px)=pf(x)$ d'où $f\left(\dfrac p q x\right)=\dfrac p q f(x)$ : $f$ est $\mathbb Q$-linéaire.
3) Là il me manque un argument pour montrer que $f$ est $\mathbb R$-linéaire. On pourrait conclure si $f$ était supposée continue. Avec les hypothèses que tu donnes, je ne vois pas.
4) on déduit de tout cela que $f$ conserve la norme : soit $x$ de norme $\lambda$, on a $\dfrac 1 \lambda \|f(x) \| = \|f(\dfrac x \lambda) \|=\|\dfrac x \lambda \|=1$ et donc $ \|f(x) \|=\lambda=\|x \|$
5) $f$ est une isométrie car $ \|f(x)-f(y) \|=\|f(x-y) \| = \|x-y\|$
Au départ, j'étais parti pour commencer par montrer que $f$ est une isométrie en montrant qu'elle conserve les normes entières, puis rationnelles, mais je bloque sur le même problème de continuité pour passer aux normes réelles en général. -
Bravo Blaise tu as mis le doigt sur la difficulté. L'énoncé est perfide en ce qu'il ne mentionne pas la continuité, qui pourtant est essentielle. La propriété que j'ai signalée donne la clé. Puisque tout point de la boule-unité est le milieu de deux points de la sphère-unité, et que $f$ conserve la norme $1$, cette fonction $f$ est bornée sur la boule-unité. Et on retombe sur un exercice classique : une application additive bornée sur la boule-unité est linéaire et continue.
Bonne nuit.
Fr. Ch. -
D'accord ! Je complète la solution suite à tes explications.
Soit $z$ tel que $\|z\| < 1$. Il existe $x$ et $y$ de norme $1$ tels que $z=\dfrac 1 2 (x+y)$ et donc $f(z)=\dfrac 1 2 f(x) + \dfrac 1 2 f(y)$, d'où par l'inégalité triangulaire : $\| f(z) \| \le 1$.
Montrons que $f$ est continue :
Soit $x_0 $ $\in E$. Si $\| x-x_0 \| \le \dfrac 1 n$ alors $\| nx-nx_0 \| \le 1$ et $\| f(nx-nx_0) \| \le 1$ d'après ce qui précède. Comme $n$ est entier, on en déduit $\| f(x)-f(x_0) \| \le \dfrac 1 n$ : $f$ est continue sur $E$.
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