Définition naïve d'un plan & bords du tableau

Difficile car tu donnes déjà la clef de ta définition (« a l’aide du prolongement des bords d’un tableau »).

Je crois que c’est vain.

Évidemment, l’expression « un tableau aussi grand que l’on souhaite » peut parfois satisfaire...

Une remarque :
La vision cartésienne (rectangle infini) est souvent proposée.
Il est rare que l’on propose la version polaire (disque infini).

Si le plan c'est de la 2D, étirer un rectangle dans deux sens semble peut-être plus naturel ...

Oui.
Étirer dans les deux sens demande d’avoir obligatoirement identifié chaque sens (abscisse et ordonnée, système cartésien...).

Reprenons la fourmi : a-t-elle ça en elle ?
L’homme certainement.

Je pense à tous nos meubles parallélépipédiques qu'on essaye de combler avec des casseroles cylindriques.

Bonjour tout le monde

Pour prendre un peu de recul : soit $\Bbb{F}_5$ le corps de Galois d'ordre $5$. Que penser de $\Bbb{F}_5\times\Bbb{F}_5$ en tant que $\Bbb{F}_5$-espace affine ?

Cordialement,

Thierry

Bonjour,

Si tu dis à une personne normale : tu peux choisir epsilon aussi petit que tu veux, cette personne comprend qu’elle peut choisir 10 par exemple. Et quand tu lui dis : ça prouve que c’est zéro, elle répond : pourquoi plus petit que 10 est obligatoirement zéro et pas 9 ?

C’est le ‘que tu veux’ qui prête à confusion ; pas le ‘aussi petit’.

Ces histoires d'aussi petit que l'on veut, on peut les réinterpréter comme suit (c'est le jeu que christophe c appelle "prouveur/sceptique" mais qui date des années 50 et a été popularisé par Hintikka).

On envisage des symboles de relation de base (qui vont par paire: un symbole et son "contraire": $\in$ et $\notin$; $=$ et $\neq$; $<$ et $\not <$ etc...)

Les formules envisagées ci-dessous sont écrites avec ces symboles, et les connecteurs $\wedge$ (et), $\vee$ (ou), $\forall$ et $\exists$

Chaque formule est un jeu qu'on interprète comme suit: Il y a deux joueurs, Bob (qui défend l'affirmation en cours) et un Alice (qui la combat). Les joueurs s'affrontent sur un énoncé (formule logique) en cours, qui change et se simplifie au cours des décisions prises.

Règles:

-Si la formule en cours est de la forme $R(x,y)$ où $R$ est un symbole de relation binaire (pour faire simple) et $x,y$ sont des termes (lettres ou constructions langagières désignant des objets mathématiques comme $2+3$, $L^p(\R)$, etc), Bob gagne contre Alice si $R(x,y)$ est vraie, il perd sinon.
-Si la formule en cours est de la forme $F \vee G$, alors Bob choisit une des deux formules $F,G$ et le jeu se poursuit sur cette formule.
-Si la formule en cours est de la forme $F \wedge G$, alors c'est Alice qui choisit une des deux formules $F,G$ sur laquelle le jeu se poursuit ("$A$ et $B$" est vraie si un des deux énoncés choisi librement par mon détracteur est vrai).
-Si la formule en cours est de la forme "$\exists x A(x)$", Bob prend un objet mathématique $t$ de son choix et le je se poursuit avec la formule $A(t)$ (celle obtenue à partir de $A(x)$ en remplaçant $x$ par $t$)
-Si la formule en cours est de la forme "$\forall x A(x)$", Alice prend un objet mathématique $t$ de son choix et le jeu se poursuit avec la formule $A(t)$.

Une formule est qualifiée de théorème lorsque Bob dispose d'une stratégie infaillible pour gagner.

Exemple:
1°) l'énoncé $\forall n\in \N, \exists m \in \N, n < m$ (qui exprime que l'ensemble des entiers est non majoré) devient dans cet interprétation un jeu où chaque joueur essaie de trouver un nombre entier plus grand que son adversaire. Comme c'est le deuxième joueur qui gagne, l'ensemble des entiers est infini.

2°) L'énoncé: $\forall n\in \N, \exists m \in \N, (n < m) \wedge [(\forall p,q\in \N), pq \neq n \vee p = 1 \vee q = 1]$ exprime l'infinité des nombres premiers. La partie se déroule comme suit: Alice fournit un nombre entier quelconque $n$; Bob s'efforce d'en prendre un plus grand $m$ (en fait il prend un entier et Alice peut utiliser son tour ($\wedge$) pour le faire perdre si $m$ n'est pas plus grand que $n$) et ensuite , Alice fournit deux nombres $p,q$, Bob a le choix de
-calculer $pq$ et constater que $pq\neq n$
-vérifier que $p=1$
-vérifier que $q=1$.

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Négations dans ce formalisme: on définit $\neg F$ par induction de la façon suivante:
$\neg (R(x,y)) := R'(x,y)$ où "$R'$" exprime le contraire de $R$ (cf introduction).
$\neg (A \wedge := (\neg A) \vee (\neg $
$\neg (A \vee := (\neg A) \wedge (\neg $
$\neg (\exists x C(x)) := \forall x (\neg C(x))$
$\neg (\forall x C(x)) = \exists x (\neg C(x))$

On peut vérifier qu'en terme de jeu comme ci-dessus, cela revient à échanger les rôles des joueurs
(Bob perd contre Alice sur la formule $\neg \Phi$ si et seulement si il gagne contre Alice sur la formule $\Phi$ et vice-versa).