Produit scalaire dans l'espace
Bonjour,
je cherche une démonstration de la propriété de bilinéarité du produit scalaire dans l'espace : $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}$. J'avais l'habitude de le faire avec l'expression dans un repère orthonormé ($\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$) mais je me demandais si il existait une démonstration qui n'utiliserait pas cette expression. Dans le plan, cela ne pose pas de problème mais je ne vois pas comment faire dans l'espace si les vecteurs ne sont pas coplanaires.
Cordialement,
je cherche une démonstration de la propriété de bilinéarité du produit scalaire dans l'espace : $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}$. J'avais l'habitude de le faire avec l'expression dans un repère orthonormé ($\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$) mais je me demandais si il existait une démonstration qui n'utiliserait pas cette expression. Dans le plan, cela ne pose pas de problème mais je ne vois pas comment faire dans l'espace si les vecteurs ne sont pas coplanaires.
Cordialement,
Réponses
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Je m'étais posé exactement la même question en préparant mon cours de 1ère S. Voici une applet GeoGebra qui permet de visualiser les choses : https://www.geogebra.org/m/yBWuv64C il faut faire glisser le curseur vers la droite pour comprendre. Par contre c'est dans le plan...
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L'application de $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ qui a $((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))$ associe $\sum_{i=1}^n x_iy_i$ est bilinéaire symétrique définie positive c'est un produit scalaire appelé le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^n$ . Il existe sur $\mathbb{R}^n$ d'autres produits scalaires que celui-là (i.e. d'autres formes bilinéaires symétriques définies positives)!Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
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Merci à tous les deux. En fait, je cherche une démonstration géométrique comme celle suggérée par philou22 mais dans l'espace.
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Bonjour.
Il me semble avoir vu une démonstration synthétique de cette propriété dans mon jeune temps. On pourrait la retrouver dans les manuels de maths d'avant 1970 (première ou terminale). Il me semble qu'elle utilisait largement le théorème des trois perpendiculaires et les mesures algébriques avec leur lien avec les vecteurs.
Cordialement. -
Bonjour, il me semble que c'est fait dans le Sortais, mais je ne l'ai pas sous les yeux, je vais essayer de regarder cela dès que possible.
Cordialement.
Y. -
Il faut d'abord savoir comment est défini le produit scalaire.
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Le produit scalaire a été défini par $\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos \left(\vec{u};\vec{v}\right)$
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Merci Gérard, c'est une très bonne piste. Je ne connaissais pas ce théorème.
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Il est marrant le « théorème des trois perpendiculaires » : en fait elles sont quatre, comme les mousquetaires ;-).
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Oui, on devrait dire théorème des trois perpendicularités.
Tu y avais pensé quand tu as appris ce théorème en troisième ? -
1) On montre d'abord que $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = \overline{AB}\times \overline{AH}$ où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.
2) Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ des vecteurs. On prend un repère orthonormé tel que $\overrightarrow{u}=(a,0,0)$, $\overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z)$ et $\overrightarrow{w}=(w_x,w_y,w_z)$. Les projetés orthogonaux de $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sur la droite engendrée par $\overrightarrow{u}$ sont $(v_x,0,0)$ et $(w_x,0,0)$. On en déduit que $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=av_x$ et $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}=aw_x$. De même $\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=a(v_x+w_x)$ donc $\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})= \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}$. -
Oui, j'allais le dire après avoir consulté le Lebossé-Hémery de Math-Elem. Avec le projeté, la distributivité est immédiate, et je ne vois pas de nécessité de faire intervenir un repère
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Ni même du théorème des trois perpendiculaires, seules le propriétés d'additivité de la projection sur une droite sont nécessaires.
Ces démonstrations très connues il y a 50 ans me sont bien sorties de la mémoire. -
Le problème est en effet de montrer que le projeté de la somme de deux vecteurs est la somme des projetés. Ca ne me paraît pas si trivial, c'est pour ça que j'ai introduit un repère orthonormé auxiliaire dans mon message précédent.
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A l'époque, ces propriétés étaient connues (conséquence du théorème de Thalès).
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Thalès dans l'espace ?
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Oui,
c'est une forme du théorème de Thalès, la conservation de la proportionnalité dans la projection. Mais je confonds, ici, car le fait que la somme des projetés est quasi évidente ; Si A', B' et C' sont les projetés de A, B et C, alors $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$ donne évidemment $\vec{A'C'}=\vec{A'B'}+\vec{B'C'}$.
Cordialement. -
Dire le mot "évidemment" ne constitue pas une preuve.
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Non,
la preuve est dans la double relation de Chasles. Le "évidemment" est simplement dire qu'on se contente d'écrire. Je n'en suis plus à essayer de convaincre avec des adverbes ... -
Je veux dire que si on écrit vraiment une preuve complète, je ne suis pas persuadé que ce soit plus court que ce que j'ai écrit avec mon repère orthonormé auxiliaire.
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Alors aucun rapport avec le "évidemment" !
Je n'avais traité que de ton interrogation sur le projeté de la somme. Le Lebossé complique un peu avec le choix de trois vecteurs au lieu de deux, mais c'est fait en trois lignes.
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