Un exercice de troisième

Eric
Eric
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Un petit exercice pris dans Arithmétique des Écoles Primaires supérieures (appelé aussi Arithmétique du Brevet élémentaire) de Marijon et Pequignot, programme de 1920.

Si l'on a $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$, alors $\sqrt{ab}+\sqrt{a'b'}=\sqrt{(a+a')(b+b')}$.

Réponses

  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Si $\frac{a}{b} = k$ on a aussi $\frac{a+a'}{b+b'} = k$.

    On écrit alors que le membre de droite vaut $\sqrt k (b + b')$. Le membre de gauche aussi puisque $ab = a'b' (\frac{b}{b'})^{2}$.
  • Eric
    Eric
    J'ai procédé à peu près de la même façon.
  • Dom
    Dom
    Une petite question : avait-on précisé des choses sur les nombres $a, \ b, \ a’$ et $b’$ ?
    (Je pense à la positivité par exemple même si ce n’est pas obligatoire...)

    Édit : par exemple
    $a=4$, $b=6$, $a’=-2$ et $b’=-3$ vérifient les hypothèses et les racines carrées proposées ont un sens.
  • geo
    geo
    J'ai passé au carré de chaque côté et tout passé du même côté après développement et en utilisant l'hypothèse on trouve une différence nulle.
  • Dom
    Dom
    Attention aux simplifications trop hâtives.

    Par exemple : quel que soit $a$, $\sqrt{a^2}=|a|$ (et non $a$).

    Aussi, l’exercice suggère d’une manière ou d’une autre que pour les nombres $u$ mis en jeu on a : $|1+u|=1+|u|$.
    Ou choses du même genre.

    Ainsi, sans information sur les nombres $a$, $b$, $a’$ et $b’$, l’exercice est faux.

    Peut-être que dans la progression de l’ouvrage, les nombres en écritures fractionnaires n’utilisent que des numérateurs et dénominateurs positifs ?

    Ma méthode : j’utilise la réciproque d’un théorème bien connu (en gros celui servant à la simplification de fraction).
    Quels que soient les nombres non nuls $a$, $b$, $a’$ et $b’$,
    Si $\frac{a}{b}=\frac{a’}{b’}$ alors il existe $k$ non nul tel que $a’=ak$ et $b’=bk$.

    J’ai trouvé cela plus adapté pour enlever les quotients (cachés dans mon $k$, donc).
  • Eric
    Eric
    Comme son nom l'indique, il s'agit d'un livre d'EPS (ce qui prouve que les exercices pouvaient être sportifs à l'époque :-)), programme de 1920. Il n'y a donc pas trace de nombres négatifs dans l'ouvrage.
  • Dom
    Dom
    Merci Éric pour cette précision. ;-)

    J’ajoute qu’en parlant « programme », aujourd’hui et depuis 2016, les exercices avec racines carrées n’existent plus.

    Comme d’habitude, « cela ne veut pas dire qu’il ne faut pas en proposer ».
    Dans certains établissements, des profs continuent d’en proposer.
    Avant que ça ne disparaisse, c’était plutôt du genre « écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ entier et $b$ entier naturel le plus petit possible ».
  • Mathurin
    Mathurin
    Bonjour,
    ce n'est pas parce que c'est un livre d'Ecole Primaire Supérieure qu'il n'y a pas de nombres négatifs, c'est parce que c'est un livre d'arithmétique. A l'époque le programme était divisé en trois tiers: géométrie, arithmétique et algèbre. Les nombres négatifs étaient réservés aux cours d'algèbre.
    Cordialement
  • Eric
    Eric
    Merci pour la précision.
  • blaise
    blaise
    Si $a, a',b, b' \ge 0$ alors
    $$\sqrt{ab}+\sqrt{a'b'} \le \sqrt{(a+a')(b+b')}$$ avec égalité si et seulement si $ab'=a'b.$
  • Yirm
    Yirm
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2183626,2184088#msg-2184088

    Quelle est ta définition des fractions dans ce théorème ?

    Pour moi ce sont des classes d'équivalence de couples d'entiers relatifs (dont un non nul) définies précisément par cette propriété, donc je ne vois pas pourquoi c'est un théorème.
  • Dom
    Dom
    Ok. En effet, il faut préciser cela.
    Tu as raison. D’ailleurs à cette époque, dans cet ouvrage, j’imagine que « fraction » est l’objet que tu décris. (?).

    Aujourd’hui (2020), en collège, quel que soit le nombre $a$ et quel que soit le nombre non nul $b$, on admet l’existence et l’unicité d’un nombre $u$ tel que $bu=a$.
    On choisit de noter ce nombre $\frac{a}{b}$ et on dit qu’il s’agit d’une écriture fractionnaire dudit nombre.
    Lorsque les nombres $a$ et $b$ sont des entiers on parle d’écriture en fraction.

    Théorème 1 : quels que soient $a$, $b$ et $k$ non nuls, $\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}$.
    C’est le théorème qui permet de simplifier une « fraction » ou de mettre au même dénominateur « des fractions ».

    Théorème 2 : celui dont il est question.

    Il n’y a pas de classe d’équivalences aujourd’hui.
    Il n’y a que des « nombres » au collège qui deviennent « les réels » en seconde.

    Le terme fraction est très équivoque :
    Certains disent que c’est un nombre et pas autre chose mais alors l’expression « fraction irréductible » n’a plus de sens tout comme « simplifier la fraction ». Dans le contexte dont je parle c’est plutôt l’écriture qui est désignée comme « fraction ».
    « Écriture en fraction » et « écriture décimale » sont deux manières d’écrire les nombres.

    J’espère avoir été clair.
  • Mathurin
    Mathurin
    Un autre exercice élémentaire voisin, donné en EPS, est de montrer que si
    a/b < c/d < e/f < g/h
    alors
    a/b < (a+c+e+g)/(b+d+f+h) < g/h
    Cordialement
  • Dom
    Dom
    Ça fait penser à « la moyenne est entre les valeurs extrêmes ».
  • blaise
    blaise
    La première inégalité à démontrer découle de :
    $ad+af+ah<bc+be+bg$
    qui elle même se déduit de :
    $ad-bc<0$
    $af-eb<0$
    $ah-bg<0$.
    Même principe pour la seconde inégalité.

    J'aurai peut-être mon brevet élémentaire cette année... (:P)
  • Eric
    Eric
    D'ailleurs, il suffit de le démontrer pour deux fractions, puis de faire une récurrence.
  • Dom
    Dom
    Des profs écrivent sur les copies les choses suivantes...

    Le contrôle est sur 10.

    Ex 1 : 2/4
    Ex 2 : 3/5
    Ex 3 : 1/1

    Puis tout en haut de la copie, j’ai déjà vu : $\frac{2}{4}+\frac{3}{5}+\frac{1}{1}=\frac{6}{10}$.
  • Mathurin
    Mathurin
    Un autre petit exo sympa de Brevet Elémentaire:
    démontrer que la somme d'une fraction et de son inverse est supérieure à deux.
    Dans quel cas a-t-on égalité ?
    (tous les nombres sont positifs)
    Cordialement
  • Dom
    Dom
    Exact, Mathurin !
    Propre, net, sans bavure ;-)

    On peut regretter (je ne dis pas ça d’une manière polémique) d’avoir enlevé les manipulations avec les inégalités, au collège.
  • Eric
    Eric
    De façon bourrine et sans finesse aucune, la moyenne harmonique est inférieure à la moyenne géométrique :
    $$\frac{2}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\leqslant\sqrt{\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}}$$
    avec égalité si et seulement si $\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$.

    Bien sûr, la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique suffisent à l'affaire.
  • blaise
    blaise
    $(x-1)^2 \ge 0$
    donc
    $x^2+1 \ge 2x$
    et comme $x>0$ :
    $x + \dfrac 1 x \ge 2$

    avec égalité si et seulement si $x=1$.
  • Dom
    Dom
    Ou plus simplement : (l’outil utilisé)
    Quels que soient $a$ et $b$, $0\leq (a-b)^2$ avec égalité si et seulement si $a=b$.
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