Un exercice de troisième
Un petit exercice pris dans Arithmétique des Écoles Primaires supérieures (appelé aussi Arithmétique du Brevet élémentaire) de Marijon et Pequignot, programme de 1920.
Si l'on a $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$, alors $\sqrt{ab}+\sqrt{a'b'}=\sqrt{(a+a')(b+b')}$.
Si l'on a $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$, alors $\sqrt{ab}+\sqrt{a'b'}=\sqrt{(a+a')(b+b')}$.
Réponses
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Si $\frac{a}{b} = k$ on a aussi $\frac{a+a'}{b+b'} = k$.
On écrit alors que le membre de droite vaut $\sqrt k (b + b')$. Le membre de gauche aussi puisque $ab = a'b' (\frac{b}{b'})^{2}$. -
J'ai procédé à peu près de la même façon.
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Une petite question : avait-on précisé des choses sur les nombres $a, \ b, \ a’$ et $b’$ ?
(Je pense à la positivité par exemple même si ce n’est pas obligatoire...)
Édit : par exemple
$a=4$, $b=6$, $a’=-2$ et $b’=-3$ vérifient les hypothèses et les racines carrées proposées ont un sens. -
J'ai passé au carré de chaque côté et tout passé du même côté après développement et en utilisant l'hypothèse on trouve une différence nulle.
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Attention aux simplifications trop hâtives.
Par exemple : quel que soit $a$, $\sqrt{a^2}=|a|$ (et non $a$).
Aussi, l’exercice suggère d’une manière ou d’une autre que pour les nombres $u$ mis en jeu on a : $|1+u|=1+|u|$.
Ou choses du même genre.
Ainsi, sans information sur les nombres $a$, $b$, $a’$ et $b’$, l’exercice est faux.
Peut-être que dans la progression de l’ouvrage, les nombres en écritures fractionnaires n’utilisent que des numérateurs et dénominateurs positifs ?
Ma méthode : j’utilise la réciproque d’un théorème bien connu (en gros celui servant à la simplification de fraction).
Quels que soient les nombres non nuls $a$, $b$, $a’$ et $b’$,
Si $\frac{a}{b}=\frac{a’}{b’}$ alors il existe $k$ non nul tel que $a’=ak$ et $b’=bk$.
J’ai trouvé cela plus adapté pour enlever les quotients (cachés dans mon $k$, donc). -
Comme son nom l'indique, il s'agit d'un livre d'EPS (ce qui prouve que les exercices pouvaient être sportifs à l'époque :-)), programme de 1920. Il n'y a donc pas trace de nombres négatifs dans l'ouvrage.
-
Merci Éric pour cette précision. ;-)
J’ajoute qu’en parlant « programme », aujourd’hui et depuis 2016, les exercices avec racines carrées n’existent plus.
Comme d’habitude, « cela ne veut pas dire qu’il ne faut pas en proposer ».
Dans certains établissements, des profs continuent d’en proposer.
Avant que ça ne disparaisse, c’était plutôt du genre « écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ entier et $b$ entier naturel le plus petit possible ». -
Bonjour,
ce n'est pas parce que c'est un livre d'Ecole Primaire Supérieure qu'il n'y a pas de nombres négatifs, c'est parce que c'est un livre d'arithmétique. A l'époque le programme était divisé en trois tiers: géométrie, arithmétique et algèbre. Les nombres négatifs étaient réservés aux cours d'algèbre.
Cordialement -
Merci pour la précision.
-
Si $a, a',b, b' \ge 0$ alors
$$\sqrt{ab}+\sqrt{a'b'} \le \sqrt{(a+a')(b+b')}$$ avec égalité si et seulement si $ab'=a'b.$ -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2183626,2184088#msg-2184088
Quelle est ta définition des fractions dans ce théorème ?
Pour moi ce sont des classes d'équivalence de couples d'entiers relatifs (dont un non nul) définies précisément par cette propriété, donc je ne vois pas pourquoi c'est un théorème. -
Ok. En effet, il faut préciser cela.
Tu as raison. D’ailleurs à cette époque, dans cet ouvrage, j’imagine que « fraction » est l’objet que tu décris. (?).
Aujourd’hui (2020), en collège, quel que soit le nombre $a$ et quel que soit le nombre non nul $b$, on admet l’existence et l’unicité d’un nombre $u$ tel que $bu=a$.
On choisit de noter ce nombre $\frac{a}{b}$ et on dit qu’il s’agit d’une écriture fractionnaire dudit nombre.
Lorsque les nombres $a$ et $b$ sont des entiers on parle d’écriture en fraction.
Théorème 1 : quels que soient $a$, $b$ et $k$ non nuls, $\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}$.
C’est le théorème qui permet de simplifier une « fraction » ou de mettre au même dénominateur « des fractions ».
Théorème 2 : celui dont il est question.
Il n’y a pas de classe d’équivalences aujourd’hui.
Il n’y a que des « nombres » au collège qui deviennent « les réels » en seconde.
Le terme fraction est très équivoque :
Certains disent que c’est un nombre et pas autre chose mais alors l’expression « fraction irréductible » n’a plus de sens tout comme « simplifier la fraction ». Dans le contexte dont je parle c’est plutôt l’écriture qui est désignée comme « fraction ».
« Écriture en fraction » et « écriture décimale » sont deux manières d’écrire les nombres.
J’espère avoir été clair. -
Un autre exercice élémentaire voisin, donné en EPS, est de montrer que si
a/b < c/d < e/f < g/h
alors
a/b < (a+c+e+g)/(b+d+f+h) < g/h
Cordialement -
Ça fait penser à « la moyenne est entre les valeurs extrêmes ».
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La première inégalité à démontrer découle de :
$ad+af+ah<bc+be+bg$
qui elle même se déduit de :
$ad-bc<0$
$af-eb<0$
$ah-bg<0$.
Même principe pour la seconde inégalité.
J'aurai peut-être mon brevet élémentaire cette année... (:P) -
D'ailleurs, il suffit de le démontrer pour deux fractions, puis de faire une récurrence.
-
Des profs écrivent sur les copies les choses suivantes...
Le contrôle est sur 10.
Ex 1 : 2/4
Ex 2 : 3/5
Ex 3 : 1/1
Puis tout en haut de la copie, j’ai déjà vu : $\frac{2}{4}+\frac{3}{5}+\frac{1}{1}=\frac{6}{10}$. -
Un autre petit exo sympa de Brevet Elémentaire:
démontrer que la somme d'une fraction et de son inverse est supérieure à deux.
Dans quel cas a-t-on égalité ?
(tous les nombres sont positifs)
Cordialement -
Exact, Mathurin !
Propre, net, sans bavure ;-)
On peut regretter (je ne dis pas ça d’une manière polémique) d’avoir enlevé les manipulations avec les inégalités, au collège. -
De façon bourrine et sans finesse aucune, la moyenne harmonique est inférieure à la moyenne géométrique :
$$\frac{2}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\leqslant\sqrt{\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}}$$
avec égalité si et seulement si $\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$.
Bien sûr, la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique suffisent à l'affaire. -
$(x-1)^2 \ge 0$
donc
$x^2+1 \ge 2x$
et comme $x>0$ :
$x + \dfrac 1 x \ge 2$
avec égalité si et seulement si $x=1$. -
Ou plus simplement : (l’outil utilisé)
Quels que soient $a$ et $b$, $0\leq (a-b)^2$ avec égalité si et seulement si $a=b$.
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Bonjour!
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