Petite énigme pour tout niveau
Papy Mougeot se tient à l'entrée d'une grande surface ; il peut gagner un bon d'achat de 10 euros à condition qu'il devine les coefficients d'un polynôme $P$ à coefficients dans $\N$. Pour cela, il peut demander la valeur de $P(n_1)$, où $n_1$ est un entier naturel qu'il aura choisi, puis, en fonction de la réponse à cette question, la valeur prise en un second entier $n_2$.
a) Sachant qu'il lui a été répondu que $P(1)=7$, quelle valeur vous suggéreriez-vous de demander, sachant qu'il n'a plus droit qu'à cette seconde question ?
b) Lorsque ce sera votre tour de deviner les coefficients d'un autre polynôme du même type, quelle sera votre stratégie ?
a) Sachant qu'il lui a été répondu que $P(1)=7$, quelle valeur vous suggéreriez-vous de demander, sachant qu'il n'a plus droit qu'à cette seconde question ?
b) Lorsque ce sera votre tour de deviner les coefficients d'un autre polynôme du même type, quelle sera votre stratégie ?
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Réponses
Les jeux de hasards sont le monopole de l’Etat. Je lui conseille de ne pas jouer. S’il doit absolument demander une autre valeur, je lui conseille $1$ pour vérifier la première réponse, on ne sait jamais.
Pour la question 2), je demande $12345678$ et $1$ milliard. Si la réponse est la même, je propose le polynôme constant.
$P(X)=\sum_{i=0}^d n_i X^i$ avec $n_i\in \N$. Les $n_i$ sont en particulier positifs.
Donc comme $P(1)=\sum_{i=0}^d n_i = 7$, pour tout $i$, $n_i\leq 7$. Donc pour tout $k\geq 8$, il est possible de calculer chaque $n_i$ en connaissant $P(k)$ par unicité de l'écriture d'un nombre en base $k$.
$k=10$ convient notamment.
Remarque cachée : On peut même demander ici $P(7)$ ; en revanche, si $P(1)=1$, il faudra demander $P(2)$ au moins.
On pourra lire les coefficients de $P$ sur la réponse, si tous les coefficients de $P$ sont plus petits que $10^N$.
edit: ça marche peut-être pas mon idée en fait.
Si, si. Et c'est même trivial, et l'un de ces réels (y en a pleins) est connu par la quasi totalité de la population mondiale. :-D
Foys : $P(\pm1)$ et $P(\pm k)$ fonctionne très bien ; on écrit $P=$ pair+impair.
EDIT: merci à JLT de nous rappeler les bases!
Ah ?
$f(x)=k x (x-1)$
je te donne $ f(1)=f(0)=0$. Peux-tu me donner la valeur de k que j'ai en tête ?
Degré 1 (droite), avec deux points.
Je n'avais pas vu la réponse de Foys.
A+