Idée exercice

OShine, les idées ne s'enseignent pas de mon point de vue.

On les a un jour, ou pas...

Par contre, il existe des "méthodes académiques" pour plein d'exercices et autres preuves de théorème.
Parfois on est inspiré de ces méthodes ou autres astuces géniales.

Je pense que l'expérience permet d'acquérir une sorte de "culture générale des méthodes".

Bien entendu, je ne réduis pas les mathématiques à "des méthodes" appliquées ici et là.

Là, l'exercice est théorique et je ne sais pas si j'aurais su le faire rapidement (ni même en deux semaines).
Mais cela ne m'inquiète pas.
Par contre, en voulant le résoudre, j'aurais cherché bien plus longtemps que ce que tu dis. En commençant par des petits exemples simples ($n=1$ voire $n=0$... ) pour m'en imprégner, etc. Je ne te donne pas de leçon mais pour mon cas très personnel je sais que je n'aurais pas pu progresser en faisant comme tu viens de faire.
Je ne donne pas de leçon d'ailleurs car "le temps" n'est pas le même pour tout le monde.

Ben heu, chacun de ces vecteurs est dans H et c’est une famille libre de dimension idoine.

J'ai toujours du mal à te comprendre Oshine.
Cet exercice est quasi vide d'idée justement.
J'ai l'impression que tu n'essaies jamais rien une fois que tu as ecrit la définition d'un truc.

Bon, on peut débattre sur le fait qu'il est évident que $k.(1,...,1)$ et $H=\text{ker}(e_1^*+...+e_n^*)$ soient stable par ces endomorphismes.

Mais ensuite, une fois qu'on a vu ca bon ben on va regarder ce qu'on peut faire avec un vecteur qui n'a pas tout ses composantes égales.

On commence par qqch de simple, on peut regarder $(...,x,...,y,....)$ et supposer qu'il est dans un $F$ stable avec $x\neq y$. Meme encore plus simple, on voit que quitte à permutter qques éléments on peut supposer que le vecteur est de la forme $(x,y,...)$ et que ca revient au meme quitte à faire des permutations dans l'autre sens.
Du coup, ben on voit pas bien quoi faire faire à part faire agir $(1,2)$ qui donne $(y,x,...)$.
Ok donc ca donne que $(x-y, y-x,0,...,0)$ est dedans. Autrement dit $(1,-1, 0,...,0)$, bon ben c'est cool c'est un vecteur de $H$ ça, et on voit bien que le fait qu'on ait choisit de mettre $x$ et $y$ en position $1$ et $2$ a joue aucun role, on pourrait les mettre où on veut, par exemple en les mettant à la fin on aurait $(0,...,0,1, -1)$ qui serait dans $F$.

Ca nous donne tout pleins de vecteurs de $H$ dans $F$, en particulier tous les $(1,-1, 0,...,0)$, $(1, 0, -1, 0,..., 0)$,..., $(1, 0,..,0, -1)$ ca en fait $n-1$ qui ont franchement l'air libre, c'est juste (l'oppposé de) la base canonique de $k^{n-1}$ auquel on a ajouté une coordonnée $1$ en première position qui joue aucun role.
Bon ben $F$ contient $H$ du coup.

Et on a fini.

Apres c'est que de la mise en forme.

Franchement Oshine ce n'est pas méchant, ne le prenez pas mal...Mais j'aurais tout vu sur ce forum, c'est normal que vous ne comprenez pas la correction. Depuis quand on comprend une notion du cours en lisant des corrections ?! C'est comme si moi je ne comprends rien au cours sur la trigonométrie et je me lançais à à lire la correction d'un exo sur des polynômes trigonométriques.
Changez de stratégie ! En plus vous êtes prof vous devriez le savoir ça.

Si vous ne comprenez pas la correction d'un exo, c'est que vous n'avez pas assez bien assimilé le cours, reprenez le jusqu'à bien le comprendre. Sur le forum vous demandez toujours de l'aide pour comprendre des exos, ça devait être le contraire, demandez de l'aide pour comprendre le cours d'abord.

Bon courage à vous,
F.

On va attendre. Si un élève de Première ou de Terminale passe par là, il va peut-être donner la solution.