Devoir maison géométrie 4ème
Bonsoir,
Je voudrais des avis sur ce DM que j'ai préparé pour les 4ème.
Je voudrais des avis sur ce DM que j'ai préparé pour les 4ème.
Réponses
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Salut.
Je n’ai pas compris « quel est le nombre de parts découpées dans le cercle ? ».
Peut-être faut-il faire tracer des segments, si j’ai bien interprété ce que cela peut vouloir dire ?
Éventuellement faire une figure pour expliquer ce que veut dire « parts découpées » sans rentrer dans des détails imbitables.
C’est pas mal de proposer une « formule » et de la faire tester, je trouve, pour en gros proposer de l’abstraction (toute proportion gardée). -
À moins d’avoir une excellente classe, tu vas les perdre.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
En tous les cas je n’avais pas compris les parts comme ça (sans savoir ce que j’avais compris...).
En effet, Nicolas voit bien que ça pourra désarmer même les plus motivés.
Ou alors ne pas aller trop loin dans ce décompte... ? -
J'ai une classe de bon niveau et une classe faible.
Je ne comprends pas où est la difficulté dans le comptage ?
La formule est compliquée mais il peuvent utiliser la calculatrice. -
Après tout, à tester et tu nous diras.
Si on fourni les figures, alors l’exercice n’est plus le même.
Donnons les trois premières.
Le cas $n=1$ sera incompris sauf par les matheux.
Peut-être commencer par $k=2$ et fournir les figures pour $2$ et $3$.
J’ai une question pénible : comment convaincre que ça ne dépend pas de la manière dont on dispose les points ? -
L'énoncé est incompréhensible. Ce n'est pas le cercle que tu découpes mais le disque. Et pour cela, il faut explicitement parler des segments d'extrémités les points choisis sur le cercle, et que ce sont ces segments qui délimitent les parts dont il est question.
Sans quoi, on peut comprendre que l'on partage le cercle par les points placés dessus. -
L'élève qui va lire la question 6 ne comprendra pas d'où vient la formule, et pensera que les maths c'est très mystérieux.
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Surtout quand on voit 2,4,8,16... bien malin qui peut deviner qu'en fait c'est un polynôme !
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JLT je ne sais pas démontrer la formule. J'ai trouvé des informations sur un site, mais c'est trop fouilli je n'ai pas réellement compris comment obtenir la formule.
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Je présume que l'objectif principal de l'activité est de calculer une expression littérale pour diverses valeurs de la variable.
Bien que le problème soit mathématiquement intéressant (Est-ce que cela se démontre facilement par récurrence ? Cela fonctionne quel que soit l'espacement entre les points ou doivent-ils êtres régulièrement espacés ?), sa complexité masque peut être un peu l'essentiel :
substitution de la variable dans une expression littérale par une valeur, suivi d'un calcul suivant les règles de priorités et ici avec une fraction, pour obtenir un résultat numérique.
Tel que j'avais compris l'énoncé avant de voir les figures, j'hésitais entre deux interprétations mais la réponse pour $n$ points était $n$ parts pour les deux interprétations.
En terme de progressivité de la difficulté pour travailler sur cet objectif, on peut jouer sur la complexité de l'expression littérale et sur les valeurs de la variable. Un bon moyen de consolider la maîtrise des élèves à ce sujet est de leur faire produire leurs propres expressions littérales et éventuellement de les comparer dans une intention contradictoire à des expressions identiquement égales. -
Philou je n'ai pas compris la fin du message. Les élèves ne pourront pas trouvé l'expression littérale seuls, elle est trop compliquée.
Les conditions à respecter sont :
Les points sur le cercle doivent être distincts. Les droites tracées doivent couper les autres, sans passer un point d'intersection existant. -
Lourrran je n'ai pas envie de me prendre la tête pendant 3 heures sur du dénombrement compliqué.
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"Les segments d'extrémité ces n points", si je n'avais pas vu les dessins avant, je ne sais pas si j'aurais bien interprété.
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Je comprends lourrran.
En général on aime bien avoir du recul sur ce que l’on propose.
D’ailleurs imagine qu’il y ait une coquille...
Bon, par contre il faut absolument régler un problème.
Tu vois bien que si tu prends la figure avec six points et qu’au lieu de les placer chacun avec son opposé diamétral*, tu bouges un peu le dernier point, alors ça va créer d’autres parts car là, sur ta figure, tout passe par le centre du cercle et ça « enlève » des parts.
Sauf si je me trompe, il faut préciser quelque chose comme « répartis régulièrement » ou « en formant un polygone régulier »...
*j'invente cette façon de dire si elle n’existe pas -
Je veux dire que tu pourrais proposer une situation plus simple où les élèves pourraient trouver une expression littérale.
Dans les classiques il y a les maisons côte à côte construites avec des allumettes, les carrés bordés et la somme des n premiers entiers consécutifs.
Avec les carrés bordés par exemple, certains élèves donneront 4n+4, d'autres 4(n+1), d'autres (n+2)^2-n^2. Pour les maisons, 1+4n ou n+(n+1)+2n.
Pour le découpage du disque, tu pourrais aussi proposer plusieurs formules et leur faire conjecturer laquelle est la bonne. -
Dom oui c'est plus simple avec l'hexagone régulier inscrit dans le cercle.
Ok Philou merci je vais chercher de ce côté là. Mon exercice est peut être trop dur pour des collégiens. -
La formule est simplement $1+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}$. C'est introuvable pour des élèves de quatrième, je ne vois pas l'intérêt de balancer une "formule magique" qui pour les élèves sort de nulle part.
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Je ne sais pas compter jusqu'à 31 ou il y a un problème ?
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Il faut supposer que trois segments ne se rencontrent pas.
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JLT ok comment tu obtiens la formule ?
Oui trois segments ne peuvent pas se rencontrer, c'était précisé dans le document que j'ai lu. -
C'est un problème classique. Voir par exemple :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1838938,1839318#msg-1839318
Pierre. -
JLT, au sujet des formules qui sortent de nulle part.
Je pense que ce n’est pas inutile.
Par exemple, on voit parfois des élèves (voire des étudiants, j’en sais quelque chose...) qui ne lisent pas les consignes qu’ils savent pourtant résoudre.
Par exemple : « on sait que la grandeur physique $patati$ se calcule avec la formule suivante $patati=2a+6/(7\pi)$ où $a$ est l’âge du capitaine.
Calculer $patati$ pour l’âge moyen bidule ».
En clair, l’élève doit extirper les données du texte et appliquer la formule.
Ce n’est pas si ras des pâquerettes que ça***.
***j’ai failli ajouter « de nos jours ». -
C'était précisé dans le document original, mais tu as oublié de le préciser et rédigeant ta version de l'exercice, et pire, le dessin que tu as proposé ne respectait pas cette consigne.OShine a écrit:Oui trois segments ne peuvent pas se rencontrer, c'était précisé dans le document que j'ai lu.
Voilà ce que ça donne quand tu essaies de proposer un exercice que tu n'es pas capable de résoudre par toi-même, tu zappes des informations essentielles de l'énoncé.
J'ai vu beaucoup de messages où tu te retrouvais dans des situations ridicules, parce que tu bloquais sur des exercices de niveau collège. Là, c'est le pire, tu construis toi-même un truc pour être ridicule.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
N’empêche, comme ça a été soulevé, ça m’intéresse car la suite 1-2-4-8-16-... a le mauvais goût de ne pas avoir 32 comme terme suivant :-)
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Merci @PierreB,
À noter que $1+C_n^{2}+C_n^{4}=\sum_{k=0}^{4} C_{n-1}^k$. En établissant un codage (que je ne comprend pas) de chaque région, on obtient l'expression de droite.
http://images.math.cnrs.fr/Demarrage-trompeur.html -
Il me semble me souvenir qu'au début de l'année tu faisais tous les exercices qe tu proposais, et ce, en te chronométrant...
Il commence à y avoir du laissez-aller là! Franchement, le coup du 30 (figure) vs 31 (formule) ça peut rendre un élève qui a tout bon complètement fou.Après je bloque. -
Voici mon raisonnement pour trouver la formule.
On part d'une région. A chaque fois qu'on tire un trait, on rajoute $1+N$ régions supplémentaires, où $N$ est le nombre de nouveaux points d'intersection créés.
Donc le nombre total de régions est 1 + (nombre de segments) + (nombre de points d'intersection).
Il y a $\binom{n}{2}$ segments car un segment est déterminé par ses deux extrémités.
Il y a $\binom{n}{4}$ points d'intersection car un tel point est déterminé par quatre points du cercle. -
Bon je vais être très cash , je viens de lire le ’’sujet’’ et je n'ai même pas lu les réponses précédentes donc si je dois être ridicule ou grossier j’assume. Je trouve cet énoncé incompréhensible et stupide. Déjà cette histoire de ’’part’’ très floue mais quand je vois en plus ’’part d'un cercle’’ , moi, perso, c’est direct poubelle et si j’avais un gamin qui doit faire ce devoir je lui dirais la même chose: poubelle direct! On a une formule, super...d’où elle sort? Peu importe.. c’est quoi le but du jeu? Juste que le gamin sorte sa calculatrice?
Édit : lecture trop rapide de ma part...parts découpées dans le cercle. Bon c’est guère mieux. Poubelle quand-même :-D -
Merci @JLT, je comprends ton raisonnement schéma à l'appui pour à chaque fois qu'on tire un trait, on rajoute 1+N régions supplémentaires.
On part d'une seule région, le disque complet et selon le principe énoncé :
N=1+(1+N1)+(1+N2)+...+(1+Nk)=1+(1+1+...+1)+(N1+N2+...Nk) où k est le nombre de segments tracés et Ni le nombre de nouveaux points d'intersection créés par le i-ème segment.
Les segments tracés sont bien au nombre de $k=C_n^2$, les points d'intersection de ces segments sont autant qu'il y a de paires de segments (utilisation de l'hypothèse 3 segments non concourants) donc bien $C_n^4$ d'où le résultat. :-) -
Mais bordel de... Qu'est-ce que tu glandes ? Tu balances des exemples sur des puissances, puis une formule que tu n'es pas capable de retrouver. JLT qui vient t'observer est toujours bienveillant ? Est-ce que quelqu'un pense aux élèves de ce glandu qui enseigne les maths comme il les apprend ?
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JLT merci superbe explication et très simple à comprendre avec un dessin.
La formule marche pour $n=3$ : 1 + nombre de segments + nombre de points d'intersection = 1 + 3 + 0 = 4
La formule marche pour $n=4$ : 1 + nombre de segments + nombre de points d'intersection = 1 + 6 + 1 = 8
PierreB j'ai regardé c'est trop compliqué pour moi ces messages. C'est des maths de haut niveau.
Lourran je vais changer mon DM. Je sais faire les exercices niveau collège, je bloque sur des exercices du concours kangourou qui ne sont pas tous évidents. -
Salut Oshine,
En dehors des carrés bordés et des allumettes, tu peux faire le nombre de poignées de mains :
$n$ personnes se rencontrent, chaucn serre la main des autres une seule fois. Combien de poignées de mains sont échangées ?
handshake problem -
poli écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2188254,2188442#msg-2188442
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Je rappelle qu'Oshine est un stagiaire qui donne satisfaction, comme en témoigne sa visite qui s'est bien passée. -
Voici comment appliquer l'algorithme d'étiquetage en $\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k$ étiquettes. En admettant que cet algorithme n'étiquette qu'au plus une fois une région, puisque qu'il donne le bon nombre d'étiquettes, il est correcte.
Erratum : La flèche rouge dans la région 5 devrait être en noir.
J'ignore si l'activité proposée amusera des 4e, mais moi elle m'amuse bien ! -
Dénombrer les surfaces générées par n segments, oui, bien sûr que c'est un exercice intéressant. Je pense qu'on a vu des sujets de ce type dans la rubrique combinatoire/dénombrement.
Mais dès que le nombre de points dépasse 4 ou 5, ou dès qu'on s'intéresse à une formule générale, ça s'adresse à des gens post-bac et pas à des 4ème.
Je vais soumettre l'exercice à mes élèves, moi, je ne comprends pas, mais ils vont pouvoir m'expliquer !Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Les collégiens n'ont pas besoin de comprendre d'où viennent les formules qu'ils appliquent.
Si on démontre tout on les perd. -
Philou22 je ne comprends rien à tout activité sur l'étiquetage.
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À chaque partie à 0, 1, 2, 3 ou 4 éléments de l'ensemble {'1', '2', '3', ..., 'n-1'} des (n=6 sur le dessin) sommets privé du premier sommet '0' (en jaune fluorescent), on peut associer une région bien définie par un algorithme.
En haut à gauche je commence avec les $C_{n-1}^4=5$ parties à 4 éléments : en triant la partie dans l'ordre a<b<c<d, la région associée est définie par le point d'intersection de (ac) et (bd) et les vecteurs (a,c) et (b,d). Ensuite, avec les $C_{n-1}^2=10$ parties à 2 éléments, en triant dans l'ordre a<b, on obtient pour chacune de ces parties une région en partant de a vers b du côté droit (tribord). Ensuite avec les $C_{n-1}^3=10$ parties à 3 éléments, on fait comme avec celles à 4 éléments en prenant {'0',a,b,c}. Ensuite pour les $C_{n-1}^1=5$ parties à 1 élément, on fait comme avec les parties à 2 éléments en prenant {'0',a}. À la fin il reste la dernière ($C_{n-1}^0=1$) région sur le côté gauche (babord) en allant du sommet '0' au dernier sommet 'n'.
J'ai utilisé le code couleur suivant sur le dessin :
'0' : jaune
'1' : vert
'2' : bleu
'3' : violet
'4' : rouge
'5' : noir -
Il est important que les élèves sachent qu'en maths tout se démontre, et que ce n'est pas parce que le prof dit quelque chose qu'il a nécessairement raison, et tout élève doit pouvoir remettre en question ce que dit le prof. Au minimum il faudrait indiquer que cette formule est douteuse. Par exemple :
Mathis devine que le nombre de parts est $2^{n-1}$, et Anna-Lise devine qu'il y en a $\dfrac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}$.
a) Mathis et Anna-Lise ont-ils deviné correctement le nombre de parts pour $n=1,2,3,4,5$ ?
b) Même question pour $n=6$.
c) Combien de parts Anna-Lise devine-t-elle qu'il y a pour $n=15$ ?
Mais même comme ça je trouve que l'intérêt du sujet est limité. -
@ philou22
D'où vient cette solution en anglais ? Merci. -
Bonjour,
Donner la formule $\dfrac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}$, pourquoi pas. Mais après, pour qu'ils l'utilisent afin de calculer le nombre de parties obtenues à partir de, par exemple, 8 points (la figure étant rapidement difficile à faire à la main quand le nombre de points augmente, on peut facilement se tromper dans le comptage).
Je les ferais simplement douter : au début ça double à chaque fois, on en a bien l'impression. La figure pour 6 points étant faisable, on voit que mince ça ne marche plus. Ben alors ? Alors on peut bien leur donner la formule, pour satisfaire leur curiosité et donner envie d'aller plus loin. -
Il y a surtout des élèves ou des parents d’élèves qui ne vont pas trop comprendre le début mais qui vont vite remarquer qu’avec la formule donnée on peut répondre correctement à toutes les questions. Bilan: 7 calculs à la calculatrice, zéro compréhension et 20/20...
-
Il y a quand même cette contrainte « trois segments... ».
Peut-être qu’on peut la remplacer par « il faut placer les points pour avoir le plus de zones possibles » mais je ne suis pas sûr que ce soit plus clair.
Pour moi « trois segments ne se rencontrent pas » est mal dit, c’est plutôt « trois segments ne doivent pas être concourants ». -
C’est un autre sujet biely.
D’ailleurs cela pourrait entraîner une autre discussion : pourquoi en DM ? que proposer en DM ?
Puis, comment évaluer un DM ? faut-il le compter pour la moyenne ? -
PierreB, salut et bonne année 2021 !
Dans le fil signalé par PierreB : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1838938,1839318#msg-1839318, sa solution est très belle, mais elle ne convient qu'à ceux qui connaissent la formule d'Euler. Cette formule se démontre de plusieurs façons, parfois problématiques.
Dans ce fil j'ai donné ma solution, qui met en œuvre la méthode de récurrence : comment évolue le nombre cherché lorsqu’on passe de $n$ à $n+1$ points ? Elle me semble la méthode la plus naturelle pour tout un chacun. J'ai parlé de cette méthode juste hier : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2187900,2188240#msg-2188240. J'ai signalé qu'elle convient à plusieurs problèmes de dénombrement d'objets géométriques.
Bonne journée.
Fr. Ch.
23/02/2021 -
OShine pourrait être moins ambitieux, et faire réfléchir les élèves déjà sur le nombre d'intersections de $n$ droites en position générale. Ça me rappelle un très joli livre de Philippe Boulanger, La fête des petits matheux, Belin, 1984 (à l'époque les jeunes héros du récit se prénommaient Éléonore, Marine, Christophe, Sébastien et Benoît... ).
Ensuite, OShine pourrait aborder le dénombrement des régions.
C'est juste une suggestion, car je ne connais pas grand'chose à l'enseignement dans le collège actuel.
Bonne journée.
Fr. Ch.
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