Devoir maison géométrie 4ème
Bonsoir,
Je voudrais des avis sur ce DM que j'ai préparé pour les 4ème.
Je voudrais des avis sur ce DM que j'ai préparé pour les 4ème.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je n’ai pas compris « quel est le nombre de parts découpées dans le cercle ? ».
Peut-être faut-il faire tracer des segments, si j’ai bien interprété ce que cela peut vouloir dire ?
Éventuellement faire une figure pour expliquer ce que veut dire « parts découpées » sans rentrer dans des détails imbitables.
C’est pas mal de proposer une « formule » et de la faire tester, je trouve, pour en gros proposer de l’abstraction (toute proportion gardée).
Tester la formule pourquoi pas, bonne idée.
-- Schnoebelen, Philippe
En effet, Nicolas voit bien que ça pourra désarmer même les plus motivés.
Ou alors ne pas aller trop loin dans ce décompte... ?
Je ne comprends pas où est la difficulté dans le comptage ?
La formule est compliquée mais il peuvent utiliser la calculatrice.
Si on fourni les figures, alors l’exercice n’est plus le même.
Donnons les trois premières.
Le cas $n=1$ sera incompris sauf par les matheux.
Peut-être commencer par $k=2$ et fournir les figures pour $2$ et $3$.
J’ai une question pénible : comment convaincre que ça ne dépend pas de la manière dont on dispose les points ?
Sans quoi, on peut comprendre que l'on partage le cercle par les points placés dessus.
Bien que le problème soit mathématiquement intéressant (Est-ce que cela se démontre facilement par récurrence ? Cela fonctionne quel que soit l'espacement entre les points ou doivent-ils êtres régulièrement espacés ?), sa complexité masque peut être un peu l'essentiel :
substitution de la variable dans une expression littérale par une valeur, suivi d'un calcul suivant les règles de priorités et ici avec une fraction, pour obtenir un résultat numérique.
Tel que j'avais compris l'énoncé avant de voir les figures, j'hésitais entre deux interprétations mais la réponse pour $n$ points était $n$ parts pour les deux interprétations.
En terme de progressivité de la difficulté pour travailler sur cet objectif, on peut jouer sur la complexité de l'expression littérale et sur les valeurs de la variable. Un bon moyen de consolider la maîtrise des élèves à ce sujet est de leur faire produire leurs propres expressions littérales et éventuellement de les comparer dans une intention contradictoire à des expressions identiquement égales.
Oui... allons-y !
Les conditions à respecter sont :
Les points sur le cercle doivent être distincts. Les droites tracées doivent couper les autres, sans passer un point d'intersection existant.
En général on aime bien avoir du recul sur ce que l’on propose.
D’ailleurs imagine qu’il y ait une coquille...
Bon, par contre il faut absolument régler un problème.
Tu vois bien que si tu prends la figure avec six points et qu’au lieu de les placer chacun avec son opposé diamétral*, tu bouges un peu le dernier point, alors ça va créer d’autres parts car là, sur ta figure, tout passe par le centre du cercle et ça « enlève » des parts.
Sauf si je me trompe, il faut préciser quelque chose comme « répartis régulièrement » ou « en formant un polygone régulier »...
*j'invente cette façon de dire si elle n’existe pas
Dans les classiques il y a les maisons côte à côte construites avec des allumettes, les carrés bordés et la somme des n premiers entiers consécutifs.
Avec les carrés bordés par exemple, certains élèves donneront 4n+4, d'autres 4(n+1), d'autres (n+2)^2-n^2. Pour les maisons, 1+4n ou n+(n+1)+2n.
Pour le découpage du disque, tu pourrais aussi proposer plusieurs formules et leur faire conjecturer laquelle est la bonne.
Ok Philou merci je vais chercher de ce côté là. Mon exercice est peut être trop dur pour des collégiens.
Oui trois segments ne peuvent pas se rencontrer, c'était précisé dans le document que j'ai lu.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1838938,1839318#msg-1839318
Pierre.
Je pense que ce n’est pas inutile.
Par exemple, on voit parfois des élèves (voire des étudiants, j’en sais quelque chose...) qui ne lisent pas les consignes qu’ils savent pourtant résoudre.
Par exemple : « on sait que la grandeur physique $patati$ se calcule avec la formule suivante $patati=2a+6/(7\pi)$ où $a$ est l’âge du capitaine.
Calculer $patati$ pour l’âge moyen bidule ».
En clair, l’élève doit extirper les données du texte et appliquer la formule.
Ce n’est pas si ras des pâquerettes que ça***.
***j’ai failli ajouter « de nos jours ».
Voilà ce que ça donne quand tu essaies de proposer un exercice que tu n'es pas capable de résoudre par toi-même, tu zappes des informations essentielles de l'énoncé.
J'ai vu beaucoup de messages où tu te retrouvais dans des situations ridicules, parce que tu bloquais sur des exercices de niveau collège. Là, c'est le pire, tu construis toi-même un truc pour être ridicule.
À noter que $1+C_n^{2}+C_n^{4}=\sum_{k=0}^{4} C_{n-1}^k$. En établissant un codage (que je ne comprend pas) de chaque région, on obtient l'expression de droite.
http://images.math.cnrs.fr/Demarrage-trompeur.html
Il commence à y avoir du laissez-aller là! Franchement, le coup du 30 (figure) vs 31 (formule) ça peut rendre un élève qui a tout bon complètement fou.
On part d'une région. A chaque fois qu'on tire un trait, on rajoute $1+N$ régions supplémentaires, où $N$ est le nombre de nouveaux points d'intersection créés.
Donc le nombre total de régions est 1 + (nombre de segments) + (nombre de points d'intersection).
Il y a $\binom{n}{2}$ segments car un segment est déterminé par ses deux extrémités.
Il y a $\binom{n}{4}$ points d'intersection car un tel point est déterminé par quatre points du cercle.
Édit : lecture trop rapide de ma part...parts découpées dans le cercle. Bon c’est guère mieux. Poubelle quand-même :-D
On part d'une seule région, le disque complet et selon le principe énoncé :
N=1+(1+N1)+(1+N2)+...+(1+Nk)=1+(1+1+...+1)+(N1+N2+...Nk) où k est le nombre de segments tracés et Ni le nombre de nouveaux points d'intersection créés par le i-ème segment.
Les segments tracés sont bien au nombre de $k=C_n^2$, les points d'intersection de ces segments sont autant qu'il y a de paires de segments (utilisation de l'hypothèse 3 segments non concourants) donc bien $C_n^4$ d'où le résultat. :-)
La formule marche pour $n=3$ : 1 + nombre de segments + nombre de points d'intersection = 1 + 3 + 0 = 4
La formule marche pour $n=4$ : 1 + nombre de segments + nombre de points d'intersection = 1 + 6 + 1 = 8
PierreB j'ai regardé c'est trop compliqué pour moi ces messages. C'est des maths de haut niveau.
Lourran je vais changer mon DM. Je sais faire les exercices niveau collège, je bloque sur des exercices du concours kangourou qui ne sont pas tous évidents.
En dehors des carrés bordés et des allumettes, tu peux faire le nombre de poignées de mains :
$n$ personnes se rencontrent, chaucn serre la main des autres une seule fois. Combien de poignées de mains sont échangées ?
handshake problem
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Je rappelle qu'Oshine est un stagiaire qui donne satisfaction, comme en témoigne sa visite qui s'est bien passée.
Erratum : La flèche rouge dans la région 5 devrait être en noir.
J'ignore si l'activité proposée amusera des 4e, mais moi elle m'amuse bien !
Mais dès que le nombre de points dépasse 4 ou 5, ou dès qu'on s'intéresse à une formule générale, ça s'adresse à des gens post-bac et pas à des 4ème.
Je vais soumettre l'exercice à mes élèves, moi, je ne comprends pas, mais ils vont pouvoir m'expliquer !
Si on démontre tout on les perd.
En haut à gauche je commence avec les $C_{n-1}^4=5$ parties à 4 éléments : en triant la partie dans l'ordre a<b<c<d, la région associée est définie par le point d'intersection de (ac) et (bd) et les vecteurs (a,c) et (b,d). Ensuite, avec les $C_{n-1}^2=10$ parties à 2 éléments, en triant dans l'ordre a<b, on obtient pour chacune de ces parties une région en partant de a vers b du côté droit (tribord). Ensuite avec les $C_{n-1}^3=10$ parties à 3 éléments, on fait comme avec celles à 4 éléments en prenant {'0',a,b,c}. Ensuite pour les $C_{n-1}^1=5$ parties à 1 élément, on fait comme avec les parties à 2 éléments en prenant {'0',a}. À la fin il reste la dernière ($C_{n-1}^0=1$) région sur le côté gauche (babord) en allant du sommet '0' au dernier sommet 'n'.
J'ai utilisé le code couleur suivant sur le dessin :
'0' : jaune
'1' : vert
'2' : bleu
'3' : violet
'4' : rouge
'5' : noir
Mathis devine que le nombre de parts est $2^{n-1}$, et Anna-Lise devine qu'il y en a $\dfrac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}$.
a) Mathis et Anna-Lise ont-ils deviné correctement le nombre de parts pour $n=1,2,3,4,5$ ?
b) Même question pour $n=6$.
c) Combien de parts Anna-Lise devine-t-elle qu'il y a pour $n=15$ ?
Mais même comme ça je trouve que l'intérêt du sujet est limité.
D'où vient cette solution en anglais ? Merci.
Donner la formule $\dfrac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}$, pourquoi pas. Mais après, pour qu'ils l'utilisent afin de calculer le nombre de parties obtenues à partir de, par exemple, 8 points (la figure étant rapidement difficile à faire à la main quand le nombre de points augmente, on peut facilement se tromper dans le comptage).
Je les ferais simplement douter : au début ça double à chaque fois, on en a bien l'impression. La figure pour 6 points étant faisable, on voit que mince ça ne marche plus. Ben alors ? Alors on peut bien leur donner la formule, pour satisfaire leur curiosité et donner envie d'aller plus loin.
Peut-être qu’on peut la remplacer par « il faut placer les points pour avoir le plus de zones possibles » mais je ne suis pas sûr que ce soit plus clair.
Pour moi « trois segments ne se rencontrent pas » est mal dit, c’est plutôt « trois segments ne doivent pas être concourants ».
D’ailleurs cela pourrait entraîner une autre discussion : pourquoi en DM ? que proposer en DM ?
Puis, comment évaluer un DM ? faut-il le compter pour la moyenne ?
Dans le fil signalé par PierreB : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1838938,1839318#msg-1839318, sa solution est très belle, mais elle ne convient qu'à ceux qui connaissent la formule d'Euler. Cette formule se démontre de plusieurs façons, parfois problématiques.
Dans ce fil j'ai donné ma solution, qui met en œuvre la méthode de récurrence : comment évolue le nombre cherché lorsqu’on passe de $n$ à $n+1$ points ? Elle me semble la méthode la plus naturelle pour tout un chacun. J'ai parlé de cette méthode juste hier : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2187900,2188240#msg-2188240. J'ai signalé qu'elle convient à plusieurs problèmes de dénombrement d'objets géométriques.
Bonne journée.
Fr. Ch.
23/02/2021
Ensuite, OShine pourrait aborder le dénombrement des régions.
C'est juste une suggestion, car je ne connais pas grand'chose à l'enseignement dans le collège actuel.
Bonne journée.
Fr. Ch.