Manuels de collège et mesures d'angles
Pourquoi je vois dans tous les manuels scolaires :
En géométrie des figures peuvent être égales entre elles seulement si elles sont formées par exactement les mêmes points ? Ainsi une figure ne peut être égale qu'à elle même ?
C'est moi qui pige rien ou alors c'est absolument normal de voir une telle flexibilité sur les notations d'angles ? Je ne vois nul part une notation qui permette une telle distinction.
Comment des telles absurdités peuvent êtres écrites dans un manuel ?
Je comprends qu'il y ait une subtilité qui doit être enseignée avec délicatesse mais cette notion est si cruciale et fondamentale que de tels faux pas corrigés au plus tôt éviterait bien des confusions dans la formation des élèves. Pourquoi ne pas utiliser pour parler de la mesure d'un angle cette notation:
$\widehat{ABC}$ = $\widehat{DEF}$ ?
En géométrie des figures peuvent être égales entre elles seulement si elles sont formées par exactement les mêmes points ? Ainsi une figure ne peut être égale qu'à elle même ?
C'est moi qui pige rien ou alors c'est absolument normal de voir une telle flexibilité sur les notations d'angles ? Je ne vois nul part une notation qui permette une telle distinction.
Comment des telles absurdités peuvent êtres écrites dans un manuel ?
Je comprends qu'il y ait une subtilité qui doit être enseignée avec délicatesse mais cette notion est si cruciale et fondamentale que de tels faux pas corrigés au plus tôt éviterait bien des confusions dans la formation des élèves. Pourquoi ne pas utiliser pour parler de la mesure d'un angle cette notation:
$|\widehat{ABC}|$ ?
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Réponses
L'égalité a lieu... modulo quelque chose...
Pour être honnête, les programmes officiels ne disent pas de dire ce que c’est... c’est on ne peut plus flou.
Toujours au collège, on parle d’angles égaux, soit par abus de langage (ce sont plutôt les mesures des angles qui sont égales) soit par « égalité » modulo une isométrie ce qui se dit plus simplement avec le terme « superposable ».
Pourquoi ne pas utiliser la notation proposée? Ma réponse : pourquoi compliquer? Cela n’apporte rien!
P.s. Je pense que vous oubliez que le point de départ sont les axiomes. Si on est dans le cadre de la géométrie Euclidienne, alors oublie le désir de précision pour faire la précision. Oui, Euclide n’a pas fait ENS Ulm... tant mieux tant pis!
$\angle ABC$ est juste un nom. On aurait pu appeler le même angle $\alpha$ ou $\angle XCD$.
Parce que cela constitue une richesse du langage mathématique, que les définitions ou axiomes posés en amont peuvent rendre claire et facile à acquérir.
Pourquoi se priver d'affûter l'esprit d'un enfant quand il est encore flexible et vif ?
Si $ABC$ est un triangle équilatéral, est-ce correct de dire que $\widehat{ABC} = \widehat{BCA} = \widehat{CAB}$ ?
Droite $AB$, segment $AB$, demi-droite $AB$, dans un triangle $ABC$ $AB=15$. Oui, les français sont choqués... mais c’est parce qu’ils ont pris de mauvaises habitudes.
Je note toujours de la même façon un angle géométrique et sa mesure.
Avec ta logique, si je prends deux segments $[OA]$ et $[OB]$ avec $O=(0,0)$, $A=(1,0)$ et $B= (0,1)$ (dans un repère orthonormé direct), alors ce sont les mêmes car ils ont la même longueur.
Si penser que faire une distinction entre un segment et sa longueur est du "chipotage complètement inutile", alors on est pas fait pour les maths.
Je répète, le seul problème ici est le problème que le mot "angle" peut se comprendre comme l'objet géométrique ou la mesure. En maths on définit les objets, c'est quand même un gros fondamental de la discipline (bien sûr il faut que les définitions données soit en accord avec le niveau/année de la classe et ne pas tomber dans un formalisme extrême)...
Je trouve ça très sain de se poser ce genre de questions pour un prof, surtout que définir la notion de (mesure) d'angle, ce n'est pas si simple.
Dans les EMS on pourra attaquer un fleuron rare : Définition de 1 et preuve de $1\times 1=1$
Les érudits disserteront de $2+2\neq3$ .
(Preuve par l'absurde.)
Confondre $\widehat{ABC}$ et la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ n’est pas du chipotage !
Ce serait la même chose que confondre $[AB]$ et $AB$.
Et pourtant dans tous les cours (ou presque) de collège et lycée on écrit des choses du genre :
« $\widehat{ABC}$ a pour image $\widehat{DEF}$ par cette translation donc $\widehat{ABC}= \widehat{DEF}$ donc $\widehat{DEF}=60°$.»
Adaptons avec les segments, tout le monde râlerait avec :
« $[AB]$ a pour image $[EF]$ par cette translation donc $[AB]= [EF]$ donc $[EF]= 5,4 \ cm$.»
Question en bleu pour vorobichek : les deux phrases orange te vont bien ? Tu n’y vois aucun problème ?
C’est être bourbakisto-rigoriste d’exprimer qu’il y a un problème ?
Une chose est sûre : si on est de bonne foi, on dit que les deux sont correctes ou disons acceptables ou$_{exclusif}$ bien que les deux sont incorrectes. Il faut choisir.
Cela dit je ne fais pas le malin et n’accable pas les profs car l’usage répandu pour les angles est tellement ancré qu’il est difficile parfois de ne pas s’y plier par réflexe ou par lassitude. En fait, je préfère quelqu’un qui reconnaît le problème même s’il le perpétue que quelqu’un qui fait l’autruche et qui dit « pour les segments c’est n’importe quoi mais pour les angles il n’y a aucun problème ».
Remarque : dans ces phrases, on parle de trois objets distincts $\widehat{DEF}$ (resp. : $[EF]$)
Le premier est la figure géométrique, l’angle (resp. le segment) qui est à cet endroit là.
Le deuxième avec l’égalité est plutôt une égalité de classes (égal à isomérie près, on dira au collège « est superposable à »).
Le troisième est une mesure.
Pour 6 ou 7 € port compris je recommande les "tout en un" collège style Deledicq ou Larousse.
@Dom je dirais plutôt : au collège la notion d'angle est directement liée à la mesure du secteur, c'est tout, ce n'est pas une question d'usage. Donc ce n'est pas un abus de langage de dire directement que $\widehat{ABC}= \widehat{DEF}$, c'est comme si on parlait de longueur. Quand j'ai du (re)faire le cours pour junior je lui ai expliqué comme ça, c'est très bien passé, notamment le fait qu'on pouvait mesurer en partant d'un côté ou de l'autre, comme pour un segment.
On pourrait aller plus loin comme tu l'indiques, mais à la fois pour les élèves et les néo certifiés ... et tout cela n'a d'intérêt que lorsqu'on définit les angles orientés de 2 droites et le quotient de l'ensemble de ces droites par la relation d'équivalence ad hoc pour définir l'ensemble des angles orientés de droites. Mais je crois avoir vu un fil où Chaurien disait qu'en fait ça ne sert pas à grand chose.
Pour une fois, je soutiens Vorobichek. Simplement, parce que multiplier les notations ne simplifie la vie qu'à ceux qui ne savent pas lire (et finissent par ne plus lire faute d'avoir appris toutes ces notations). La distinction entre l'angle (au fait, lequel ?) et sa mesure est un sujet de réflexion pour l'étudiant en maths (donc le prof ou l'apprenti prof), pas un problème pour l'élève débutant la géométrie.
Et si on se restreint à l'angle géométrique (celui du rapporteur, celui qui se conserve par translation, rotation et même symétrie), il y a bijection bi-continue entre l'angle et sa mesure (On sait tous tracer un angle de 30°), et la distinction n'a pas d'utilité pratique. Ce n'est qu'avec d'autres notions d'angles qu'il y a besoin de faire la différence entre l'angle et ses mesures.
Alors, oui, écrivons sans gêne $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$, puisque c'est la notation d'un angle géométrique.
NB : Attention, ce n'est pas la notation d'un secteur angulaire (l'une des quatre zones du plan délimitées par deux droites sécantes). L'apprentissage de l'élève débutant doit être de différencier l'angle géométrique du secteur angulaire (qui ne nécessite pas de notation particulière).
Cordialement.
Alors au collège/petites classes on n'a que la notion d'angle euclidien/secteur angulaire. Pour ces angles (dont la somme n'est définie que si le résultat est inférieur à 360 degrés) on peut utiliser directement la notion de mesure. Deux angles géométriques sont égaux si et seulement si ils ont même mesure.
Exemple page 84 https://fr.calameo.com/read/0048229530af01c91999b
Comme je le disais, l’écrire ne me gêne pas si l’on sait que l’on utilise la même notation pour deux objets différents.
Avoir un petit mot dessus à l’oral me semble important (« bon là c’est la mesure, là c’est l’objet géométrique »).
En effet, écrire $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$ sans scrupule après avoir dit $\widehat{ABC}$ et $\widehat{DEF}$ sont alternes internes et les droites ... sont parallèles, ça pose un problème.
Ça revient à en déduire qu’un angle est alterne interne avec lui-même...
Au fait, ton argumentaire sur la multiplication des notations, l’utilises-tu pour $[AB]=[EF]$ ?
xax, et Serge aussi :
L’exemple que j’ai pris pour les angles alternes internes démontre qu’un angle n’est pas qu’une mesure.
Personne n’écrirait « les angles 30° et 40° sont alternes internes formés par ... ».
indiquer le couple de vecteurs
indiquer l'angle orienté de vecteurs
indiquer la mesure de l'angle orienté de vecteurs
indiquer la mesure principale de l'angle orienté de vecteurs
indiquer un représentant (nombre réel) de la mesure de l'angle orienté de deux vecteurs
ici on peut refaire le même chose avec les angles orientés de droites
On peut et doit le faire une fois pour la clarté conceptuelle (mais pas au lycée) et ensuite s'abandonner à l'abus de notation dans le cas contraire on noierait dans un pedantisme trop lourd puisqu'on sait de toute façon de quoi on parle.
Par contre, l'abus de notation $( OI,OA)=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ne pose pas de problème.
Cordialement.
quand j'écris le segment AB, il n'y a qu'un formaliste puriste pour lire "le segment "longueur AB". Quand j'écris $\widehat{ABC}=30°$ il n'y a qu'un formaliste puriste pour dire "ce n'est pas le même objet des deux côtés.
Quand tu dis "sont alternes-internes", tu ne parles ni des angles (c'est le même), ni des mesures (elles sont les mêmes). Alors, tu parles de quoi ? Ben des représentants ABC et DEF des angles. Mènes-tu alors la distinction jusque là ?
Je peux être formaliste puriste (*), quand ça m'arrange. mais pour une initiation à une nouvelle partie des maths, j'évite; ça embrouille !!
Cordialement.
(*) "les puristes", c'était notre surnom, à mes deux copains et moi, à la fac.
Pour ma part, ce que j’appelle « angle » au collège c’est ce qui est plus communément appelé « secteur angulaire ».
Ainsi, pour alternes internes c’est le seul truc qui est juste.
J’ai fait ce choix justement parce que les angles au collège et même de temps en temps au lycée ne sont justement QUE des représentants (la figure géométrique).
Évoquer des angles d’un triangle, des angles de la base d’un triangle isocèle, des angles d’un quadrilatère, des angles alterne interne c’est bien parler des secteurs angulaires.
Il n’y a pas de « classe » là. Ou alors uniquement quand on passe par les mesures entre 0° et 360°.
Et d’ailleurs même l’angle nul (secteur angulaire réduit à une demi-droite) est distingué de l’angle plein (presque le complémentaire du nul, presque...)
dans le parallélogramme lorsque les cotés opposés sont égaux et doivent ètre le meme segment c'est aussi hachement diffcile …
Faut bien mesurer ce qu'on raconte dites donc!
Et certains élèves s’en rendent compte.
je suis d'une vieille génération pour laquelle, dès la sixième, il n'y avait pas de difficulté à distinguer l'angle (ce qu'il y a de commun à des secteurs angulaires de même mesure) du secteur angulaire, sans que la compréhension de "angles égaux" à la base d'un triangle isocèle pose problème. Mais on était peut-être particulièrement niais ...
puisque lorsque je parle d'angles égaux, les cotés opposés sont égaux, je parle sans avoir à le dire de la mesure.
Et cela me surprend totalement que l'on puisse en faire une égalité d'objets.
Et effectivement pour qui n'est pas habitué, cela semble compliqué tout votre distinction précision.
la fameuse blague
trouver x
et le gars entoure le x sur la figure : il est là !!!!
parce que si on cherche x, ben c'est x !!!!
Enfin du moment qu'avec toutes ces précautions le niveau monte!!!
Les angles orientés et les angles non orientés sont en réalité deux fonctions spécifiques dont l'ensemble de définition est $S$ (et dont on ne précisera pas l'arrivée ici sous peine de risquer d'ouvrir un autre débat dans le fil :-D)
D’ailleurs aucune réponse sur ce sujet (analogie avec les segments ...).
J’y vois un peu de mauvaise foi...
J’ai précisé ma « ligne » à ce sujet : Tolérer mais en parler, en gros.
Cordialement.
Mais je ne sais pas s’il fallait dire à l’élève « non, non, tu aurais dû écrire le segment [AB] » ou bien rien du tout.
Quelque chose me dit (c’est l’expérience qui parle) que la quasi unanimité des intervenants et profs qui crient au scandale face au $<< bourbakisme >>$ ne sont pas les derniers à expliquer à leurs élèves que « [AB] n’est pas la même chose que AB » et à insister pour le coup bien lourdement.
Je te lis Gérard, je te lis.
C’était plutôt d’autres intervenants que je visais.
Cordialement
Est-ce que vraiment le premier cas se présente dans les écrits des élèves? J’en doute fortement. Si c’est le cas , oui cela me pose problème car je me demande vraiment de quoi il parle. Dans le deuxième cas, j’estime que l’on peut être plus souple tout simplement parce que le mot ’’droite’’ est bien précisé.
Cela dit, il suffit d’écrire « -0,5 » sur la copie et d’expliquer.
Pour la phrase avec les droites, même si le mot droite est présent, je préconise de faire pareil.
Pour moi cela ne suffit pas de dire « oui mais on a le mot droite ».
Par exemple on voit parfois la situation suivante : les points A, B et C sont alignés et le gamin écrit « la droite (ABC) ».
Je ne trouve pas cela idiot mais je pense qu’il faut sanctionner. Là encore « -0,5 ».
À l’époque de la bienveillance et du pédagogisme, je trouve encore très efficace d’écrire des « -0,5 » ou « -2 » etc.
Ça marque bien davantage et suscite bien des questions quand on compare à une simple rayure en rouge.
(une fois compris c'est plus facile de rédiger de façon "traditionnelle", et il faut bien voir que cette rédaction c'est la dernière étape).
C’est surtout ça qui m’est cher.
Ça me rappelle mon amie prof en zep qui interdisait à ses élèves d'écrire au stylo bille.
Faites des maths, pas la guerre (aux élèves) !
Ces petits « 0,5 » en moins par ici et par là portent leurs fruits et n’entachent pas les moyennes.
Ça m’évoque le cas (hors sujet ici) de l’élève qui écrit des $=$ au lieu de $\approx$.
Un jour, à force de recevoir ces « -0,5 », il vient et demande au prof : c’est là qu’il est prêt à s’intéresser à ce détail.
Je n’ai jamais vu de profs qui laissaient passer « la droite AB » sans ne rien dire du tout.
Mais je n’ai ni tout vu, ni tout vécu :-)
Édit : je pensais en avoir parlé...
Puisque certains respectent les notations et d’autres ne le font pas je trouve pertinent de distinguer les copies ainsi.
Ne pas dégommer mais pointer les imperfections.
Hum. Ces "secteurs angulaires" sont enseignés en Russie. D'après la wiki française, on les appellent en France (ou Québec? ) les quadrants. En russe les quadrants sont noté $I$, $II$, $III$ et $IV$ dans le sens anti-horaire en partant du quadrant en haut à droite.
En gros quand on a deux droites sécantes, un secteur angulaire (sont je persiste à dire que ce sont ceux-là qui sont appelés angles dans le début du secondaire) est une intersection des demi-plans délimités par ces droites (pour le saillants) ou bien le complémentaire de cette intersection (pour les rentrants).
Les quadrants sont les quatre secteurs angulaires définis par les axes d’un repère orthogonal.
Je dis « en gros » car il reste la question : faut-il considérer les demi-droites comme faisant partie de l’angle ?
Édit : pas de souci Gérard, j’ai dû mettre un certain temps à le rédiger et peut-être à le modifier ;-)