Ces astuces qui n'en sont pas

Héhéhé · March 2021

Bonjour tout le monde,
j'ouvre ce fil après avoir constaté, à force d'enseigner et de chercher des exercices et autres problèmes, que pas mal de choses sont présentées comme des "astuces" alors qu'elles n'en sont pas quand on présente bien les choses.

Pour moi la notion d'astuce n'a rien à faire dans un exercice pertinent : soit elle n'en est pas une car il y a quelque chose de plus profond derrière et cela doit être présenté comme tel (voir plus bas), soit c'est vraiment une astuce et l'exercice n'apporte rien (l'astuce est par définition non reproductible) et ne fait que renforcer l'idée fausse que les mathématiques sont plus ou moins de la magie pour les personnes initiées.

Je souhaiterais qu'on fasse dans ce fil une liste des "astuces" qui ne sont pas des astuces, et peut-être au passage apprendre une chose ou deux. J'éditerai ce message au fur et à mesure des réponses.

[size=x-large]1. L'analyse-synthèse[/size]

Je prends un exemple que j'ai constaté dans pas mal de corrigés, qui balancent des définitions d'objets sans préciser d'où ils viennent.

Par exemple, une démonstration classique de début de sup' : soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, alors $f$ est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Une mauvaise façon de présenter les choses (tirée de https://www.techno-science.net/definition/4931.html) :

Même si ça parait facile/trivial/évident avec du recul, un élève moyen de sup' qui rencontre un tel corrigé (dans un livre ou par un prof) ne peut que se dire qu'il n'aurait jamais trouvé tout seul, que les maths sont trop dures, etc.

Une bonne façon est de présenter les choses est de présenter un raisonnement par analyse-synthèse qui est facile et qui donne les fonctions $g$ et $h$. Au passage, l'analyse-synthèse montre directement l'unicité, pas besoin de la vérifier en plus !

Cet exemple est un peu bidon, mais dans des exercices plus avancés, on rencontre parfois du parachutage d'objets, un simple "par analyse du problème" permet de guider et de faire comprendre que non, il n'y a pas d'astuce...

[size=x-large]2. L'analogie continu/discret[/size]

Un exemple tiré du Gourdon (maths en tête analyse deuxième édition p.218) :

Ici, c'est une analogie continu/discret qui nous donne cette "jolie astuce" (on en a déjà parlé sur le forum), donc rien d'astucieux ici. Puisque $(u_n)_{n \in \N}$ converge vers 0,on a
$$u_{n+1} = \sin(u_n) = u_n - \frac{u_n^3}{6} + o(u_n^3),
$$ donc
$$\frac{u_{n+1} - u_n}{u_n^3} \sim \frac{-1}{6}.
$$ L'analogie continu/discret $f(x) \simeq u_n$ et $u_{n+1}-u_n \simeq f'(x)$ fait apparaître
$$\frac{f'(x)}{f(x)^3} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \frac{1}{f(x)^2} \right) .
$$ On voit donc que la fonction $1/f^2$ est importante ici, donc on pose $v_n = 1/u_n^2$ et comme on s'intéresse à la dérivée de $1/f^2$, on étudie $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}$, et après c'est complètement standard.

Voilà, donc rien d'astucieux, c'est une méthode générale d'étude des suites définies par récurrence. Les Gourdon ont plein de qualités mais les corrections des exercices sont vraiment présentées comme des astuces introuvables à chaque fois...

Si vous en avez d'autres, n'hésitez pas à partager !

zeitnot · March 2021

Cette analogie discret/continu est astucieuse.

Blueberry · March 2021

$\newcommand{\Im}{\mathrm{im\,}}$Pour l'efficacité de l'analyse-synthèse.

Soit $p$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ tel que $p \circ p=p$, on appelle ça un projecteur. On a alors $E=\Im p\bigoplus \ker p$. Le caractère direct de la somme est évident. Par contre, pour prouver la décomposition : $E=\ker~p + \Im p$, on raisonne par analyse-synthèse au lieu de parachuter $x=x-p(x)+p(x)$.

--> Soit $y,z$ tels que $x=y+p(z)$ et $p(y)=0$.
Alors $p(x)=p(y)+p \circ p (z)=p(z)$.
D'où $p(z)=p(x)$ et $x=y+p(x)$ donc $y=x-p(x)$.

soland · March 2021

Eliminer la racine au dénominateur de
$$
\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}
\qquad\text{ou de}
\qquad
\frac{1}{1+\sqrt[3]{1-x}}.
$$

Blueberry · March 2021

J'ai vu aussi, montrer que dans un anneau, si $1-ab$ est inversible, alors $1-ba$ l'est aussi.

1) Dans un des livres, la solution était parachutée : soit $c$ l'inverse de $1-ab$, alors on vérifie facilement (c'est vrai que c'est facile) que $1+bca$ est l'inverse de $1-ba$.

2) Dans le Francinou-Gianella algèbre 1 Exercices d'agrégation, ils fournissent l'heuristique de cette expression de l'inverse.

On suppose que notre anneau est une algèbre normée et que $||a||<1$ et $||b||<1$, alors $||ab||<1$ et $(1-ab)^{-1}=1+ab+(ab)^2+ \dots + (ab)^n+\dots$
De même $||ba||<1$ et $(1-ba)^{-1}=1+ba+(ba)^2+ \dots + (ba)^n+\dots$

On en déduit facilement l'expression de l'inverse de $1-ba$ en fonction de $c=(1-ab)^{-1}$.

nicolas.patrois · March 2021

$\dfrac{15}{12}+\dfrac{35}{16}$ ?

Calli · March 2021

Bonjour,

zeitnot a écrit:

Cette analogie discret/continu est astucieuse.

Oui mais elle peut être réutilisée ailleurs :-). Donc, plus qu'une astuce ponctuelle, est peut devenir une méthode. Et là c'est intéressant.
Par exemple, soit $(u_n)$ telle que $\forall n, u_{n+1}=u_n+e^{-u_n}$. On en veut un équivalent. Alors l'analogie discret/continu donne $f'(x) = e^{-f(x)}$ donc $f'(x)e^{f(x)} = 1$ donc $e^{f(x)} = x+{\rm cste}$. Et on trouve bien que $e^{u_{n+1}}-e^{u_n}\to 1$. Donc $e^{u_n}\sim n$ et $u_n\sim \ln(n)$.

Calli · March 2021

Pour résoudre l'équation différentielle $x^2y''(x)+y(x)=0$ sur $]0,+\infty[$, il faut faire le changement de variable $x=e^t$ qui nous ramène à l'équation $z''(t)- z'(t)+z(t)=0$ (avec donc $z(t) = y(e^t)$) qu'on sait résoudre. Présenté comme ça, ç'a l'air astucieux. Pour arriver à cette idée de façon naturelle, on peut commencer par se dire que la présence du $x^2$ doit donner un certain rôle à jouer aux polynômes. Alors on regarde si un monôme $x^a$ peut être solution. Le $x^2$ devant $y''$ compense la perte de degré due à la dérivation $-$ ça tombe bien $-$ et on trouve que $x^a$ est solution ssi $a(a-1)+1=0$, ssi $a\in\{-j,-j^2\}$ (dans $\Bbb C$). Sauf que $x^{-j}$ n'est pas très orthodoxe comme polynôme, donc on revient à sa définition la plus censée : $\forall x>0, x^{-j} := e^{-j\ln(x)}$. Et là on voit qu'en posant $t=\ln(x)$, les solutions du problèmes seront des exponentielles, donc elles proviendront probablement d'une équation à coefs constants facile à résoudre, et c'est le cas.

PS: cf. les équations différentielles d'Euler de manière plus générale.

Dom · March 2021

La partie analyse dans « montrer qu’il existe » a le droit de n’être cherchée qu’au brouillon et l’on n’est pas du tout obligé de la rédiger sur une copie.
En effet pour les cas où l’existence se montre par construction de l’objet, il suffit de dire « posons ... » et de vérifier que ça convient.

C’est vrai que dans un bouquin, si on propose « la copie idéale », le lecteur peut se demander d’où sortent les objets.
S’il se veut pédagogique, il proposera parfois le « comment on a trouvé ça ? ».

Je suis d’accord pour faire attention à l’idée « d’astuce ».
C’est en fait, assez rare.
La seule qui me vient instantanément c’est le calcul de la somme des 1000 premiers entiers non nuls et « l’astuce » (légendaire ?) de Gauss.
Comme on dit parfois : « il faut y penser ».

soleil_vert · March 2021

Dom, tu prends $(n+1)^2$ billes que tu mets dans un carré...
Sur la diagonale il y a $n+1$ billes au dessus n puis $n-1$ jusqu'à 1 bille en remontant soit la somme S cherchée.
De même sous la diagonale.

D'où $2*S + (n+1) = (n+1)^2 $

L'astuce c'est d'avoir l'habitude des combinatoires.

Dom · March 2021

Pour compter $1+\cdots+1000$ l’astuce est de penser au carré.

En fait justement parler de « l’habitude des combinatoires » n’est-ce pas avoir des modèles spoilés rangés dans le cerveau ?

Corto · March 2021

héhéhé a écrit:

Même si ça parait facile/trivial/évident avec du recul, un élève moyen de sup' qui rencontre un tel corrigé (dans un livre ou par un prof) ne peut que se dire qu'il n'aurait jamais trouvé tout seul, que les maths sont trop dures, etc.

Les maths sont dures et aucun étudiant ne serait capable de retrouver toutes les maths du programme de prépa par lui même. Le but de l'enseignement n'est-il pas justement de mettre des nains qui n'auraient jamais trouvé tout seul sur des épaules de géants ?

Quand c'est faisable c'est évidemment préférable d'expliquer d'où viennent les choses plutôt que de les parachuter mais je n'ai pas d'états d'âmes à utiliser le mot astuce, dont la définition varie d'une personne à une autre. Cette histoire d'analogie continu/discret je trouve ça astucieux, je la qualifie donc d'astuce. Le fait que cette astuce soit fréquemment utilisée dans l'étude des suites récurrentes n'y change rien, je parle alors "d'astuce classique", pour moi ce n'est pas un oxymore.

Un exemple de ce que je présente comme une "astuce classique" : dès qu'on ajoute et qu'on soustrait une même quantité pour faire apparaître l'expression souhaitée. Par exemple
\[
\|f(x)-f(y)\| = \| (f(x) -f_n(x))+ (f_n(x)-f_n(y)) + (f_n(y)-f(y))\|,

\] plus classique tu meurs.
Mais tout ça est très subjectif.

Dom : l'astuce de Gauss n'est pas de Gauss, mais je suppose que tu le savais déjà ;-) Dans la même veine on a le calcul de $1+x+x^2+\ldots +x^n$ en multipliant puis divisant par $1-x$.

JLT · March 2021

Je crois que l'idée de Héhéhé est de recenser des démonstrations dont l'idée est cachée. Ca ne veut pas dire qu'il n'existe pas de démonstration astucieuse, mais il vaut mieux expliquer l'idée si elle existe que parachuter une formule qui a l'air de venir de nulle part.

lourrran · March 2021

1+... + 1000 , pourquoi penser au carré ?

1+ ... + 1000 , ça vaut ?
1000+ ... + 1, ça vaut combien ? La même chose.
On associe les nombres 2 à 2 : 1001 + ... + 1001, ça vaut 2 fois le nombre cherché, et ça vaut 1001*1000.
Et on conclut, en précisant bien entendu, que tout ça n'est possible que parce qu'on a démontré auparavant que l'addition était commutative et associative.

Dom · March 2021

Non mais ce n’est pas moi qu’il faut convaincre.
Je parle du fait que quasiment personne qui connaît ce truc ne le trouve pas.

philou22 · March 2021

Je me souviens avoir lu il y a près de 20 ans dans un Methodix qu'une méthode est une astuce qui sert plusieurs fois.

Etienne · March 2021

Concernant l'astuce du petit Gauss, j'ai un élève qui l'a réutilisée pour calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}$.

Héhéhé · March 2021

Je devrais peut-être préciser ce que j'entends par astuce, pour moi elle est pas essence non-reproductible. Si elle l'est, je la qualifie de méthode (et elle peut être enseignée, contrairement à l'astuce qui n'existe que localement dans un exercice). Mon analogie continu-discret est tout-à-fait reproductible et s'adapte sans problème à de nombreuses suites définies par récurrence. Ce n'est donc pas, pour moi, une astuce.

On ne peut pas reprocher à un étudiant de n'avoir pas trouvé une astuce. On peut reprocher à un étudiant de ne pas connaitre les méthodes.

Corto, le fait de faire apparaitre dans une valeur absolue (ou norme) des quantités puis utiliser l'inégalité triangulaire est un truc ultra-standard et l'étudiant doit finir par comprendre que c'est la seule démarche pertinente, si je sais que $\|u_n - \ell \|<\varepsilon$ et $\|v_n - \ell \|<\varepsilon$ à partir d'un certain rang et que je veux estimer $\|u_n - v_n\|$, écrire
$$\|u_n - v_n\| = \| (u_n - \ell) - (v_n-\ell)\| \leq \| u_n - \ell \| + \|v_n - \ell\| < 2\ell$$
est une méthode à connaitre (que je trouve naturelle), rien à voir (encore une fois pour moi) avec une astuce...

Ce n'est sans doute qu'une question de terminologie, mais l'astuce sous-entend un truc inaccessible à l'étudiant moyen, ce qui me gène. Le présenter comme une méthode à retenir me parait plus pertinent.

BobbyJoe · March 2021

Petite remarque "culturelle" : l'analogie discret/continue est visiblement un truc qui trainait (sans doute bien avant ^^) dans les notes de recherche de Kloosterman. Korevaar en fait mention à la page 13 dans son livre Tauberian theory.
Enfin bref...

Je dirais parfois que des choses sont qualifées d'astucieuses car nécessitent un recul trop grand pour ne pas rentrer dans les détails d'une méta-théorie (un peu hors-propos...) : la résolution des inéquations différentielles linéaires ou des inéquations linéaires sur les suites par exemple (c'est plus facile quand tu connais la notion de solution fondamentale et de transformée de Laplace ou de Fourier pour en trouver une effectivement!)

bisam · March 2021

Certaines astuces se sont élevées officiellement au rang de "méthodes" (méthode de Cardan et Tartaglia, méthode de Ferrari, méthode du pivot de Gauss, par exemple), voire de "règles" (règles de Bioche, règle de Sarrus), à force d'être enseignées.
Certaines sont tombées en désuétude face à des outils plus performants.

Dom · March 2021

La démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwarz est souvent envoyée « comme ça » (on écrit $<x+\lambda y;x+\lambda y>$ puis on discute le signe du trinôme en $\lambda$).
Je m’en suis déjà inspiré dans une autre situation, mais ne me souviens plus du sujet.

Astuce ou méthode ?
Franchement, la première fois qu’on la voit, on se demande d’où ça sort, non ?

En effet, on n’enseigne pas « d’avoir des bonnes idées » mais plutôt des méthodes.

[small]Anecdote : en 6e la consigne était « Le nombre $u$ est tel que $7u=3$, quelle est l’écriture décimale de $14u$ ? ».
Exercice évidemment assez difficile en 6e car les élèves y sont peu habitués et n’ont aucune pratique algébrique.
Cependant un ou deux gamins trouvent parfois sans pratique, sans « spoil » etc.
- Irma : ça fait $6$.
... après explication Irma explique qu’elle a pensé à $14$ c’est $2\times 7$.
- Roger : mais comment on sait qu’il faut penser à cela ?
C’est ça que je veux dire.
Personne n’a enseigné à Irma qu’à ce moment là il faut y penser.
Quelqu’un lui a « appris » que $14$ est le double de $7$ mais elle-même ne sait pas du tout pourquoi elle l’a utilisé.[/small]

BobbyJoe · March 2021

@Dom la méthode de dédoublement de termes est utile (et renforcée via les identités de polarisation) dans le cadre des espaces euclidiens. Entre autres, ceci permet de donner une preuve variationnelle du théorème spectral (en dimension finie).

Avoir des idées, c'est difficile tout bonnement : l'expérience est extrêment utile pour traiter un certain nombre de problèmes (plus ouverts). Beaucoup de preuves du supéreur proche reposent sur des idées techniques (souvent fécondes) qui constitutent un carcan utile pour apprendre des mathématiques plus avancées (à mon avis!).

gerard0 · March 2021

"On appelle méthode une astuce qui a réussi"

L'astuce de Tartaglia est devenue la méthode de Cardan.

Cordialement.

Calli · March 2021

L'astuce, bon bah c'est le truc, t'y avais pas pensé et puis, quand on te l'montre, tu te dis que tu l'aurais jamais trouvé. Et la méthode, c'est le truc, tu l'avais pas... bon... tu l'aurais jamais trouvé tout seul... mais c'est pas la même chose quoi, c'est une méthode.

(:P)

Math Coss · March 2021

Pour la démonstration de Cauchy-Schwarz, une motivation, c'est de chercher le vecteur de norme minimale sur la droite affine passant par $x$ et engendrée par $y$.

(En fait, bien sûr, on utilise le carré de la norme pour éviter la racine inutile et il se trouve que pour un polynôme de degré $2$, dire que le minimum est $>0$, c'est dire que le discriminant est $<0$ ; puis on regarde le cas d'égalité, qui donne la valeur de $\lambda$ où la norme s'annule. Tout ça, c'est technique – et ça s'enchaîne automatiquement quand on a une pratique suffisante des polynômes de degré $2$ – mais l'idée est simple.)

Une situation où on peut l'exploiter : $f$ deux fois dérivable sur $\R$, dont la dérivée seconde est majorée par $M$ positif. Alors $f(x)+\lambda f'(x)+\frac{M}2\lambda^2\ge0$ pour tout $x$ et tout $\lambda$, d'où il résulte que $|f'|\le\sqrt{2fM}$.

Foys · March 2021

L'existence d'astuces en mathématiques (i.e. de problèmes non résolubles autrement que par des méthodes essentiellement inédites) est un phénomène naturel puisque les mathématiques sont condamnées à être soit indécidables, soit à renoncer à parler de nombres entiers (!!!)
Ceci est conséquence par exemple du théorème de Rice: il n'existe aucun terme du lambda-calcul non constant prenant toutes ses valeurs dans l'ensemble des booléens $\{\mathbf v,\mathbf f\}$ avec $\mathbf v:=\lambda x \lambda y.x$ et $\mathbf f:= \lambda x \lambda y.y$; si les moyens de parler intelligemment des nombres entiers sont disponibles: i.e. de faire au moins de la récurrence et de pouvoir citer le plus petit entier satisfaisant une propriété donnée, ainsi que chaque élément d'une liste finie donnée ce qui est le minimum syndical - alors on peut encoder dans ce système tous les termes du lambda calcul- en fait tous les programmes informatiques.
L'un des drames de notre époque est que les grands théorèmes d'indécidabilité des années 30 (Gödel, Church, Turing etc) sont détournés au profit de cette propagande post-moderne ignoble visant à faire croire que les mathématiques ne sont pas formalisables (ce qui est faux!!! Dans le cas contraire des logiciels de vérification de preuve n'auraient pas d'existence physique) et leurs vrais enseignements méconnus (possibilité de contradiction jamais écartable mais surtout -cela a des conséquences très concrètes - impossibilité de réduire la pratique mathématique à des méthodes systématiques).

La présentation de la pratique fructueuse des mathématiques comme découlant intégralement de démarches est donc un mensonge et pour essayer de faire vivre à tout prix ce mensonge contre la sanction du réel, le pédagogue va être forcé de montrer une version toujours plus limitée de sa discipline et toujours plus déformée.

La blague de l'élève moyen qui serait scientifiquement déterminé à être incapable de trouver une solution astucieuse à un problème mérite d'être dénoncée aussi. Déjà, à l'instar de ses proches cousins que sont l'électeur français moyen et le consommateur moyen, l'élève moyen n'existe pas. Dans les faits il y a toujours des individus qui vont vous trouver des solutions aux exercices les pus durs. Ce qui nous amène à un autre aspect du problème: tout comme il y a une très grande variété dans les aptitudes mathématiques des gens, il existe une très grande variété de difficulté dans les problèmes, dans le degré "d'astuce" pour les résoudre: la décomposition d'une fonction en fonctions paires et impaires est loin d'être le pire. Donc si le public est faible on fait une progression (à l'époque où bibi était en taupe les planches d'exos mentionnaient la provenance et la difficulté estimée des questions comme ça tout le monde y trouvait son compte). Mais on ne raconte pas de fables.

soleil_vert · March 2021

Lourran http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2199320,2199474#msg-2199474 pour éviter la pensée unique!
C'est un classique voir les deux livres de Fourrey arithmétique et géométrie étrange que Chaurien n'ait pas cité le second...

J'ai piqué l'image à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,2200456,2201140#msg-2201140 118854

soleil_vert · March 2021

1+... + 1000 , pourquoi penser au carré ?

Dans ce calcul solution 4 ils font un raisonnement géométrique pas si différent de celui de la somme 1+...+n.

Jean-Louis · March 2021

Bonjour, à propos d'astuces j'adore le problème suivant.

Un tournoi de tennis comprends 297 joueurs. Ils se rencontrent 2 par 2 et le perdant est éliminé. Avec 297 joueurs on peut faire 148 paires d'où il sortira 148 vainqueurs qui seront redistribués par tirage au sort avec le joueur (297 moins 296) dispensé au premier tour. Et on continue ainsi jusqu'à la finale qui opposera donc deux joueurs.
Question : combien de parties seront jouées ?

Il y a une réponse instantanée. Si vous ne connaissez pas je vous laisse chercher. Cordialement.
Jean-Louis.

gerard0 · March 2021

[Édit : modification de la couleur de la fin de ligne, pour la rendre apparente]
Effectivement, réfléchir globalement à ce qui se passe permet de trouver tout de suite le nombre de parties : 296

Cordialement.

Blueberry · March 2021

Bonjour,

J'ai vu le lien dans le problème sympa de Jean Louis entre le nbre impair $n$ de joueurs et le nbre de parties disputées 2n-3 en essayant des exemples. Mais je ne vois pas l'argument rapide.
Vous pouvez expliquer please ?

Edit : en plus ma formule est fausse en lisant la solution fournie par @JLT et @Chaurien

JLT · March 2021

S'il y a $n$ joueurs alors $n-1$ parties sont jouées. En effet excepté le gagnant du tournoi, tout le monde perd une et une seule partie, et chaque partie est perdue par une et une seule personne, donc il y a une bijection entre l'ensemble des parties jouées et l'ensemble des joueurs privé du gagnant du tournoi.

Chaurien · March 2021

À chaque partie le nombre de joueurs diminue de $1$. S'il y a $n$ joueurs au début, ce nombre passe de $n$ à $1$. Il y a donc $n-1$ parties.
Bon équinoxe de printemps 2021.
Fr. Ch.

Blueberry · March 2021

Très bon, si simple ... Merci !

lourrran · March 2021

Cette colle posée par Jean-Louis doit être plus amusante si on la fait avec un nombre moins grand, n=30, 35 ou 45 par exemple. Là, on a bon espoir que l'interlocuteur se lance dans les calculs de A à Z, qu'il fasse le calcul sans se tromper, et qu'il se rende compte lui même à la fin qu'il fallait n-1 matchs.
Et partant tout simplement de $2^k$, cette colle est sympa également.
On a maintenant 3 outils :
- la méthode directe, 2^k-1
- la somme des termes d'une suite géométrique
- le comptage étape par étape.

Chaurien · March 2021

Ça me rappelle le problème de la mouche et des deux trains.
Deux gares $G_1$ et $G_2$ sont distantes de $d$ km sur une même voie ferrée rectiligne. À la même heure, un train $T_1$ part de la gare $G_1$ en se dirigeant vers $G_2$ à la vitesse de $v_1$ km/h et un train $T_2$ part de la gare $G_2$ en se dirigeant vers $G_1$ à la vitesse de $v_2$ km/h, sur cette même voie ferrée. Il y a une mouche qui vole à une vitesse de $V$ km/h, avec $V>v_1, V>v_2$. Cette mouche part de la gare $G_1$ en même temps que le train $T_1$ et se dirige vers la gare $G_2$. Quand elle croise le train $T_2$, elle fait demi-tour, jusqu'à ce qu'elle croise le train $T_1$, et alors elle fait demi-tour, et ainsi de suite, faisant une succession d'allers et retours entre les deux trains. Quand les deux trains se rencontrent, ils s'arrêtent, et la mouche aussi. Quelle distance a-t-elle parcourue ?
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

Jean-Louis · March 2021

Bravo à ceux qui ont trouvé. En fait pour moi la version facile c'est de dire que chaque partie doit éliminer un joueur et donc qu'il faut que le nombre de parties soit le nombre de joueurs moins un.
Cordialement.
Jean-Louis.

Foys · March 2021

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 3. Soient $(a_i)_{1\leq i \leq n}$ des nombres réels.
Donner une expression plus simple du déterminant de $\left ( \sin \left ( a_i+a_j\right )\right )_{1\leq i,j \leq n}$

john_john · March 2021

A propos du problème de la mouche, une légende veut que Hardy l'aurait résolu en sommant une série géométrique. J'ai du mal à le croire...

JLT · March 2021

N'était-ce pas von Neumann qui aurait sommé de tête la série ?

gerard0 · March 2021

Bonjour.

Je l'ai eu fait sur des données numériques. Ce n'est pas si difficile que ça.

Cordialement.

Calli · March 2021

Foys, j'écris en blanc : c'est zéro ?

Foys · March 2021

@Calli en blanc -> oui (à vrai dire il y a essentiellement une seule façon de faire je pense ...)

Je ne me rappelle plus mes meilleurs exos à astuce inédits malheureusement, ceux qui vous font dire spontanément "mais c'est pas vrai", "c'est quoi cette fonction auxiliaire qui tombe du ciel", "jamais je n'oserai le poser en colle" etc. S'ils me reviennent j'essaierai de les mettre :-D.

Jean-Louis · March 2021

Que Hardy ait résolu le problème en sommant des séries me parait vraisemblable. J'avais un prof de sup qui faisait de tête des calculs invraisemblables.
Jean-Louis.

Chaurien · March 2021

Problème de la mouche et des deux trains.
J'ai trouvé l'énoncé de ce problème il y a longtemps dans : George Gamow, Marvin Stern, Jeux mathématiques, Dunod, 1961, traduction de Puzzle-Math, The Viking Press, 1958.
Les auteurs racontent que lorsqu'on a posé ce problème à Von Neumann, il a trouvé en quelques secondes. Son interlocuteur lui a dit : « vous avez pris la solution simple, je croyais que vous alliez calculer la somme de la série ». Réponse de Von Neumann : « Mais j'ai fait la somme de la série ». 119106

Jean-Louis · March 2021

Dans le livre de Gamov et Stern, il y a un problème dont je ne comprends pas la solution que le livre propose. C'est une histoire de fusées au quatre coins d'un carré. mais je n'ai plus le bouquin sous les yeux. Chaurien, si tu pouvais ....
Merci.
Jean-Louis.

BobbyJoe · March 2021

Dans la veine des exos débiles... On considère une matrice à coefficients entiers dont les entrées hors diagonale sont des nombres pairs et les termes sur la diagonale sont des nombres impairs.
Montrer qu'une telle matrice est inversible (sur le corps $\mathbb{R}$).

Rescassol · March 2021

Bonjour,

BobbyJoe, la récurence descendante sur la parité du déterminant se fait de tête, mais c'est joli.

Cordialement,

Rescassol

Chaurien · March 2021

@ Jean-Louis
Moi aussi ça m'a toujours semblé un problème assez difficile. Je t'envoie déjà les pages de ce livre consacrées à ce problème, qui me semblent comporter des zones d'ombre. L'étude complète doit prouver que les trajectoires sont des spirales logarithmiques. Au lieu de quatre mobiles, on peut en considérer trois, et c'est connu sous le nom de « three bugs problem ». Je vais regarder ce que j'ai à ce sujet.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

JLT · March 2021

@Rescassol : l'astuce c'est de réduire modulo $2$. La matrice devient la matrice identité.

Chaurien · March 2021

Je dois avoir des notes sur ce problème, mais non numérisées, alors difficiles à retrouver. Je vais chercher ça plus tard.
Voici quand même un article de Murray Klamkin, que je n'ai pas encore lu.
Bien cordialement,
Fr. Ch.

Ces astuces qui n'en sont pas

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